弹性力学简明教程(第四版)_习题解答

【2-9】【解答】图2-17：

上（y=0）

-1

左(x=0) -1 0

右（x=b）

1 0

l m

fx s g y h1

g y h1

fy s

gh1

代入公式（2-15）得

①在主要边界上x=0，x=b上精确满足应力边界条件：

x x 0 g(y h1), xy x 0 0; x x b g(y h1), xy x b 0;

②在小边界y 0上，能精确满足下列应力边界条件： y③在小边界y h2上，能精确满足下列位移边界条件：

y 0

gh, xy

2

y 0

0

u y h

2

0, v y h 0

这两个位移边界条件可以应用圣维南原理，改用三个积分的应力边界条件来代替，当板厚 =1时，可求得固定端约束反力分别为：

Fs 0,FN ghb1,M 0

由于y h2为正面，故应力分量与面力分量同号，则有：

b dx gh1b 0yy h2 b

0 y y h2xdx 0

b

dx 0 0xyy h2

⑵图2-18

①上下主要边界y=-h/2，y=h/2上，应精确满足公式（2-15）

l

0 0

m

-1 1

fx(s)

0 -q1

fy(s)

q

y

h 2hy

2

( y)y -h/2 q，( yx)y -h/2 0，( y)y h/2 0，( yx)y h/2 q1

②在x=0的小边界上，应用圣维南原理，列出三个积分的应力边界条件：负面上应力

h/2( )dx F

S

h/2xyx 0 h/2

( x)x 0dx FN 与面力符号相反，有 h/2

h/2 ( )ydx M h/2xx 0

③在x=l的小边界上，可应用位移边界条件ux l 0,vx l 0这两个位移边界条件也可改用三个积分的应力边界条件来代替。

首先，求固定端约束反力，按面力正方向假设画反力，如图所示，列平衡方程求反力：

F F

y

x

q1l FN q1l FN 0,FN FN

M

0,FS FS ql 0 FS ql FS

q1lh121ql2

MA 0,M M' FSl 2ql 2q1lh 0 M 2 M FSl 2

由于x=l为正面，应力分量与面力分量同号，故

h/2( )dy F ql F

N1N

h/2xx l q1lhql2 h/2

M FSl h/2( x)x lydy M 22

h/2( )dy F ql F

xyx lSS

h/2

【2-10】【解答】由于h l，OA为小边界，故其上可用圣维南原理，写出三个积分的

应力边界条件：

(a)上端面OA面上面力x 0,y

xq b

由于OA面为负面，故应力主矢、主矩与面力主矢、主矩符号相反，有

bbxqb b

dx dx qdx 0y 0b 0 y y 0

2

bbxqb2 b b (对OA中点取矩) 0 y y 0xdx 0yxdx 0q x dx

b 212

b

0 yx y 0dx 0

(ｂ)应用圣维南原理，负面上的应力主矢和主矩与面力主矢和主矩符号相反，面力主矢y向为正，主矩为负，则

qb b

dx F yN 0y 02

qb2 b

xdx M 0yy 0

12

b dx 0 0 xy y 0

综上所述，在小边界OA上，两个问题的三个积分的应力边界条件相同，故这两个问题是静力等效的。

【2-14】【解答】在单连体中检验应力分量是否是图示问题的解答，必须满足：（1）平衡微分方程（2-2）；（2）用应力表示的相容方程（2-21）；（3）应力边界条件（2-15）。

