西工大—高数答案—多元函数微分法及其应用

第八章 多元函数微分法及其应用

第一节 多元函数的极限与连续

1.填空

（1）设f?x,y??3x?2y,则f?xy,f?x,y???3xy?6x?4y. （2）设f?y,??x?y?2??x?y,则fx?xy?1?x,y??x?2?x?0?.

（3）设z?z?y?x?1.

y?f?x?1,若当y?1时z?x,则函数f??x??x?2x,

2（4）函数u?arccosz222的定义域是 {?x,y,z?x?y?z?0,x?y?0}.

22222x?y（5）函数z?24x?y222ln(1?x?y)2的定义域是

{(x,y)0?x?y?1,x?y24},此定义域

可用平面图形表示为（图8.1）

（6）函数z?ln?1?x2?y2?在x?y?1

22是间断的.

解 （1）f(xy,f(x,y))?3(xy)?2f(x,y)

=3xy?2(3x?2y)?3xy?6x?4y.

（2） 令y?u,x?yxuv?1?v,可解得x?2图 8.1

uv?1,y?u,于是

2 f(u,v)? （3）于式 z?再令 ?u, f(x,y)?x?xy?1.

y?f(x?1)中令y?1得x?1?f(x?1).

22x?1?t,即x?(t?1)2,于是

f(t)?(t?1)?1?t?2t

2故 f(x)?x?2x . 从而 z?y?f(x?1)?y?x?1.

（4）、（5）的解略去.

（6）函数的间断点是函数的定义域的聚点中那些函数不连续的点,而函数

222222u?ln(1?x?y)的定义域是开区域x?y?1,因此其间断点为x?y?1,而不是

x?y?1.

222.求极限 （1）

(x,y)?(0,0)lim1?cos(x?y)exy2222(x?y)22; （2）

(x,y)?(?,a)lim(1?1xx2)x?y.

1

解 （1）

(x,y)?(0,0)lim1?cos(x?y)exy22222sin2x?y2222(x?y)2222=

(x,y)?(0,0)lim2x?y2

=

(x,y)?(0,0)limsinx?y2x22sin.x?y222x?y2=0?1=0.

（2） 而

lim(x,y)?(?,a)lim(1?1x)x?y=

(x,y)?(?,a)lim[(1?1xx)]xx?y

xx?y=1, 故原极限=e.

x?yx?y2(x,y)?(?,a)242423.证明

24(x,y)?(?,?)lim?0. ?1(12证 0?x?yx?y24?x?y2xy222y2?1x),而 2(x,y)?(?,?)lim12y(12?1x2)?0,

故原极限=0.

4.证明极限 证 由于

(x,y)?(0,0)limxy2222xy?(x?y)2不存在. =limxx44(x,y)?(0,0)y?xlim2xy2222xy?(x?y)=1, 4x22x?0而

(x,y)?(0,0)y?2xlimxy2222xy?(x?y)xy222=lim4x442x?04x?x=limx?04x?1=0.

22故极限

(x,y)?(0,0)limxy?(x?y)不存在.

?x2y42,x?y?0?425.讨论函数z??x?y的连续性.

42?0,x?y?0? 解 因为

(x,y)?(0,0)2y?kxlimxyx?y42=limkx4424x?0x?kx=

k221?k.

此值随k值不同而不同,故极限

(x,y)?(0,0)limz不存在,从而函数z在（0,0）点不连续.

在除（0,0）点外的区域上,函数z?xyx?y42是初等函数,故在其定义区域上连续.

注意 常犯的错误一是只讨论了函数在（0,0）点的连续性,没讨论函数在定义域内其 它点处的连续性;二是求（0,0）点的极限时,出现了如下：

xyxylim lim= （错误的式子） 4242(x,y)?(0,0)x?y(x,y)?(0,0)x?yy?kx事实上,记号“

limxy?”表示点(x,y)以任意的方式无限接近（0,0）点,而记号

2

“

lim”表示点(x,y)只能沿直线y?kx无限接近点（0,0）点,这两者意义显然是不同

(x,y)?(0,0)y?kx的.

第二节 多元函数的偏导数

1.填空 （1）z?lntanx?z=

2,

?z=2xxy, 则

?xycsc2xy?y?y2csc2y.

（2）z?(1?xy)y,则

?z?x=y2(1?xy)y?1,

?z=(1[ln(1.

?y?xy)y?xy)?xy1?xy]z （3）u=

x,则

?ux1z?1,

?u=

1x1z?u=1x1y?x=

1yz(y)?y?xyz(y),?z?z2(y)zlny. （4）u=xyz,则

?uzyz?z=yxlnxlny.

（5）z=(x?ey)x,则

?z?x(1,0)=2ln2?1.

（6）设x?atf(x,t)=?x?at?(u)du,（?是连续函数）,则

?f?x=?(x?at)??(x?at),?f?t=a[?(x?at)??(x?at)].

（7）设u=sin2x?sin2y?sin2z,则

?u=sin2y,?yu(0,π12sin2x?sin2y?sin2zy4,0)=.

