线性空间和欧式空间

第六章 线性空间和欧式空间 §1 线性空间及其同构

一 线性空间的定义

设V是一个非空集合，K是一个数域，在集合V的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法；这就是说，给出了一个法则，对于V中任意两个元素?和?，在V中都有唯一的一个元素?与他们对应，成为?与?的和，记为?????。在数域K与集合V的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法，即对于数域K中任一数k与V中任一元素?，在V中都有唯一的一个元素?与他们对应，称为k与?的数量乘积，记为??k?，如果加法与数量乘法满足下述规则，那么V称为数域K上的线性空间。 加法满足下面四条规则：

1）???????；交换律

2）(???)?????(???)；结合律

3）在V中有一个元素0，对于V中任一元素?都有??0??（具有这个性质的元素0称为V的零元素）； 存在零元

4）对于V中每一个元素?，都有V中的元素，使得????0（?称为?的负元素）.存在负元 数量乘法满足下面两条规则：

5）1???； 存在1元 6）k(l?)?(kl)?. 数的结合律 数量乘法与加法满足下面两条规则：

7）(k?l)??k??l?； 数的分配律 8）k(???)?k??k?. 元的分配律

在以上规则中，k,l表示数域中的任意数；?,?,?等表示集合V中任意元素。 例1． 元素属于数域K的m?n矩阵，按矩阵的加法和矩阵的与数的数量乘法，构成

数域K上的一个线性空间，记为Mm,n(K)。

例2． 全体实函数（连续实函数），按函数的加法和数与函数的数量乘法，构成一个实

数域上的线性空间。 例3． n维向量空间K是线性空间。

n 1

例4． 向量空间的线性映射的集合HomK(K,K)是线性空间。 二．简单性质

1．零元素是唯一的。 2．负元素唯一。

3．0??0，k0?0，(?1)????。 4．若k??0，则k?0或者??0。 三.同构映射

定义：设V,V?是数域K上的线性空间. A?HomK(V,V?)是一个线性映射.如果A是一一

映射，则称A是线性空间的同构映射，简称同构。线性空间V与V'称为同构的线性空间。

定理 数域P上两个有限维线性空间同构的充分必要条件是他们有相同的维数。

同构映射的逆映射以及两个同构映射的乘积还是同构映射。

同构? 线性空间分类mn?维数

§2 线性子空间的和与直和

子空间的和：设W1,W2是线性空间V的子空间，则集合W?{?1??2|?1?W1或?2?W2}

也是一个线性子空间，称为W1,W2的和，记为W1?W2.

两个线性子空间的和W1?W2是包含这两个线性子空间的最小子空间. 满足交换律、结合律

设?1,?,?s与?1,?,?t是V的两个向量组.则

L(?1,?,?s)?L(?1,?,?t)?L(?1,?,?s,?1,?,?t)

线性子空间中的线性无关向量组都能被扩充成这个子空间的一个基。

定理：（维数公式）如果W1,W2是线性空间V的两个子空间，那么 dim(W1)+ dim(W2)=dim(W1?W2)+ dim(W1?W2)

由此可知，和的维数要比维数的和来得小。推广到有限个线性子空间的和空间维数

2

推论：如果n维线性空间V中两个子空间V1,V2的维数之和大于n，那么V1,V2必含有非零

的公共向量。

直和：设W1,W2是线性空间V的子空间，如果W1?W2中的每个向量?都能被唯一地表

示成???1??2 ?1?W1,?2?W2.则称W1?W2为直和，记为W1?W2。 设W1,W2是线性空间V的子空间，则下列结论互相等价：

(1)W1?W2是直和；(2)W1?W2?0;

(3)dim(W1?W2)?dimW1?dimW2.

设W是线性空间V的一个子空间，那么一定存在V的一个线性子空间U，使得 V?W?U

满足上述条件的线性子空间U称为W的补子空间. 推广到有限多个线性子空间也可以定义它们的直和

设W1，W2，?，Wm是V的线性子空间，则下列结论相互等价：

（1）W1???Wm是直和；（2）对i?1,?,m有Wi??W?1j?mi?jj?0;（3）dim(W1???Wm)?dimW1???dimWm.

§3 欧式空间

定义 设V是实数域R上的有限维线性空间,在V上定义了一个二元实函数，称为内积,记作(?,?),满足以下四条公理:

1)对称性 (?,?)?(?,?);

2)关于标量乘法线性性质 (k?,?)?k(?,?);

3) 关于向量加法的线性性质(???,?)?(?,?)?(?,?); 4)正定性(?,?)?0,当且仅当??0时, (?,?)?0

这里?,?,?是V任意的向量,k是任意实数,这样的线性空间V称为欧几里得空间. 例1 在线性空间R中,对于向量

n 3

??(a1,a2,?,an),??(b1,b2,?,bn),

定义内积

(?,?)?a1b1?a2b2???anbn. (1)

则内积(1)适合定义中的条件，这样R就成为一个欧几里得空间.

n?3时，(1)式就是几何空间中的向量的内积在直角坐标系中的坐标表达式.

n例2 在R里, 对于向量

n??(a1,a2,?,an),??(b1,b2,?,bn),

定义内积

(?,?)?a1b1?2a2b2???nanbn.

