静定结构内力计算

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第三章 静定结构的受力分析

一、 静定结构的特征

本章讨论各类静定结构的内力计算。何谓静定结构，①从结构的几何构造分析知，．．．．静定结构为没有多余联系的几何不变体系；②从受力分析看，在任意的荷载作用下，静定结构的全部反力和内力都可以由静力平衡条件确定，且解答是唯一的确定值。因此静定结构的约束反力和内力皆与所使用的材料、截面的形状和尺寸无关；③支座移动、温度变化、制造误差等因素只能使静定结构产生刚体的位移，不会引起反力及内力。

二、 静定结构的计算方法

在材料力学中，杆件横截面的内力用截面法求解，即用假想的截面截取分离体，暴露出所求截面的内力，然后列出分离体的平衡方程，计算支座的反力和内力，绘制结构的内力图。对静定结构受力分析的基本方法就是截面法。本章将对实际工程中应用较广泛的单跨和多跨静定梁、静定平面刚架、三铰拱、静定平面桁架、静定组合结构等常见的静定结构（图3-1）进行了内力分析，并完成内力图的绘制。

(

a)单跨静定梁(b)多跨静定梁

(

c)

静定刚定

(

f)静定组合结构

图3-1 常见静定结构

第一节 单跨和多跨静定梁

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一、 单跨静定梁

单跨静定梁在工程中应用很广，是组成各种结构的基本构件这一，其受力分析是各种结构受力分析的基础。在材料力学中对梁的受力分析及内力求解已作了详细的研究，在这里仍有必要加以简略回顾和补充，以使读者进一步熟练掌握。

1、 单跨静定梁的基本形式及约束反力

(a)简支梁(b)悬臂梁

(

c)外伸梁

图3-2 单跨静定梁

单跨静定梁的结构形式有水平梁、斜梁及曲梁；简支梁、悬臂梁及伸臂梁是单跨静定梁的基本形式，梁和地基按两刚片规则组成静定结构，其三个支座反力由平面一般力系的三个平衡方程即可求出。

2、 内力分量

计算内力的方法为截面法。平面杆系结构（图3-3a）在任意荷载作用下，其杆件在传力过程中横截面m-m上一般会产生某一分布力系，将分布力系向横截面形心简化得到主矢和主矩，而主矢向截面的轴向和切向分解即为横截面的轴力FN和剪力Fs，主矩

即为截面的弯矩M。轴力FN、剪力Fs和弯矩M即为平面杆系结构构件横截面的三个内力分量，如图3-3b所示。

内力的符号规定与材料力学一致，如图3-4：轴力以拉力为正；剪力以绕分离体顺时针方向转动者为正；弯矩以使梁的下侧纤维受拉为正。反之则为负。

内力计算由截面法的运算得到：

轴力FN等于截面一侧所有外力（包括荷载和反力）沿截而法线方向投影代数和。 剪力Fs等于截面一侧所有外力沿截面方向投影的代数和。

截面的弯矩M等于该截面一侧所有外力对截面形心力矩的代数和。

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拉区压区

图3-4

(b)

(c)

上述结论的表达式为

FN FxiL （或FN FxiR）

LR

Fs Fyi （或Fs Fyi） (3 1)

LR

M Mc(Fyi) （或M Mc(Fyi)）

式中，FxiL——截面左侧某外力在x轴线方向的投影；FxiR——截面右侧某外力在x轴方

LR

向的投影；Fyi——截面左侧某外力在y轴方向的投影；Fyi- 截面右侧某外力在y轴方LR向的投影。Mc(Fyi)-截面左侧某外力对该截面形心c之力矩；Mc(Fyi)-截面右侧某外力

