2016届湖南师范大学附属中学高三下学期高考模拟（三）数学（文）试题

数学（文科）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项

中，只有一项 是符合题目要求的.

1.若复数z?i?1?bi?,?b?R?对应的点在直线y?x上，则实数b的值为（ ） A．0 B．1 C．-1 D．3

2.若a,b,c?R,a?b，则下列不等式成立的是（ ） A．

1ab D．ac?bc ?b B．a2?b2 C．2?2ac?1c?13. 2sin450cos150?sin300的值等于（ ）

A．

231 B． C． D．1

2224.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A．

84 B．8 C．5 D．45 33

5.已知点P?x,y?的可行域是如图阴影部分（含边界），若目标函数z?2x?ay,?a?0?取得最小值的最优解有无数个，则a的取值为（ ）

A．1 B．2 C．6 D．8

y26.如图F1,F2是双曲线C1:x??1与椭圆C2的公共焦点，点A是C1,C2在第一象限的

32公共点，若F1F2?F1A，则C2的离心率是（ ）

A．

1212 B． C． D． 3355x2y27.直线y?k?x?1??1与椭圆??1恒有交点，则m的取值范围是（ ）

9mA．?,??? B．?,9???9,??? C．?,9???9,??? D．?,???

8.如图，位于A处的海面观测站获悉，在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，并在原地等待营救．在A处南偏西30°且相距20海里的C处有一艘救援船，该船接到观测站通告后立即前往B处求助，则sin?ACB?（ ）

?9?8???9?8???9?8???9?8??

A．212132121 B． C． D． 714142829.设命题p:?x0?R，使x0?2x0?a?0?a?R?，则使得p为真命题的一个充分不必要条件是（ ）

A．a??2 B．a?2 C．a?1 D． a?0

????????10.如图，在等腰直角三角形ABO中，设向量OA?a,OB?b,OA?OB?1,C为边AB上

靠近点A的四等分点，过点C作AB的垂线，点P为垂线上任意一点，则OP??b?a??（ ）

????

A．?1133 B． C．? D． 222211.已知正项数列?an?满足?n?1?an?1?nan?0，且a1?1，不等式

a1?a2?a2?a3???an?an?1?m对任意n?N*恒成立，则实数m的取值范围是（ ）

A．???,? B．???,? C．???,1? D．???,1?

22??1????1??12.偶函数f?x?满足f?x??f?2?x?，且当x???1,0?时，f?x??cos?x2?1，若函数

g?x??f?x??logax,?a?0,a?1?有且仅有三个零点，则实数a的取值范围是（ ）

A．?3,5? B．?2,4? C．??11??11?,? D．?,? ?42??53?二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上．

13.对具有线性相关关系的变量x,y有一组观测数据?xi,yi??i?1,2,?,8?，其回归直线方

??程是y1?，且x1?x2?x3???x8?2?y1?y2?y3???y8??8，请估算x?3时，x?a3y?____________．

14.已知立方体ABCD?A?B?C?D?,E,F,G,H分别是棱AD,BB?.B?C?，DD?中点，从中任取两点确定的直线中，与平面AB?D?平行的有__________条．

15.在数列?an?中，若存在一个确定的正整数T，对任意n?N*满足an?T?an，则称?an?是周期数列，T叫做它的周期．已知数列?xn?满足x1?1,x2?a?a?1?,xn?2?xn?1?xn，当数列?xn?的周期为3时，则?xn?的前2016项的和S2016?___________．

16.设函数f?x??x?2ex?mx?lnx，记g?x??32f?x?，若函数g?x?至少存在一个零x点，则实数m的取值范围是_____________．

三、解答题 ：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本题满分12分）

某中学的高三一班中男同学有45名，女同学有15名，老师按照分层抽样的方法组建了一个4人的课外兴趣小组．

（1）求某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数；

（2）经过一个月的学习、讨论，这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验，方法是先从小组里选出1名同学做实验，该同学做完后，再从小组内剩下的同学中选一名同学做实验，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；

（3）在（2）中的实验结束后，第一次做实验的同学得到的试验数据为68，70，71，72，74，第二次做实验的同学得到的实验数据为69，70，70，72，74，请问哪位同学的实验更稳定？并说明理由． 18.（本题满分12分） 已知向量a??2cos??x???x??,1?,b??cos,3cosx?，设函数f?x???a?b??a． 2?2??（1）若?x?R，求f?x?的单调递增区间；

（2）在?ABC中，角A、B、C所对的边分别为a,b,c，且f?A??4,a?10，求?ABC的面积S的最大值． 19.（本题满分12分）

在如图所示的几何体中，平面ACE?平面ABCD，四边形ABCD平行四边形，

?ACB?900,EF//BC,AC?BC?2,AE?EC?1．

（1）求证：AE?平面BCEF； （2）求三棱锥D?ACF的体积． 20.（本题满分12分）

已知圆A:?x?1??y2?16，点B?1,0?是圆A内一个定点，P是圆A上任意一点，线段

2BP的垂直平分线和半径AP相交于点Q .

