三线摆法测量物体的转动惯量2015

实验 三线摆法测量物体的转动惯量

转动惯量是刚体转动惯性大小的量度，是表征刚体特征的一个物理量。转动惯量的大小除与物体质量有关外，还与转轴的位置和质量分布（即形状、大小和密度）有关。如果刚体形状简单，且质量分布均匀，可以直接计算出它绕特定轴的转动惯量。但是工程实践中，我们常常碰到大量的形状复杂，且质量分布不均匀刚体，理论计算将极其复杂，通常采用实验方法来测定。

转动惯量的测量，一般都是使刚体以一定的形式运动。通过表征这种运动特征的物理量与转动惯量之间的关系，进行转换测量。测量刚体转动惯量的方法有多种，三线摆法具有设备简单、直观、测试方便的优点。

一.实验目的

1. 学会用三线摆测量物体的转动惯量。 2. 学会用积累放大法测量扭摆运动的周期。 3. 验证转动惯量的平行轴定理。

二. 实验仪器

DH4601转动惯量测试仪，计时器，圆环，圆柱体，游标卡尺，米尺，水平仪

三. 实验原理

图1是三线摆实验装置的示意图。上、下圆盘均处于水平，悬挂在横梁上。三个对称分布的等长悬线将两圆盘相连。上圆盘固定，下圆盘转动角很小，且略去空气阻力时，扭摆的运动可以近似的看作简谐运动。根据能量守恒定律和刚体的转动定律均可以导出物体绕中心轴OO’的转动惯量（推导过程见附录）：

I0?m0gRr2T0 （1-1） 24?H0式中各物理量的含义如下：

m0为下盘的质量

r、R分别为上下悬点离各自圆盘中心的距离 H0为平衡时上下盘间的垂直距离

T0为下盘作简谐运动的周期，g为重力加速度。

图1 三线摆实验示意图

将质量为m的待测圆环放在下盘上，并使待测圆环的转轴与OO’轴重合。测出此时摆运动的周期T1和上下圆盘间的垂直距离H。那么，可以求得待测圆环和下圆盘对中心转轴OO’的总转动惯量为：

I1?(m0?m)gRr2T1 （1-2） 24?H如果不计因重量变化而引起的悬线伸长，则有H?H0。那么，待测圆环绕中心轴OO’的转动惯量为：

I?I1?I0 （1-3）

因此，通过长度、质量和时间的测量，便可以求出刚体绕某轴的转动惯量。

用三线摆法还可以验证平行轴定理。若质量为m的物体绕通过其质心轴AB的转动惯量为Ic，当转轴平行移动距离x时（如图2），则此物体对新轴OO’的转动惯量为I?Ic?mx2。这一结论称为转动惯量的平行轴定理。

实验时将质量均为m?，形状和质量分布完全相同的两个小圆柱对称地放置在下圆盘上（下圆盘有对称的两个小孔）。按上面的方法，测出两个小圆柱和下盘绕中心轴OO’的转动周期Tx，求得两个小圆柱和下圆盘对中心转轴OO’的总转动惯量为：

(m0?2m?)gRr2I2?Tx （1-4）

4?2H则进一步可以求出单个小圆柱对中心转轴OO’的转动惯量：

Ix?1?I2?I0? （1-5） 2如果测量出小圆柱中心与下圆盘中心之间的距离x以及小圆柱的半径Rx，则由平行轴定理可求得

?2I?x?mx?12m?Rx （1-6） 2比较Ix与I?x的大小，可以验证平行轴定理。

计时器的操作

1. 打开电源，程序预置的周期为T=30。要注意的是当计时开始时，显示的是挡光杆经过光电门的次数，当计数达到2T+1次时，计时停止并且显示具体时间（单位是秒）。例如，我们预置周期为50，按下执行键开始计时，但是显示的是挡光杆经过光电门的次数。当这个计数达到2×50+1=101次时计时停止，显示具体时间。

2. 设置周期的方法。若要设置50次，先按“置数”开锁，再按上调（或下调）改变周期T，再按“置数”

锁定，此时，即可按执行键开始计时，信号灯不停闪烁，即为计时状态。当挡光杆经过光电门的次数达到设定值时，数显将显示具体时间（单位秒）。只要按“返回”即可回到上次刚执行的周期数“50”，再按“执行”键即可第二次计时。

3. 当断电在开机时，程序从头预置30次周期，须重复上述步走骤。

四.实验内容

1. 用三线摆测定圆环对通过其质心且垂直于环面轴的转动惯量。

(1) 调节底座水平：将水平仪置于底座任意两旋钮之间，调整底座上的三个旋钮，使水平仪的气泡在中间。再把水平仪放到另外两旋钮之间，调整底座上的三个旋钮，使水平仪的气泡在中间，这时底座水平。 (2)调整下盘水平：将水平仪置于下盘任意两悬线之间，调整上盘上的三个旋钮，使水平仪的气泡在中间。再把水平仪放到另外两悬线之间，调整上盘上的三个旋钮，使水平仪的气泡在中间，这时下盘水平。