（1）将应力分量代入平衡微分方程式，且fx fy 0

x yx y xy

0 0 显然满足 x y y x

（2）将应力分量代入用应力表示的相容方程式（2-21），有

2 2 2q

等式左= 2 2 x y =2 0=右

b x y

应力分量不满足相容方程。

因此，该组应力分量不是图示问题的解答。 【解答】（1）推导公式

在分布荷载作用下，梁发生弯曲形变，梁横截面是宽度为1，高为h的矩形，其对中性

h3

轴（Z轴）的惯性矩I ，应用截面法可求出任意截面的弯矩方程和剪力方程

12q3qx2

M(x) x,F x 。所以截面内任意点的正应力和切应力分别为：

6l2l

3Fs x 4y2 M x 3qx22x3y

1 2 .3 h 4y2 。 x y 2q3 xy 2bh h 4lhIlh

根据平衡微分方程第二式（体力不计）。

y

3qxyxy3

0得： y . 2q3 A y x2lhlh

y

xy

根据边界条件

y h/2

qx3qxyxy3qx

0得 A .故 y . 2q3 .

2l2lhlh2l

将应力分量代入平衡微分方程（2-2）

第一式：

x2yx2y

左 6q.3 6q3 0 右 满足

lhlh

第二式 自然满足

将应力分量代入相容方程（2-23）

2 2 xyxy

左 2 2 x y 12q.3 12q.3 0 右

y lhlh x

应力分量不满足相容方程。故，该分量组分量不是图示问题的解答。

【2-18】【解答】（1）矩形悬臂梁发生弯曲变形，任意横截面上的弯矩方程M(x) Fx，横截面对中性轴的惯性矩为

Iz h3/12，根据材料力学公式

弯应力 x

M(x)12F

y 3xy；该截面上的剪力为Fs x F，剪应力为 Izh

Fs(x)S* F6F h2 h h/2 y 2 xy y b y y 3 3 bIz22h41 h/12

取挤压应力 y 0（2）将应力分量代入平衡微分方程检验 第一式：左

12F12F

y y 0 右 第二式：左=0+0=0=右 h2h3

该应力分量满足平衡微分方程。

（3）将应力分量代入应力表示的相容方程

左 2( x y) 0 右 满足相容方程

（4）考察边界条件

①在主要边界y h/2上，应精确满足应力边界条件(2-15)

l

0 0

m

-1 1

fx

0 0

fy

0 0

hy 上

2 hy 上

2

代入公式（2-15），得

②在次要边界x=0上，列出三个积分的应力边界条件，代入应力分量主矢主矩

h/2 ( x)x 0dy 0 x向面力主矢 h/2 h/2

h/2( x)x 0ydy 0 面力主矩 2

h/2 6Fh h/22

h/2( xy)x 0dy h/2 h3(4 y)dy F y向面力主矢

y

y -h/2

0, xy

y h/2

0; y

y h/2

0, yx

y h/2

0

M

满足应力边界条件

③在次要边界上，首先求出固定边面力约束反力，按正方向假设，即面力的主矢、主矩，FN 0,FS F,M Fl

其次，将应力分量代入应力主矢、主矩表达式，判断是否与面力主矢与主矩等效：

h/2

h/2

( x)x ldy

12F

lydy 0 FN

h/2h3

h/2

h/2

h/2h/2

( x)x lydy

12F2

lydy Fl M

h/2h3

h/2

6F h22 ( )dy y dy F FS h/2xyx l h/2h3 4

h/2

满足应力边界条件，因此，它们是该问题的正确解答。 【3-4】【解答】⑴相容条件:

不论系数a取何值，应力函数 ay3总能满足应力函数表示的相容方程，式(2-25). ⑵求应力分量

当体力不计时，将应力函数 代入公式(2-24)，得

x 6ay, y 0, xy yx 0

⑶考察边界条件

上下边界上应力分量均为零，故上下边界上无面力. 左右边界上；

当a>0时，考察 x分布情况，注意到 xy 0，故y向无面力 左端:x ( x)x 0 6ay 0 y h y

xyx 0

0

右端:x x x l 6ay (0 y h) y (

xy xl

) 0

应力分布如图所示，当l?h时应用圣维南原理可以将分布的面力，等效为主矢，主矩

A

主矢的中心在矩下边界位置。即本题情况下，可解决各种偏心拉伸问题。 偏心距e：

因为在A点的应力为零。设板宽为b，集中荷载p的偏心距e：

( x)A

ppe 2 0 e h/6 bhbh/6

同理可知，当a<0时，可以解决偏心压缩问题。

【3-5】【解答】（1）由应力函数 axy，得应力分量表达式

2

(l x m yx)s x(s)

