浙教版-数学-九年级上册-圆的中考题归类解析

初中-数学-打印版 初中-数学-打印版 圆的中考题归类解析

圆的基本性质是初中数学的重点内容之一,在初中数学体系中处于重要地位,在中考中占有较大的分值,是中考的重头戏.题型主要有选择、填空、解答和作图(包括阅读理解和开放探索等).还可与三角形、四边形、相似形、方程、函数等知识点相结合,构成内容丰富、构思新颖的综合性试题而成为中考的压轴题.从2008年各省市的中考试题中所反映出的考点精选几例,解析如下,供同学们参考:

考点1 圆的认识

例1(2008辽宁沈阳)如图所示,AB 是⊙O 的一条弦，OD AB ⊥，

垂足为C ，交⊙O 于点D ，点E 在⊙O 上.（1）若52AOD ∠=，

求DEB ∠的度数；（2）若3OC =，5OA =，求AB 的长.

分析 由垂径定理可得弧AD=弧BD,根据等弧所对的圆周角与圆心角之间的关系,可得∠DEB;由勾股定理可求得AC 的长,根据垂径定理AC=BC,从而可得AB.

解 （1）OD AB ⊥，∴弧AD=弧BD, ∴11522622DEB AOD ∴∠=∠=?= （2）OD AB ⊥，∴AC BC ∴=，AOC △为直角三角形，

3OC =，5OA =，

由勾股定理可得2222534AC OA OC =-=-=,∴28AB AC ∴==.

评注 本例着重考查了垂径定理及等弧所对的圆周角与圆心角之间的关系和勾股定理.正确运用垂径定理是解题的关键.

考点2 与圆有关的位置关系

例2(2008北京)已知：如图，在Rt ABC △中，90C ∠=，点O 在AB 上，以O 为圆心，OA 长为半径的圆与AC AB ，分别交于点D E ，，且CBD A ∠=∠.

（1）判断直线BD 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论；

（2）若:8:5AD AO =，2BC =，求BD 的长.

分析 连OD,证∠ODB=900,即OD ⊥BD,得到直线BD 与⊙O

相切;连DE,先求得cosA 的值为5

4,由∠CBD=∠A,则cos ∠CBD =54=BD BC ,又BC=2,则易得BD 的值.

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解（1）直线BD与⊙O相切.

证明：如图，连结OD,OA OD

=，A ADO

∴∠=∠.

90

C

∠=，90

CBD CDB

∴∠+∠=.

又CBD A

∠=∠，90

ADO CDB

∴∠+∠=.

90

ODB

∴∠=.∴直线BD与⊙O相切.

（2）如图，连结DE.AE是⊙O的直径，90

ADE

∴∠=.

:8:5

AD AO=，∴

5

4

10

8

cos=

=

=

AE

AD

A

90

C

∠=，CBD A

∠=∠，

4

cos

5

BC

CBD

BD

∴∠==.2

BC=，

5

2

BD

∴=.

评注本例考查了切线的判定及直角三角形的边角关系.证得∠ODB=900及

cos∠CBD=

5

4

是解题的关键.

考点3 圆中的计算问题

例3(2008江苏南通)在一次数学探究性学习活动中，某学习小组要制作一个圆锥体模型，操作规则是：在一块边长为16cm的正方形纸片上剪出一个扇形和一个圆，使得扇形围成圆锥的侧面时，圆恰好是该圆锥的底面.他们首先设计了如图所示的方案一，发现这种方案不可行，于是他们调整了扇形和圆的半径，设计了如图所示的方案二.（两个方案的图中，圆与正方形相邻两边及扇形的弧均相切.方案一中扇形的弧与正方形的两边相切）

（1）请说明方案一不可行的理由；

（2）判断方案二是否可行？若可行，请确定圆锥的母线长及其底面圆

半径；若不可行，请说明理由.