（1）当点P在圆A上运动时，求点Q的轨迹曲线C的方程；

（2）若直线l1,l2是过点A且相互垂直的两条直线，其中直线l1交曲线C于E,F两点，直线

l2与圆A相交于M,N两点，求四边形MFNE面积等于14时直线l1的方程．

21. （本小题满分 12分） 已知f?x??lnx?ex?a．

（1）若x?1是f?x?的极值点，讨论f?x?的单调性； （2）当a??2时，证明：f?x?在定义域内无零点．

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，已知AB为圆O的一条直径，以端点B为圆心的圆交直线AB于C，D两点，交圆O于E,F两点，过点D作垂直于AD的直线，交直线AF于H点． （1）求证：B,D,H,F四点共圆；

（2）若AC?2,AF?22，求?BDF外接圆的半径． 23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，曲线 B是过点P??1,1?，倾斜角为

?4的直线，以直角坐标系xOy的

原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标，曲线A的极坐标方程是?2?（1）求曲线A的普通方程和曲线B的一个参数方程； （2）曲线A与曲线B相交于M,N两点，求MP?NP的值．

12．

3?sin2?

24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数f?x??x?2,g?x??mx?2?m?R?． （1）解关于x的不等式f?x??2x?3；

（2）若不等式f?x??g?x?对任意的x?R恒成立，求m的取值范围．

参考答案

一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C C A C B B A D A A D 1. B 【解析】因为z?i?1?bi??b?i，对应的点为?b,1?，所以b?1，选B． 2. C 【解析】取a?1,b??1，排除选项A，取a?0,b??1，排除选项B，取c?0，排除选项D，显然3. C 【解析】

11a?b，对不等式的两边同时乘成立，故选C． ?022c?1c?12sin450cos150?sin300?2sin450cos150?sin?450?150??2sin450cos150??sin450cos150?cos450sin150??sin450cos150?cos450sin150?sin600?故选C．

4. A 【解析】该几何体是一个四棱锥，其底面是边长为2的正方形，右侧面是腰长为5的等腰三角形，且垂直于底面，由此可得四棱锥的高为2，所以体积V?5. C 【解析】当a?0时，

328

，选A． 3

2122?1?0,??0，当?kAC??a?6时，目标函数aaa4?1z?2x?ay在线段AC上的所有点处都取得最小值，∴a?6，选C．

6. B 【解析】由题意知，F1F2?F1A?4，∵F1A?F2A?2，∴F2A?2，∴

42

F1A?F2A?6，∵F1F2=4，∴C2的离心率是?，选B

63

7. B 【解析】y?k?x?1??1恒过点P?1,1?，由点P?1,1?在椭圆内或椭圆上得：?191?1m

得m?9且m?9，选B. 808. A 【解析】在?ABC中，AB?40,AC?20,?ABC?120．

由余弦定理，得BC2?AB2?AC2?2AB?AC?cos1200?2800，所以BC?207．

10. A【解析】以点O为原点建立直角坐标系，所以A?1,0?,B?0,1?,C??31?,?，不妨设P4?4?????311?31?取点C，∴OP?b?a???,????1,1??????，故选A．

442?44?11. A【解析】∵?n?1?an?1?nan?0，∴∴

an?1n?1n?211n，∴an??????1?. ?nn?12nann?11111111111111a1?a2?a2?a3???an?an?1?????????????????1?1223nn?11223nn?1n?1，

∵a1?a2?a2?a3???an?an?1?m恒成立，∴m?1?11?，故选A. 2212. D【解析】由f?x??f?2?x?，可知函数f?x?图像关于x?1对称，又因为f?x?为偶函数，所以函数f?x?图像关于y轴对称.所以函数f?x?的周期为2，要使函数

g?x??f?x??logax有且仅有三个零点，即函数y?f?x?和函数y?logax图形有且只

0?a?1??11?有3个交点.由数形结合分析可知，?loga3??1,??a?，故D正确.

