2017中考数学圆的最值问题（含答案）

数学组卷圆的最值问题

一．选择题（共7小题） 1．（2014春?兴化市月考）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，0），点B为y轴正半轴上的一点，点C为第一象限内一点，且AC=2，设tan∠BOC=m，则m的取值范围是（ ） A．m≥0 B．

C．

D．

2．（2013?武汉模拟）如图∠BAC=60°，半径长1的⊙O与∠BAC的两边相切，P为⊙O上一动点，以P为圆心，PA长为半径的⊙P交射线AB、AC于D、E两点，连接DE，则线段DE长度的最大值为（ ） A．3

B．6

C．

D．

3．（2014?武汉模拟）如图，P为⊙O内的一个定点，A为⊙O上的一个动点，射线AP、AO分别与⊙O交于B、C两点．若⊙O的半径长为3，OP=，则弦BC的最大值为（ ）

A．2 B．3 C． D．3 4．（2015?黄陂区校级模拟）如图，扇形AOD中，∠AOD=90°，OA=6，点P为弧AD上任意一点（不与点A和D重合），PQ⊥OD于Q，点I为△OPQ的内心，过O，I和D三点的圆的半径为r．则当点P 在弧AD上运动时，r的值满足（ ）

A．0＜r＜3 B．r=3 C．3＜r＜3 D．r=3 5．（2010?苏州）如图，已知A、B两点的坐标分别为（2，0）、（0，2），⊙C的圆心坐标为（﹣1，0），半径为1．若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值是（ ） A．2

B．1

C．

D．

6．（2013?市中区模拟）如图，已知A、B两点的坐标分别为（8，0）、（0，﹣6），⊙C的圆心坐标为（0，7），半径为5．若P是⊙C上的一个动点，线段PB与x轴交于点D，则△ABD面积的最大值是（ ） A．63

B．31 C．32

D．30

7．（2013?枣庄）如图，已知线段OA交⊙O于点B，且OB=AB，点P是⊙O上的一个动点，那么∠OAP的最大值是（ ） A．90° B．60° C．45° D．30°

第1页（共29页）

二．填空题（共12小题） 8．（2013?武汉）如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是 ．

9．（2015?黄陂区校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D是平面内的一个动点，且AD=2，M为BD的中点，在D点运动过程中，线段CM长度的取值范围是 ． 10．（2012?宁波）如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=2，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为 ． 11．（2015?峨眉山市一模）如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA=10，OA与⊙O相交于点P，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C．若⊙O上存在点Q，使△QAC是以AC为底边的等腰三角形，则半径r的取值范围是： ． 12．（2013?长春模拟）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB分别相交于点P、Q，则PQ长的最小值为 ．

13．（2013?陕西）如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB=30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点．若⊙O的半径为7，则GE+FH的最大值为 ． 14．（2013?咸宁）如图，在Rt△AOB中，OA=OB=3，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则切线PQ的最小值为 ． 15．（2013?内江）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（13，0），直线y=kx﹣3k+4与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为 ． 16．（2011?苏州校级一模）如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2为半径画⊙O，P是⊙O是一动点且P在第一象限内，过P作⊙O切线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．则线段AB的最小值是 ． 17．（2015秋?江阴市校级期中）如图，⊙O与正方形ABCD的两边AB、AD相切，且DE与⊙O相切于E点．若正方形ABCD的周长为28，且DE=4，则sin∠ODE= ．

第2页（共29页）

18．（2014春?兴化市校级月考）如图所示，已知A（1，y1），B（2，y2）为反比例函数y=图象上的两点，动点P（x，0）在x轴正半轴上运动，当线段AP与线段BP之差达到最大时，点P的坐标是 ．

19．（2015?泰兴市二模）如图，定长弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动（点C、D与点A、B不重合），M是CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P，若CD=3，AB=8，PM=l，则l的最大值是 ． 三．解答题（共5小题） 20．（2013?武汉模拟）如图，在边长为1的等边△OAB中，以边AB为直径作⊙D，以O为圆心OA长为半径作圆O，C为半圆AB上不与A、B重合的一动点，射线AC交⊙O于点E，BC=a，AC=b． （1）求证：AE=b+a； （2）求a+b的最大值；

22

（3）若m是关于x的方程：x+ax=b+ab的一个根，求m的取值范围． 21．（2014春?泰兴市校级期中）如图，E、F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，满足AE=DF．连接CF交BD于G，连接BE交AG于H．已知正方形ABCD的边长为4cm，解决下列问题： （1）求证：BE⊥AG；

（2）求线段DH的长度的最小值．

22．已知：如图，AB是⊙O的直径，在AB的两侧有定点C和动点P，AB=5，AC=3．点P在与A，B重合），CP交AB于点D，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q． （1）求∠P的正切值；

（2）当CP⊥AB时，求CD和CQ的长；

（3）当点P运动到什么位置时，CQ取到最大值？求此时CQ的长．

第3页（共29页）

上运动（点P不

23．（2013?日照）问题背景： 如图（a），点A、B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C，使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于l的对称点B′，连接AB′与直线l交于点C，则点C即为所求．

