瑕积分敛散性的判别方法和应用

摘 要

本文给出瑕积分收敛性的判断方法，并将其运用到瑕积分的解题之中．判断瑕积分收敛的方法主要有定义法、比较法和柯西判别法、狄利克雷判别法和阿贝尔判别法，被积函数的原函数已知或易求的用定义法；满足狄利克雷判别法条件的函数用狄利克雷判别法；满足阿贝尔判别法条件的函数用阿贝尔判别法；含有正弦、余弦等有界函数或绝对收敛的函数可考虑用比较法来判断.依据两类含参量反常积分可以互化的关系，从含参量无穷限积分的一致收敛的判定定理出发，给出了含参量瑕积分一致收敛性的判定定理及其证明．最后给出了瑕积分计算可简化的两种形式,以便能够更方便更准确的计算出瑕积分的值.

关键词：瑕积分；收敛；含参量瑕积分；含参量无穷限积分；一致收敛

I

Abstract

In this paper, we give the flaw integral convergence judgment method, and apply to solving of flaw integral. Judging method of flaw integral convergence are mainly definition method, comparative method and cauchy-criterion principle. Definition method can be used when integrand is easly obtained. Dirichlet test and Abel's test are carried out when some conditions are satisfied. Comparative method can be used when sine or cosine function and so on, bounded function is included.

By means of the relation between the two abnormality integral containing parameters, the judgment theorem of consistent astringency of flaw integral containing parameters is deduced from the judgment theorem of consistent astringency infinite integral containing parameters. Some typical examples are given to illuminate the application of the obtained judgment and theorem. This paper presents some conditions under which defect integral can be computed as common intergral.We prove that defect integral canbe computed as common intergral if the original function of the integrand is continuous of bounded on the integeral interval.

Key words: Flaw integral; Convergence; Flaw integral containing parameters;

Infinite integral containing parameters; Consistent astringency

II

目 录

摘 要 ............................................................................................................................ I Abstract ......................................................................................................................... II 1 引 言 ......................................................................................................................... 1 2 瑕积分敛散性的判别方法和应用 ........................................................................... 2

2.1 瑕积分的定义 ................................................................................................. 2 2.2 瑕积分的性质 ................................................................................................. 3 2.3 瑕积分的收敛判别法 ..................................................................................... 4 2.4 瑕积分收敛判别法的应用举例 ..................................................................... 5 2.5 柯西判别法的延伸及应用 ............................................................................. 6 3 含参量瑕积分一致收敛的判定和应用 ................................................................... 9

3.1 含参量瑕积分的定义 ..................................................................................... 9 3.2 含参量瑕积分一致收敛的判别法 ................................................................. 9 3.3 含参量瑕积分判定收敛法的应用 ............................................................... 13 4 瑕积分计算的简化 ................................................................................................. 16

4.1 瑕积分计算可简化的第一种情形 ............................................................... 16 4.2 瑕积分计算可简化的第二种情形 ............................................................... 18 5 总结和展望 ............................................................................................................. 21 参考文献 ..................................................................................................................... 22 致 谢 ......................................................................................... 错误！未定义书签。

1 引 言

现在国内外关于瑕积分敛散性的判别方法的研究非常丰富,取得了很好的成果,其中不乏有所突破的地方,例如：李灼庭发表的《关于瑕积分敛散性教学上的一些问题》在瑕积分的教学中收到了很好的效果.又如：石秀文和张广慧发表的《瑕积分敛散性的判断技巧》和《瑕积分敛散性的判别方法与应用》更加丰富了瑕积分的敛散性判别方法与应用.

瑕积分收敛性的判断是学生学习的难点之一，判断瑕积分收敛的方法有多种,《数学分析》教材上给出的常用的方法主要有定义法、比较法、柯西判别法、狄利克雷判别法和阿贝尔判别法.本文将通过对瑕积分收敛性的几个特性及判断瑕积分收敛的一些技巧和规律的研究,使学习者能够更快、更好的掌握瑕积分收敛性的判断方法. 含参量瑕积分又是瑕积分的一个重要分支，对含参量瑕积分的探讨，又能更好的来研究瑕积分的收敛性.瑕积分收敛的判别方法在含参量瑕积分收敛中也有重要的应用，从而推出含参量瑕积分一致收敛的判别方法.

