中国科学大学随机过程（孙应飞）复习题及答案汇总-共12页

（1） 设{X(t),t?0}是一个实的零均值二阶矩过程，其相关函数为

E{X(s)X(t)}?B(t?s),s?t，且是一个周期为T的函数，即B(??T)?B(?),??0，求方差函数D[X(t)?X(t?T)]。

解：由定义，有：

D[X(t)?X(t?T)]?D[X(t)]?D[X(t?T)]?2E{[X(t)?EX(t)][X(t?T)?EX(t?T)]}

?B(0)?B(0)?2E{X(t)X(t?T)}?B(0)?B(0)?2B(T)?0（2） 试证明：如果{X(t),t?0}是一独立增量过程，且X(0)?0，那么它必是一个马

尔可夫过程。

证明：我们要证明：

?0?t1?t2???tn，有

P{X(tn)?xnX(t1)?x1,X(t2)?x2,?,X(tn?1)?xn?1}??P{X(tn)?xX(tn?1)?xn?1}形式上我们有：

P{X(tn)?xnX(t1)?x1,X(t2)?x2,?,X(tn?1)?xn?1}???

P{X(tn)?xn,X(t1)?x1,X(t2)?x2,?,X(tn?1)?xn?1}P{X(t1)?x1,X(t2)?x2,?,X(tn?1)?xn?1}P{X(tn)?xn,X(t1)?x1,X(t2)?x2,?,X(tn?2)?xn?2X(tn?1)?xn?1}P{X(t1)?x1,X(t2)?x2,?,X(tn?2)?xn?2X(tn?1)?xn?1}

因此，我们只要能证明在已知X(tn?1)?xn?1条件下，X(tn)与X(tj),j?1,2,?,n?2相互独立即可。

由独立增量过程的定义可知，当a?tj?tn?1?tn,j?1,2,?,n?2时，增量

X(tj)?X(0)与X(tn)?X(tn?1)相互独立，由于在条件X(tn?1)?xn?1和X(0)?0下，即

有X(tj)与X(tn)?xn?1相互独立。由此可知，在X(tn?1)?xn?1条件下，X(tn)与

X(tj),j?1,2,?,n?2相互独立，结果成立。

（3） 设随机过程{Wt,t?0}为零初值（W0?0）的、有平稳增量和独立增量的过程，

2且对每个t?0，Wt~N(?,?t)，问过程{Wt,t?0}是否为正态过程，为什么？

解：任取?0?t1?t2???tn，则有：

Wtk??[Wti?Wti?1]k?1,2,?,n

i?1k由平稳增量和独立增量性，可知Wti?Wti?1~N(0,?2(ti?ti?1))并且独立 因此(Wt1,Wt2?Wt1,?,Wtn?Wtn?1)是联合正态分布的，由

?Wt1??10?0??Wt1????????Wt2??11?0??Wt2?Wt1? ??????????0???????Wt??11?1??Wt?Wt???nn?1??n??可知是正态过程。

（4） 设{Bt}为为零初值的标准布朗运动过程，问次过程的均方导数过程是否存在？并

说明理由。

解：标准布朗运动的相关函数为：

RB(s,t)??2min{s,t}

如果标准布朗运动是均方可微的，则RB(t,t)存在，但是：

/RB(t??t,t)?RB(t,t)?0?t??0?t

R(t??t,t)?R(t,t)/BBRB??2?(t,t)?lim?t??0?t/RB?(t,t)?lim故RB(t,t)不存在，因此标准布朗运动不是均方可微的。

（5） 设Nt，t?0是零初值、强度??0的泊松过程。写出过程的转移函数，并问在均

方意义下，Yt?/?Nds,t?0是否存在，为什么？

0st解：泊松过程的转移率矩阵为：

?????0?0Q??????????00???????0????????

???????????02其相关函数为：RN(s,t)??min{s,t}??st，由于在?t，RN(t,t)连续，故均

方积分存在。

（6） 在一计算系统中，每一循环具有误差的概率与先前一个循环是否有误差有关，以0

表示误差状态，1表示无误差状态，设状态的一步转移矩阵为：

?pP??00?p10p01??0.750.25??? ?p11???0.50.5?试说明相应齐次马氏链是遍历的，并求其极限分布（平稳分布）。

解：由遍历性定理可知此链是遍历的，极限分布为(2/3,1/3)。

1,2,3,4?,一步转移概率矩阵如下： （7） 设齐次马氏链?Xn,n?0?,S??01/21/2??0??001/21/2??P??