（1）实践运用： 如图（b），已知，⊙O的直径CD为4，点A在⊙O上，∠ACD=30°，B为弧AD的中点，P为直径CD上一动点，则BP+AP的最小值为 ． （2）知识拓展： 如图（c），在Rt△ABC中，AB=10，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，E、F分别是线段AD和AB上的动点，求BE+EF的最小值，并写出解答过程． 24．（2012?苏州）如图，已知半径为2的⊙O与直线l相切于点A，点P是直径AB左侧半圆上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为C，PC与⊙O交于点D，连接PA、PB，设PC的长为x（2＜x＜4）． （1）当x=时，求弦PA、PB的长度；

（2）当x为何值时，PD?CD的值最大？最大值是多少？

25、如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，点E在AB边上运动（点E不与点A重合），过A、D、E三点作⊙O，⊙O交AC于另一点F，在此运动变化的过程中，线段EF长度的最小值为 ．

A

E FD OEO

ACB 26、如图，线段AB=4，C为线段AB上的一个动点，以AC、BC为边作等边△ACD和等边△BCE，⊙O外接于△CDE，

BDC则⊙O半径的最小值为( ). A.4 B.

27、 如图，已知直角△AOB中，直角顶点O在半径为1的圆心上，斜边与圆相切，延长AO，BO分别与圆交于C，D．试求四边形ABCD面积的最小值．

2332 C. D. 2 32第4页（共29页）

初中数学组卷圆的最值问题

参考答案与试题解析

一．选择题（共7小题） 1．（2014春?兴化市月考）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，0），点B为y轴正半轴上的一点，点C为第一象限内一点，且AC=2，设tan∠BOC=m，则m的取值范围是（ ） A．m≥0 B．

C．

D．

【考点】直线与圆的位置关系；坐标与图形性质；锐角三角函数的定义．

【分析】C在以A为圆心，以2为半径的圆周上，只有当OC与圆A相切（即到C点）时，∠BOC最小，根据勾股定理求出此时的OC，求出∠BOC=∠CAO，根据解直角三角形求出此时的值，根据tan∠BOC的增减性，即可求出答案．

【解答】解：C在以A为圆心，以2为半径作圆周上，只有当OC与圆A相切（即到C点）时，∠BOC最小，

AC=2，OA=3，由勾股定理得：OC=， ∵∠BOA=∠ACO=90°，

∴∠BOC+∠AOC=90°，∠CAO+∠AOC=90°， ∴∠BOC=∠OAC， tan∠BOC=tan∠OAC=

=

，

随着C的移动，∠BOC越来越大， ∵C在第一象限， ∴C不到x轴点， 即∠BOC＜90°， ∴tan∠BOC≥

，

故选B．

【点评】本题考查了解直角三角形，勾股定理，切线的性质等知识点的应用，能确定∠BOC的变化范围是解此题的关键，题型比较好，但是有一定的难度． 2．（2013?武汉模拟）如图∠BAC=60°，半径长1的⊙O与∠BAC的两边相切，P为⊙O上一动点，以P为圆心，PA长为半径的⊙P交射线AB、AC于D、E两点，连接DE，则线段DE长度的最大值为（ ）

第5页（共29页）

A．3

B．6

C．

D．

【考点】切线的性质． 【专题】计算题．

【分析】连接AO并延长，与圆O交于P点，当AF垂直于ED时，线段DE长最大，设圆O与AB相切于点M，连接OM，PD，由对称性得到AF为角平分线，得到∠FAD为30度，根据切线的性质得到OM垂直于AD，在直角三角形AOM中，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半求出AO的长，由AO+OP求出AP的长，即为圆P的半径，由三角形AED为等边三角形，得到DP为角平分线，在直角三角形PFD中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半求出PF的长，再利用勾股定理求出FD的长，由DE=2FD求出DE的长，即为DE的最大值． 【解答】解：连接AO并延长，与ED交于F点，与圆O交于P点，此时线段ED最大， 连接OM，PD，可得F为ED的中点， ∵∠BAC=60°，AE=AD， ∴△AED为等边三角形，

∴AF为角平分线，即∠FAD=30°，

在Rt△AOM中，OM=1，∠OAM=30°， ∴OA=2，

∴PD=PA=AO+OP=3，

在Rt△PDF中，∠FDP=30°，PD=3， ∴PF=，

根据勾股定理得：FD=则DE=2FD=3故选D

．

=

，

第6页（共29页）

【点评】此题考查了切线的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，含30度直角三角形的性质，熟练掌握切线的性质是解本题的关键． 3．（2014?武汉模拟）如图，P为⊙O内的一个定点，A为⊙O上的一个动点，射线AP、AO分别与⊙O交于B、C两点．若⊙O的半径长为3，OP=，则弦BC的最大值为（ ）