53?loga5??1??二、填空题 13.

71?1? 【解析】由题意知x?1,y?，故样本中心为?1,?，代入回归直线方程62?2?

??y117

?，得a??．所以x?3时，y?． x?a366

14．6【解析】连接EG,EH,FG，∵EH//FG，∴EFGH四点共面，由

可得平面EFGH与平面AB?D?平EG//AB?,EH//AD?,EG?EH?E,AB??AD??A，行，所以符合条件的共6条.

15. 1344 【解析】∵x3?x2?x1?a?1?1?a，∴S2016?672??1?a?1?a??1344. 16. ???,e2?? 【解析】令g?x??x2?2ex?m??0，

xe???1?lnxlnx?x?0?， xlnxlnx1?lnx设h?x???x2?2ex?，令f1?x???x2?2ex,f2?x??，∴f2??x??，发2xxx∴m??x2?2ex?现函数f1?x?,f2?x?在x??0,e?上都是单调递增，在x??e,???上都是单调递减，∴函数

h?x???x2?2ex?h?x?maxlnx在x??0,e?上单调递增，在x??e,???上单调递减，∴当x?e时，x11?e2?，∴函数有零点需满足m?h?x?max，即m?e2?．

ee411?，所以某同学被抽到的概率为. 601515三、解答题

17.【解析】（1）由题意可知，抽样比?课外兴趣小组中男同学

45，女同学1?4?3（人）

60（人）……………………………………………2分

（2）把3名男同学和1名女同学分别记为a1,a2,a3,b，则选取两名同学的基本事件有

?a1,a2?,?a1,a3?,?a1,b?,?a2,a1?,?a2,a3?,?a2,b?,?a3,a1?,?a3,a2?,?a3,b?，?b,a1?,?b,a2?,?b,a3?，共12个，其中恰有一名女同学的有6个. 所以选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为P?61?…………………………7分 122（3）由题意可知两名同学做实验得到的数据的平均数及方差分别为：

68?70?71?72?74?71,569?70?70?72?74x2??71,5x1??68?71???70?71???71?71???72?71???74?71?s2?122222

5?4,2?69?71???70?71???70?71???72?71???74?71?s2?222225?3.22由于s12?s2，因此，第二位同学的实验更稳定…………………………………………12分

18.【解析】（1）f?x???2cos??xxx????sin,1?3cosx??2cos,1? ?222????4cos2x????sinx?1?3cosx?sinx?cosx?3?2sin?x???3……………………24??……………3分

2k???2?x??4?2k???2,k?Z，

即2k???4?x?2k??3?,k?Z， 4所以f?x?的单调递增区间为

?3???2k??,2k??,k?Z…………………………………………6分 ??44??（2）因为f?A????2????. 2sin?A???3?4，所以sin?A???424???????3????,4?44又因为A??0,??，所以A????，故A??， ?44?所以A??2．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

于是在?ABC中，b2?c2?a2?10，

11b2?c25?，当且仅当b?c?5时等号成立， 故S?bc??2222所以?ABC的面积的最大值为

5………………………………………………………12分 219.【解析】①∵平面ACE?平面ABCD，且平面ACE?平面ABCD?AC，

∵BC?AC,BC?平面ABCD，

∴BC?平面AEC……………………………………………………………………………2分

AE平面AEC，∴BC?AE，……………………………………………3分

又AC?2,AE?EC?1，

∴AC2?AE2?CE2，

∴AE?EC………………………………………………………4分

且BC?EC?C，∴AE?平面BCEF……………………………………………6分

（2）

设AC的中点为G，连接EG，

∵AE?CE，∴EG?AC………………………………………………7分 ∵平面ACE?平面ABCD，且平面ACE?平面ABCD?AC， ∴EG?平面ABCD…………………………………………9分 ∵EF//BC,EF?平面ABCD，

所以点F到平面ABCD的距离就等于点E到平面ABCD的距离，

即点F到平面ABCD的距离为EG的长…………………………………………10分 ∴VD?ACF?VF?ACD?VE?ACD?∵

1S?ACDEG， 3S?ACD?1112，…………………………………AC?AD??2?2=1，EG?AC?2222……11分 ∴VD?ACF?122，即三棱锥D?ACF的体积为?1??3262…………………………………12分 620.【解析】（1）连接QB，∵AQ?QP?4,QP?QB，∴AQ?QB?4，