由于瑕积分的复杂性，导致其运算过程往往是很复杂的，利用怎样的方法，才能使瑕积分的运算更简便,本课题也将给予研究.

本文分为四大部分：即摘要，引言，正文和总结.而正文又分为三大章. 第一章：瑕积分敛散性的判别方法和应用，着重介绍瑕积分敛散性的判别方法以及这些方法在实际问题中的应用.第一节叙述瑕积分的定义；第二节给出瑕积分的一些基础性质；第三节列出瑕积分敛散性的判别方法，如：比较法；柯西判别法等等；第四节主要是瑕积分判别法的应用举例；第五节是关于柯西判别法的延伸．

第二章：含参量瑕积分一致收敛的判定和应用，着重介绍瑕积分中的含参量瑕积分敛散性的判别方法以及其在实际问题中的应用.第一节叙述含参量瑕积分的定义；第二节列出了含参量瑕积分敛散性的判别方法，如：柯西判别法；M判别法；狄利克雷判别法等等；第三节主要是一些应用举例.

第三章：瑕积分计算的简化，着重解决瑕积分与定积分之间的关系，讨论何种情形下瑕积分才可以转化为定积分的运算，并给出一些瑕积分能够转化为定积分计算的例子．

正文通过这三章，解决了在实际生活中遇到的瑕积分的一些问题,达到了本文的研究目的，收到了预期良好的效果.

1

2 瑕积分敛散性的判别方法和应用

2.1 瑕积分的定义

定义2.1 f定义在区间?a,b?上,在点a的任一右邻域内无界,但在任何闭区间

[u,b]?(a,b)上有界且可积.如果存在极限lim??uf(x)dx?J,则称此极限为无界函数fu?ab在?a,b?上的反常积分,记作 J??af(x)dx, 并称反常积分?af(x)dx收敛.如果极限

u?a?ubblim?bf(x)dx?J不存在,这时也说反常积分?af(x)dx发散.

b在定义中,被积函数f在点a近旁是无界的,这时点a称为f的瑕点,而无界函数反常积分?f(x)dx又称为瑕积分.类似地,可定义瑕点为b时的瑕积分：

ab?baf(x)dx?lim??f(x)dx.

u?bau其中f在[a,b)有定义,在点b的任一左邻域内无界,但在任何?a,u???a,b?上可积.

若f的瑕点c?(a,b),则定义瑕积分

?baf(x)dx??f(x)dx??f(x)dx?lim??f(x)dx?lim??f(x)dx.

aau?cav?cvcbub其中f在[a,c)?(c,b]上有定义,在点c的任一邻域内无界,但在任何?a,u???a,c?和

[v,b]??c,b?上都可积.当且仅当右边两个瑕积分都收敛时,左边的瑕积分才是收敛的.

又若a、b两点都是f的瑕点,而f在任何[u,v]?(a,b)上可积,这时定义瑕积分

?收敛的.

baf(x)dx??f(x)dx??f(x)dx?lim??f(x)dx?lim??f(x)dx,

acu?auv?bccbcv其中c为(a,b)内任一实数.当且仅当上式右边两个瑕积分都收敛时,左边的瑕积分才是

例1 瑕积分?1dx1?x20的值.

11?x2解 被积函数f(x)?为其瑕点.依定义求得

在[0,1)上连续,从而在任何[0,u]?[0,1)上可积,x?1?

1dx1?x20?lim??u?1udx1?x20?lim?arcsinu?u?1?2.

2

上述方法.当原函数在积分区间上不连续时,仍需采用定义求.