1/21/200????1/21/200???（a）写出切普曼－柯尔莫哥洛夫方程（C－K方程）； （b）求n步转移概率矩阵；

（c）试问此马氏链是平稳序列吗？ 为什么？

解：（a）略

（b）P(n)?P??n?Pn?奇数 2?Pn?偶数（c）此链不具遍历性

（8） 设Y(t)?X(?1)N(t),t?0，其中{N(t);t?0}为强度为??0的Poission过程，随

机变量X与此Poission过程独立，且有如下分布：

P{X??a}?P{X?a}?1/4,P{X?0}?1/2,a?0

问：随机过程Y(t),t由于：E{Y(t)}?0

?0是否为平稳过程？请说明理由。

RY(t1,t2)?EX2?(?1)N(t1)?N(t2)?EX2E(?1)N(t1)?N(t2)?2a22N(t1)?N(t2)?N(t1)N(t2)?N(t1)?E(?1)2a2??E(?1)N(t2)?N(t1)N(t2)?N(t1)?nP{N(t2)?N(t1)?n}?2n?0???????a2E?(?1)?

???a2?2[?(t2?t1)]n??(t2?t1)a2?2?(t2?t1)a2?2??(?1)e?e?e??t2?t1?n!22n?0?n故{Y(t)}是平稳过程。

2（9） 设Xt?X?2Yt,t?0，其中X与Y独立，都服从N(0,?)

（a）此过程是否是正态过程？说明理由。 （b）求此过程的相关函数，并说明过程是否平稳。

证明：（a）任取 n?N,0?t1?t2???tn，则有：

?Xt1??X?2Yt1??12t1???????XX?2Yt12t?t2???2?2??X???????Y?? ?????????????????Xt??X?2Yt??12t?n?n???n??由于X与Y独立，且都服从N(0,?)，因此可得?X2Y?服从正态分布，由上式可知随

?机向量 Xt1?Xt2??Xtn服从正态（高斯）分布，所以过程Xt?X?2Yt,t?0是

?正态（高斯）过程。 （b）由：

E{Xt}?E{X}?2tE{Y}?0

RX(t1,t2)?E{Xt1Xt2}?E{[X?2t1Y][X?2t2Y]}?E{X2}?2(t1?t2)E{XY}?4t1t2E{Y2}?E{X2}?2(t1?t2)E{X}E{Y}?4t1t2E{Y2}??2?4t1t2?2由于相关函数不是时间差的函数，因此此过程不是平稳过程。 （10） 设Nt，t?0是零初值、强度??1的泊松过程。

（a）求它的概率转移函数p(s,t,i,j)?P{Nt?jNs?i}； （b）令Xt?Nt?t,t?0，说明Y?

?Xdt存在，并求它的二阶矩。

0t1[?(t?s)]j?i??(t?s)e解：（a）p(s,t,i,j)?P{Nt?jNs?i}?

(j?i)! （b）先求相关函数：

RX(t,s)?E{(Nt?t)(Ns?s)}??min{t,s}??2st?st(1?2?)

对任意的t，在(t,t)处RX(t,t)连续，故Xt均方连续，因此均方可积，Y?2 ?Xdt存在。

0t121111??1??E{Y}?E??Xtdt??E?Xtdt?Xsds?E??XtXsdtds?0000?0????

??????1100?RX(t,s)dtds将RX(t,s)代入计算积分即可。

由??1，得：

RX(t,s)?E{(Nt?t)(Ns?s)}??min{t,s}??2st?st(1?2?)?min{t,s}

21111??1??E{Y}?E??Xtdt??E?Xtdt?Xsds?E??XtXsdtds?0000?0????2???110t?13

??

1100?RX(t,s)dtds??1100?min{t,s}dtds??dt?tds??dt?sds?001t（11） 设一口袋中装有三种颜色（红、黄、白）的小球，其数量分别为3、4、3。现在不

断地随机逐一摸球，有放回，且视摸出球地颜色计分：红、黄、白分别计1、0、-1分。第一次摸球之前没有积分。以Yn表示第n次取出球后的累计积分，n?0,1,? （a）Yn，n?0,1,?是否齐次马氏链？说明理由。

（b）如果不是马氏链，写出它的有穷维分布函数族；如果是，写出它的一步转移概率pij和两步转移概率pij(2)。

（c）令?0?min{n;Yn?0,n?0}，求P{?0?5}。

解：（a）是齐次马氏链。由于目前的积分只与最近一次取球后的积分有关，因此此链具有马氏性且是齐次的。状态空间为：S?{?,?2,?1,0,1,2,?}。

（b）pij?P{Yn?1????jYn?i}?????0.3,0.4,0.3,0,j?i?1j?ij?i?1其他

pij(2)?P{Yn?2?????Yn?i}???????0.32,2?0.3?0.4,j?i?2j?i?10.42?2?0.32,j?i

2?0.3?0.4,j?i?10.32,0,j?i?2其他 （c）即求首达概率，注意画状态转移图。

P{?0?5}?2?[3?0.34?0.4?0.32?0.43]?0.03096

（12） 考察两个谐波随机信号X(t)和Y(t)，其中：

X(t)?Acos(?ct??),Y(t)?Bcos(?ct)

式中A和?c为正的常数；?是???,??内均匀分布的随机变量，B是标准正态分布

的随机变量。

（a）求X(t)的均值、方差和相关函数；

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