A．2 B．3 C． D．3

【考点】垂径定理；三角形中位线定理．

【分析】当OP⊥AB时，弦BC最长，根据三角形相似可以确定答案． 【解答】解：当OP⊥AC时，弦BC最长， 又∵AC是直径，

∴∠CBA=90°，所以△APO∽△ABC，

∴，

又∵OP=， ∴BC=2． 故答案选A．

0

【点评】本题考查了直径所对的圆周角是90这一性质的应用，以及如何取线段最值问题的做法，用好三角形相似是解答本题的关键． 4．（2015?黄陂区校级模拟）如图，扇形AOD中，∠AOD=90°，OA=6，点P为弧AD上任意一点（不与点A和D重合），PQ⊥OD于Q，点I为△OPQ的内心，过O，I和D三点的圆的半径为r．则当点P 在弧AD上运动时，r的值满足（ ）

A．0＜r＜3 B．r=3 C．3＜r＜3 【考点】三角形的内切圆与内心．

D．r=3

第7页（共29页）

【分析】连OI，PI，DI，由△OPH的内心为I，可得到∠PIO=180°﹣∠IPO﹣∠IOP=180°﹣（∠HOP+∠OPH）=135°，并且易证△OPI≌△ODI，得到∠DIO=∠PIO=135°，所以点I在以OD为弦，并且所对的圆周角为135°的一段劣弧上；过D、I、O三点作⊙O′，如图，连O′D，O′O，在优弧AO取点P′，连P′D，P′O，可得∠DP′O=180°﹣135°=45°，得∠DO′O=90°，O′O=3．

【解答】解：如图，连OI，PI，DI， ∵△OPH的内心为I，

∴∠IOP=∠IOD，∠IPO=∠IPH，

∴∠PIO=180°﹣∠IPO﹣∠IOP=180°﹣（∠HOP+∠OPH）， 而PH⊥OD，即∠PHO=90°，

∴∠PIO=180°﹣（∠HOP+∠OPH）=180°﹣（180°﹣90°）=135°， 在△OPI和△ODI中，

，

∴△OPI≌△ODI（SAS）， ∴∠DIO=∠PIO=135°，

所以点I在以OD为弦，并且所对的圆周角为135°的一段劣弧上； 过D、I、O三点作⊙O′，如图，连O′D，O′O， 在优弧DO取点P′，连P′D，P′O， ∵∠DIO=135°，

∴∠DP′O=180°﹣135°=45°， ∴∠DO′O=90°，而OD=6， ∴OO′=DO′=3， ∴r的值为3． 故选：D．

【点评】本题考查的是三角形的内切圆与内心，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键． 5．（2010?苏州）如图，已知A、B两点的坐标分别为（2，0）、（0，2），⊙C的圆心坐标为（﹣1，0），半径为1．若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值是（ ）

第8页（共29页）

A．2

B．1

C．

D．

【考点】切线的性质；坐标与图形性质；三角形的面积；相似三角形的判定与性质． 【专题】压轴题；动点型． 【分析】由于OA的长为定值，若△ABE的面积最小，则BE的长最短，此时AD与⊙O相切；可连接CD，在Rt△ADC中，由勾股定理求得AD的长，即可得到△ADC的面积；易证得△AEO∽△ACD，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出△AOE的面积，进而可得出△AOB和△AOE的面积差，由此得解． 【解答】解：若△ABE的面积最小，则AD与⊙C相切，连接CD，则CD⊥AD； Rt△ACD中，CD=1，AC=OC+OA=3； 由勾股定理，得：AD=2； ∴S△ACD=AD?CD=

；

易证得△AOE∽△ADC， ∴

=（

）=（

2

）=，

2

即S△AOE=S△ADC=

；

=2﹣

；

∴S△ABE=S△AOB﹣S△AOE=×2×2﹣

另解：利用相似三角形的对应边的比相等更简单！ 故选：C．

【点评】此题主要考查了切线的性质、相似三角形的性质、三角形面积的求法等知识；能够正确的判断出△BE面积最小时AD与⊙C的位置关系是解答此题的关键． 6．（2013?市中区模拟）如图，已知A、B两点的坐标分别为（8，0）、（0，﹣6），⊙C的圆心坐标为（0，7），半径为5．若P是⊙C上的一个动点，线段PB与x轴交于点D，则△ABD面积的最大值是（ ）

第9页（共29页）

A．63

B．31 C．32

D．30

【考点】一次函数综合题．

【分析】当直线BP与圆相切时，△ABD的面积最大，易证△OBD∽△PBC，根据相似三角形的对应边的比相等即可求得OD的长，则AD的长度可以求得，最后利用三角形的面积公式即可求解． 【解答】解：当直线BP与圆相切时，△ABD的面积最大． 连接PC，则∠CPB=90°， 在直角△BCP中，BP=∵∠CPB=90°．

∴∠DOB=∠CPB=90° 又∵∠DBP=∠CBP， ∴△OBD∽△PBC， ∴

=

=

=，

=

=12．

∴OD=PC=． ∴AD=OD+OA=+8=∴S△ABD=AD?OB=×故选B．

，

×6=31．

【点评】本题考查了切线的性质，以及相似三角形的判定与性质，理解△ADB的面积最大的条件是关键．

第10页（共29页）

7．（2013?枣庄）如图，已知线段OA交⊙O于点B，且OB=AB，点P是⊙O上的一个动点，那么∠OAP的最大值是（ ）

A．90° B．60° C．45° D．30°

【考点】切线的性质；含30度角的直角三角形．

【分析】当AP与⊙O相切时，∠OAP有最大值，连结OP，根据切线的性质得OP⊥AP，由OB=AB得OA=2OP，然后根据含30度的直角三角形三边的关系即可得到此时∠OAP的度数． 【解答】解：当AP与⊙O相切时，∠OAP有最大值，连结OP，如图， 则OP⊥AP， ∵OB=AB， ∴OA=2OP， ∴∠PAO=30°． 故选D．