对截面形心c之力矩。

3、 内力与荷载间微分关系及内力图形状的判断

绘制杆系结构的内力图一定要熟练掌握荷载、剪力和弯矩间的微分关系，即：

q(x)

dxdM

Fs (3 2)

dx

dFsd2M

q(x)

dx2dx

dFs

根据荷载、剪力和弯矩间的微分关系，以及杆件在集中力和集中力偶作用截面两 侧内力的变化规律，将内力图绘制方法总结在表3-1中以供复习。

3-1 直梁内力图的形状特征

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第三章

静定结构的受力分析

Fs 图为水平线

M

图为斜直线 M<0

Fs

Fs 0xOMO

M 0M>0

q 0无外力作用梁段

O

x

FsO

Fs>0x

1

xdM >0 dx

M

FsO

Fs<0O

xdM dx

x

M

<0

q 常数 >0

FsO

上斜直线

2均布荷载作用指向上方q 常数 <0

O

x上凸曲线

x下斜直线

M

FsO

下凸曲线O

3均布荷载作用指向下方C

xM

x

4集中力作用MeC

C

Fp

FP

C 截面剪力有突变

C C 截面弯矩有转折Mee

FsC

5

集中力偶作用 C 截面剪力无变化

x

C

C 截面左右侧，弯矩突变 ( M e 顺时针，弯矩增加；反之减少)

6

M

极值的求解： .....

Fs ( x ) 0的截面

M 有极值

13

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MB

(a)

8

B

2ql8(b)

B

(c)(d)

4、 区段叠加法作弯矩图

图3-5

M图(kN m)

用叠加法做简支梁（图3-5a）在均布荷载q、A截面外力偶MA和B截面外力偶MB共同作用下的弯矩图。图3-5中，由叠加原理：图a=图b+图c+图d。实际作图时，不必作出分解图b、c、d，而直接作出图3-4a。其方法是先绘出两个杆端弯矩MA和MB，并用直线（图中虚线）相连，然后以此直线为基线叠加简支梁在荷载q作用下的弯矩图3-4b。其跨中截面C的弯矩为：MC

ql2MA MBql2

。注意弯矩图的叠加是指

22828MA

MB

其纵坐标叠加。这样，最后的图线与最初的水平基线之间所包含的图形即为叠加后所得的弯矩图。

上述叠加法对作任何区段的弯矩图都是适用的，如图3-6a 所示的梁承受多种荷载

1

A M

B)MB

FPl4

MA(d)

D2

(g)

sBD

sDB

图3-5

作用，如果已求出某一区段AB截面

A的弯矩MA

和截面B的弯矩MB，则AB区段上集中力作用的跨中截面的弯矩不必用截面法去求，而可采用简便的区段叠加法求解。取出

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图3-6b AB段为分离体，根据分离体的平衡条件分别求出截面A、B的剪力FsA和FsB。将此分离体与图3-6c所示的简支梁相比较，由于简支梁受相同的集中力FP及杆端弯矩

MA和MB作用，由简支梁的平衡条件可求得支座反力FAy FsA，FBy FsB。

至此可见，图3-6b的AB区段梁和图3-6c所示的简支梁受力完全相同，故两者弯矩图也必然相同；对于图3-6c所示简支梁的弯矩图可用图3-7简支梁的叠加法作出。图3-7所示的简支梁在跨中C截面的弯矩可由叠加法按下式计算：

MC

MA2 MB2

MA MB11

Fl Fl 424

同理，图3-6e的BD区段梁和图3-6f所示的简支梁受力完全相同，故两者弯矩图也相同；而图3-6f所示简支梁的弯矩图在图3-5a中已用叠加法绘出。故得出结论：受弯结构中任意区段梁均可当作简支梁，利用简支梁弯矩图的叠加法作区段梁的弯矩图。

Fl4

2

(a)

BMB

(b)

(c)

(d)

图3-7

5、 绘制内力图的一般步骤

M图(kN m)

（1） 求反力（一般悬臂梁不求反力）

（2） 分段。凡外荷载不连续点（如集中力作用点、集中力偶作用点、分布荷载的起讫点及支座结点等）均应作为分段点，每相邻两分段点为一梁段，每一梁段两端称为控制截面，根据外力情况就可以判断各梁段的内力图形状。