例4 求?解 易知

1dx． ?1x511111的一个原函数是.由于在??1,1?上不连续,故不能套用牛顿??4x4x5x4——莱布尼兹公式.否则,将导致若下错误：?111?41dx=?x|?1=0 ?1x54101111正确的解法应该是：?5dx=?5dx+?5dx 而

?1x?1x0x??11dxdx 5??1x5=?lim?0???1x01?4??=lim?x|?1 ??0?41=lim(1???4)， ?4??0不存在,所以?1dx发散． ?1x514.2 瑕积分计算可简化的第二种情形

设f(x)在?a,b?上连续,lim?f(x)??,x??(t)在??,??上单调且有连续导数,同时

x?a有?(?)?a,?(?)?b.则广义积分?f(x)dx与?f[?(t)]??(t)dt的敛散性相同,进一步,

ab??若除?点外,均有F?(t)?f[?(t)]??(t),则有

(1)若F(t)在??,??上连续,则?f(x)dx=?f[?(t)]??(t)dt=F(?)?F(?)(此处不一

ab??定有???,下同)

(2)当F(t)在??,??上无界时则?f(x)dx=?f[?(t)]??(t)dt发散.

ab??证明 不妨设x??(t)递增,这时???,对任意的??0,存在?t?0,使得

?????(???t),且???0等价于?t??0.

?baf(x)dx=lim?b???0a??f(x)dx=lim?t??0???t??f[?(t)]??(t)dt=lim[F(?)?F(???t)]

?t??0(1)当f(t)在??,??上连续时,?f(x)dx=F(?)?F(?)．

ab18

F(t)??,所以(2)当f(t)在??,??上无界时,这时只有lim?t???baf(x)dx=lim[F(?)?F(???t)]发散.

?t??0 类似的[14],可以证明当瑕点在区间?a,b?的右端点或内部时,(只要瑕点个个数为有限个)上述结论仍然成立,并可统一叙述为：

定理4.2 设函数f(x)在闭区间?a,b?上除有限个瑕点c1,c2,?cr外,在其余各点都连续,x??(t)在??,??上单调且有连续的导数,?(?)?a,?(?)?b,则广义积分

?baf(x)dx与?f[?(t)]??(t)dt的敛散性相同,若除瑕点对应的点外,均有

??F?(t)?f[?(t)]??(t),则有

(1)若F(t)在??,??上连续,则?f(x)dx=?f[?(t)]??(t)dt=F(?)?F(?)．

ab??(2)当F(t)在??,??上无界时则?f(x)dx=?f[?(t)]??(t)dt发散.证明可以仿照以

ab??上进行,这里不再重复.

例1 计算?32xdxx?1203．

解法一(按以上方法计算) x?1为瑕点 设u?x2?1,du?2xdx，

?32xdxx?1203??udu

?18?1232=u3|8?1 2=

解法二(按定义计算) ?39． 22xdxx2?103 =lim?1?0?0?1??132xdxx2?1+lim?2?0?1??23?32xdx9．

22x?1=两种运算结果一直,显然解法二比较麻烦.

例2

1??1x2dx．

1解 x?0为瑕点,因为

1??1x2dx发散.

111的原函数在??1,1?上有无穷间断点,所以 ?2xx19

?例3 求?20dx．

cosxsinx解 x?0,x???2为瑕点,令t?sinx,cosx?1?t4,dx?2tdt， cost?201112dt1111122dxdt[??]dtdt收敛,而=?=,显然,22???001?t4001?t21?t1?t1?t1?tcosxsinx?dx1的原函数?ln(1?t)在?0,1?内无界.所以?2发散.

01?tcosxsinx20

5 总结和展望

本文通过对瑕积分敛散性的判别方法和应用、含参量瑕积分一致收敛的判定和应用、瑕积分计算的简化的讨论，列出了瑕积分和含参量瑕积分敛散性的判别法，如柯西判别法、狄利克雷判别法等等，给出了判别法在瑕积分和含参量瑕积分在实际问题中的应用.通过对这些判别法的归纳、总结，使我们能较快的掌握这些方法，提高在实际问题中解题的速度和效率，达到了研究目的，收到了预期效果.

瑕积分是数学分析中的一个重点、难点，本文所做的这些还远远不能解决瑕积分中复杂多变的问题，由于本人所学的知识有限，希望在以后的学习工作中能够更深入地研究瑕积分，以使得瑕积分敛散的判别及应用越来越完善.

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参考文献

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/pte3.html