x 0, y 2ay, xy yx 2ax考察边界条件，由公式（2-15）

(m y l xy)s y(s)

hhh

①主要边界，上边界y 上，面力为x(y ) 2ax fy(y ) ah

222

hhh

②主要边界，下边界y ，面力为x(y ) 2ax, y(y ) ah

222

③次要边界，左边界x=0上，面力的主矢，主矩为 x向主矢：Fx

h/2

h/2

( x)x 0dy 0，y向主矢：Fy

h/2

h/2

( xy)x 0dy 0

主矩：M

h/2

h/2

( x)x 0ydy 0

次要边界，右边界x=l上，面力的主矢，主矩为x向主矢：Fx y向主矢：Fy 主矩：M

h/2

h/2

( x)x ldy 0

h/2

h/2

( xy)x ldy

h/2

h/2

( 2al)dy 2alh

h/2

h/2

( x)x lydy 0弹性体边界上面力分布及次要边界面上面力的主矢，

⑵ bxy2，将应力函数代入公式（2-24），得应力分量表达式

x 2bx， y 0， xy yx 2by

考察应力边界条件，主要边界,由公式（2-15）得 在y

hh h

主要边界，上边界上，面力为x y bh,y y 0 22 2

在y

hh h

，下边界上，面力为x y bh,y y 0 22 2

在次要边界上，分布面力可按(2-15)计算，面里的主矢、主矩可通过三个积分边界条件

求得：

在左边界x=0，面力分布为x x 0 0,y x 0 2by 面力的主矢、主矩为 x

h2h 2

向主矢

h2h 2

：

Fx

h2h 2

x x 0dy 0

y向主矢：

Fy

xyx 0

dy

2by x 0dy 0

主矩；M

h/2

h/2

( x)x 0ydy 0，在右边界x=l上，面力分布为

，，面力的主矢、主矩为 x x l 2bl,y x l 2by，

x

向主矢：Fx

h/ h/

h/

h/2

x x ldy 2 h

h/2

2h

2bldy 2blhy

/

2

/2

向主矢：

Fy'

xy x ldy

2

h/2

2h

h

2 dy 0 by

/

2

/

主矩：M'

