数列学生导学案

高三一轮数列导学案

2015考生

刘 1

高考递推数列求通项 1.累加法(逐差相加法)

例1:已知数列?an?满足a1?

2.累乘法(逐商相乘法) 例2:已知数列?an?满足a1?

例3:已知a1?3，an?1?

变式（:2004，全国I,理15．）已知数列{an}，满足a1=1，an?a1?2a2?3a3?????(n?1)an?1

(n≥2)，则{an}的通项an??11，an?1?an?2，求an。 2n?n2nan，求an。 ，an?1?3n?13n?1an (n?1)，求an 3n?2n?1?1

n?2___?类型3 an?1?pan?q（其中p，q均为常数，(pq(p?1)?0)）。构造等比数列

例4:已知数列?an?中，a1?1，an?1?2an?3，求an.

变式:

在数列?an?中，若a1?1,an?1?2an?3(n?1)，则该数列的通项an?_______________

类型4 an?1?pan?q（其中p，q均为常数，(pq(p?1)(q?1)?0)）。 （或

nan?1?pan?rqn,其中p，q, r均为常数） 。

解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以qn?1，得：

an?1pan1???引入辅助数列qn?1qqnq

2

?bn?（其中bn?annq），得：bn?1?p1bn?再待定系数法解决。 qq例5:已知数列?an?中，a1?

511n?1,an?1?an?()，求an。 632类型6 递推公式为Sn与an的关系式。(或Sn?f(an)) 解法：利用an???S1????????????????(n?1)与an?Sn?Sn?1?f(an)?f(an?1)消去Sn

?Sn?Sn?1???????(n?2)(n?2)或与Sn?f(Sn?Sn?1)(n?2)消去an进行求解。

例7：数列?an?前n项和Sn?4?an?

r类型7 an?1?pan(p?0,an?0)

12n?2.（1）求an?1与an的关系；（2）求通项公式an.

解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为an?1?pan?q，再利用待定系数法求解。 例8：已知数列｛an｝中，a1?1,an?1? 。

例9：已知数列｛an｝满足：an?

12?an(a?0)，求数列?an?的通项公式. aan?1,a1?1，求数列｛an｝的通项公式。

3?an?1?1

3

数列求和

1、 等差数列求和公式：Sn?n(a1?an)n(n?1)?na1?d 22(q?1)?na1?n2、等比数列求和公式：Sn??a1(1?q)a1?anq

?(q?1)?1?q?1?qn1123、 Sn??k?n(n?1) 4、Sn??k?n(n?1)(2n?1)

26k?1k?1n5、 Sn?13k?[n(n?1)]2 ?2k?1?123n，求x?x?x?????x????的前n项和.（等比） log23n[例1] 已知log3x?

[例2] 设Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求f(n)?

Sn的最大值.（等差）

(n?32)Sn?1[例3] 求和：Sn?1?3x?5x2?7x3?????(2n?1)xn?1………………………①（错位相

减）

[例4] 求数列,

2462n,,???,,???前n项的和. 222232n

4

012n[例5] 求证：Cn?3Cn?5Cn?????(2n?1)Cn?(n?1)2n倒序相加法

[例6] 求sin21??sin22??sin23??????sin288??sin289?的值

[例7] 求数列的前n项和：1?1,111?4,2?7,???,n?1?3n?2，… aaa分组分解法

[例8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和.

裂项的几种模式

sin1???（1）an?f(n?1)?f(n) （2） ?tan(n?1)?tann??cosncos(n?1)111(2n)2111??（3）an? （4）an??1?(?)

n(n?1)nn?1(2n?1)(2n?1)22n?12n?1（5）an?1111?[?]

n(n?1)(n?2)2n(n?1)(n?1)(n?2)(6) an?

n?212(n?1)?n1111?n??n??,则S?1? nn?1nnn(n?1)2n(n?1)2n?2(n?1)2(n?1)2[例9] 求数列

11?2,12?3,???,1n?n?1,???的前n项和.

5

[例10] 在数列{an}中，an?12n2??????，又bn?，求数列{bn}的n?1n?1n?1an?an?1前n项的和.

