2009中考分类汇编-等腰三角形与勾股定理

17．等腰三角形与勾股定理

一、选择题

1．（2009年山西省）如图，在RtΔABC中，∠ACB＝90°BC＝3,AC＝4,AB的垂直平分

线DE交BC的延长线于点E，则CE的长为（ ） A．

3725

B． C． 266

A

D．2

【关键词】相似三角形判定和性质；勾股定理；线段和角的概念、性质 【答案】B

2．(2009年达州)图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形

都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是

A．13 B．26 C．47 D．

94

【关键词】勾股定理 【答案】C 3．（2009年湖北十堰市）如图，已知RtΔABC中，∠ACB＝90°，AC＝ 4，BC＝3，以AB边所在的直线为轴，将ΔABC旋转一周，则所得几何体的表面积是（ ）． A．

16884

B．24 C． D．12 55

4．(2009年湖州)如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB上的点，DE⊥AC,EF⊥AB,FD⊥BC，则ΔDEF的面积与ΔABC的面积之比等于（ ） A．1∶3

A F

E

C

B．2∶3

C

2

D

3

【关键词】等边三角形的性质，相似的性质 【答案】A 5．（2009年广西钦州）如图，AC＝AD，BC＝BD，则有（ ）

A．AB垂直平分CD C．AB与CD互相垂直平分

C

B．CD垂直平分AB D．CD平分∠ACB

A

B

D

【关键词】全等三角形、等腰三角形三线合一． 【答案】A

6．（2009年衡阳市）如图2所示，A、B、C分别表示三个村庄，AB＝1000米，BC＝600米，AC＝800米，在社会主义新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个 文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P 的位置应在（ ） A．AB中点 B．BC中点 C．AC中点 D．∠C的平分线与AB的交点

【关键词】勾股定理的逆定理，三角形中垂线 【答案】A 7．（湖北省恩施市）如图3，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距

离为5，上只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是( )

A．

B．25 C

． D．

35

8．（浙江省丽江市）如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°,AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为2 , l2，l3之间的距离为3 ,则AC的长是（ A ）

A．2 B．2 C．42 D．7

A

C

l2

2

2

l1

l3

2

∴ AD+DB=DE． 9．（2009白银市）如图，⊙O的弦AB＝6，M是AB上任意一点，且OM最小值为4， 则⊙O的半径为（ ）

A．5 B．4 C．3 D．2 【关键词】勾股定理 【答案】

A

10．（2009年济宁市）“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．如图，是一“赵爽弦图”飞镖板，其直角三角形的两条直角边的长分别是2和4．小明同学距飞镖板一定距离向飞镖板投掷飞镖（假设投掷的飞镖均扎在飞镖板上）, 则投掷一次飞镖扎在中间小正方形区域（含边线）的概率是

A．

1111 B． C． D． 24510

【关键词】勾股定理 【答案】C 11．（2009白银市）如图，四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为8，则BE＝（ ） A．2

B．3

C

．

D

．

【关键词】勾股定理，四边形的性质 【答案】C 13．（2009年烟台市）如图，等边△ABC的边长为3，P为BC上一点， 且BP＝1，D为AC上一点，若∠APD＝60°，则 CD的长为（ ） A．

3 2

A

B．

2 3

C．

1 2

D．

3 4

B

60

C

【关键词】等腰三角形 【答案】B

13． （2009年嘉兴市）如图，等腰△ABC中，底边BC a， A＝36°， ABC的平分线

交AC于D， BCD的平分线交BD于E，设k A．k2a C．

B．k3a D．

1

，则DE＝（ ▲ ） 2

ak2

ak3

A

B

D C

【关键词】等腰三角形 【答案】A 14．（2009泰安）如图，△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若BC＝6，则DF的长是 （A）2 （B）3 （C）

5

（D）4 2

【关键词】角平分线、中位线 【答案】

B

15．（2009恩施市）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（ ） A

． B．25 C

．5 D．35 【关键词】图形的展开、勾股定理

16．（2009恩施市）16．如图6，⊙O的直径AB垂直弦CD于P，且P是半径OB的中点，CD＝6cm，则直径AB的长是（ ） A． B． C． D． 【关键词】垂径定理、勾股定理 【答案】D

17．（2009丽水市）如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°,AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为2 , l2，l3之间的距离为3 ,则AC的长是（ ）