h/2 x x lydy h/22blydy 0

（3） cxy，将应力函数代入公式（2-24），得应力分量表达式

3

x 6cxy, y 0, xy yx 3cy2

考察应力边界条件，在主要边界上应精确满足式（2-15） ①上边界y

hh 3h

上，面力为x y ch2,y y 0 22 42

② 下边界y=

hh 3h

上，面力为x y ch2,y y 0 22 42

次要边界上，分布面力可按（2-15）计算，面力的主矢、主矩可通过三个积分边界求得：

③左边界x=0上，面力分布为

x x 0 0,y x 0 3cy2面力的主矢、主矩为x向主矢：Fx y向主矢：Fy 主矩：M

h/2-h/2

h/2 h/2h/2

ch 3cy dy 14

2

x x 0dy 0

h/2

xy

x 0

dy

h/2

3

h/2

x x 0

ydy 0

2

④右边界x l上，面力分布为x x l 6cly,y x l 3cy 面力的主矢、主矩为 x向主矢Fx

h/2 x x ldy h/26clydy 0

h/2 h/2

h/2h/2

y向主矢：Fy 主矩：M

yx l

dy

h/2

h/2

ch 3cy dy 14

2

3

h/2

h/2

x x lydy

1

6cly2dy clh3 h/22

h/2

弹性体边界上的面力分布及在次要边界上面力的主矢和主矩，如图所示 【3-6】【解答】（1）将应力函数代入相容方程（2-25）

4 4 4

222 4 0，显然满足 x4 x y y

（2）将 错误！未找到引用源。代入式（2-24），得应力分量表达式

12Fxy3F4y2

x , y 0, xy yx (1 2) 3

h2hh

（3）由边界形状及应力分量反推边界上的面力： ①在主要边界上（上下边界）上，y

h

，应精确满足应力边界条件式（2-15），应力2

y

y h/2

0, yx

y h/2

0

hh h

上，无任何面力，即x y 0,y y 0 22 2

因此，在主要边界y

②在x=0，x=l的次要边界上，面力分别为：

12Fly3F 4y2 3F 4y2

x 0:x 0,y 1-2 x l:x 3,y 2h 1 h2

2h h ，h

因此，各边界上的面力分布如图所示：

③在x=0，x=l的次要边界上，面力可写成主矢、主矩形式：

x=0上 x=l上

x向主矢：FN1= y向主矢：FS1= 主矩：M1=

h/2-h/2

h/2

h/2h/2

fxdy 0, FN2 ydy F, FS2

h/2

h/2h/2

fxdy 0ydy Fxydy Fl

h/2 h/2h/2

xydy 0, M2

h/2

【3-7】【解答】(1)将应力函数 代入式（2-25）

4 12qy 24qy 4 4 24qy

0，， 2 2 4223343

x x yhh yh

代入（2-25），可知应力函数 满足相容方程。

（2）将 代入公式（2-24），求应力分量表达式:

2 6qx2y4qy33qy 2 q4y33y

fyy ( 3 1) ， y x 2 fxx 3 3

x22hh yhh5h 2 6qxh2

xy yx 3( y2)

x yh4

(3)考察边界条件，由应力分量及边界形状反推面力： ①在主要边界y

h

（上面），应精确满足应力边界条件（2-15） 2

h h

x y yx 0,y y y q

y h/2y h/22 2 h

在主要边界y 下面 ，也应该满足 2 15

2

x y h/2 yx 0,y y h/2 y 0

y h/2

y h/2

在次要边界x 0上，分布面力为x x 0 x x 0

3qy4qy3

3,y x 0 xy 0

x 05hh

应用圣维南原理，可写成三个积分的应力边界条件:

3qy4qy3

xdy h/2h3 5h

h/2

FN FS M

h/2

h/2h/2

dy 0

h/2h/2

fydy 0fxydy

3qy4qy3

h/2 5hh3

h/2

h/2

ydy 0

④在次要边界x l上，分布面力为

x x l x x l

6ql2y4qy33qy6ql h2

3 3 ，y x l xy 3 y2

x lhh5hh 4

应用圣维南原理，可写成三个积分的应力边界条件:

23

6qly4qy3qy

FN x(x l)dy 3 3 dy 0 h/2 h/2hh5h

2

h/2h/2 6ql h Fs y(x l)dy 3 y2 dy ql

h/2 h/2h4 h/2h/2 6ql2y4qy33qy 12

M' x(x l)ydy 3 3 ydy ql h/2 h/2hh5h 2

h/2

h/2

【3-8】【解答】采用半逆法求解。

由材料力学解答假设应力分量的函数形式。 (1)假定应力分量的函数形式。

根据材料力学，弯曲应力 y主要与截面的弯矩有关，剪应力 xy主要与截面的剪力有关，而挤压应力 x主要与横向荷载有关，本题横向荷载为零，则 x 0

(2)推求应力函数的形式

2 将 x 0，体力fx 0,fy g，代入公式（2-24）有 x fxx 0

y2

对y积分，得

f x （a） yf x f1 x （b） y

其中f x ,f1 x 都是x的待定函数。 （3）由相容方程求解应力函数。

d4f x d4f1 x

0 （c）将（b）式代入相容方程（2-25），得y dx4dx4

在区域内应力函数必须满足相容方程，（c）式为y的一次方程，相容方程要求它有无数

多个根（全竖柱内的y值都应满足它），可见其系数与自由项都必须为零，即

d4f x d4f1 x

0, 0两个方程要求f4

dxdx

x

A3x

2

Bx ,C1 x f x

3

E x D x2

（d）

f x 中的常数项，f1 x 中的常数项和一次项已被略去，因为这三项在 的表达式中

成为y的一次项及常数项，不影响应力分量。将（d）式代入（b）式，得应力函数

y Ax3 Bx2 Cx Dx3 Ex2 （e）

（4）由应力函数求应力分量

2

x 2 fxx 0 （f）

y

2

y x

2 fyy 6Axy 2By 6Dx 2E gy 2

xy x y

3Ax2 2Bx C (5)考察边界条件

利用边界条件确定待定系数A、B、C、D、E。 主要边界x 0上（左）：

x x 0 0,( xy)x 0 0

将（f），（h）代入

x x 0 0，自然满足

( xy)x 0 C 0 主要边界x b上，

x x b 0，自然满足

( xy)x b q，将（h）式代入，得

( xy)x b 3Ab2 2Bb C q 在次要边界y 0上，应用圣维南原理，写出三个积分的应力边界条件：

b

( y)b

y 0dx 0 6Dx 2E dx 3Db2 2Eb 0 b0

( by)y 0xdx 0

6Dx 2E xdx 2Db3 Eb2 0

b0

( )b2yxy 0dx 0

3Ax2 2Bx C dx Ab3 Bb Cb 0 由式（i），(j)，（k），（l），（m）联立求得

A

qb2, B q

b

, C D E 0 (g)

(h)

（i）

（j）

k）

（l）

m）

（ （

代入公式（g），(h)得应力分量

x 0, y

2qx x q 3

1 3 gy, x x 2 xy b b b b

【3-9】【解答】按半逆解法求解。

⑴将应力函数代入相容方程（2-25）显然满足。 ⑵由公式（2-24）求应力分量表达式，体力为零，有

2 2 2

x 2 0， y 2 6Bxy， xy yx A 3Bx2

x y x y

⑶考察边界条件：

在主要边界x 2上，精确满足公式（2-15）

x x b/2 0,( xy)x b/2 q

第一式自然满足，第二式为

3

A Bb2 q (a)

4

②在主要边界x=b/2上，精确满足式(2-15)

x x b/2 0, xy x b/2 q

第一式自然满足，第二式为

3

A Bb2 q (b)

4

③在次要边界y=0上，可用圣维南原理，写出三个积分的应力边界条件:

b/2b/2

b/2

y

y 0

dx 0 满足 xdx 0 满足

3

2

b/2

y

b/2

b/2

y 0

1

dx A 3Bxdx Ab Bb 0 （c） b/2yxy 0 b/2

4

联立（a）（c）得系数

q2q

A ,B 2

2b

代入应力分量表达式，得

12qq x2

x 0, y 2xy, xy 1 122

b2 b

【3-10】【解答】采用半逆解法求解

（1）将应力函数代入相容方程（2-25），显然满足

（2）由应力函数求应力分量，代入公式(2-24)

2B 6By 6Dxy

x 0 y 2 A 3Dy xyyx

(a)