（3） 定点。根据各梁段的内力图形状，选定所需的控制截面，用截面法求出这些控制截面的内力值，并在内力图上标出内力的竖坐标。

（4） 连线。根据各段梁的内力图形状，将其控制截面的竖坐标以相应的直线或曲线相连。对控制截面间有荷载作用的情况，其弯矩图可用区段叠加法绘制。

6、 静定结构内力求解中几点注意的问题：

（1） 弯矩图画在受拉边、不标明正负，轴力图剪力图画在任一边，标明正负 （2） 内力图要标名名称、单位、控制竖标大小 （3） 大小长度按比例、直线要直、曲线光滑

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（4） 截面法求内力所列平衡方程正负与内力正负是完全不同的两套符号系统 例3-1试作图3-8所示梁的剪力图和弯矩图。 解: （1）求支座反力：

ME 0, MA 0

FRA FRE

26kN m 30kN 5m 6kN/m 6m 1m 20kN m

7m

26kN m 30kN 2m 6kN/m 6m 6m 20kNm

7m

20kN m(↑)

46kN(↑)

（2）梁分段并用截面法求出各控制截面的剪力和弯矩：

R

A右 截面：Fs,RA 20kN MA 0

LB左 截面：Fs,LB Fs,RA 20kN MB 20kN 1m 20kN m RLB右 截面：Fs,RB 20kN MB M B 26kN m 46kN m LC左 截面：Fs,LC 20kN MC 20kN 2 26kN m 66kN m RLC右 截面：Fs,RC 20kN-30kN -10kN MC MC

LR

D 截面：Fs,D Fs,D -10kN

LRMD MD 20kN 3m 26kN m-30kN 1m 56kN m

E左 截面：FsL,E -10kN-6kN/m 4m 34kN

LME -20kN m-6kN/m 2m 1m -32kN m

LL

m E右 截面：Fs,RE Fs,E 46kN 12kN MC 6kN/m 2m 1m 12kN

L

F左 截面：FsL m -20kN m ,F 0 ME -20kN

（3）定出各控制截面的纵座标，按微分关系连线，绘出剪力图和弯矩图。 其中区段BD和区段DE可用区段叠加法快速求区段跨中弯矩： 区段BD跨中截面：MC 区段DE跨中截面：MG

MB MD

2MD ME

2

14

Fl

46 562

30 24

66kN m

ql256 326 42

24kN m 828

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7、 斜简支梁的内力图

20kN m

图3-8

在建筑工程中，常会遇到杆轴倾斜的斜梁，其中单跨静定斜梁的结构形式有：梁式楼梯、板式楼梯、屋面斜梁以及具有斜杆的刚架。斜梁上主要有两种外荷载的分布情况：⑴图3-9a中沿杆轴长度作用的铅垂均布荷载，荷载分布集度为q1 ，例如楼梯的自重荷载。⑵图3-9b水平方向作用的均匀荷载，荷载分布集度为q2，例如楼梯上的人群荷载。

x

图3-9

为了计算上的方便，在图3-9a

中，一般将沿楼梯梁轴线方向均布的荷载q1 按照合力等效原则换算成沿水平方向均布的荷载q1，即：

q1

lq1

q1l q1

cos co s

故对于楼梯斜梁无论是计算楼梯自重荷载作用还是计算人群荷载作用均可采用水

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平方向均布的荷载作用（图3-9c）进行内力计算。下面用一例题说明斜梁的内力计算特点。

例3-2如图3-9所示楼梯简支斜梁，斜梁的水平投影长度为l，斜梁与水平方向夹角为 ，斜梁自重荷载为q1 ，承受的人群荷载为q2，试绘制斜梁在两个荷载共同作用下的内力图。，

解：（1）自重荷载换算 将沿斜梁轴线方向的荷载q1 换算成沿水平方向的荷载q1，

有q1 q1 ，则图3-9c中斜梁沿水平方向

cos

均布总荷载q q1 q2

FAy

ql

cos 2

（2）计算支座反力：取整体为研究对象，如图3-9c，利用平衡条件求得

FAx 0，FAy

qlql（↑）， FB （↑） 22

（3）计算任意杆件横截面的内力：用K横截面截开斜梁，取AK为分离体如图3-9d所示，求K截面的内力:

MK

qlqx2qx

l x x 0，MK

222

图3-10

Fx 0，FNK qxsin Fy 0，FsK

1

qlsin qsin x 0.5l 2

1

qlcos qxcos qcos 0.5l x 2

（4）作内力图，由MK、FsK和FNK的表达式可以看出，该斜梁的弯矩图为二次抛物线，剪力图和轴力图是一斜直线，如图3-10所示。

9kN/m，人群荷载q2 5kN/m，l 5.2m， 30 ，有 当斜梁自重荷载q1

q1

q19

63kN/m ，q q1 q2 63 7.5 17.9kN/m，则斜梁内最大内力

cos cos30

为：

x 2.6m，MK,max

17.9 0.5 5.2

5.2 0.5 5.2 121kN m

2

x 0或5.2m，FN,max 0.5qlsin 0.5 17.9 5.2 sin30 23.75kN

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x 0或5.2m，Fs，max 0.5qlcos 0.5 17.9 5.2 cos30 40.31kN

斜梁内力图的要点说明： （1） 内力为斜梁横截面内力；

（2） 由于斜梁的倾角 ，使其在竖向荷载作用

(b)

(a

)

B

F图 s

下横截面上内力除了有剪力和弯矩外，还有轴力。，

（3） 斜梁在竖向荷载作用下的内力与相同跨度和荷载作用下的水平简支梁（图3-11）的内力比较，在相同的截面位置处存在如下关系：

(c)M 图

1

ql28

图3-11

s， FN(x) Fs (x)sinM(x) M (x)， Fs(x) Fs (x)co

（4） 斜梁的内力图要沿斜梁轴线方向绘制，且叠加原理亦适用。

(a)

(b)

A

(c)

A(d)

E

A

图3-12

二、 多跨静定梁

（一）、 多跨静定梁的几何组成特点：

多跨静定梁是由若干根梁用铰相联，并受到与基础相联的若干支座的约束的静定结构。常见用于公路桥梁(图3-12a)、单层厂房建筑中的木檩条等工程中。

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图3-12a中的多跨静定梁，计算简图如图3-12b所示。从几何组成上看，多跨静定梁各部分可分为基本部分和附属部分。图3-12b中AD、EH两个部分均有三根支座链杆．．．．．．．．直接与地基相联，为静定外伸梁，它们可以不依赖其他部分提供的约束而能独立的承受荷载作用，为没有多余约束的几何不变体系，称它为结构的基本部分。而图中的DE部分在没有两边的基本部分通过铰D和E提供支持的前提下，不能承受荷载，即它必须依靠基本部分才能维持其几何不变形，故被称为结构的附属部分。 显然，若附属部分被破坏或撤除，基本部分仍能维持其几何不变性；反之，若基本部分被破坏，则附属部分必随之跨塌破坏。为了更清晰地表示各部分之间的支持依从关系，可以把基本部分画在下层，而把附属部分画在上层，如图3-12c所示，称为层叠图。具有多级附属关系，．．．．．．．．．且具有相对性。 ．．．

（二）、 多跨静定梁的内力分析

由于多跨静定梁的基本部分直接与地基组成几何不变体系，因此它能独立承受荷载作用而维持平衡。当荷载作用于基本部分时，由平衡条件可知，将只有基本部分受力，而附属部分不受力。当荷载作用于附属部分时，则不仅附属部分受力，而且由于它是支承在基本部分上的，其反力将通过铰结处传给基本部分，因而使基本部分受力。由上述基本部分与附属部分之间的传力关系可知，计算多跨静定梁的顺序应该是先附属部队，后基本部分；即与几何组成的顺序相反，这样才可顺利地求出各铰结处的约束力和各支座反力，做到列一个平衡方程解一个未知量，而避免解联立方程。每取一部分为分离体分析受力时（图3-12d），与单跨梁的情况相同，就按前述的单跨梁求反力和绘制内力图。