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．

二．填空题（共12小题） 8．（2013?武汉）如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是 ﹣1 ．

【考点】正方形的性质． 【专题】压轴题．

【分析】根据正方形的性质可得AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，然后利用“边角边”证明△ABE和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1=∠2，利用“SAS”证明△ADG和△CDG全等，根据全等三角形对应角相等可得∠2=∠3，从而得到∠1=∠3，然后求出∠AHB=90°，取AB的中点O，连接OH、OD，根据直角三

角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OH=AB=1，利用勾股定理列式求出OD，然后根据三角形的三边关系可知当O、D、H三点共线时，DH的长度最小．

【解答】解：在正方形ABCD中，AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG， 在△ABE和△DCF中，

第11页（共29页）

，

∴△ABE≌△DCF（SAS）， ∴∠1=∠2，

在△ADG和△CDG中，

，

∴△ADG≌△CDG（SAS）， ∴∠2=∠3， ∴∠1=∠3，

∵∠BAH+∠3=∠BAD=90°， ∴∠1+∠BAH=90°，

∴∠AHB=180°﹣90°=90°，

取AB的中点O，连接OH、OD， 则OH=AO=AB=1， 在Rt△AOD中，OD=

=

=

，

根据三角形的三边关系，OH+DH＞OD，

∴当O、D、H三点共线时，DH的长度最小， 最小值=OD﹣OH=﹣1．

（解法二：可以理解为点H是在Rt△AHB，AB直径的半圆故答案为：

﹣1．

上运动当O、H、D三点共线时，DH长度最小）

【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的三边关系，确定出DH最小时点H的位置是解题关键，也是本题的难点． 9．（2015?黄陂区校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D是平面内的一个动点，且AD=2，M为BD的中点，在D点运动过程中，线段CM长度的取值范围是 ＜CM＜ ．

第12页（共29页）

【考点】轨迹．

【分析】作AB的中点E，连接EM、CE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的中位线定理求得CE和EM的长，然后在△CEM中根据三边关系即可求解． 【解答】解：作AB的中点E，连接EM、CE．

在直角△ABC中，AB===5，

∵E是直角△ABC斜边AB上的中点， ∴CE=AB=．

∵M是BD的中点，E是AB的中点， ∴ME=AD=1．

∴在△CEM中，﹣1＜CM＜+1，即＜CM＜． 故答案是：＜CM

．

【点评】本题考查了轨迹，要结合勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答． 10．（2012?宁波）如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=2，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为 ．

【考点】垂径定理；圆周角定理；解直角三角形． 【专题】压轴题．

第13页（共29页）

【分析】由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，此时线段

EF=2EH=20E?sin∠EOH=20E?sin60°，因此当半径OE最短时，EF最短，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，在Rt△ADB中，解直角三角形求直径AD，由圆周角定理可知∠EOH=∠EOF=∠BAC=60°，在Rt△EOH中，解直角三角形求EH，由垂径定理可知EF=2EH．

【解答】解：由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短， 如图，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H， ∵在Rt△ADB中，∠ABC=45°，AB=2， ∴AD=BD=2，即此时圆的直径为2，

由圆周角定理可知∠EOH=∠EOF=∠BAC=60°， ∴在Rt△EOH中，EH=OE?sin∠EOH=1×由垂径定理可知EF=2EH=故答案为：．

．

=

，

【点评】本题考查了垂径定理，圆周角定理，解直角三角形的综合运用．关键是根据运动变化，找出满足条件的最小圆，再解直角三角形． 11．（2015?峨眉山市一模）如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA=10，OA与⊙O相交于点P，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C．若⊙O上存在点Q，使△QAC是以AC为底边的等腰三角形，则半径r的取值范围是： 2≤r＜10 ．

【考点】直线与圆的位置关系． 【分析】首先证明AB=AC，再根据已知得出Q在AC的垂直平分线上，作出线段AC的垂直平分线MN，作OE⊥MN，求出OE＜r，求出r范围即可． 【解答】解：连接OB．如图1， ∵AB切⊙O于B，OA⊥AC， ∴∠OBA=∠OAC=90°，

∴∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠APC=90°， ∵OP=OB，

∴∠OBP=∠OPB，

第14页（共29页）

∵∠OPB=∠APC， ∴∠ACP=∠ABC， ∴AB=AC，

作出线段AC的垂直平分线MN，作OE⊥MN，如图2， ∴OE=AC=AB=

又∵圆O与直线MN有交点， ∴OE=∴

2

，

≤r， ≤2r，

2

即：100﹣r≤4r， 2

∴r≥20， ∴r≥2．

∵OA=10，直线l与⊙O相离， ∴r＜10，

∴2≤r＜10．

故答案为：2≤r＜10．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，切线的性质，勾股定理，直线与圆的位置关系等知识点的应用，主要培养学生运用性质进行推理和计算的能力．本题综合性比较强，有一定的难度． 12．（2013?长春模拟）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB分别相交于点P、Q，则PQ长的最小值为