(3)考察边界条件

①主要边界y h/2上，应精确满足应力边界条件

y

y h/2

0， 满足

3

4

②在次要边界x=0上，应用圣维南原理，写出三个积分的应力边界条件

h/2h/2FN

dy F 2B 6Cydy F B NN h/2xx 0 h/2

2h

h/2h/22M

ydy M 2B 6Cyydy M C h/2xx 0 h/2

h3

h/2h/2132

dy F A 3Dydy F Ah Dh Fs （c） ss h/2 xy x 0 h/2 4

联立方程（b）（c）得

3F2FA s,D 3s

2hh

xy y h/2 0, 得A Dh2 0 （b）

最后一个次要边界 x l 上，在平衡微分方程和上述边界条件均已满足的条件下是必然满足的，故不必在校核。

将系数A、B、C、D代入公式（a），得应力分量 【3-11】【解答】采用半逆解法求解

(1) 检验应力函数是否满足相容方程（2-25）

设应力函数 =Ax3 Bx2y Cxy2 Dy3，不论上式中的系数如何取值，纯三次式的应力函数总能满足相容方程（2-25） (2) 由式（2-24）求应力分量

由体力分量fx 0,fy g，将应力函数代入公式（2-24）得应力分量：

2

x 2 fxx 2Cx 6Dy （a）

y 2

y 2 fyy 6Ax 2By gy （b）

y 2

xy 2Bx 2Cy （c）

x y

（3）考察边界条件：由应力边界条件确定待定系数。

①对于主要边界y 0，其应力边界条件为：

( y)y 0 0

，

( yx)y 0 0

（d）

将式（d）代入式（b），（c），可得

A 0，B=0 （e） ②对于主要边界y xtan （斜面上），应力边界条件：

在斜面上没有面力作用，即x y 0，该斜面外法线方向余弦为，

l sin ，m cos .由公式（2-15），得应力边界条件

sin ( x)y xtan cos ( yx)y xtan 0

（f）

sin ( xy)y xtan cos ( y)y xtan 0

将式（a）、（b）、（c）、（e）代入式（f），可解得

g g2

C cot ,D cot （g）

23

将式（e）、（g）代入公式（a）、（b）、（c），得应力分量表达式：

x gxcot 2 gycot2

y gy

xy gycot

【3-12】【解答】按半逆解法求解。

x2

（1）由§3-4可知应力函数的函数形式为 (Ay3 By2 Cy D)

2 x(Ey3 Fy2 Gy)

A5B4

y y Hy3 Ky2，由§3-4可知， 必然满足相容方106

程（2-25）。

（2）应力分量的表达式：

x2

x (6Ay 2B) x(6Ey 2F) 2Ay3 2By2 6Hy 2K （a）

2

y Ay3 By2 Cy D gy （b）

xy x(3Ay2 2By C) (3Ey2 2Fy G) （c）

（3）考虑对称性

因为yz面是梁和荷载的对称面，所以应力分布应当对称于yz面。这样

x和 y是x的偶函数，而 xy是x的奇函数，于是由式（a）和式（c）可见

E F G 0 （d）

（4）考察边界条件：

①在主要边界y 2上，应精确满足应力边界条件（2-15），

( y)y 0,( yx)y h 0

将应力分量式（b）、（c）代入，并注意到E F G 0，可得：

h3h2h g

A B C D h 0 8422 3

h2h g h

A B C D h 0 8422

32

x(Ah hB C) 0 4

3 x(Ah2 hB C) 0

4

联立此四个方程，得：

2 g3

,B 0,C g,D 0 （e） 2h2

将式（d）、（e）代入式（a）、（b）、（c）

6 g4 g

x 2x2y 2y3 6Hy 2K （f）

hh2 g g y 2y3 y （g）

h26 g3 g xy 2xy2 x （h）

h2

②考察次要边界条件

A

由于问题的对称性，只需考虑其中的一边，如右边。右边界x l上，x 0，不论y取任何值( h2 y h2)，都有 x 0。由（f）式可见，这是不可能的，除非 ,H,K均为零。因此，只能用应力 x的主矢、主矩为零，即