2解 （1） ?z?x=1?sec2xy?1y=2ycsc2xtanxy, y

?z122x2x?y=

2tanx?secxy?(?xy)=?y2cscy.

y （2） 求

?z?x时,应当用幂函数的导数公式,得

3

?z?y?z?x=y(1?xy)y?1?y=y2(1?xy)y?1.

求时,把x暂时看做常数,这时,z是关于y的幂指函数,所以

?z?y=

??y[eyln(1?xy)]=eyln(1?xy)[ln(1?xy)?xy1?xy]

=(1?xy)y[ln(1?xy)?11xy1?xy].

1x?111xz?1 （3） =[()z]=()z?=().

?x?xyzyyyzy?u?x11xz?1xxxz?11xz =[()]=()?(?2)=?2()=?().

zyyyzyyzy?y?yy?u?x1z111

?u?z?u?z=

x[()z]=()zln?(?2)=?2()zln.

yyz?zyzyy??z[xyz?x1x1x11x1 （4） =

]=xyzzzylnx?ylny=yxlnxlny.

z注意 常见的错误是遗漏了步骤：

??z(y),而得到错误结果：

z?u?z=xyzlnx.

（5） 法1 因为z=(x?ey)x,则lnz=xln(x?ey),

?z?x=ln(x?ey)?x?1,

yx?ez所以

?z?x?z?xyyx=(x?e)[ln(x?e)?yxx?ey].

从而

(1,0)=2ln2?1

0xx法2 因为z=(x?e),所以z(x,0)=(x?e)=(x?1)

dzdxxln(x?1)ln(x?1)xln(x?1)[ln(x?1)?]?=e=[(x?1)]?=[e]?=[exxxxx?1]

=(x?1)[ln(x?1)?xxx?1],

4

从而

?z?x(1,0)=

dzdx=2ln2?1.

x?1（6）求

?f?x时,暂时将t看做常量,因而f是积分上限、下限的函数,由公式：

dxdx?(x)

af(t)dt=f可得 ?f?x=?(x?at)??(x?at)

同理 ?f?t=?(x?at)?a??(x?at)?(?a)

=a[?(x?at)??(x?at)]. （7） 求解过程略.

2.证明函数f(x,y)?ex2?y4在（0,0）处连续,fy(0,0)?0,而fx(0,0)不存在.

证

=1,

(x,ylim)?(0,0)f(x,y)=

(x,ylimex2?y4=e0)?(0,0)而f(0,0)?e0?1,故f(x,y)?ex2?y4在（0,0）处连续.

f(0,0)e(?y)22 fy(0,0)=limf(0,?y)?=?ylim?1lim(?y)?y?0?y?0?y=?y=0.

?y?0(?x)2 ff(?x,0)?f(0,0)?1e?x1x(0,0)=lim?x=?x?0lime?x?0?x=?lim?x?0?x,

?x而 lime?1?x=?1x?x?0??xlime?x?0??x=lim??x?0??x=1.

lime?x?1=lime??x?1??x?x?0??x?x?0??x=lim?x?0??x=-1.

所以 fx(0,0)不存在.

?(13.设z?ex?1y),求证：x2?zz?x+y2??y=2z.

?(1?(11证

?z?x=ex?1y)?1x?y)x2=

zx2,

?z?y=e?1zy2=

y2,

5

所以 x2?z?x+y2?z?y=x2?zx2+y2?2zy2=2z.

4.求下列函数的二阶偏导数

?z?x22,

?z?y22,

?z?x?y.

（1） z=x4?y3?4x2y; （2）z=arctan?z?xyx.

2解（1） =4x?8xy,

3?z?x222=12x?8y,

2?z?x?y=?8x,

?z?y=3y?4x,

22?z?y2=6y.

（2）

?z?x=

11?()yx2?(?yx)=?2yx?y22,

?z?x22=

y?2x(x?y)2222=

2xy(x?y)222,

?z?x?y?z?y2=?x?y?y?2y(x?y)11x2222=

y?x2222(x?y)2,

=

1?()xy?2=

xx?y22,

?z?y22=

?x?2y(x?y)222??2xy(x?y)222.

第三节 多元函数的全微分

1.填空 （1）设z=yx?ys?ts?t22,则dz=

?xydx?xdy(x?y)223/22,dz(1,0)=dy.

（2）设u=,则du=

?2tds?2sdt(s?t)2.

（3）设u?(xy),则du=yz(xy)zz?1dx?xz(xy)z?1dy?(xy)ln(xy)dz.

z6

?y?2x（1）

?z2x2?y2解 ?xy?x==(x2?y2)2(x2?y2)3/2,

x2?y2?y?2y222

?z=2x?y=x.

?y(x2?y2)2(x2?y2)3/22故 dz=

?xydx?xdy(x2?y2)3/2, dz(1,0)=dy.