A．2 B．2 C．42 D．7

A

C

l2 l1

l3

【关键词】直线与直线的距离、勾股定理，解直角三角形 【答案】A 18．．（2009年宁波市）等腰直角三角形的一个底角的度数是（ ） A．30° B．45° C．60° D．90° 【关键词】等腰三角形 【答案】B

19． （2009年滨州）如图3，已知△ABC中，AB＝17，AC＝10，BC边上的高 AD＝8， 则边BC的长为（ ） A．21 B．15 C．6 D．以上答案都不对 【关键词】勾股定理． 【答案】A

A

C

20．(2009武汉)9．如图，已知O是四边形ABCD内一点，OA＝OB＝OC，∠ABC＝∠ADC＝70°，则∠ADO+∠DCO的大小是（ ） A．70° B．110° C．140° D．150°

C

【关键词】等腰三角形 多边形的内角和 【答案】D 提示：∠BAO+∠BCO＝∠ABO+∠CBO＝∠ABC＝70°，所以∠BOA+∠BOC＝360°－140°＝220°，所以∠AOC＝140°。 21．（2009重庆綦江）如图，点A的坐标是(2,2)，若点P在x轴上，且△APO是等腰三角形，则点P的坐标不可能是（ ） ．．．A．(4，0) B．（1．0） C．（-22，0） D．（2，0）

y

【关键词】直角坐标系，等腰三角形 【答案】B 22．（2009威海）如图，AB＝AC,BD＝BC，若∠A＝40°，则∠ABD的度数是（ ） A．20

B．30

B

C．35

D．40

A

D

C

【关键词】等腰三角形 【答案】B 23．（2009襄樊市）如图，已知直线AB∥CD，∠DCF 110 ，且AE AF，则∠A等于（ B ）

A．30 B．40 C．50 D．70

A

B

D

解析：本题考查平行线的性质、等腰三角形的性质等知识，∵AB∥CD，∠DCF 110 ，所以 EFB DCF 110 ，∴ AFE 70 ，∵AE AF，∴ E AFE 70 ，∴ A 40 ，故选B。

【关键词】平行线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理 【答案】B

24．（2009年贵州黔东南州）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，则∠A等于（ ）A．30o B．40o C．45o D．36o

【关键词】等腰三角形 【答案】D

25．(2009年温州)如图，△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝8，AE平分么BAC交BC于点E，点D为AB的中点，连结DE，则△BDE的周长是( ) A．7+5 B．10 C．4+2 D．12 【关键词】等腰三角形“三线合一”的性质 【答案】

B

26．(2009年温州)一张等腰三角形纸片，底边长l5cm，底边上的高长22．5cm．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是( )

A．第4张 B．第5张 C．第6张 D．第7张

【关键词】等腰三角形性质，三角形相似的性质，梯形中位线 【答案】C

27．(2009年云南省)如图，等腰△ABC的周长为21，底边BC ＝ 5，AB的垂直平分线DE

交AB于点D，交AC于点E，则△BEC的周长为（ ） A．13 C．15

A

B．14 D．16

E

【关键词】垂直平分线 等腰三角形 【答案】A

（2009呼和浩特）在等腰△ABC中，AB AC，一边上的中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（ ） A．7 B．11 C．7或11 D．7或10 【关键词】等腰三角形 【答案】 二、填空题 1． （2009年重庆市江津区）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30º，腰长为4 cm，则其腰上的高为 ．

【关键词】等腰三角形的性质

【答案】2．(2009年泸州)如图1，在边长为1的等边△ABC中，中线AD与中线BE相交于点O，则OA长度为 ． 【关键词】等边三角形．

【答案】

3 3

3．（2009年泸州）如图2，已知Rt△ABC中，AC＝3，BC＝ 4，过直角顶点C作 CA1⊥AB，垂足为A1，再过A1作A1C1⊥BC，垂足为C1，过C1作C1A2⊥AB， 垂足为A2，再过A2作A2C2⊥BC，垂足为C2， ，这样一直做下去，得到了一组 线段CA1，A1C1，C1A2， ，则CA1＝ ，

C4A5

A5C5

【关键词】勾股定理． 【答案】

125，． 54

4．（2009年滨州）某楼梯的侧面视图如图4所示，其中AB 4米， BAC 30°，

C 90°，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB段 楼梯所铺地毯的长度应为 ．

B

A

°

C

【关键词】30°所对的直角边等于斜边的一半， 勾股定理．

【答案】（2+23）米．

5． （2009年滨州）已知等腰△ABC的周长 为10，若设腰长为x，则x的取值范围 是 ．

【关键词】等腰三角形． 【答案】2．5＜x＜5．

6． (2009年四川省内江市)已知Rt△ABC的周长是4 4，斜边上的中线长是2，则S△ABC＝____________

【关键词】边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，完全平方公式． 【答案】8

(2009年黄冈市)11．在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50°，则∠B等于_____________度．

