实变函数期中考试试题

山东财政学院

《实变函数与泛函分析》期中考试试卷

（考试时间为120分钟）

一、叙述下列定理

1、Bernstein定理 2、Egoroff 定理 3、Riesz 定理 二、判断题

1、当两个点集 E1,E2 无交时,必有m*(E1E2)?m*E1?m*E2. ???( )

2、当 G?E, mG?mE?? 时，必有 m(G\\E)??, ???( ) 3、若 x0 是 E 的聚点, 则 x0 的任何邻域U(x0,?) 中都含有无限多个属于 E 的点.( )

4、有界点集 E 可测等价于E与 {Ln} 中每个半开区间 Ln 的交都可测. ??( )

其中 {Ln} 为半开区间的全体{x|ni?xi?ni?1, i?1,...,N}, ni 是整数, i?1,...,N

5、R1 中, 自然数集的导集是空集, ???( ) 6、R1 中,空集的导集是空集. ???( ) 数. ???( ) 7、R 上的连续函数是可测函三、简答题

1、叙述内点与聚点的定义，并说明二者之间的关系以及证明下列命题：

N x0 是 E 的聚点?E中存在着 一列异于 x0 的点 x1,x2,x3,? 收敛于x0.

2、叙述G? 型集及 F? 型集的定义. 3、叙述并证明De Morgan公式。

四、 证明题

1??1、E[fn?f]????E?|fn?f|??

k?k?1N?1n?N????2、试证明距离空间X中的序列{xn}收敛于x*?X?{xn}的任一子列收敛于x*.

3、试证明 :若E??,d?0,V?{x|?(x,E)?d},则V?E 是开集. 4、试证明设A,B是有界可测集,则m(A?B)?mA?mB?m(A?B).

5、试证明：设Ai?Bi(i?1,2,?),Ai?Aj??(i?j),则(?Ai)\\(?Bi)??(Ai\\Bi).

i?1i?1i?1???6、试证明：

mE???,在 E 上 fn(x)?f(x), g(y) 在 R1 上连续,则在 E 上 g( fn(x))?g(f(x)).

五、 判断下列命题是否正确？为什么？

1、 若 A~B ,且A?A,B?B,A~B,问是否A\\A~B\\B.

^^^^^^2、 (i) 若 A,B 皆可测集,A?B,则 m(A?B)?mA?mB. (ii) 若 G1,G2 皆开集, G1 是 G2 的真子集,则 mG1?mG2.3、 设 E 为有界可测集, 问

(i) 是否对任意 ??0恒存在闭集 F?E 使 mF?mE??? (ii) 是否对任意 ??0 恒存在开集 G?E 使 mG?mE???

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