（2）

?u(s?t)?(s?t)?s=

=

?2t(s?t)2(s?t)2,

?u(s?t)?(?1)?t=

(s?t)?(s?t)2=

2s,

(s?t)2故 du=?2tds?2sdt.

(s?t)2 （3）

?u?x=z(xy)z?1?y=yz(xy)z?1,

?u=?yz(xy)z?1?x=xz(xy)z?1,

?uz?z=(xy)ln(xy),

故 du=yz(xy)z?1dx?xz(xy)z?1dy?(xy)zln(xy)dz.

2.求函数z?yx当x?2,y?1,?x?0.1,?y??0.2时的全增量和全微分.

解 全增量?z=y??y?yx??xx=

x?y?y?xx(x??x),

全微分 dz=

??x(yx)?x+??y(yx)?y=?y1x2?x?x?y, 当x?2,y?1,?x?0.1,?y??0.2时, ?z??0.4?0.152?2.1=?42??0.119.

7

dz=?14?0.1?12?(?0.2)=?0.125.

3.求u(x,y,z)=xyyz的全微分. 解

?u?x=yxy?1yz,

?u?y=yzxylnx?zxyyz?1，

?u?z=xyyzlny,

故 du=yxy?1yzdx+(yzxylnx?zxyyz?1)dy+xyyzlnydz

=xyyz[yxdx?(zy?lnx)dy?lnydz].

1?22(x?y)sin,x2?y2?0?224.设f(x,y)=?,问在(0,0)点处： x?y22x?y?0?0,? （1）偏导数是否存在？（2）偏导数是否连续？（3）是否可微？均说明理由.

(?x)sin?lim?x?021(?x)2 解 （1）

fx(0,0)?limf(?x,0)?f(0,0)?x?0?x?0?x=0

fy(0,0)?limf(0,?y)?f(0,0)?y(?y)sin?lim?y?021(?y)2?0?y?0?y=0

故f(x,y)在(0,0)处偏导数存在.

12x1?2xsin?cos,x2?y2?0?222222x?yx?yx?y （2） ??22?x?x?y?00,??f12y1??cos,x2?y2?0?2ysin222222x?yx?yx?y ??22?y?x?y?00,??f因为

(x,y)?(0,0)lim?f?x与

(x,y)?(0,0)lim?f?y2不存在,故偏导数在(0,0)处不连续.

（3） ?z?[(?x)?(?y)]sin21(?x)?(?y)22,fx(0,0)=fy(0,0)=0,

8

从而 lim?z?[fx(0,0)?x?fy(0,0)?y]ρρsin21ρ2ρ?0=limρ?0ρ=0,

其中ρ?22(?x)?(?y),所以f(x,y)在(0,0)处可微,且dz?0.

此题说明二元函数的偏导数在一点不连续时,函数在该点仍可能可微,偏导数连续是可微的充分条件,而非充分必要条件.

第四节 多元复合函数的求导法则

1.z?f(xy,yx),求

?zz?x,

?.

?y 解

?z1?x=yxy?f1??yxlnyfz=xylnxf??xyx?12?,

??y1f2?.

2.设z?u2?v2,而u?2x?y,v?3x?2y,求

?z?z?x,

.

?y 解

?z?x=

?z?u??u?x+?z?v??v?x=2u?2?2v?3=4u?6v=26x?8y,

?z=

?z?u+?z?u??y?v??v=?y?y2u?1?2v?(?2)=2u?4v=10y?8x. 3.设z?y,其中f(x2?y2)f(u)为可导函数,验证：

1?z1?zx?x?y?y?zy2.

证

?z?yf?(x2?y2)?2x2xyf??x=

f2(x2?y2)=?f2,

?zf(x2?y2)?yf?(x2?y2)?(?2y)?y=

f2(x2?y2)=

f?2y2f?f2,

故

1?zx?x?1?zy?y=?2yf?f?2y2f??2y2f??f?2y2f?f2?yf2=

yf2=

1yf

=

1y2?yf=

zy2.

9

注意 求偏导数

?z?x及

?z?y?z?x时,常常会丢掉因子f?(x2?y2),而得到错误结果：

=?2xyf2,

?z?y=

f?2yf22.

4.设u?xy,而x??(t),y??(t)都是可微函数,求

dudtdudt.

解 =

?udx?udy=yxy?1???(t)?xylnx???(t) ????xdt?ydt?(t)=?(t)?(t)?(t)?1??(t)+?(t)?ln?(t)??(t)

=??(t)?(t)?(t)?(t)?1+??(t)?(t)?(t)ln?(t).

注意 常见错误是遗漏了复合步骤,因而丢失了

dudtdxdt=??(t)与

dydt=??(t),得到

=?(t)?(t)?(t)?1??(t)?(t)ln?(t).

yx5.设z?xy?xF(u),而u?,F(u)为可导函数,证明 x?z?x?y?z?y?z?xy.

证

?z?x=y?F(u)?xF?(u)?(?1xyx)=y?F(u)?2yxF?(u).

?z?y=x?xF?(u)?=x?F?(u).

