多元隐函数的偏导数

Lihai--

2010.03.06 Math School, Sichuan University

大学数学Ⅱ: 微积分(2)

数学学院李海

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2010-4-23Mathematics II: Calculus (2)

Lihai--2

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由方程确定的函数

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由方程确定的函数关系

Example0: 很多联系两个变量的函数关系往往由二元方程来确定, 例如:

222x+(y－b)=r

表示一个圆, 当r=C时也可以解出函数关系,如:

在绿色区域:y=b±在红色区域:x= 又如: xy=C表示一对双曲线

.

方程参数的影响

Example0+: 方程参数的赋值范围, 往往影

响函数关系的成立区域. 如果方程为:

e

x

++

C=0 则当参数C<0时, 此方程决定一个实函数:

而当参数数. 若在复数域上建立函数关系C>0时, 此方程不能决定一个实函

, 不受限制

.

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Lihai--

One to one or one to many

++ Example0: 方程能否决定两变量间的函

数关系, 还与在何区域上讨论有关.例如:

222x+(y－b)=r

在绿色区域, 能够把y解为x的反过来, 把x解为y的函数.

类似, 在红色区域, 只能把x解为y的函数. 因为在充分靠近(±r, b)时, 每个x0都对应两个y

值. 因而无法保证映射唯一性.

P(1, 1): 顾此失彼的一个点

Example1限内能表示两个单元函数: 方程xlny+ylnx:

=ln(xy)在第1象y=f(x)≡1 和x=g(y)≡1

但是, 在点P(1, 1)的充分小邻域内, 方程无法

确定y为x的函数, 或x为y的函数. 因为得不到

映射的唯一性

. Lihai--2010.03.06 Math School, Sichuan University

2010-4-23

隐函数求导

单元隐函数求导法回顾二元隐函数求导法任意多元隐函数求导法

Mathematics II: Calculus (2)

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7

Review: 隐函数求导法则

设二元方程系: y=f(x).

F(x, y)=0确定变量x和y的函数关 由数学分析理论都存在且不为零, , 如果则不但可以肯定F关于x和y的偏导数y=f(x)的存在性, 还可以肯定y=f(x)关于x是可导的. 并且的偏导数来表示, y=f(x)关于, x即的导数能够由:

F关于x和yy′=dyFy′dx= F′Forx′dx

y′=dy=

Fx

′ Lihai--2010.03.06 Math School, Sichuan University

单元隐函数导数定理

Theorem(x, y)关于: 如果在x和y的偏导数(x0, y0)邻域内, 二元函数FFx和Fy都连续, 且

F (x0, y0) = 0 但Fy(x0, y0)≠0,

则二元方程F(x, y) = 0 在此邻域内唯一地确定一个单元函数定一个单元函数y=f(x), 满足: y连续可导的:

0=f(xf(x)关于x是连续可导的0). 并且, y′=f′(x)=dy

F′dx=

F(Fy

′y

′≠0) Lihai--2010.03.06 Math School, Sichuan University

单元隐函数的存在性

一般难(涉及, 证明单元函数确界定理).

y=f(x) 的存在性比较困 Remark中, 有哪个非零: 不过, , 如果知道两个偏导数则知道那个变量能解为另Fx和Fy一变量的函数.

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The frame of the proof设其存在性和可导性是已知的:对于y=.

f(x), 不妨假 如果把此左边看成yx=的单变量函数的单变量f(x)代入二元方程函数得函数得: uF=(Fx[, xy, ) = 0, f(x)]=0.把这里的u是引进的变量, 目的是把方程转化为函数.

根据已知条件, 对u求关于x的全导数, 则:

dudx= F x+ Fdy

ydx=F′= ′= Fx+ Lihai--2010.03.06 Math School, Sichuan University

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确定y=f(x).

可以有三种方式来求解y关于x的导数.

57 公式法: 取u=F(x, y) =y+2y－x－3x=0, 则:

57Example2: 设y+2y－x－3x=0

直接法: 视y为x的函数, 两边一起关于x求导:

4′65yy+2yy′ 1 21x=0 全微分: 在u=F(x, y)中把x和y都作为自变量:

46du=(5y+2)dy－(1+21x)dx

=0

2010-4-23, 一个方程

Mathematics II: Calculus (2)

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三个变量13

From one to two

Theorem: 如果三元函数如果三元函数F(x, y,z)在(x, 且

0, y0, z0)的邻域内有连续邻域内有连续的连续的偏导数F (x0,y0 , z0) = 0 但Fz (x0,y0 , z0)≠0,则三元方程F(x, y ,z)=0 在此邻域内唯一地确定一个有连续偏导数确定一个有连续偏导数的二元连续偏导数的二元函数的二元函数

z=f(x, y) 满足z0=f(x0 ,y0 )=0并且:

zF′ zFy′ x

= Fand y= z′Fz′ Lihai--2010.03.06 Math School, Sichuan University

记住, 谁对谁求导

假设关于的. 把z=f(zx=, fy()x代入三元方程, y)的存在性和可导性是已知F(x, y, z)=0, 则

u=F[x, y, f(x, y)]=0

是x和y的二元函数的二元函数. 关于x和y求偏导数得到:

z

u

=F zx+Fz x x=0x= F

Fz u=F z y+FzzFy y

y=0 y= Fz

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Lihai--从方程到辅助函数

Example3: 如果方程x确定z是x, y的函数, 即: z=f (x, y). 试用三种方式来求解z关于x, y的偏导数.

2z Solution: 先取u=F(x, y, z)=x+y－z－e=0 公式法: 在

F(x, y, z) 中平等地对待x, y 和z, 则:

2z+y－z－e=0

Lihai--

一次求导, 完成一个偏导数

已经取: u=F(x, y, z)=x

直接法: 两边一起关于x求导, y看作与x无关,而z看作是x的函数:

2z+y－z－e=0.

然后, 两边再一起关于y求导, x看作与y无关:

Lihai--

一次微分, 获得所有偏导数

如果再次平等的看待F(x, y, z)中的三个自变量x, y和z, 则对

2zu=F(x, y, z)=x+y－z－e=0.

求全微分, 有:

du=Fxdx+Fydy+Fzdz=dxz+2ydy－(1+e)dz=0

From one to many

设关于m个变量有n个方程, n< m:

Fk(x1, x2, …, xm)=0, k=1, 2, …, n 在满足隐函数定理条件的前提下n个变量作为自变量, 而将另外m, －可以选出可以n个变量选出作为这n个自变量的因(函数)变量.

并且存在且连续, 这些函数关于它们自变量的偏导数都.

求解这些偏导数的方法接法和全微分法.

, 仍然是公式法, 直 Lihai--2010.03.06 Math School, Sichuan University

It’s my time now! Lihai--2010.03.06 Math School, Sichuan University

2010-4-23, 两个方程

Mathematics II: Calculus (2)

Lihai--21

2010.03.06 Math School, Sichuan University

四个变量

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ptp4.html