．

第15页（共29页）

【考点】切线的性质；垂线段最短；勾股定理．

【分析】过C作CD⊥AB于D，在△ABC中，由勾股定理求出AB=13，由三角形面积公式求出CD=过C点的圆的直径时，此时圆的直径最短，是

，求出PQ为圆的直径即可．

，当CD为

【解答】解：过C作CD⊥AB于D，

在△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，由勾股定理得：AB=13， 由三角形面积公式得：S=AC×BC=AB×CD， CD=

，

，

当CD为过C点的圆的直径时，此时圆的直径最短，是∵∠BCA=90°， ∴PQ为圆的直径， 即此时PQ的长是故答案为：

．

，

【点评】本题考查了勾股定理，三角形面积，圆周角定理，垂线段最短等知识点的应用，关键是求出圆的直径． 13．（2013?陕西）如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB=30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点．若⊙O的半径为7，则GE+FH的最大值为 10.5 ．

【考点】圆周角定理；三角形中位线定理． 【专题】压轴题．

【分析】由点E、F分别是AC、BC的中点，根据三角形中位线定理得出EF=AB=3.5为定值，则GE+FH=GH﹣EF=GH﹣3.5，所以当GH取最大值时，GE+FH有最大值．而直径是圆中最长的弦，故当GH为⊙O的直径时，GE+FH有最大值14﹣3.5=10.5．

第16页（共29页）

【解答】解：当GH为⊙O的直径时，GE+FH有最大值． 当GH为直径时，E点与O点重合， ∴AC也是直径，AC=14． ∵∠ABC是直径上的圆周角， ∴∠ABC=90°， ∵∠C=30°， ∴AB=AC=7．

∵点E、F分别为AC、BC的中点， ∴EF=AB=3.5，

∴GE+FH=GH﹣EF=14﹣3.5=10.5． 故答案为：10.5．

【点评】本题结合动点考查了圆周角定理，三角形中位线定理，有一定难度．确定GH的位置是解题的关键． 14．（2013?咸宁）如图，在Rt△AOB中，OA=OB=3，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则切线PQ的最小值为 2 ．

【考点】切线的性质；等腰直角三角形． 【专题】压轴题．

222

【分析】首先连接OP、OQ，根据勾股定理知PQ=OP﹣OQ，可得当OP⊥AB时，即线段PQ最短，然后由勾股定理即可求得答案．

【解答】解：连接OP、OQ． ∵PQ是⊙O的切线， ∴OQ⊥PQ；

222

根据勾股定理知PQ=OP﹣OQ， ∴当PO⊥AB时，线段PQ最短， ∵在Rt△AOB中，OA=OB=3， ∴AB=OA=6，

∴OP=∴PQ=故答案为：2

=3，

=．

=2

．

第17页（共29页）

【点评】本题考查了切线的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意得到当PO⊥AB时，线段PQ最短是关键． 15．（2013?内江）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（13，0），直线y=kx﹣3k+4与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为 24 ．

【考点】一次函数综合题． 【专题】压轴题．

【分析】根据直线y=kx﹣3k+4必过点D（3，4），求出最短的弦CB是过点D且与该圆直径垂直的弦，再求出OD的长，再根据以原点O为圆心的圆过点A（13，0），求出OB的长，再利用勾股定理求出BD，即可得出答案． 【解答】解：∵直线y=kx﹣3k+4=k（x﹣3）+4， ∴k（x﹣3）=y﹣4， ∵k有无数个值，

∴x﹣3=0，y﹣4=0，解得x=3，y=4， ∴直线必过点D（3，4），

∴最短的弦CB是过点D且与该圆直径垂直的弦， ∵点D的坐标是（3，4）， ∴OD=5，

∵以原点O为圆心的圆过点A（13，0）， ∴圆的半径为13， ∴OB=13， ∴BD=12，

∴BC的长的最小值为24； 故答案为：24．

第18页（共29页）

【点评】此题考查了一次函数的综合，用到的知识点是垂径定理、勾股定理、圆的有关性质，关键是求出BC最短时的位置． 16．（2011?苏州校级一模）如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2为半径画⊙O，P是⊙O是一动点且P在第一象限内，过P作⊙O切线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．则线段AB的最小值是 4． ．

【考点】切线的性质；坐标与图形性质．

【分析】如图，设AB的中点为C，连接OP，由于AB是圆的切线，故△OPC是直角三角形，有OP＜OC，所以当OC与OP重合时，OC最短； 【解答】解：（1）线段AB长度的最小值为4， 理由如下： 连接OP，