于是

x?z?x?y?z?y=xy?xF(u)?yF?(u)?xy?yF?(u)

=xy?xF(u)?xy=z?xy.

x?y6.设z?f(sinx,cosy,e),其中f具有二阶连续偏导数,求

?z?x22,

?z?x?y2.

解

?z?x2x?y=f1?cosx?f3?e,

?z?x2??cosx?f13??ex?y)cosx?f1?sinx?(f31??cosx?f33??ex?y)ex?y?f3?ex?y =(f1110

??cos2x?2ex?yf13??cosx?e2(x?y)f33??, =ex?yf3??f1?sinx?f11

?z?x?y2??(?siny)?f13??ex?y)?ex?y(f32??(?siny)?f33??ex?y)?f3?ex?y =cosx(f12??cosxsiny?f13??ex?ycosx?ex?yf32??siny?e2(x?y)f33??. =ex?yf3??f127.设z?f(xy,?z?x?y2xy)?g(),其中f具有二阶连续偏导数,g具有二阶连续导数,求yx.

解 g()为由一个中间变量构成的二元复合函数,对中间变量所求的应是导数,而不

xy是偏导数.

?z?x2=yf1??1yf2??yx2g?,

?z?x?y???=f1??y(xf11xy2??)?f121y2f2??1y???(xf21xy2??)?f221x2g??yx2g??1x

=f1??1y2???f2??xyf111x2g??yx3g???xy3??. f228.设u?f(?u?u?uxy,,. ,),其中f具有一阶连续偏导数,求

?x?y?zyz 解

?u?x=f1??1y,

?u?y?u?z=f1??(?xy)?f2??2yz21z=?xy2f1??1zf2?.

=f2??(?yz2)=?x2f2?.

9.如果F(x,y)?y?ey?tdt,求Fxy,Fyy.

解 Fx=yex?x2,Fxy=e2?x2.

2 Fy=?e?tdt?y?e?y,Fyy=?ey?y2?e?y2?ye?y2?(?2y)=2(y?1)e2?y2

11

第五节 隐函数的微分法

1.设

xz=lnzy,求

?z?x及

?z?y.

解 方程两端同时关于x求偏导数,

1z?x?zz?x2=

y1?z, ??zy?x解得

?z?x=

zx?z.方程两端同时关于y求偏导数得

xz2 ?2??z?y=

yz(?zy2?1?zy?y),

解得

?z?y=

zy(x?z).

2.设ez?xyz=0.（1）用隐函数求导公式求

?z?x?z?x;（2）用复合函数求偏导数的方法求

?z?x

（3）利用全微分形式不变性求出及

?z?y.

解 （1）令F(x,y,z)=ez?xyz.

z Fx??yz,Fz?e?xy,

故

?z?x=?FxFz=

yze?xyz.

z（2） 方程e?xyz=0两端同时关于x求偏导数,此时,将z看做x,y的函数：z=z(x,y),于是

e??z?xz?z?x?yz?xy??z?x=0,

解得 =

yze?xyz.

（3）先将x,y,z均看作自变量,方程e?xyz=0两端同时取全微分得

d(e?xyz)?0,即de?d(xyz)?0,

xzz12

ezdz?yzdx?xzdy?xydz?0.

这时,再将z看作x,y的函数,解出z的全微分dz： dz=

yze?xyyze?xyzzdx?xze?xyzdy,

于是

?z?x=,

?z?y=

xze?xyz.

3.设?(u,v)具有连续偏导数,证明由方程?(cx?az,cy?b)z=0所确定的函数

z?f(x,y)满足a?z?x?b?z?y?c.

证 ?x=?u?c=c?u,?y?c?v,

?z??u?(?a)??v?(?b)??a?u?b?v, 于是

?z?x=??x?z=

c?ua?u?b?v,

?z?y=??y?z=

c?va?u?b?v,

从而

a?z?x?b?z?y?ac?u?bc?va?u?b?v?c.

?x?y?z?0,dxdy4.设?2 求,. 22x?y?z?1,dzdz? 解 对每一个方程的两端分别对z求导,注意变量x与y均为z的函数,移项后得

?????x??1x1ydxdzdxdz?dydz??1,?ydydz ??z,用克莱姆法则解得 D==y?x?0

?11y??y?zy?x?z?yy?x

dxdz??zy?x

13

1?1?z??z?xy?x?x?zy?x

dydz?xy?x

?x?eu?usinv,?u?v5.设?,求, u?x?x?y?e?ucosv, 解 这里变量x与y是自变量,而变量u与v均为x与y的函数,对每一个方程的两端 分别对x求偏导数,移项得：

?u?v?u(e?sinv)?ucosv?1,???x?x ??(eu?cosv)?u?usinv?v?0,??x?x?D=

e?sinve?cosv1uuucosvusinvucosvusinv=u[eu(sinv?cosv)?1],

?u?x?0uu[e(sinv?cosv)?1]?sinve(sinv?cosv)?1u,

e?sinv?v?x?e?cosvuuu10?cosv?euuu[e(sinv?cosv)?1]u[e(sinv?cosv)?1].