则内积(1)适合定义中的条件，这样R就也成为一个欧几里得空间. 对同一个线性空间可以引入不同的内积,使得它作成欧几里得空间.

例3 在闭区间[a,b]上的所有实连续函数所成的空间C(a,b)中,对于函数f(x),g(x)定义内积

(f(x),g(x))?n?baf(x)g(x)dx. (2)

对于内积(2)，C(a,b)构成一个欧几里得空间.

同样地，线性空间R[x],R[x]n对于内积(2)也构成欧几里得空间. 例4 令H是一切平方和收敛的实数列

???(x1,x2,?,xn),?xn???

n?12所成的集合,则H是一个欧几里得空间,通常称为希尔伯特(Hilbert)空间.

定义 非负实数(?,?)称为向量?的长度，记为?.

显然，向量的长度一般是正数，只有零向量的长度才是零，这样定义的长度符合熟知的性质：

k??|k|? (3)

这里k?R,??V.

长度为1的向量叫做单位向量.如果,??0由(3)式，向量

4

1??

就是一个单位向量.用向量?的长度去除向量?，通常称为把?单位化. (Cauchy-Buniakowski不等式)对任意的向量?,?,有 |(?,?)|?|?||?|,

而且等号成立当且仅当?,?,线性相关.(保证向量夹角定义的合理性)

定义 非零向量?,?的夹角??,??规定为

(?,?)??,???arccos??,0??,???

根据柯西-布涅柯夫斯基不等式，有三角形不等式

???????.

定义 如果向量?,?的内积为零，即

(?,?)?0

那么?,?称为正交或互相垂直，记为???. 两个非零向量正交的充要条件是它们的夹角为

勾股定理：当?,?正交时，

???2?2.只有零向量才与自己正交.

??2??2.

推广：如果向量两?1,?2,?,?m两两正交，那么

?1??2????m2??12??22????m2.

A?(aij)nn,aij?(?i,?j)

称为基?1,?2,?,?n的度量矩阵.度量矩阵完全确定了内积. (?,?)?XAY

标准欧式空间(其内积关于自然基的度量矩阵是n阶单位阵)

T 5

定义 欧氏空间V的一组非零的向量,如果它们两两正交，就称为一个正交向量组. 由单个非零向量所成的向量组也是正交向量组. 在n维欧氏空间中，两两正交的非零向量不能超过n个. 正交向量组一定是线性无关的。

若正交向量组中的向量都是单位向量，则称为规范正交组。

定义 在n维欧氏空间中，由n个向量组成的正交向量组称为正交基；由单位向量组成的正交基称为规范正交基组.对一组正交基进行单位化就得到一组规范正交基.

欧式空间的线性子空间必存在规范正交基。

在规范正交基下，向量的内积可以通过坐标简单地表示出来，

(?,?)?x1y1?x2y2???xnyn?XY.

T这个表达式正是几何中向量的内积在直角坐标系中坐标表达式的推广.

把一组线性无关的向量变成一单位正交向量组的方法在一些书和文献中称为格拉姆-施密特（Schimidt）正交化方法. (P314)

定义 欧氏空间V与V?称为同构的,如果存在线性空间的同构A?HomR(V,V?)，保持内积，即 (A(?),A(?))??(?,?),

对任意的?,??V成立，这样的映射A称为V到V?的同构映射.

同构的欧氏空间必有相同的维数. 每个n维的欧氏空间都与R同构.

同构作为欧氏空间之间的关系具有反身性、对称性与传递性. 由每个n维欧氏空间都与R同构知，任意两个n维欧氏空间都同构. 定理 两个有限维欧氏空间同构?它们的维数相等.

这个定理说明，从抽象的观点看，欧氏空间的结构完全被它们的维数决定.

§4 欧式空间中的正交补空间与正交投影

S是欧式空间V的一个子集，如果V中向量?与S中每个向量都正交，则称?与S正交，记做??S. 定义设S是欧几里得空间V的一个非空子集,V中与S正交的所有向量组成的集合

?称为S的正交补,记作S,即

? S?{??V|(?,?)?0对所有的??S}.

nn 6

? 命题设S是欧几里空间V的任意一个非空子集，则S是V的一个线性子空间.

定理设W是欧几里得空间V的一个线性子空间，则? V?W?W.

正交投影的定义，正交投影的求法(P321-323)

V?W?W?,则其中每个向量?都能唯一的表示成???1??2,??1?W,?2?W?