图3-13给出了几见常见的多跨静定梁基本组成型式：

（1）图3-13a中除第一跨外，其余各跨皆有一铰，其层叠图如图3-13b所示。图中①本身是一几何不变体系，故为基本部分；而②、③、④只有依赖于①才能承受荷载，故均为附属部分，而该附属部分间还存在主次关系，其中①支承②，②支承③，③支承④，④为最后一级附属部分。结构受力分析计算时应按④→③→②→①的顺序计算。 （2）图3-13c中无铰跨和两铰跨交替出现，其层叠图如图3-13d所示。图中外伸梁与支承于外伸梁上的挂梁交互排列，虽然②、③两外伸梁只有两根竖向支座链杆直接与地基相连，但在竖向荷载作用下能独立承载维持平衡。因此在竖向荷载作用下①、②、③均为基本部分，而④、⑤挂梁则为不能独立承载的附属部分。结构受力分析时应按计算④、⑤→，后计算①、②、③。

（3）图3-13e为前两种的组合方式，其层叠图如图3-13f所示。①、②为外伸梁，为多

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跨静定梁的基本部分；而②支承③，①和③共同支承挂梁④，④为多跨梁的最后一级附属部分。结构受力分析时应按④→③→①和②。

例3-2 试计算图3-14a所示多跨静定梁，并做内力图。

解：多跨静定梁基本部分为AB和DH，附属部分为BD，层叠图如图3-14b所示。分析从附属部分BD开始，然后分别是AB和DH；附属部分BD和基本部分AB、DH受力图如图3-14c，并根据平衡方程求铰结点B、D和支座A、E、G的约束反力。

因梁上只承受竖向荷载，由整体平衡条件可知水平反力FAx 0,从而可推知各中间铰结点处的水平反力均等于零，全梁不产生轴力。挂梁BD受到的基本部分的支持力，B铰处的反作用力即为基本部分AB的荷载，D铰处的反作用力即为基本部队DH在D截面受到的荷载。所有约束反力实际方向及大小标注于图中，毋须再说明。剪力图和弯矩图按照“分段、定点、连线”的绘图方法绘出如图3-14d、e。

三、 多跨静定梁的受力特征

图3-15a所示的多跨简支梁，在均布荷载q作用下,支座处的弯矩为零，跨中弯矩最大值为ql2，弯矩图如图3-15b所示，若用同样跨度的三跨铰结静定梁图3-15c代替图a中所示的多跨简支梁，在同样的荷载作用下，其弯矩图则如图3-15d所示。随着两个中间铰到支座B或C的距离a的增加，中间支座B、C的负弯矩会随之增大；可证明当

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

力学相关

(a)

H

M图

(kN·m)

图3-14

边跨AB或CD跨产生的最大正弯矩等于中间支座B或C的支座负弯矩，a 0.1716l时，

即ME MB 0.0858ql2。将这一弯矩结果与图3-15b比较，可知三跨铰结静定梁的最大弯矩要比简支梁的最大弯矩小31.3%。比前者的弯矩分布更为均匀。究其原因是因为多跨静定梁中布置了外伸悬臂梁的缘故，它一方面减少了附属部分的跨度，一方面又使得外伸臂上的荷载对基本部分产生负弯矩，由于支座处负弯矩的存在，阻止了杆件在支座处产生较大的转角，故也减少了杆件跨中的挠曲变形，跨中截面的正弯矩也减少。因此多跨铰结静定梁较相应的多跨简支静定梁更节省材料，但其构造要复杂些，施工的难度也相应增加。，从而部分的抵消了跨中荷载所产生的正弯矩。因此多跨静定梁较多跨简支梁在材料用量上较省，但构造却要复杂一些。

力学相关

q

(a)

(b)

q

(c)

(d)

求解多跨静定梁内力的方法和要点：

（1）应用弯矩图的形状特征以及叠加法，在某些情况下可以不计算反力而首先绘出弯矩图。铰结处由于剪力的相互作用，互相抵消，因此铰支座处剪力图不突变；铰不传递弯矩，弯矩为零。