6.设F(,zxyz)?0,求dz.

解 用全微分形式不变性求dz,方程两端同时取全微分,得 F1??d()?F2??d()?0,

zz1zxz2xy F1??(dx?从而解出dz,即得 dz=zdz)?F2?(1zdy?yz2dz)?0,

F1?dx?F2?dyxF1??yF2?.

14

第六节 多元函数微分学的应用

1.求螺旋线x?acos?,y?asin?,z?b?在点(a,0,0)处的切线及法平面方程. 解

dxd???asin?,

dyd??acos?,

dzd??b,与点(a,0,0)对应的参数?=0,故曲线上

(a,0,0)点的切向量为

T={0,a,b}. 于是,切线方程为

x?a0?ya?zb,即??x?a,?by?az?0.

法平面方程为 ay?bz?0.

2.求曲线y2?2mx,z2?m?x在点(1,?2,1)处的切线及法平面方程.

解 因为(1,?2,1)是曲线上的点,将x?1,y??2代入方程y2?2mx可得m?2,所给曲线为y2?4x,z2?2?x.求点(1,?2,1)处的切向量有两种方法：

法1 每一个方程两端均关于x求导数,得 dy?2y?4,??dx ?

?2zdz??1.?dx?在点(1,?2,1)处,

dydx=-1,

dzdx=?12,故切向量为

1 T={1,?1,?},

2 法2 曲面y?4x,即4x?y?0上点(1,?2,1)处的法向量为 n1?{4,?2y,0}?{4,4,0},

22(1,?2,1)2 同理,曲面z?2?x上点(1,?2,1)处的法向量为n2?(1,0,2).于是曲线上点

(1,?2,1)处的切向量

15

ij40k T?n1?n2?4110?8i?8j?4k?8{1,?1,?}

22于是所求切线方程为

x?11?y?2?1?z?1?1212, 即

x?12?y?2?2?z?1?1,

法平面方程为 ?x?1??(y?2)?(z?1)?0,即 2x?2y?z?5?0.

注意 常见错误是没有利用已知条件将 m的值确定出来. ?x2?y2?z2?3x?03.求曲线?在(1,1,1)处的切线及法平面方程.

?2x?3y?5z?4?0?x2?y2?z2?3x?0解 法1 把x看作参数,则y和z是由方程组?所确定的x的函

?2x?3y?5z?4?0dydz,}. 数,曲线的切向量为T?{1,dxdx方程组对x求导得

dydz?2x?2y?2z?3?0??dxdx ?

dydz?2?3?5?0?dxdx?将点(1,1,1)代入得

dydz?2?2?2?3?0??dxdx ?

?2?3dy?5dz?0?dxdx?解得

dydx=

916,

dzdx=?116,于是曲线在点(1,1,1)处的切向量为

916116116 T?{1,,?}={16,9,?1},

所求切线与法平面分别为

16

x?116?y?19?z?1?1,

16(x?1)?9(y?1)?(z?1)?0,即 16x?9y?z?24?0.

法2 构成曲线的曲面x2?y2?z2?3x?0与2x?3y?5z?4?0上点(1,1,1)处的法向量分别为

n1?{2x?3,2y,2z} n2?{2,?3,5},

曲线上点(1,1,1)处的切向量为T?n1?n2?{16,9,?1}.下面解法同法1.

4.在椭球面x?2(1,1,1)=（-1,2,2）

y24?z24?1上求一点,使该点处的法线与三条坐标轴正方向成等角.

解 依题意法线发现与三条坐标轴正向成等角,故有所求点处法向量的三个坐标应相等,又点在椭球面上,应满足椭球面方程,上述条件联立,即可得所求点,令

y2 F(x,y,z)=x?24?z24?1

设所求点为M(x0,y0,z0),则在点M的法向量为

n??Fx,Fy,Fz?yz????2x0,0,0?

22??M因为法线与三条坐标轴正向成等角,故有

2x0?又点M在椭球面上,满足

2y02?z02 （1）

x0?y042?z042?1 （2）

将方程（1）,（2）联立,得两组解为：(,144144,)及(?,?,?) 333333上述两点处的法线与三条坐标轴正向成等角.

5.在曲面z?xy上求一点,使该点处的法线垂直于平面x?3y?z?9?0,并写出该法

线方程.

解 设点(x,y,z)为曲面z?xy上任一点,该点处的法向量为n??y,x,?1?.平面

17

x?3y?z?9?0的法向量n1??1,3,1?.欲使法线垂直于平面,应有n//n1,

故

y1?x3??11 ,

由此可得x??3,y??1,将x??3,y??1代入曲面方程z?xy,可得z?3,故所求点为(?3,?1,3).

y6.证明：曲面z?xex上任一点处的切平面均过坐标原点.

