18版高中数学第二章平面向量2.5.2向量在物理中的应用举例导学案

内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 2.5.2 向量在物理中的应用举例

学习目标 1.经历用向量方法解决某些简单的力学问题与其他一些实际问题的过程.2.体会向量是一种处理物理问题的重要工具.3.培养运用向量知识解决物理问题的能力.

知识点一 向量的线性运算在物理中的应用 思考1 向量与力有什么相同点和不同点？

答案 向量是既有大小又有方向的量，它们可以有共同的作用点，也可以没有共同的作用点，但是力却是既有大小，又有方向且作用于同一作用点的. 思考2 向量的运算与速度、加速度与位移有什么联系？

答案 速度、加速度与位移的合成与分解，实质上是向量的加减法运算，而运动的叠加也用到向量的合成.

梳理 (1)用向量解决力的问题，通常把向量的起点平移到同一个作用点上. (2)向量在解决涉及速度、位移等物理量的合成与分解时，实质就是向量的线性运算. 知识点二 向量的数量积在物理中的应用 思考 向量的数量积与功有什么联系？

答案 物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是向量的数量积.

梳理 物理上力的做功就是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，即W＝|F||s|cos〈F，s〉，功是一个实数，它可正可负，也可以为零.力的做功涉及两个向量及这两个向量的夹角，它的实质是向量F与s的数量积. 知识点三 向量方法解决物理问题的步骤

用向量理论讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤：

(1)问题转化，即把物理问题转化为数学问题；(2)建立模型，即建立以向量为载体的数学模型；(3)求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等；(4)回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题.

类型一 向量的线性运算在物理中的应用

例1 (1)在重300 N的物体上系两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°(如图)，求重物平衡时，两根绳子拉力的大小.

1

→→→

解 如图，两根绳子的拉力之和OA＋OB＝OC，

→→

且|OC|＝|OG|＝300 N，∠AOC＝30°，∠BOC＝60°. 在△OAC中，∠ACO＝∠BOC＝60°，∠AOC＝30°， 则∠OAC＝90°，

→→

从而|OA|＝|OC|·cos 30°＝1503(N)， →→

|AC|＝|OC|·sin 30°＝150(N)， →→

所以|OB|＝|AC|＝150(N).

答 与铅垂线成30°角的绳子的拉力是1503 N，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N. (2)帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动，如果一帆船所受的风力方向为北偏东30°，速度为20 km/h，此时水的流向是正东，流速为20 km/h.若不考虑其他因素，求帆船的速度与方向.

解 建立如图所示的平面直角坐标系，风的方向为北偏东30°，速度为|v1|＝20(km/h)，水流的方向为正东，速度为|v2|＝20(km/h)，

设帆船行驶的速度为v， 则v＝v1＋v2.

由题意，可得向量v1＝(20cos 60°，20sin 60°)＝(10，103)，向量v2＝(20，0)， 则帆船的行驶速度为

v＝v1＋v2＝(10，103)＋(20，0)＝(30，103)，

所以|v|＝30＋?103?＝203(km/h).

1033因为tan α＝＝(α为v和v2的夹角，且为锐角)，

303所以α＝30°，

所以帆船向北偏东60°的方向行驶，速度为203 km/h.

2

2

2

反思与感悟 利用向量法解决物理问题有两种思路，第一种是几何法，选取适当的基底，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量运算法则，运算律或性质计算.第二种是坐标法，通过建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，转化为代数运算.

跟踪训练1 河水自西向东流动的速度为10 km/h，小船自南岸沿正北方向航行，小船在静水中的速度为103 km/h，求小船的实际航行速度.

→→

解 设a，b分别表示水流的速度和小船在静水中的速度，过平面内一点O作OA＝a，OB＝b，→→→→→

以OA，OB为邻边作矩形OACB，连接OC，如图，则OC＝a＋b，并且OC即为小船的实际航行速度.