（2）有了弯矩图，剪力图即可根据微分关系或平衡条件求得。 （3）由剪力图上剪力竖标的突变值得到支座反力值。 例3-3试判断图示结构M图的形状是否是正确的？

(a)

(b)

(c)

图3-16

力学相关

解：（1）图3-16a所示的三跨静定梁的弯矩图是错误的。在C、E、G铰结点处弯矩为零，铰不传递弯矩。

（2）根据多跨静定梁的层叠关系作出各附属部份AC、CE、EG以及基本部分GH

的受力图3-16b。

（3）全梁无分布荷载，弯矩为斜直线，弯矩的转折控制面为B、D、E三个铰

支座截面。改正后的弯矩图如图3-16c。

第二节 静定平面刚架

一、刚架概述

刚架是由若干梁、柱等直杆组成的具有刚结点的结构。刚架在建筑工程中应用十分广泛，单层厂房、工业和民用建筑如教学楼、图书馆、住宅等；6～15层房屋建筑承重结构体系其骨架主要就是刚架，其形式有：悬臂刚架、简支刚架、三铰刚架、多跨等高或不等高刚架等静定刚架，以及两铰、无铰、多层多跨、封闭刚架等超静定结构，工程式上大多数刚架为超静定刚架，但静定刚架是超静定刚架计算的基础。本节主要学习静定平面刚架，超静定平面刚架将在超静定结构的章节中研究。

当所有直杆的轴线在同一平面内，荷载也作用在此平面内时，这种静定刚架可按平面问题处理，称为静定平面刚架。如图3-17a、b、c所示，为其在工程中的应用。其中悬臂刚架在工程属于独立刚架，常用于小型阳台、挑檐、建筑小品、公共汽车站雨篷、车站篷、敞廊篷等；悬臂刚架的结构特点为一端固定的悬臂或悬挑结构，或固

(a)

悬臂刚架

简支刚架

图3-17

三铰刚架

力学相关

(b)

图

3-18

定柱脚，或固定在梁、板的一端。而三铰刚架结构特点为两折杆与基础通过三个铰两两相连，构成静定结构；主要用于仓库、厂房天窗架、轻刚厂房等无吊车的建筑物。 在土建工程中，平面刚架用得很普遍，而本章讨论的平面静定刚架是超静定刚架的基础。所以掌握静定平面刚架的内力分析具有十分重要的意义。

静定平面刚架的形式如图3-18所示，图a—悬臂刚架，图b—简支刚架，图c—三铰刚架，图d—多跨等高和不等高刚架，图e—组合刚架。

二、刚架的主要的结构特征

1．变形特征：在刚架中，几何不变体系主要依靠结点刚性联结来维持，无需斜向

图3-19

支撑联系，因而可以使结构的内部具有较大的净空得到利用。如图3-19a所示的静定桁架承受水平荷载，如果把C、D两铰结点改为刚结点，并支掉斜杆，使其变为一次超静定的两铰刚架，如图3-19b所示。显然，内部净空得到增大，从变形的角度来看，原来

力学相关

桁架在铰结点处杆件有相对转角的变形，图中结点处的虚线夹角可看出；但在刚架

q

q

图3-20 2m

中，梁柱形成一个刚性整体，增大了结构刚度，刚结点在刚架的变形中既产生角位移，又产生线位移，但各杆端不能产生相对移动和转动，刚结点各杆端变形前后夹角保持不变。刚结点这一较铰结点更强的阻止结点杆端相对转角产生的约束特性，是刚架内力分析的出发点。图3-19c给出了三铰静定刚架的变形曲线，将其与图3-19b一次超静定的两铰刚架进行变形比较可知，静定结构由于比超静定刚架缺少多余约束，故产生的变形较超静定刚架大，但较简支梁小。