∵AB切⊙O于P， ∴OP⊥AB，

取AB的中点C， ∴AB=2OC；

当OC=OP时，OC最短， 即AB最短， 此时AB=4． 故答案为：4．

【点评】本题利用了切线的性质，等腰直角三角形的性质求解，属于基础性题目．

第19页（共29页）

17．（2015秋?江阴市校级期中）如图，⊙O与正方形ABCD的两边AB、AD相切，且DE与⊙O相切于E点．若正方形ABCD的周长为28，且DE=4，则sin∠ODE=

．

【考点】切线的性质；正方形的性质．

【分析】先证得四边形ANOM是正方形，求出AM长，根据勾股定理求得OD的长，根据解直角三角形求出即可． 【解答】解：设切线AD的切点为M，切线AB的切点为N，连接OM、ON、OE， ∵四边形ABCD是正方形，正方形ABCD的周长为28， ∴AD=AB=7，∠A=90°，

∵圆O与正方形ABCD的两边AB、AD相切， ∴∠OMA=∠ONA=90°=∠A， ∵OM=ON，

∴四边形ANOM是正方形， ∵AD和DE与圆O相切， ∴OE⊥DE，DM=DE=4， ∴AM=7﹣4=3， ∴OM=ON=OE=3，

在RT△ODM中，OD=∵OE=OM=5， ∴sin∠ODE=故答案为．

=．

=5，

【点评】本题考查了正方形的性质和判定，切线的性质，切线长定理等知识点的应用，关键是求出AM长和得出DE=DM．

18．（2014春?兴化市校级月考）如图所示，已知A（1，y1），B（2，y2）为反比例函数y=图象上的两点，动点P（x，0）在x轴正半轴上运动，当线段AP与线段BP之差达到最大时，点P的坐标是 （3，0） ．

第20页（共29页）

【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；待定系数法求一次函数解析式；三角形三边关系． 【专题】计算题．

【分析】先根据反比例函数图象上点的坐标特征确定A点坐标为（1，1），B点坐标为（2，），再利用待定系数法确定直线AB的解析式为y=﹣x+，然后根据三角形三边的关系得到|PA﹣PB|≤AB，当点P为直线AB与x轴的交点时，取等号，则线段AP与线段BP之差达到最大，然后确定直线y=﹣x+与x轴的交点坐标即可． 【解答】解：把A（1，y1），B（2，y2）代入y=得y1=1，y2=，则A点坐标为（1，1），B点坐标为（2，）， 设直线AB的解析式为y=kx+b，

把A（1，1），B（2，）代入得，解得，

所以直线AB的解析式为y=﹣x+，

因为|PA﹣PB|≤AB，

所以当点P为直线AB与x轴的交点时，线段AP与线段BP之差达到最大， 把y=0代入y=﹣x+得﹣x+=0，解得x=3， 所以P点坐标为（3，0）． 故答案为（3，0）．

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k． 19．（2015?泰兴市二模）如图，定长弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动（点C、D与点A、B不重合），M是CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P，若CD=3，AB=8，PM=l，则l的最大值是 4 ．

【考点】垂径定理；三角形中位线定理．

【分析】当CD∥AB时，PM长最大，连接OM，OC，得出矩形CPOM，推出PM=OC，求出OC长即可． 【解答】解：法①：如图：当CD∥AB时，PM长最大，连接OM，OC，

第21页（共29页）

∵CD∥AB，CP⊥CD， ∴CP⊥AB，

∵M为CD中点，OM过O， ∴OM⊥CD，

∴∠OMC=∠PCD=∠CPO=90°， ∴四边形CPOM是矩形， ∴PM=OC，

∵⊙O直径AB=8， ∴半径OC=4， 即PM=4， 故答案为：4．

法②：连接CO，MO，根据∠CPO=∠CM0=90°，所以C，M，O，P，四点共圆，且CO为直径．连接PM，则PM为⊙E的一条弦，当PM为直径时PM最大，所以PM=CO=4时PM最大．即PMmax=4

【点评】本题考查了矩形的判定和性质，垂径定理，平行线的性质的应用，关键是找出符合条件的CD的位置，题目比较好，但是有一定的难度．

三．解答题（共5小题） 20．（2013?武汉模拟）如图，在边长为1的等边△OAB中，以边AB为直径作⊙D，以O为圆心OA长为半径作圆O，C为半圆AB上不与A、B重合的一动点，射线AC交⊙O于点E，BC=a，AC=b． （1）求证：AE=b+a； （2）求a+b的最大值；

22

（3）若m是关于x的方程：x+ax=b+ab的一个根，求m的取值范围．

【考点】圆的综合题． 【分析】（1）首先连接BE，由△OAB为等边三角形，可得∠AOB=60°，又由圆周角定理，可求得∠E的度数，又由AB为⊙D的直径，可求得CE的长，继而求得AE=b+a；