故点Q的轨迹是以点A,B为焦点，2a?4为长轴的椭圆， 所以a?2,c?1,b?3，

2x2y2点Q的轨迹曲线C的方程为：??1…………………………………………………5分

43（2）①当直线l1的斜率不存在时，则直线l1的方程为：x??1，直线l2的方程为：y?0，

2b21故MN?8,EF??3，∴SMFNE??8?3?12，不合题意，故直线l1的斜率存

a2在．．．．．．．．．．．．．．．6分

②当直线l1的斜率存在时，设直线l1的方程为：y?k?x?1?,E?x1,y1?,F?x2,y2?， ∴SMFNE?1?EF?MN?4EF. 2?y?k?x?1??联立?x2y2，

?1??3?4∴3?4k2x2?8k2x?4k2?12?0，

?????8k24k2?12∴x1?x2?，……………………………………………………8分 ,x1x2?223?4k3?4k∴EF?1?k∴

22??8k2?4?4k?12?1?k2??12?， ?2?223?4k3?4k?3?4k?2SMFNE10分

1?k21???4EF?48??121??14…………………………………………?22?3?4k?3?4k?∴4k2?3，∴k??3， 233?x?1?或y???x?1?……………………………………1222此时，直线l1的方程为y?分

21.【解析】（1）∵f??x??1x?a?e，由x?1是f?x?的极值点，知f??x??0， x故1?e1?a?0，∴a??1，………………………………………………………………2分

1?1,ex?1?e0?1，则f??x??0，所以f?x?在?0,1?内单调递增； x1② 当x?1时，0??1,ex?1?e0?1，则f??x??0，所以f?x?在?1,???内单调递

x① 当0?x?1时，

减……………5分

（2）因为函数f?x?的定义域为?0,???， 当a??2时，ex?a?ex?2，∴

f?x??lnx?ex?a?lnx?ex?2………………………………………6分

令g?x??lnx?ex?2,g??x??1x?211?e，令h?x???ex?2，∴h??x???2?ex?2?0， xxx?1∴g??x?在?0,???上递减，又g??1??1?e?0，

g??2??10?e?0，……………………………8分 2∴g??x?在?0,???上有唯一的零点x0， ∴

11?ex0?2?0，∴lnx0??x0?2,?ex0?2…………………………………………9分 x0x0当0?x?x0时，则g??x??0，所以g?x?在?0,x0?内单调递增； 当x?x0时，则g??x??0，所以g?x?在?x0,???内单调递减. ∴

g?x?max?g?x0??lnx0?ex0?2??x0?2?………11分

11??2x0?2?0…………………………x0x0故当a??2时，g?x??0，故f?x??g?x??0，

所以当a??2时，f?x?在定义域内无零点…………………………………………………12分

22.【解析】（1）因为AB为圆O的一条直径， 所以BF?FH．

又DH?BD，

故B,D,F,H四点在以BH为直径的圆上.

所以，B,D,F,H四点共圆…………………………………………………………4分 （2）由题意得AH与圆B相切于点F， 由切割线定理得AF2?AC?AD， 即22??2?2?AD,AD?4，

1?AD?AC??1,BF?BD?1， 2DHAD又?AFD??ADH，则，得DH?2. ?BFAF所以BD?连接BH（图略），由（1）可知，BH为?BDF外接圆的直径.

BH?BD2?DH2?3，

故?BDF的外接圆的半径为分

23.【解析】（1）∵?2?3………………………………………………………………1021222，∴?3?sin???12，即曲线A的普通方程为：?23?sin?x2y2??1， 43??x??1??曲线B的一个参数方程为：??y?1???2t2（为参2t2数）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）设PM?t1,PN?t2，∴MP?NP?t1t2．

??x??1??把??y?1???整理得：

222t22????2代入方程x?y?1中，得：3?1?2t?41?2t?12， ????????43222????t2221072,t1t2??， t?2t?5?0，∴t1?t2??772

∴MP?NP?t1t2?分

10．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10724.【解析】（1）由f?x??2x?3??∴x??或x??， 故原不等式的解集为

?x?2?x?2?2x?3或??x?2?2?x?2x?3，

131??．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 x|x????．3??（2）由f?x??g?x?，得x?2?mx?2对任意的x?R恒成立， 当x?0时，不等式x?2?mx?2成立； 当x?0时，问题等价于m?x?2?2x对任意的非零实数恒成立，

∵

x?2?2x?x?2?2x?1，

∴m?1，即m的取值范围是

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 ???,1?．

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