→222

∴|OC|＝?a＋b?＝a＋b＝20(km/h)， 103

tan ∠AOC＝＝3，

10∴∠AOC＝60°，

∴小船的实际航行速度为20 km/h，按北偏东30°的方向航行. 类型二 向量的数量积在物理中的应用

例2 已知两恒力F1＝(3，4)，F2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A(20，15)移动到点

B(7，0).

(1)求力F1，F2分别对质点所做的功； (2)求力F1，F2的合力F对质点所做的功. →

解 (1)AB＝(7，0)－(20，15) ＝(－13，－15)，

W1＝F1·AB＝(3，4)·(－13，－15)

＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99，

→

W2＝F2·AB＝(6，－5)·(－13，－15)

＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3.

∴力F1，F2对质点所做的功分别为－99和－3. →→

(2)W＝F·AB＝(F1＋F2)·AB

＝[(3，4)＋(6，－5)]·(－13，－15) ＝(9，－1)·(－13，－15) ＝9×(－13)＋(－1)×(－15)

3

→

＝－117＋15＝－102.

∴合力F对质点所做的功为－102.

反思与感悟 物理上的功实质上就是力与位移两矢量的数量积.

跟踪训练2 一个物体受到同一平面内的三个力F1，F2，F3的作用，沿北偏东45°的方向移动了8 m，其中|F1|＝2 N，方向为北偏东30°，|F2|＝4 N，方向为北偏东60°，|F3|＝6 N，方向为北偏西30°，求合力F所做的功.

解 以O为原点，正东方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系，如图所示.

则F1＝(1，3)，F2＝(23，2)，

F3＝(－3，33)，

所以F＝F1＋F2＋F3＝(23－2，2＋43). 又因为位移s＝(42，42)，

所以合力F所做的功为W＝F·s＝(23－2)×42＋(2＋43)×42＝42×63＝246(J).

即合力F所做的功为246 J.

1.用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯具，如图所示，已知灯具重10 N，则每根绳子的拉力大小为______ N.

答案 10

解析 设重力为G，每根绳的拉力分别为F1，F2，则由题意得F1，F2与－G都成60°角， 且|F1|＝|F2|.

∴|F1|＝|F2|＝|G|＝10 N， ∴每根绳子的拉力都为10 N.

2.已知一个物体在大小为6 N的力F的作用下产生的位移s的大小为100 m，且F与s的夹角为60°，则力F所做的功W＝________ J. 答案 300

4

解析 W＝F·s＝|F||s|cos〈F，s〉 ＝6×100×cos 60°＝300(J).

3.一条河宽为800 m，一船从A处出发垂直到达河正对岸的B处，船速为20 km/h，水速为12 km/h，则船到达B处所需时间为________ min. 答案 3

解析 ∵v实际＝v船＋v水＝v1＋v2，

|v1|＝20 km/h，|v2|＝12 km/h， ∴|v|＝|v1|－|v2| ＝20－12＝16(km/h).

0.8

∴所需时间t＝＝0.05(h)＝3(min).

16∴该船到达B处所需的时间为3 min.

4.一艘船从南岸出发，向北岸横渡.根据测量，这一天水流速度为3 km/h，方向正东，风的方向为北偏西30°，受风力影响，静水中船的漂行速度为3 km/h，若要使该船由南向北沿垂直于河岸的方向以23 km/h的速度横渡，求船本身的速度大小及方向.

解 如图，设水的速度为v1，风的速度为v2，v1＋v2＝a.易求得a的方向是北偏东30°，a的大小是3 km/h.设船的实际航行速度为v，方向由南向北，大小为23 km/h.船本身的速度为v3，则a＋v3＝v，即v3＝v－a，由数形结合知，v3的方向是北偏西60°，大小是3 km/h.

2

2

22

用向量理论讨论物理中相关问题的步骤

一般来说分为四步：(1)问题的转化，把物理问题转化成数学问题；(2)模型的建立，建立以向量为主体的数学模型；(3)参数的获取，求出数学模型的相关解；(4)问题的答案，回到物理现象中，用已经获取的数值去解释一些物理现象.