证 欲证一平面过原点,只须证该平面的一般式方程Ax?By?Cz?D?0中的D?0y即可.令F(x,y,z)?xe?z,则

xy Fx?ex?yxyyex,Fy?ex,Fz??1,

曲面上任一点M(x0,y0,z0)处的切平面方程为

y0x0(e?y0x0y0y0ex0)(x?x0)?ex0(y?y0)?(z?z0)?0 ，

化为一般式为

y0x0 (e?y0x0y0x0y0y0y0y0y0ex0)x?ex0y?z?[?x0ex0?y0ex0?y0ex0?z0]?0 ，

y0y0y0即 (ex0?ex0)x?ex0y?z?0.

所以曲面上任一点处的切平面均过坐标原点.

2227.证明曲面x3?y3?z3?4上任一点处的切平面在各坐标轴上的截距的平方和为一常数.

222证 设点M(x0,y0,z0)为曲面上任一点,则x03?y03?z03?4

111??????3该点处的法向量为 n??x0,y03,z03?,

???该点处的切平面方程为 x0?13(x?x0)?y0?13(y?y0)?z0?13(z?z0)?0

18

x03x?y0截距式方程为

3?1?13y?z0?13222z?x03?y03?z03?4

x4x0?y43y0?z4z03?1

截距的平方和为

222222 16x03?16y03?16z03?16(x03?y03?z03)?64.

第七节 方向导数与梯度

1.求函数u?xyz在点(5,1,2)处沿从点(5,1,2)到点(9,4,14)的方向导数. 解 函数u?xyz在平面上处处可微,故

?u?l?u?x=

?u?xcosa??u?ycos???u?zcos?.

=yz,

?u?y=xz,

?u?z=xy,

在点(5,1,2)处,

?u?x=2,

?u?y=10,

?u?z=5.

又l?{9?5,4?1,14?2}?{4,3,12}, l?4134134?3?12?13,

3131213222故 cos???u?l,cos??3,cos??1213,

?2??10?13?5??9813.

2222.求函数u?x?y?z在球面x?y?z?3上点M0(1,1,1)处沿球面在这点的外法

线方向的方向导数.

222解 令F(x,y,z)?x?y?z?3,则Fx?2x,Fy?2y,Fz?2z.在点(1,1,1)处,

法线方向为

n?{2,2,2}.

对于封闭曲面来讲,其法线方向有内外之分,由里指向外的方向叫外法线方向。点M0为

19

第一卦限的点,由图8.2可知,该点处的外法 线方向n与三个坐标轴的夹角均为锐角,故n 的三个方向数均应为正数：n?{2,2,2}.于是

cos?=cos?=cos?=13图 8.2

图 8.2

又

?u?x=

?u?y=

?u?z=1,

故

?u?n?1?13?1?13?1?13?3. 3.设x轴正向到方向L的转角为?,求函数f(x,y)?x2?xy?y2在点（1,1）沿方向L的方向导数,并分别确定转角?,使该导数有：（1）最大值;（2）最小值;（3）等于0.

解

?f?x2=2x?y,

?f?y=2y?x,在点（1,1）处,

?f?x=1,

?f?y=1.又函数

f(x,y)?x?xy?y在点（1,1）处可微,

?f?L2=1?cos??1?sin?=2sin(???4) ,

于是,当????3?4?4时,方向导数有最大值2;当??5?4时,方向导数有最小值?2;当

或??7?4时,方向导数等于0.

222224.求函数u?x?y?z在曲线x?t,y?t,z?t上点（1,1,1）处,沿曲线在该点的切线正方向（对应于t增大的方向）的方向导数.

解

?u?x=2x,

?u?y=2y,

?u?z=2z,在点（1,1,1）处,

?u?x=2,

?u?y=2,

?u?z=2.

曲线上点（1,1,1）对应的参数值为t=1,该点的切线正方向为 l={1,2t,3t}1142142t?1={1,2,3},

314于是cos??,cos??,cos??,所求方向导数为

?u?l=2?114?2?214?2?314=1214=6714.

20

?u?x?1?lnx,

?u?y?1?lny,

?u?z?1?lnz

du??u?xdx??u?ydy??u?zdz=(1?lnx)dx?(1?lny)dy?(1?lnz)dz,

从而 du(1,1,1)=dx?dy?dz.

?z?x?y23.设z?u(x,y)eax?y,又?0,求常数a,使

?z?x?y2??z?x??z?y?z?0.

解

?z?x=

?u?xeax?y?u?eax?y?a=eax?y(?u?x?au)

?z?y=

?u?yeax?y?u?eax?y=eax?y(?u?y2?u),

?z?x?y2=eax?y(?u?x?au)+eax?y(?u?x?y?a?u?y)

由

?u?x?y2=0,得

?z?x?y2=eax?y(?u?x2?au?a?u?y)

将

?z?x?y2,

?z?x,

?z?y,z的表达式代入式

?z?x?y??z?x??z?y?z?0可得

eax?y[?u?x?au?a?u?y??u?x?au??u?y?u?u]=0

由eax?y?0,可得

(a?1)故当a?1时,等式成立.