【关键词】等腰三角形 【答案】70 或20

7．(2009年安顺)图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的。在Rt△ABC中，若直角边AC＝6，BC＝6，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图乙中的实线）是______________。

【关键词】勾股定理 【答案】76 8．（2009年湖南长沙）如图，等腰△ABC中，AB AC，AD是底边上的高，若AB 5cm，BC 6cm，则AD ．

A

C

【答案】4

【解析】本题考查了等腰三角形的性质和勾股定理。根据等腰三角形的三线合一可得：

BD

11

BC 6 3(cm)，AB2 BD2 AD2,在直角三角形ABD中，由勾股定理得：22

所以，AD AB2 BD2 52 32 4(cm)。

9． （2009襄樊市）在△ABC中，AB AC 12cm，BC 6cm，D为BC的中点，动点P从B点出发，以每秒1cm的速度沿B A C的方向运动．设运动时间为t，那么当t 秒时，过D、P两点的直线将△ABC的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的2倍．

解析：本题考查等腰三角形中的动点问题，两种情况，①当点P在BA上时，BP＝t，AP＝12-t，2（t+3）＝12-t+12+3，解得t＝7；②当点P在AC上时， PC＝24-t，t+3＝2（24-t+3），解得t＝17，故填7或17。 【关键词】等腰三角形的性质 【答案】7或17 10．（2009年浙江省绍兴市）如图，小量角器的零度线在大量角器的零度线上，且小量角器的中心在大量角器的外缘边上．如果它们外缘边上的公共点P在小量角器上对应的度数为65°，那么在大量角器上对应的度数为__________°（只需写出0°～90°的角度）．

【关键词】等腰三角形的性质 【答案】50° 11．（2009年娄底）如图6，已知AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，PA交⊙O于C，AB＝3cm，PB＝4cm，则BC＝

【关键词】勾股定理、切线的性质 【答案】

12 5

12．（贵州安顺）图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．在Rt△ABC中，若直角边AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车外围周长（图乙中的实线）是_____76_____．

13．（2009年浙江省湖州市）如图，已知在Rt△ABC中， ACB Rt ，AB 4，分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，则S1+S2的值等于．

S1

S2

关键词】勾股定理，半圆 【答案】2π 14． （2009年宜宾）已知：如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB＝3,则图中阴影部分的面积为 ．

第12题图

【关键词】勾股定理 【答案】

9． 2

15．（2009年长沙）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点， BOC 44°，则 A的度数为 ．

答案：22° 【关键词】圆、角 16．（2009年长沙）如图，等腰△ABC中，AB AC，AD是底边上的高，若AB 5cm，BC 6cm，则AD ．

A

C

答案：4

【关键词】等腰三角形

17．(2009年湖州)如图，已知在Rt△ABC中， ACB Rt ，AB 4，分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，则S1+S2的值等于

S1

S2

【关键词】勾股定理，圆的面积 【答案】2π

18．（2009临沂）如图，过原点的直线l与反比例函数y 据图象猜想线段MN的长的最小值是___________．

1

的图象交于M，N两点，根x

【关键词】反比例函数，勾股定理

【答案】19．（2009年漳州）如图，在菱形ABCD中， A 60°，E、F分别是AB、AD的中点，若EF 2，则菱形ABCD的边长是_____________． 【关键词】三角形中位线定理，等边三角形 【答案】

4

20． （2009年重庆市江津区）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30º，腰长为4 cm，则其腰上的高为 ．

【关键词】等腰三角形的性质

【答案】21．（2009年）如图，甲、乙两楼相距20米，甲楼高20米，小明站在距甲楼10米的A

处

目测得点A 与甲、乙楼顶B、C刚好在同一直线上，若小明的身高忽略不计，则乙楼的高度是 米．

乙

【关键词】勾股定理 【答案】

22．（2009年安徽）13、长为4m的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角（如图所示），