课时作业

一、选择题

5

1.一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F1，F2成90°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为( ) A.6 N B.2 N C.25 N D.27 N 答案 C

2.人骑自行车的速度是v1，风速为v2，则逆风行驶的速度为( ) A.v1－v2 C.|v1|－|v2| 答案 B

3.已知三个力F1＝(－2，－1)，F2＝(－3，2)，F3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力F4，则F4等于( ) A.(－1，－2) C.(－1，2) 答案 D

解析 ∵物体平衡，∴F1＋F2＋F3＋F4＝0，

∴F4＝－F1－F2－F3＝－(－2，－1)－(－3，2)－(4，－3)＝(1，2).故选D.

4.用力F推动一物体水平运动s m，设F与水平面的夹角为θ，则力F对物体所做的功为( ) A.|F|·s C.Fsin θ·s 答案 D

5.已知两个力F1，F2的夹角为90°，它们的合力大小为10 N，合力与F1的夹角为60°，那么F1的大小为( ) A.53 N C.10 N 答案 B

解析 如图，有|F1|＝|F|cos 60°

B.5 N D.52 N B.Fcos θ·s D.|F|cos θ·s B.(1，－2) D.(1，2) B.v1＋v2 D.|| v1

v2

1

＝10×＝5(N).

2

6.已知作用在点A的三个力f1＝(3，4)，f2＝(2，－5)，f3＝(3，1)，且A(1，1)，则合力f＝f1＋f2＋f3的终点坐标为( ) A.(9，1)

B.(1，9)

6

C.(9，0) 答案 A

D.(0，9)

解析 f＝f1＋f2＋f3＝(3，4)＋(2，－5)＋(3，1)＝(8，0)，设合力f的终点为P(x，y)， →→

则OP＝OA＋f＝(1，1)＋(8，0)＝(9，1).

7.河水的流速为5 m/s，若一艘小船沿垂直于河岸方向以12 m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为( ) A.13 m/s C.17 m/s 答案 A

解析 设小船在静水中的速度为v1， 河水的流速为v2，

B.12 m/s D.15 m/s

v1与v2的合速度为v，

∵为了使航向垂直河岸，船头必须斜向上游方向，

即小船在静水中的速度v1斜向上游方向，河水速度v2平行于河岸， 合速度v指向对岸，

∴静水速度|v1|＝|v|＋|v2|＝12＋5＝13(m/s). 二、填空题

8.一物体在力F1＝(3，－4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3，1)的共同作用下从点A(1，1)移动到点

2

2

2

2

B(0，5).在这个过程中三个力的合力所做的功等于________.

答案 －40

解析 ∵F1＝(3，－4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3，1)， ∴合力F＝F1＋F2＋F3＝(8，－8). →

又∵AB＝(0－1，5－1)＝(－1，4)， →

∴F·AB＝8×(－1)＋(－8)×4＝－40， 即三个力的合力做的功等于－40.

9.一个重20 N的物体从倾斜角为θ，斜面长1 m的光滑斜面顶端下滑到底端，若重力做的功是10 J，则θ＝________. 答案 30°

解析 ∵WG＝G·s＝|G||s|·cos(90°－θ) ＝20×1×cos(90°－θ)＝10 J， 1

∴cos(90°－θ)＝，∴θ＝30°.

2

10.河水的流速为2 m/s，一艘小船以10 m/s的速度沿垂直于对岸的方向行驶，则小船在静

7

水中的速度大小为________m/s. 答案 226

解析 设河水的流速为v1，小船在静水中的速度为v2，船的实际速度为v，则v＝v1＋v2，|v1|＝2 m/s，|v|＝10 m/s.