[例11] 求证：111cos1?cos0?cos1??cos1?cos2??????cos88?cos89??sin21?

历年高考数列选择填空题

1.若等差数列?an?的前5项和S5?25，且a2?3，则a7?（ ） A.12 B.13 C.14 D.15

2.记等差数列?an?的前n项和为Sn，若S2?4,S4?20,则该数列的公差d=（ A.7 B.6 C.3 D.2

3.等比数列?an?的前n项和为Sn，且4a1,2a2,a3成等差数列，若a1?1，则S4?（A.7 B.8 C.15 D.16 4.设等比数列?aS6n?的前n项和为Sn，若S?3，则S9S?（ ） 36A.2 B.

73 C. 83 D.3 5.已知?a1n?是等比数列，a2?2,a5?4，则公比q=（ ）

A.?12 B.-2 C.2 D. 12

6.已知各项均为正数的等比数列?an?，a1a2a3?5,a7a8a7?10,则a4a5a6?（

））

6 ）

A.52 B.7 C.6 D. 42

7.设等差数列?an?的前n项和为Sn，若a1?11,a4?a6??6，则当Sn取最小值时，n等于（ ）

A.6 B.7 C.8 D.9

8.已知?an?为等比数列，Sn是它的前n项和.若a2a3?2a1，且a4与2a7的等差中项为则S5?（ ）

A.35 B.33 C.31 D.29

9.已知?an?是首项为1的等比数列，Sn是它的前n项和，且9a3?a6，则数列?n项和为（ ） A.

5，4?1??的前?an?15313115或5 B. 或5 C. D. 81616810.在等差数列?an?中，a1?a9?10，则a5?（ ） A.5 B.6 C.8 D.10

11.如果等差数列?an?中，a3?a4?a5?12，那么a1?a2?a3?......?a7?（ ） A.14 B.21 C.28 D.35

12.设数列?an?的前n项和Sn?n2，则a8?（ ） A.16 B.15 C.49 D.64

13.设Sn为等比数列?an?的前n项和，8a2?a5?0，则A.-11 B.-8 C.5 D.11

14.已知等比数列?an?的公比为正数，且a3?a9?2a5，a2＝1，则a1＝

2S5?（ ） S2A．

12 B． C． 222 D．2

15.已知?an?为等差数列，a3?a8?22,a6?7，则a5?

16.在等比数列?an?中，若公比q?4，且前三项之和等于21，则该数列的通项公式

an?

17．已知数列?an?的前n项和Sn?n2?9n，则其通项an? ；若它的第k项满足

5?ak?8，则k? ．

7

18.已知?an?是递增等比数列，a2?2，a4?a3?4，则此数列的公比q=________.

2010---2013年高考真题汇编---数列

一、选择题 1.（2013

年高考大纲卷文）已知数列

?an?满足

3a?0,a4n?1?an2??3,则?an?的前10项和等于（ ）

A．-6?1-3-10? B．19?1-3-10? C．3?1-3-10? D．3?1+3-10?

2 ．（2013年高考安徽文）设Sn为等差数列?an?的前n项和,S8?4a3,a7??2,则

a9=

A．?6 B．?4 C．?2 D．2 3．（2013年高考课标Ⅰ卷文）设首项为1,公比为错误！未找到引用源。的等比

数列{an}的前n项和为Sn,则

A．Sn?2an?1 B．Sn?3an?2 C．Sn?4?3an D．Sn?3?2an 4 ．（2013年高考辽宁卷文）下面是关于公差d?0的等差数列?an?的四个命题:

p1:数列?an?是递增数列； p2:数列?nan?是递增数列； p?a?3:数列?n?n??是递增数列； p4:数列?an?3nd?是递增数列； 其中的真命题为 A．p1,p2

B．p3,p4

C．p2,p3

D．p1,p4

5.（2012高考安徽文5）公比为2的等比数列{an} 的各项都是正数，且 a3a11=16，则a5=

（A） 1 （B）2 （C） 4 （D）8

6.（2012高考全国文6）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1?1，Sn?2an?1，,则Sn?