2．内力特征：从内力角度来看，刚架的杆件截面内力通常有弯矩M、剪力Fs和轴力FN。由于刚结点较强的约束，它能够承受和传递弯矩，使刚架内力分布相对变得更均匀一些，使材料的力学性能充分发挥，达到节省材料的目的。如图3-20a、b分别给出了简支梁、两铰刚架在均布荷载作用下的弯矩图，由于刚架刚结点对杆端截面相对转动的约束，能传递力和力矩，因此，刚架的内力、变形峰值比用铰结点连接时小，而能跨越较大空间，工程应用广泛。图3-20b的两铰刚架与图3-20c的三铰刚架受力和变形分析比较，可知超静定刚架由于有更强的约束，使结构在相同的荷载作用下产生的内力和变形又较静定刚架小，更为合理。

三、静定平面刚架的内力分析

静定平面刚架的弯矩M、剪力Fs和轴力FN三个内力分量，其计算方法原则上与静定结构梁相同。在刚架整个运算过程中，内力正负号及杆端内力的表示方法如图3-21b所示。结构力学中通常规定刚架杆端弯矩顺时针（对结点逆时针）为正，反之为负。但 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

力学相关

esDB

(a)

BFBV

(b)

图3-21

画弯矩图依然是画在受拉一侧，因而不必注明正负；其剪力和轴力正负的约定与梁中剪力和轴力的正负规定相同，剪力图和轴力图可画在杆件轴线的任一侧，但必须注明正负。

静定刚架内力求解的步骤通常如下： 1．求出支座反力。

（1）悬臂刚架（可不求支座反力，图3-18a）、简支刚架（图3-18b）：刚架与地基按照两刚片规则组成，荷载作用时产生的支座反力只有三个，利用整体的平衡条件，列平面一般力系的三个独立平衡方程即求得支座反力。

（2）三铰刚架：三铰刚架的两根折杆与地基之间按照三刚片规则组成时，支座反力有四个，其全部反力的求解一般需取两次分离体，首先取整体为分离体列三个平衡方程，然后取刚架的左半部分（或右半部分）再列一个平衡方程（通常列对中间铰的力矩式平衡方程 MC(Fi) 0），方可求出全部反力。注意昼量做到列一个方程一，解一个未知量，避免解联立方程。

（3）组合刚架：先进行几何组成分析，分清附属部分和基本部分，应遵循先计算附属部分支座反力再计算后基本部分的计算顺序。

2．刚架内力计算的杆件法：将刚架折成若干个杆件（分段），先用截面法的简便算．．．．．．．法求出各杆件的杆端内力（定点）。 ．．．．．．

3．连线：然后利用杆端内力（运用内力图与荷载关系表3-1或区段叠加法计算），．．．．．．．．．．．．．．．．．．．将各杆段的两杆端内力座标连线，逐杆绘制内力图。刚架的轴力一般不为零，各杆内力．．图合在一起就是刚架的内力图。

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4．在内力求解及绘制内力图时需特别注意几个关键问题：

（1）在结点处有不同的杆端截面：每个刚结点连接好几个杆件，各杆端内力并不．．．．．．．．．．．．完全相同。杆端内力的表示：如在图3-21a中要用内力符号表示AC杆在C端的三个杆端内力，则分别记为：MCA，FsCA、FNCA，下标“CA”表示待求截面所在的杆件的记号，其中第一个字母表示内力所属的截面，称为近端，后面的字母表示该杆件的另一端，称为远端。当要求CD杆在C端的杆端内力时，则杆端内力记号为：MCD，Fs,CD、FN,CD。

（2）隔离体的选择：每个切开的截面处一般有三个待求的未知内力分量，其中轴力、剪力以正方向绘出，弯矩可以顺或逆的方向绘出。

（3）校核：由于刚架结构组成受力比较复杂，内力比较复杂，初学易出现计算错误，作出内力图后应该加以校核。校核的原则是：整体结构平衡时，结构中任一局部都应保持平衡，可以从结构中取出某一部分应维护静力平衡。通常可校核结点的静力平衡。通过结点的平衡校核可初步判断内力图是否正确。

图3-21b中，汇交于刚结点C或D的所有杆端内力构成平衡的平面一般力系，故知杆．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．端剪力和杆端轴力在任意方向投影的代数和为零；由于刚结点能传递弯矩，当其上无集．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．中外力偶作用时，汇交于刚结点的所有杆端的弯矩的代数和为零；当其上有集中外力偶．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．作用时，汇交于刚结点的所有杆端的弯矩与集中外力偶构成平衡的力偶系。即满足： ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