分析通过计算,得出方案一正方形的对角线AC的长大于所给正方形的对角线,从而方案一不可行;对于方案二,设圆锥底面圆的半径为r cm，圆锥的母线长

为R cm，即AF=R,O2F=r,则O2C=r2,扇形弧长

2

180

90R

R

l

π

π

=

=,底面圆周长

初中-数学-打印版 初中-数学-打印版 r C π2=,根据2162=++r r R 及22R r ππ=

求得R,r. 解（1）理由如下：

∵扇形的弧长ππ8180

1690=?=l ，圆锥底面周长＝2πr ， 根据圆锥底面圆周长应等于侧面扇形弧长,即ππ82=r , ∴圆的半径r 为4cm. 即AE=16cm,O 1E=4cm,241=C O cm,

由于所给正方形纸片的对角线长为162cm ，而制作这样的圆锥实际需要正方形纸片的对角线AC 长为164422042++=+(cm)，∵ 2042162+>，∴方案一不可行.

（2）方案二可行.求解过程如下：

设圆锥底面圆的半径为r cm ，圆锥的母线长为R cm ，则

(12)162r R ++=， ① 2π2π4

R r =. ② 由①②，可得642

320212852R -==+，1628023252

r -==+. 故所求圆锥的母线长为3202128-cm ，底面圆的半径为80232-cm. 评注 本例主要考查了圆锥的有关计算,解题关键是圆锥侧面展开图的扇形弧长应等于底面圆周长.

考点4 圆的综合与创新

例4(2008浙江嘉兴) 24.如图，直角坐标系中，已知两点(00)(20)O A ，，，，点B 在第一象限且OAB △为正三角形，OAB △的外接圆交y 轴的正半轴于点C ，过点C 的圆的切线交x 轴于点D .

（1）求B C ，两点的坐标；

（2）求直线CD 的函数解析式；

（3）设E F ，分别是线段AB AD ，上的两个动点，且EF 平分

四边形ABCD 的周长.试探究：AEF △的最大面积？

分析 作BG ⊥OA,由等边△OAB 的边长为2,得OG=1,BG=3,

从而B(1,3),连AC,可得∠CAO=300,从而OC=332,则C(0,332);

初中-数学-打印版 初中-数学-打印版 在Rt △OCD 中,求得OD,则点D 坐标可得,再用待定系数法可求得直线CD 的函数解析式; 先求得四边形ABCD 的周长,设AE 为t,则AF 可用t 的代数式表示, △AEF 的面积A AF AE S sin 2

1?=是一个关于t 的二次函数,根据二次函数的 极值求得△AEF 面积的最大值.

解（1）(20)A ，，2OA ∴=.作BG OA ⊥于G ，

OAB △为正三角形，1OG ∴=，3BG =.(13)B ∴，.

连AC ，90AOC ∠=，60ACO ABO ∠=∠=，则∠CAO=300,

23tan 303OC OA ∴==.2303C ??∴ ? ??

?，. （2）90AOC ∠=，AC ∴是圆的直径， 又CD 是圆的切线，CD AC ∴⊥. 30OCD ∴∠=，2tan 303OD OC ==. 203D ??∴- ???

，. 设直线CD 的函数解析式为(0)y kx b k =+≠，

则233203b k b ?=????=-+??

，解得3233k b ?=??=??.∴直线CD 的函数解析式为2333y x =+. （3）2AB OA ==，23OD =，423

CD OD ==，233BC OC ==， ∴四边形ABCD 的周长2363

+. 设AE t =，AEF △的面积为S ，

则333AF t =+-，)333(4360sin 210t t AF AE S -+=?= 233393733434632S t t t ??????+??=+-=--++ ? ? ? ?????????

.

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初中-数学-打印版 ∴

当96t +=

时，max 3128

S =+. 点E F ，分别在线段AB AD ，上，

0220323t t ??∴?++??

≤≤≤≤，

2t ≤≤. 9t += 满足

2t ≤≤， AEF ∴

△38

+. 评注 本例是一道以圆为背景,与等边三角形、四边形、坐标系、一次函数、二次函数等知识点相结合,构成的内容丰富、构思新颖的综合题.同时本例又是一道几何动态题.是近年来中考数学的热点题型.这类试题信息量大，对学生获取信息和处理信息的能力要求较高；解题时需要用运动和变化的眼光去观察和研究问题，并特别关注运动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系，动中取静，静中求动.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/pryq.html