（A）2n?1 （B）(32)n?1 （C）(23)n?1 （D）12n?1

7.（2012高考新课标文12）数列{ann}满足an+1＋(－1) an ＝2n－1，则{an}的前60项和为

（A）3690 （B）3660 （C）1845 （D）1830

8

） ） ）（

（

（

8.（2012高考辽宁文4）在等差数列{an}中，已知a4+a8=16，则a2+a10=

(A) 12 (B) 16 (C) 20 (D)24

9.（2012高考四川文12）设函数f(x)?(x?3)3?x?1，数列{an}是公差不为0的等差数列，f(a1)?f(a2)?????f(a7)?14，则a1?a2?????a7?（ ）

A、0 B、7 C、14 D、21

n?10.(2102高考福建文11)数列{an}的通项公式an?cos，其前n项和为Sn，则

2S2012等于

11.(2102高考北京文6)已知为等比数列，下面结论种正确的是

22（A）a1+a3≥2a2 （B）a12?a3 ?2a2（C）若a1=a3，则a1=a2 （D）若a3＞a1，则a4＞a2 二、填空题

错误！未指定书签。 ．（2013年高考重庆卷文）若2、a、b、c、9成等差数

列,则c?a?____________. 错误！未指定书签。 ．（2013年高考北京卷文）若等比数列?an?满足

,则公比q=__________;前n项Sn=_____. a2?a4?20,a3?a5?40错误！未指定书签。 ．（2013年高考广东卷文）设数列{an}是首项为1,公比为?2的等比数列,则a1?|a2|?a3?|a4|?________

5 ．（2013年高考辽宁卷文）已知等比数列?an?是递增数列,Sn是?an?的前n项

和,若a1，a3是方程x2?5x?4?0的两个根,则S6?____________. 7．（2013年上海高考数学试题文）在等差数列?an?中,若a1?a2?a3?a4?30,则

a2?a3?_________.

8.（2012高考重庆文11）首项为1，公比为2的等比数列的前4项和S4? 9. （2012高考新课标文14）等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3+3S2=0，则公比q=_______

10.(2012高考江西文13)等比数列{an}的前n项和为Sn，公比不为1。若a1=1，且对任意的

都有an＋2＋an＋1-2an=0，则S5=_________________。

1，各项均为正数的数列?an?满足a1?1，1?x 12.(2012高考上海文14)已知f(x)?

9

an?2?f(an)，若a2010?a2012，则a20?a11的值是

13.(2012高考辽宁文14)已知等比数列｛an｝为递增数列.若a1>0,且2（a n+a n+2）=5a n+1 ,则数列｛an｝的公比q = _____________________.

14.(2102高考北京文10)已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和，若a1?则a2=______，Sn=_______。 15.(2012高考广东文

2a1a3a5? . 1，S2=a3，21，则212)若等比数列

?an?满足a2a4?三、解答题

1．（2013年高考福建卷文）已知等差数列{an}的公差d?1,前n项和为Sn.

(1)若1,a1,a3成等比数列,求a1; (2)若S5?a1a9,求a1的取值范围.

2．（2013年高考大纲卷文）等差数列?an?中,a7?4,a19?2a9,

(I)求?an?的通项公式; (II)设bn?1,求数列?bn?的前n项和Sn. nan3．（2013年高考湖北卷文））已知Sn是等比数列{an}的前n项和,S4,S2,S3成等差

数列,且a2?a3?a4??18. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式;

(Ⅱ)是否存在正整数n,使得Sn?2013?若存在,求出符合条件的所有n的集合;若不存在,说明理由.

4．（2013年高考湖南文）设Sn为数列{an}的前项和,已知

a1?0,2an?a1?S1?Sn,n?N?

(Ⅰ)求a1,a2,并求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)求数列{nan}的前n项和. 错误！未指定书签。．（2013年高考重庆卷文）设数列?an?满

足:a1?1,an?1?3an,n?N?.