?1?W是?在W上的正交投影的充要条件是???1?WPW:V?W?V.

令

???1则PW为V在W上的正交投影.在W中取一个规范正交基?1,?,?m，

m则?在W上的正交投影为PW(?)?正交投影的求法:

?(?,?i?1i)?i.

m（1） 用施密特正交化方法求出W的规范正交基，再用PW(?)??(?,?i?1i)?i

（2） 设?1???i?W，则?2????1?W?,(?2,?i)?0解齐次线性方程组

（3） 把(2)写成矩阵形式，解决AAX?AY，PW(?)?AX

定理设W是欧几里得空间V的子空间，对于??V,?1?W是?在W上的正交投影的

充分必要条件为|???1|?|???|,对所有的??W. 定义设W是欧几里得空间V的一个子空间，?是V中的向量.如果W中存在一个向量

?使得对所有的??W有|???|?|???|,那么称?为?在W上的最佳逼近元.

V中任意向量?在子空间W上的最佳逼近元存在且唯一，就是?在W上的正交投

影PW(?).

最小二乘法（偏差总和最小——>偏差平方和最小）（P327-328） 最小二乘法问题：线性方程组

?a11x1?a12x2???a1sxs?b1?0,??a21x1?a22x2???a2sxs?b2?0, ?????????ax?ax???ax?b?0n22nssn?n11T可能无解.即任何一组数x1,x2,?,xs都可能使

7

n?(ai?1i1x1?ai2x2???aisxs?bi) (1)

2不等于零.我们设法找x1,x2,?,xs使（1）最小，这样的x1,x2,?,xs称为方程组的最小二乘解.这种问题就叫最小二乘法问题.

下面利用欧氏空间的概念来表达最小二乘法，并给出最小二乘解所满足的代数条件.

?a11??a21A?????a?n1a12a22?an2???a1s??b1????a2s??b2?,B????,???????b?ans??n???????AX.?????000000?s??a1jxj?j?1?x1????sx?2???a2jxjX??,Y??j?1???????x?s?s????anjxj?j?1 (2)

用距离的概念，（1）就是

Y?B0002

最小二乘法就是找x1,x2,?,xs使Y与B的距离最短.但从（2），知道向量Y就是

?a11??a12??a1s????????a21??a22??a2s?Y?x1??x???x. 2?s??????????????a??a??a??n1??n2??ns?把A的各列向量分别记成?1,?2,?,?s.由它们生成的子空间为L?(?1,?2,?,?s).Y就是L?(?1,?2,?,?s)中的向量.于是最小二乘法问题可叙述成：

找X使（1）最小，就是在L?(?1,?2,?,?s)中找一向量Y，使得B到它的距离比到子空间L?(?1,?2,?,?s)中其它向量的距离都短.

应用前面所讲的结论，设

Y?AX?x1?1?x2?2???xs?s

是所求的向量，则

8

C?B?Y?B?AX

必须垂直于子空间L?(?1,?2,?,?s).为此只须而且必须

(C,?1)?(C,?2)???(C,?s)?0

回忆矩阵乘法规则，上述一串等式可以写成矩阵相乘的式子，即

?1C?0,?2C?0,?,?sC?0.

TTT而?1,?2,?,?s按行正好排成矩阵A，上述一串等式合起来就是

A(B?AX)?0

TTTTT或

AAX?AB

TT这就是最小二乘解所满足的代数方程，它是一个线性方程组，系数矩阵是AA，常数项是

AB.这种线性方程组总是有解的.

TT§5 正交变换与正交矩阵

定义 欧氏空间V的线性变换A叫做一个正交变换,如果它保持向量的内积不变，即对任意的，都有?,??V,都有

(A?,A?)=(?,?).

正交变换可以从几个不同方面公平加以刻画.正交群O(n,R) 设A是n维欧氏空间的一个正交变换，则有以下结论：

（1） 如果?1,?2,?,?n是规范正交基，那么A ?1, A ?2,…, A ?n也是规范正交基； （2） A保持向量的长度不变，即对于??V,（A?，A?）=（?，?）; （3） A在任一组规范正交基下的矩阵是正交矩阵AA?E. （4） 正交变换的乘积与正交矩阵的逆矩阵也是正交矩阵.

推论设A是一个n阶实数矩阵，那么下列条件是等价的：

（1）A是正交矩阵；

T?1（ 2）A?A； 3）AAT?E；（ 4）A的每个列的元素的平方和等于1，不同列的对应元素之积和等于0，即：（

（5）A的每个行的元素的平方和等于1，不同行的对应元素之积和等于0.

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T

如果A是正交矩阵，那么由

AAT?E

可知

A2?1或者A??1.

因此，正交变换的行列式等于+1或-1.行列式等于+1的正交矩阵通常称为旋转，或者称为第一类的,特殊正交群SO(n,R)；行列式等于-1的正交变换称为第二类的.

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