（2）首先过点C作CH⊥AB于H，在Rt△ABC中，BC=a，AC=b，AB=1，可得（a+b） 222

=a+b+2ab=1+2ab=1+2CH?AB=1+2CH≤1+2AD=1+AB=2，即可求得答案；

22

（3）由x+ax=b+ab，可得（x﹣b）（x+b+a）=0，则可求得x的值，继而可求得m的取值范围． 【解答】解：（1）连接BE，

第22页（共29页）

∵△OAB为等边三角形， ∴∠AOB=60°， ∴∠AEB=30°， ∵AB为直径，

∴∠ACB=∠BCE=90°， ∵BC=a，

∴BE=2a，CE=a， ∵AC=b，

∴AE=b+a；

（2）过点C作CH⊥AB于H，在Rt△ABC中，BC=a，AC=b，AB=1， ∴a+b=1，

∵S△ABC=AC?BC=AB?CH，

∴AC?BC=AB?CH，

222

∴（a+b） =a+b+2ab=1+2ab=1+2CH?AB=1+2CH≤1+2AD=1+AB=2， ∴a+b≤，

故a+b的最大值为，

（3）∵x+ax=b+ab， 22

∴x﹣b+ax﹣ab=0， ∴（x+b）（x﹣b）+a（x﹣b）=0， ∴（x﹣b）（x+b+a）=0， ∴x=b或x=﹣（b+a），

当m=b时，m=b=AC＜AB=1， ∴0＜m＜1，

当m=﹣（b+a）时，由（1）知AE=﹣m， 又∵AB＜AE≤2AO=2， ∴1＜﹣m≤2， ∴﹣2≤m＜﹣1，

∴m的取值范围为0＜m＜1或﹣2≤m＜﹣1．

2

2

2

2

【点评】此题考查了圆周角定理、等边三角形的性质、完全平方公式的应用以及一元二次方程的解法．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用． 21．（2014春?泰兴市校级期中）如图，E、F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，满足AE=DF．连接CF交BD于G，连接BE交AG于H．已知正方形ABCD的边长为4cm，解决下列问题：

第23页（共29页）

（1）求证：BE⊥AG；

（2）求线段DH的长度的最小值．

【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质． 【分析】（1）根据正方形的性质可得AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，然后利用“边角边”证明△ABE和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1=∠2，利用“边角边”证明△ADG和△CDG全等，根据全等三角形对应角相等可得∠2=∠3，从而得到∠1=∠3，然后求出∠AHB=90°，再根据垂直的定义证明即可；

（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，取AB的中点O，连接OH、OD，然后求出OH=AB=1，利用勾股定理列式求出OD，然后根据三角形的三边关系可知当O、D、H三点共线时，DH的长度最小． 【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG， 在△ABE和△DCF中，

，

∴△ABE≌△DCF（SAS）， ∴∠1=∠2，

在△ADG和△CDG中，

，

∴△ADG≌△CDG（SAS）， ∴∠2=∠3， ∴∠1=∠3，

∵∠BAH+∠3=∠BAD=90°， ∴∠1+∠BAH=90°，

∴∠AHB=180°﹣90°=90°， ∴BE⊥AG；

（2）解：如图，取AB的中点O，连接OH、OD， 则OH=AO=AB=2， 在Rt△AOD中，OD=

=

=2

，

根据三角形的三边关系，OH+DH＞OD，

∴当O、D、H三点共线时，DH的长度最小， DH的最小值=OD﹣OH=2﹣2．

第24页（共29页）

【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的三边关系，确定出DH最小时点H的位置是解题关键，也是本题的难点．

22．已知：如图，AB是⊙O的直径，在AB的两侧有定点C和动点P，AB=5，AC=3．点P在与A，B重合），CP交AB于点D，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q． （1）求∠P的正切值；

（2）当CP⊥AB时，求CD和CQ的长；

（3）当点P运动到什么位置时，CQ取到最大值？求此时CQ的长．

上运动（点P不

【考点】圆的综合题． 【分析】（1）先根据圆周角定理得出∠ACB=90°，由勾股定理求出BC的长，再根据圆周角定理得出∠A=∠P，由锐角三角函数的定义即可得出结论；

（2）三角形的面积公式求出∠A的正切值，故可得出CD的长，再由垂径定理求出PC的长，由（1）中∠P的正切值即可得出CQ的长；

（3）由相似三角形的性质可得出△ABC∽△PQC，故可得出的直径时CQ取得最大值，再把AB的长代入进行计算即可． 【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∵AB=5，AC=3， ∴BC=∴tan∠A=

=，

=

=4，

=，故可得出CQ==PC，故当PC是⊙O

∵∠A与∠P是同弧所对的圆周角， ∴tan∠P=tan∠A=；

（2）∵Rt△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，CD⊥AB， ∴CD=

=

=

，

∵AB⊥CD，

第25页（共29页）

∴PC=2CD=2×=， ×=

；

∴CQ=PC?tan∠P=

（3）∵PC⊥CQ， ∴∠PCQ=90°，

∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°，

∴∠PCQ=∠ACB=90°， ∵∠A=∠P，

∴△ABC∽△PQC， ∴

=

，

=PC，

∴CQ=

∴当PC是⊙O的直径时CQ最长， ∴CQ最长=×5=

．

【点评】本题考查的是圆的综合题，涉及到相似三角形的判定与性质、锐角三角函数的定义及圆周角定理等知识，难度适中． 23．（2013?日照）问题背景： 如图（a），点A、B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C，使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于l的对称点B′，连接AB′与直线l交于点C，则点C即为所求．