(3)用游标卡尺测出上下圆盘三悬点之间的距离a和b，然后算出悬点到中心的距离r和R。 由等边三角形关系算出r和R，即 r?a3,R?b3 （1-7）

(4)用米尺测出两圆盘之间的垂直距离H。

(5) 测量空盘绕中心轴OO’转动的运动周期T0：轻轻转动上盘（上盘有小转动杆），带动下盘转动，这样可以避免三线摆在做扭动时发生晃动。注意扭摆的转角控制在5°以内。用积累放大法测出扭摆运动的周期（测量摆动30次所需的时间）。 (6) 测量待测圆环与下盘共同转动的周期T1：将待测圆环置于下圆盘上，注意使两者中心重合，按上面的方法测出它们一起扭摆运动的周期T1。

2. 用三线摆验证平行轴定理。

(1) 用游标卡尺测出放置两小圆柱体小孔间距2x。

(2) 测出两个小圆柱体（对称放置）与下盘共同转动的周期Tx。

五. 实验数据及其数据处理要求

下盘质量m0? 待测圆环质量m? 圆柱体质量m??

g? 表1：有关长度测量的记录表 两圆盘之间的垂直距离 H(cm) 上盘悬孔间距 a(cm) 下盘悬孔间距 b(cm) 小圆柱体直径 小圆柱体半径 放置小圆柱体两孔间的距离2x (cm) 小圆柱体质心轴到中心转轴OO’ 的距离x (cm) 2Rx（cm） Rx（cm） 表2：累积法测周期的数据记录表 摆动30次所需时间 （s） 下盘 1 2 3 4 5 求和 平均 周期 （s） 下盘加圆环 1 2 3 4 5 求和 平均 下盘加两圆柱 1 2 3 4 5 求和 平均 T0= T1= Tx= 1.根据公式（1-7）计算出r和R。

2.根据公式（1-5）计算出待测圆环绕中心轴OO’的转动惯量I。

3.根据公式（1-5）计算出单个小圆柱对中心转轴OO’的转动惯量的测量值Ix。

4.由公式（1-6）计算出I?x，与Ix比较，验证平行轴定理。

六.思考题

1. 2. 3. 4. 5. 6.

用三线摆测量刚体转动惯量时，为什么必须保持下盘水平？

在测量过程中如果下盘出现晃动对周期的测量有影响吗？如有影响，应该如何避免？ 三线摆放上待测物后，其摆动周期足否一定比空盘的转动周期大？为什么？

测量圆环的转动惯量时，若圆环的转轴与下盘转轴不重合，对实验结果有何影响？ 如何利用三摆线测定任意形状的物体绕某轴的转动惯量？

三线摆在摆动种受空气阻尼，振幅越来越小，它的周期足否会变化?对测量结果影响大吗？为什么？

附录

公式（1-1）的推导：

如图所示，设R和r分别表示系绳点到B盘中心和A盘中心的距离，l表示悬线的长度，H表示上下盘之间的垂直距离，由几何关系得到：

a o2 A (ac1)2?(ac)2, h?ac1?ac?ac1?ac因为

(ac1)2?(ab1)2?(b1c1)2?l2?(R?r)2(ac)2?(ab2)2?(cb2)2?l2?(cb2)2

利用余弦定理得(cb2)?R?r?2Rrcos? 其中，φ表示∠co1b2。

所以有，(ac)?l?(R?r?2Rrcos?)

2222222c b2 b1 c1 o1 h o B 根据以上各式，可以得到h的表达式：h?2Rr(1?cos?)?ac1?ac2Rr?2sin2ac1?ac?2，

2Rrsin2因为悬线长度l很长，B盘的偏转角φ很小，故上式中的ac1?ac?H，那么h??2

HRr?2又因为sin?，所以 h?

222H??dh?Rrd?? dtHdt1122不计摩擦力，系统机械能守恒，即m0gh?I0??m0v?const

22上式两边同时对t求倒数，有：

d?dh,v? dtdt1d?21dh)?m0()2?const 所以m0gh?I0(2dt2dt而??因为圆盘的转动能量远比其上下运动的平动能大，所以将平动能略去后上式写为：

m0gh?1d?I0()2?const 2dtmgRrd2?上式两边对t求导，得2??(0)?

HI0dt那么有，B圆盘简谐振动的角频率??因为简谐振动的周期T0?m0gRr HI02??，

由以上两个式子就可以求出：I0?

m0gRr2T0

4?2H0

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