所以|v2|＝|v－v1|＝v－2v·v1＋v1 ＝100－0＋4＝104＝226(m/s). 三、解答题

11.已知e1＝(1，0)，e2＝(0，1)，今有动点P从P0(－1，2)开始，沿着与向量e1＋e2相同的方向做匀速直线运动，速度为|e1＋e2|；另一动点Q从Q0(－2，－1)开始，沿着与向量3e1＋→2e2相同的方向做匀速直线运动，速度为|3e1＋2e2|，设P，Q在t＝0时分别在P0，Q0处，当PQ→

⊥P0Q0时所需的时间t为多少？

解 e1＋e2＝(1，1)，|e1＋e2|＝2，其单位向量为?＝13，

2??2

，?，3e1＋2e2＝(3，2)，|3e1＋2e2|2??2

2

2

?3，2?

其单位向量为??，如图.

13??13

→→

依题意知，|P0P|＝2t，|Q0Q|＝13t， 2??2→→

所以P0P＝|P0P|·?，?＝(t，t)，

2??2

?3，2?

Q0Q＝|Q0Q|·??＝(3t，2t).

13??13

→

→

由P0(－1，2)，Q0(－2，－1)， 得P(t－1，t＋2)，Q(3t－2，2t－1)， →→

所以P0Q0＝(－1，－3)，PQ＝(2t－1，t－3). →→→→

因为PQ⊥P0Q0，所以P0Q0·PQ＝0. 即2t－1＋3t－9＝0，解得t＝2， →→

所以当PQ⊥P0Q0时，所需的时间为2.

12.在水流速度为4千米/小时的河流中，有一艘船沿与水流垂直的方向以8千米/小时的速度航行，求船实际航行的速度的大小.

8

解 如图，用v0表示水流速度，v1表示与水流垂直的方向的速度.

则v0＋v1表示船实际航行的速度， ∵|v0|＝4，|v1|＝8， ∴|v0＋v1|＝4＋8＝45.

故船实际航行的速度为45千米/小时.

13.质量m＝2.0 kg的木块，在平行于斜面向上的拉力F＝10 N的作用下，沿倾斜角θ＝30°的光滑斜面向上滑行|s|＝2.0 m的距离.(g＝9.8 N/kg) (1)分别求物体所受各力对物体所做的功；

(2)在这个过程中，物体所受各力对物体做功的代数和是多少？

解 (1)木块受三个力的作用，重力G，拉力F和支持力FN，如图所示，拉力F与位移s方向相同，所以拉力对木块所做的功为

2

2

WF＝F·s＝|F||s|cos 0°＝20(J)；

支持力FN与位移方向垂直，不做功， 所以WN＝FN·s＝0； 重力G对物体所做的功为

WG＝G·s＝|G||s|cos(90°＋θ)＝－19.6(J).

(2)物体所受各力对物体做功的代数和为

W＝WF＋WN＋WG＝0.4(J).

四、探究与拓展

14.质点P在平面上作匀速直线运动，速度向量ν＝(4，－3)(即点P的运动方向与ν相同，且每秒移动的距离为|ν|个单位).设开始时点P的坐标为(－10，10)，则5秒后点P的坐标为( ) A.(－2，4) C.(10，－5) 答案 C

→

解析 设点(－10，10)为点A，5秒后P点的坐标为A1(x，y)，则AA1＝(x＋10，y－10)，由

B.(－30，25) D.(5，－10)

9

→

题意可知，AA1＝5ν，

即(x＋10，y－10)＝(20，－15)， 所以?

?x＋10＝20，?

??y－10＝－15

??

?x＝10，?

??y＝－5.

15.在长江南岸某渡口处，江水以12.5 km/h的速度向东流，渡船的速度为25 km/h.渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？

→→→

解 如图，设AB表示水流的速度，AD表示渡船的速度，AC表示渡船实际垂直过江的速度.

因为→AB＋→AD＝→AC，

所以四边形ABCD为平行四边形.

在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，|→DC|＝|→

AB|＝12.5， |→

AD|＝25， 所以∠CAD＝30°，

即渡船要垂直地渡过长江，其航向应为北偏西30°.

10

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