（1）实践运用： 如图（b），已知，⊙O的直径CD为4，点A在⊙O上，∠ACD=30°，B为弧AD的中点，P为直径CD上一动点，则BP+AP的最小值为 2 ． （2）知识拓展： 如图（c），在Rt△ABC中，AB=10，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，E、F分别是线段AD和AB上的动点，求BE+EF的最小值，并写出解答过程． 【考点】轴对称-最短路线问题． 【分析】（1）找点A或点B关于CD的对称点，再连接其中一点的对称点和另一点，和CD的交点P就是所求作的位置．根据题意先求出∠C′AE，再根据勾股定理求出AE，即可得出PA+PB的最小值；

（2）首先在斜边AC上截取AB′=AB，连结BB′，再过点B′作B′F⊥AB，垂足为F，交AD于E，连结BE，则线段B′F的长即为所求． 【解答】解：（1）作点B关于CD的对称点E，连接AE交CD于点P， 此时PA+PB最小，且等于AE．

第26页（共29页）

作直径AC′，连接C′E． 根据垂径定理得

=

．

∵∠ACD=30°，

∴∠AOD=60°，∠DOE=30°， ∴∠AOE=90°， ∴∠C′AE=45°，

又AC′为圆的直径，∴∠AEC′=90°， ∴∠C′=∠C′AE=45°， ∴C′E=AE=

AC′=2

，

即AP+BP的最小值是2． 故答案为：2；

（2）如图，在斜边AC上截取AB′=AB，连结BB′． ∵AD平分∠BAC， ∴∠B′AM=∠BAM， 在△B′AM和△BAM中

，

∴△B′AM≌△BAM（SAS），

∴BM=B′M，∠BMA=∠B′MA=90°， ∴点B与点B′关于直线AD对称．

过点B′作B′F⊥AB，垂足为F，交AD于E，连结BE， 则线段B′F的长即为所求．（点到直线的距离最短） 在Rt△AFB′中，∵∠BAC=45°，AB′=AB=10， ∴B′F=AB′?sin45°=AB?sin45°=10×∴BE+EF的最小值为

．

=5

，

第27页（共29页）

【点评】此题主要考查了利用轴对称求最短路径问题以及锐角三角函数关系等知识，根据已知得出对应点P位置是解题关键． 24．（2012?苏州）如图，已知半径为2的⊙O与直线l相切于点A，点P是直径AB左侧半圆上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为C，PC与⊙O交于点D，连接PA、PB，设PC的长为x（2＜x＜4）． （1）当x=时，求弦PA、PB的长度；

（2）当x为何值时，PD?CD的值最大？最大值是多少？

【考点】切线的性质；二次函数的最值；勾股定理；垂径定理；相似三角形的判定与性质． 【专题】计算题． 【分析】（1）由直线l与圆相切于点A，且AB为圆的直径，根据切线的性质得到AB垂直于直线l，又PC垂直于直线l，根据垂直于同一条直线的两直线平行，得到AB与PC平行，根据两直线平行内错角相等得到一对内错角相等，再由一对直角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出△PCA与△PAB相似，由相似得比例，将PC及直径AB的长代入求出PA的长，在直角三角形PAB中，由AB及PA的长，利用勾股定理即可求出PB的长； （2）过O作OE垂直于PD，与PD交于点E，由垂径定理得到E为PD的中点，再由三个角为直角的四边形为矩形得到OACE为矩形，根据矩形的对边相等，可得出EC=OA=2，用PC﹣EC的长表示出PE，根据PD=2PE表示出PD，再由PC﹣PD表示出CD，代入所求的式子中，整理后得到关于x的二次函数，配方后根据自变量x的范围，利用二次函数的性质即可求出所求式子的最大值及此时x的取值． 【解答】解：（1）∵⊙O与直线l相切于点A，且AB为⊙O的直径， ∴AB⊥l，又∵PC⊥l， ∴AB∥PC，

∴∠CPA=∠PAB， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠APB=90°，又PC⊥l， ∴∠PCA=∠APB=90°， ∴△PCA∽△APB，

∴=，即PA=PC?AB，

2

∵PC=，AB=4， ∴PA=

=

，

， =

；

∴Rt△APB中，AB=4，PA=由勾股定理得：PB=

第28页（共29页）

（2）过O作OE⊥PD，垂足为E， ∵PD是⊙O的弦，OE⊥PD， ∴PE=ED，

又∵∠CEO=∠ECA=∠OAC=90°， ∴四边形OACE为矩形， ∴CE=OA=2，又PC=x， ∴PE=ED=PC﹣CE=x﹣2， ∴PD=2（x﹣2），

∴CD=PC﹣PD=x﹣2（x﹣2）=x﹣2x+4=4﹣x，

22

∴PD?CD=2（x﹣2）?（4﹣x）=﹣2x+12x﹣16=﹣2（x﹣3）+2， ∵2＜x＜4，

∴当x=3时，PD?CD的值最大，最大值是2．

【点评】此题考查了切线的性质，平行线的性质，矩形的判定与性质，垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，以及二次函数的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．

第29页（共29页）

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ptew.html