10

11 已知等比数列{an}中，a1?3，公比q?3．

（I）S}的前n项和，证明：S1?ann为{ann?2

（II）设bn?log3a1?log3a2??log3an，求数列{bn}的通项公式．

2、(2011全国新课标卷理）

等比数列?an?的各项均为正数，且2a1?3a2?1,a23?9a2a6. （1）求数列?an?的通项公式.

(2)设 b?1?n?log3a1?log3a2?......?log3an,求数列?b?的前项和. ?n? 3、（2010新课标卷理）

设数列?an?满足a1?2,an?1?an?322n?1 （1） 求数列?an?的通项公式； （2） 令bn?nan，求数列的前n项和Sn 4、（20I0年全国新课标卷文）

16

设等差数列?an?满足a3?5，a10??9。 （Ⅰ）求?an?的通项公式；

（Ⅱ）求?an?的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值。 5、（2011年全国卷）

设数列?an?的前N项和为Sn,已知a2?6,6a1?a2?30,求an和Sn 6、（ 2011辽宁卷）

已知等差数列{an}满足a2=0，a6+a8=-10 （I）求数列{an}的通项公式；

?a? （II）求数列?nn的前n项和． ?1?2??

7、（2010年陕西省）

已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列.（Ⅰ）求数列{an}的通项;

（Ⅱ）求数列{2an}的前n项和Sn. 8、（2009年全国卷）

17

设等差数列{an}的前n项和为sn，公比是正数的等比数列{bn}的前n项和为Tn，已知a1?1,b1?3,a3?b3?17,T3?S3?12,求{an},{bn的通项公式。}

9、（2011福建卷）

已知等差数列{an}中，a1=1，a3=-3. （I）求数列{an}的通项公式；

（II）若数列{an}的前k项和Sk=-35，求k的值.

10、（2011重庆卷）

设

是公比为正数的等比数列，

,

.

(Ⅰ)求的通项公式。

(Ⅱ)设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列

的前项和

.

11、（2011浙江卷）

18

已知公差不为0的等差数列{an}的首项为a(a?R)，且（Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）对n?N，试比较 12、（2011湖北卷）

*111，，成等比数列． a1a2a411111?2?3?...?n与的大小．

a1a2a2a2a2成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列?bn?中的b、b、b。

(I) 求数列?bn?的通项公式； (II) 数列?bn?的前n项和为S

13、（2010年山东卷）

已知等差数列?an?满足：a3?7，a5?a7?26，?an?的前n项和为Sn （Ⅰ）求an及Sn； （Ⅱ）令bn?，求证：数列?Sn?n??54??是等比数列。 ?1*n?N（），求数列?bn?的前n项和为Tn。 2an?1 14、（2010陕西卷）

已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列.（Ⅰ）求数列{an}的通项; （Ⅱ）求数列{2an}的前n项和Sn.

19

15、（2010重庆卷）

已知?an?是首项为19，公差为-2的等差数列，Sn为?an?的前n项和. （Ⅰ）求通项an及Sn；

（Ⅱ）设?bn?an?是首项为1，公比为3的等比数列，求数列?bn?的通项公式及其前n项和Tn.

16、（2010北京卷）

已知|an|为等差数列，且a3??6，a6?0。 （Ⅰ）求|an|的通项公式；

（Ⅱ）若等差数列|bn|满足b1??8，b2?a1?a2?a3，求|bn|的前n项和公式

17、（2010浙江卷）

设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数{an}的前n项和为Sn，满足S2S6＋15＝0. （Ⅰ）若S5＝S.求Sn及a1; （Ⅱ）求d的取值范围. 18、（2010四川卷） 已知等差数列

{an}的前3项和为6，前8项和为-4。 {an}的通项公式；

（Ⅰ）求数列

n?1*b?(4?a)q(q?0,n?N)，求数列{bn}的前n项和Sn nn（Ⅱ）设

19、（2010上海卷）

已知数列?an?的前n项和为Sn，且Sn?n?5an?85，n?N

*证明：?an?1?是等比数列；

20

20、（2009辽宁卷） 等比数列{

an}的前n 项和为sn，已知S1,S3,S2成等差数列 an}的公比q；

（1）求{ （2）求

a1-a3=3，求sn

21

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