?x2y,?224.设f(x,y)??x?y?0,?2?u?y=0

x?y?0,x?y?0,222 求fx(x,y)及fy(x,y),

解 当x?y?0时

2226

fx(x,y)=

2xy(x?y)?xy?2x(x?y)222222222=

2xy2322(x?y)4222,

fy(x,y)=当x2?y2?0时,

x(x?y)?xy?2y(x?y)2222=

x?xy22(x?y).

fx(0,0)=limf(x,0)?f(0,0)x=0,

x?0 fy(0,0)=limf(0,y)?f(0,0)y=0.

x?0?2xy3,?222故 fx(x,y)??(x?y)?0,??x4?x2y2,? fy(x,y)??(x2?y2)2?0,?x?y?0,x?y?0,2222

x?y?0,x?y?0,2222

注意 常见的错误是没用偏导数的定义求函数f(x,y)在分段点(0,0)的偏导数. 5.设f(x,y)=（1）f(x,y)在点(0,0)是否连续,为什么？（2）f(x,y)在 xy,问：

点(0,0)的偏导数fx(0,0),fy(0,0)是否存在？（3）f(x,y)在点(0,0)是否可微,为什么？

x?y21222解 （1）0?xy??122?22x?y, 而 lim12x?0y?0x?y=0,故lim22x?0y?0x?y=lim2x?0y?0xy=0=f(0,0)

函数在点(0,0)连续. （2）考虑极限

f(x,y)?f(0,0)?[fx(0,0)x?fy(0,0)y]x?y22 lim=limxyx?y22,（8.24）

x?0y?0x?0y?0由于沿直线y?x,

27

limxyx?y22x?0y?x?0?12?0

故前式极限不等于0,从而函数在(0,0)点不可微. 注意 常见错误之一是：

因为,故limf(x,y)=limx?0y?kx?0x?0kx2=0,故limf(x,y)=0.

x?0y?0 关于这种错误,前边已讲过,记号“lim”表示点(x,y)以任意的方式趋于(0,0).而记号

x?0y?0“lim”表示点(x,y)以一种特殊的方式：沿直线y?kx趋于(0,0).显然若limf(x,y)存

x?0y?kx?0x?0y?0在为a,则limx?0y?kx?0f(x,y)存在也为a;但反之未必成立.

常见错误之二是有人将讨论函数在点(0,0)是否可微的式子写成

limf(x,y)?f(0,0)?dz(0,0)x?y22

x?0y?0式中出现了dz(0,0)是不对的,因为我们正在讨论函数在(0,0)点是否可微,即dz(0,0) 是否存在.

6.设u??(e,xy)?xf(),其中?有二阶偏导数,f二阶可导,求

x?u?xyyyx2xy?u?x22

解

??ex+???y+f()+xf?()?(?=?12xx)

x?+y?? =e?1+f-2yxf?.

?u?x22xx?+ex[?11???ex??12??.y]+y[????e????.y]+f?(?=e?12122yx)+2yx2f?-

yxf???(?yx2)

??e?11???ye(?12??????)?y???? =e?12122x2xx2yx23f??.

xx????????. )2ye?12 注意 易发生的错误是将结果中ye(?1221合并为

由于题目中仅告知?有二阶偏导数,并未告知?的二阶偏导数连续,故未必有

????????. ?12???????2?1221,因此不能将1221合并为

28

7.设z?()y,求

?xx 解 lnz??zyx?z(1,2).

xylnyx?xy(lny?lnx)

1yx11y1 ?x?ln?(?)?ln?,

zyxyxyxy

?z?x?zylnyx?zy,

1当x?1,y?2时,z?(2)2??z?x2, 从而

222222(1,2)=ln2??(ln2?1).

228.设z?xf(xy,3yx),f具有二阶连续偏导数,求

?z?y,

?z?y2,

?z?x?y.

解 z为x3与f的乘积,而f为由两个中间变量构成的二元复合函数,

?z?y2342=x(f1?x?f2?)=xf1??xf2?

1x

?z?y2??x?f12??=x(f1141x2??x?f22??)+x(f211x5???2x3f12???xf22?? )=xf11

?z?x?y2=

?z?y?x32=

??x442(xf1??xf2?)

??? =4xf1??x(yf11yx2??)?2xf2??x2(yf21???f12yx2??) f2234???yf22?? =4xf1??2xf2??xyf11 应注意充分利用条件

?z?x?y2=

?z?y?x2,在求出

?z?y的基础上进而求

?z?y?x2,即得

?z?x?y2,不必

先求

?z?x,再求

?z?x?y2,这就增加了工作量.

9.设z?f(xz,z?y),其中f具有一阶连续偏导数,利用全微分形式不变性求隐函数

29

z?z(x,y)的全微分dz,并由此求出

?z?x,

?z?y.