则梯子的顶端沿墙面升高了 m．

【关键词】勾股定理

【答案】 23．（2009年山东青岛市）如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要 cm；

如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短需要 cm． B A

3cm

【关键词】直角三角形的有关计算、勾股定理 【答案】10，

24．（2009年邵阳市）如图所示的圆锥主视图是一个等边三角形，边长为2，则这外圆锥

的侧面积为______（结果保留π）。

【关键词】等边三角形；勾股定理 【答案】2π

25．(2009年云南省)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于

点D，DE∥AC，DE交AB于点E ，M为BE的中点，连结DM． 在不添加任何辅助线和字母的情况下，图中的等腰三角形是 ．（写出一个即可）

A

B D C 【关键词】等腰三角形

【答案】△MBD或△MDE或△EAD

26．（2009辽宁朝阳）如图，△ABC是等边三角形，点D是BC边上任意一点，DE AB于点E，DF AC于点F．若BC 2，则DE DF _____________． 【关键词】正三角形与面积 A

E

F C

三、解答题 1．（2009年崇左）如图，在等腰梯形ABCD中，已知AD//BC，AB＝DC,AD＝2,BC＝4，延长BC到E，使CE＝AD． （1）证明：ΔBAD≌ΔDCE；

（2）如果AC⊥BD，求等腰梯形ABCD的高DF的值．

D A

（第24题）

E

【关键词】在等腰梯形性质进行转化。 【答案】

CDA DCE． （1）证明： AD∥BC，

又 四边形ABCD是等腰梯形， BAD CDA， BAD DCE． AB DC，AD CE， △BAD≌△DCE．

四边形ACED是平行四边形， （2） AD CE，AD∥BC，

AC∥DE． AC BD， DE BD．

由（1）可知，△BAD≌△DCE， DE BD． 所以，△BDE是等腰直角三角形，即 E 45°， DF FE FC CE．

四边形ABCD是等腰梯形，而AD 2，BC 4， FC 1． CE AD 2 DF 3． ．（2009年浙江省绍兴市）如图，在△ABC中，AB AC， BAC 40°，分别以AB，AC为边作两个等腰直角三角形ABD和ACE，使 BAD CAE 90°． （1）求 DBC的度数；

（2）求证：BD CE．

【关键词】等腰三角形的性质 【答案】（1）ΔABD是等腰直角三角形， BAD 90°，所以∠ABD＝45°,AB＝AC,所以∠ABC＝70°,所以∠CBD＝70°+45°＝115°．

(2)AB＝AC, BAD CAE 90°,AD＝AE,所以ΔBAD≌ΔCAE,所以BD＝CE．

2．（2009年宁波市）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为( 8，0)，直线BC经过点B( 8，6)，C(0，6)，将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转 度得到四边形OA B C ，此时直线OA 、直线B C 分别与直线BC相交于点P、Q． （1）四边形OABC的形状是 ， 当 90°时，

BP

的值是 ； BQ

BP

的值； BQ

②如图3，当四边形OA B C 的顶点B 落在直线BC上时，求△OPB 的面积．

（3）在四边形OABC旋转过程中，当0 ≤180°时，是否存在这样的点P和点Q，使

1

BP BQ？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

2

（2）①如图2，当四边形OA B C 的顶点B 落在y轴正半轴时，求

）

（图2）

【关键词】勾股定理 【答案】解：（1）矩形（长方形）；

（图3）

BP4

． BQ7

（2）① POC B OA ， PCO OA B 90°， △COP∽△A OB ． CPOCCP6 ， ，即A B OA 68

97

CP ，BP BC CP ．

22

同理△B CQ∽△B C O，

CQ10 6CQB C

，即， 68C QB C

CQ 3，BQ BC CQ 11． BP7 ． BQ22

②在△OCP和△B A P中，

OPC B PA ，

OCP A 90°，

OC B A ，

△OCP≌△B A P(AAS)． OP B P． 设B P x，

在Rt△OCP中， (8 x)2 62 x2，解得x

25． 4

12575

S△OPB 6 ．

244

1

BQ． 2

7

点P

的坐标是P， 9P6 ． 2 ，1

4

（3）存在这样的点P和点Q，使BP

对于第（3）题，我们提供如下详细解答，对学生无此要求．

过点Q画QH⊥OA 于H，连结OQ，则QH OC OC，

S△POQ

11PQ OC，S△POQ OP QH， 22

PQ OP． 设BP x，

1

BP BQ，

2

BQ 2x，

① 如图1，当点P在点B左侧时， OP PQ BQ BP 3x，

在Rt△PCO中，(8 x)2 62 (3x)2，

，x2 1． PC BC BP 9

解得x1 1

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