FsCF FNCE 0 结点C： Fi,x 0 FsCA

Fi,y 0 FNCA FNCF FsCE 0 (a) MC 0 MCA MCF MCE 0

结点D： Fi,x 0 FsDB FNDE 0

Fi,y 0 FNDB FsDE 0 (b) MD 0 MDB MDE Me 0

例3-4试作图3-22a所示简支刚架的内力图。图中q 10kN/m，FP 20kN，

M 30kN m，l 2m。

解：简支刚架的内力计算一般先利用整体的平衡条件，列三个平衡条件即可求得三个支座反力；然后折分刚架为四根杆件，取各杆件为分离体（见图3-21b），由平衡方程分别计算各杆端截面内力；最后根据各杆端内力值定点、连线，绘制内力图。

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m

FAHFAV=40kN

(b)

40

40

图 3-22

1．求支座支力。取整个刚架为分离体，利用平衡条件

m（←） Fx 0, FAH 5kN 6m 30kN

MB 0, MA 0

FAV FBV

30kN m 5kN/m 6m 3m-20kN 2m

20kN m(↓)

4m30kN m 5kN/m 6m 3m 20kN 2m

40kN m (↑)

4m

2．求杆端内力。刚架可折分为AC、CF、CD、DB四根杆件，以各杆件及结点为分离体，受力图绘于图3-21b，利用分离体的平衡方程可得 AC杆件A端：MA 0 FsAC 30kN FNAC 20kN AC杆件C端：MCA 30 4 5 4 2 80kN m

FsCA 30 5 4 10kN FNCA 20kN

CF杆件F端：MFC 0 FsFC 0 FNFC 0

CF杆件C端：MCF 5 2 1 10kN m FsCF 5 2 10kN FNCF 0 BD杆件B端：MBD 0 FsBD 0 FNBD 40kN

力学相关

BD杆件D端：MDB 0 FsDB 0 FNDB 40kN 利用节点C和结点D的平衡条件

CD杆件C端：MCD 80 10 90kN m(顺) FsCD 20kN FNCD 0kN CD杆件D端：MDC Me 30kN m（顺） FsDC 40kN FNDC 0

3．作内力图。根据以上求得的各杆端内力，定点、连线作出弯矩图、剪力图和轴力图，如图3-22b、c、d所示，CD杆件跨中截面弯矩利用前述的区段叠加法确定。

4．内力图的校核：对于弯矩图，通常是检查刚结点处是否满足力矩平衡条件；而本例中已经利用结点C的平衡求得了CD杆的左端杆端内力MCD、FsCD、FNCD，同样利用结点D的平衡求得了CD杆的右端杆端内力MDC、FsDC、FNDC，两个结点力矩满足平衡条件。一般为了校核剪力图和轴力图的正确性，可取刚架的任何部分为分离体以检查内力求解是否正确。此时可取出CD杆（图3-23）进行内力图的校核。从CD的实际受力图中可知CD杆件杆端内力与集中荷载构成平衡力系，即

Fx 0 Fy 20 20 40 0 MC 90 20 2 30 40 4 0

故从图3-23中可知，计算及绘制的内力图正确无误。

1090kNkN m

30kN 30kN m

C

80

10kN

10kN

90kN m

D

kN

kN50kN m

40kN

50kN m

图3-23

例3-5试作图3-24a所示悬臂刚架的内力图。

解：悬臂刚架的内力计算与悬臂梁基本相同，一般从自由端开始，逐根杆件截取分离体计算各杆端内力。悬臂刚架可以不先求支座反力，只是在内力计算结果的检验时可利用整体平衡下求得的支座反力。

1．求杆端内力：将悬臂刚架折分成三根杆件CB、DB、AB及结点B。其受力图如图3-24b。杆端内力计算从自由端开始，用截面法直接计算： CB杆件： MCB 0 FsCB 20kN FNCB 0

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