解 方程z?f(xz,z?y)两端同时求全微分得 dz?f1?d(xz)?f2?d(z?y), 即 dz?f1?(zdx?xdz)?f2?(dz?dy). 从中解出dz,得

dz?zf1?dx?f2?dy1?xf1??f2?zf1?1?xf1??f2?,

由此得

?z?x=,

?z?y=

?f2?1?xf1??f2?.

?x2?z?0?9x?7y?21z?010.求曲线?上点M0(1,?2,1)处的法平面与直线?

x?y?z?0??3x?2y?1?0间的夹角.

解 只须求出曲线上M0点的切向量,即可求出法平面与已知直线的夹角. 由一般式给出的曲线求切向量有两种方法.

?x2?z?0法1 将x看做参数,由方程组?求出y?,z?,则切向量T={1,y?,z?},

?3x?2y?1?0?2x?z??0 ??3?2y?0??2?z??03在点M0(1,?2,1)处,?解得,y???,z??2.

2?3?2y??0故切向量T={1,?32,2}=

12{2,?3,4}.

法2 求出构成曲线的两个曲面x?z?0和3x?2y?1?0在点M0的法向量n1及

n2,曲线在点M0的切向量T=n1?n2.

2 n1M0={2x,0,?1}M0={2,0,?1}, n2M0={3,2,0}.

30

ij02k?1=2i?3j?4k 0 T=n1?n2=23而直线的方向向量

ij?7?1k?21=?14i?12j?2k, ?1 s=91故法平面与直线的夹角

T?sTs ??arcsin?arcsin0?0.

11.过直线???10x?2y?2z?27x?y?z?0作曲面3x2?y2?z2?27的切平面,求此切平面方程.

分析 要写切平面方程,一要求切点,二要求法向量.首先,切点应在曲面上,在切平面上 其次,曲面上切点处的法向量应当与切平面的法向量平行.

解 设切点为M0(x0,y0,z0),则曲面上点M0处的法向量为n={6x0,2y0,?2z0}. 设过直线的平面束方程为

10x?2y?2z?27+?(x?y?z)?0, 即 (10??)x?(2??)y?(2??)z?27?0, 其法向量为n1=(10??,2??,?(2??)).由n//n1可得

10??6x0?2??2y0??(2??)?2z0,

又由切点M0既在曲面上,又在切平面上可得

3x0?y0?z0?27,(10??)x0?(2??)y0?(2??)z0?27?0.

222解此关于x0,y0,z0,?的方程组可得切点(3,1,1)及(?3,?17,?17),于是法向量为{18,2,?2} 及{?18,?34,34},所求切平面为

18(x?3)?2(y?1)?2(z?1)?0，9x?y?z?27?0

及 ?18(x?3)?34(y?17)?34(z?17)?0,9x?17y?17z?27?0，

31

易知平面x?y?z?0不满足条件.

12.求函数f(x,y)?arctanxy在点(0,1)处的梯度.

解 因为f(x,y)?arctanxy所以

1y?xy=2, = fx?f?yx2x?y2x2x2?y21?()1?()yyy?x2从而 gradf(0,1)?{fx,fy}x?0?{y?1yx?y22,?xx?y22}x?0?{1,0}.

y?113.在球面2x2?2y2?2z2?1上求一点C使得函数f(x,y,z)?x2?y2?z2在点C 沿着点A(1,1,1)到点B(2,0,1)的方向的方向导数具有最大值.

????11解 方向l?AB?(1,?1,0),故cos??,cos???,cos??0

22设点M(x,y,z)为球面上任意一点,在该点

?f?x?2x,

?f?y?2y,

?f?z?2z

又函数f(x,y,z)处处可微,故M点的方向导数为

?f?l?f?x?f?y?f?z2?cos??cos??cos??2(x?y)

问题实质是求函数2(x?y)在约束条件2x?2y?2z?1下的最大值问题,作函数 F(x,y,z)?x?y??(2x?2y?2z?1) 1?4?x?0???1?4?y?0?求解 ?,

4?z?0?222??2x?2y?2z?122222得到x??点(,?232

12,y??12,z?0,在点(12,?12,0)处,

?f?l=2,在点(?11?f,,0),=?2,故22?l112,0)即为所求.

?x2?y2?2z2?014.已知曲线L：?，求曲线L距离xoy面最远的点和最近的点.

?x?y?3z?5 解 令(x,y,z)为曲线L上任一点,它在xoy面上的投影点为(x,y,0)则d2?z2 ， 令 F(x,y,z)?z2??1(x2?y2?2z2)??2(x?y?3z?5)

Fx?2?1x??2?0??Fy?2?1y??2?0?? ?Fz?2z?4?1z?3?2?0,

222?x?y?2z?x?y?3z?5??由前两式得x?y,代入第四个式子推出x??z,代入第五个式子推出 2x?3z?5.

当x?z时,解得x?1;当x??z时,解得x??5.

点（1,1,1）时,d1=1;点（-5,-5,5）时,d2?5，从而(1,1,1)为最近点,(?5,?5,5)为 最远点.

33

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