将（f）式代入式（i）得

h/2 6 g

h/2

h/2h/2

( x)x ldy 0 （i） ( x)x lydy 0 （j）

h/2

4 g3 2

xy y 6Hy 2K dy 0 22 h/2 h h

积分后得 K=0 （k）

将式（f）代入式（i），得

4 g3 6 g2

ly y 6Hy 2K ydy 0 22 h/2 h h

h/2

积分后得

l21

H g(2 ) （l）

h10

将（k）、（l）代入式（f），得

6 g24 g3l21

x 2xy 2y 6 g(2 )y （m）

hhh10

考察右边界上切应力分量 xy错误！未找到引用源。的边界条件： 右边界上y glh，则 xy的主矢为

h/2

h/2

xyx l

dy

6 g23 g

xy

h/2 h22

h/2

x dy glh y x l

可知满足应力边界条件。 将式（g），（h），（m）略加整理，得应力分量的最后解答：

6 g24 g3l21

X h2xy h2y 6 g(h2 10)y

2 g3 g (n) y y 2y h2

6 g23 g xy xxy2 h2

（5）应力分量及应力分布图

h3h2y2

梁截面的宽度取为1个单位，则惯性矩I ，静矩是S 。

1282

根据材料力学截面法可求得截面的内力，可知梁横截面上的弯矩方程和剪力

l2 x2

方程分别为M x gh,Fs x ghx

2

则式（n）可写成：

M x 4y23

y gy(2 ) x Ih5

gy2

y(1 42) y

2h

Fs x S xy

bI

【3-13】【解答】用半逆解法求解。 （1）相容条件：

将应力函数 代入相容方程式（2-25），得

120Ay 24By

要使 满足相容方程，应使

1

A B （a）

5

（2）求应力分量，代入式（2-24）

x 20Ay3 6Bx2y 6Cy 20Ay3 30Ax2y 6Cy 33

（b） y 2By 2D 2Ey 10Ay 2D 2Ey

22 6Bxy 2Ex 30Axy 2Ex xy

（3）考察边界条件

①在主要边界y 2上，应精确到满足应力边界条件

103

Ah 2D Eh 0 （c） 810

( y)y h2 q,即Ah3 2D Eh q （d）

830

( yx)y h 0,即Axh2 2Ex 0 （e）

4

联立式（a）、（c）、（d）、（e），可得：

qq3qqA 3,D ,E ,B 3 （f）

5h44hh

②在次要边界x 0上，主矢和主矩都为零，应用圣维南原理，写出三个积分的应力边界条件：

( y)y h 0,即-

h/2

h/2

h/2

( x)x 0dy 0 满足条件

h/2

3

Ah53

( )ydy (20Ay 6Cy)ydy 0 Ch 0 （g） xx 0 h/2 h/2

2

h/2

h/2

( xy)x 0dy 0 满足

将A的值带入（g），得

q

（h） 10h

将各系数代入应力分量表达式（b），得

C=

yy23x2

x qh(4h2 5 6h2)

qyy3

y (1 3 43)

2hh

3qxy2

(1 42) xy 2hh

【3-14】【解答】采用半逆解法求解。 (1) 相容条件：

将应力函数代入相容方程(2-25)，显然满足。 (2) 求应力分量：将 代入（2-24）

2A 6Cxy 6Dy x 0 y （a） 2 B 3Cy xy

(3) 考察边界条件。

①在主要边界y b/2上，应精确满足应力边界条件 y y b/2 0 满足

32

q, B Cb q （b） xyy b/2

4

②在次要边界x=0上，可用圣维南原理，写出三个积分应力边界条件

b/2

b/2

( x)x 0dy F (2Ay 3Dy)

2

b/2 b/2

F （c）

123 Ay 2Dy M （d） ( )ydy M b/2xx 0

2 b/2

b/2

b/2

b/2

xy

b/2

x o

dy F By Cy

3

b/2 b/2

F （e）

联立（b）、（c）、（d）、（e）式得

A

F2M1 3F 2 F

D ，B q ，， （f） C q 2bb32 b b2 b

将各系数据（f）代入式（a），得应力分量解答

【3-15】【解答】（1）假设应力分量的函数形式。因为在y b/2边界上，

y 0；y b/2边界上， y 2gx，所以可以假设在区域内 y为 y xf y

（2）推求应力函数的形式。由 y推求 的形式

2

y 2 xf y x2

x f y f1 y

x2

x3

f y xf1 y f2 y

6

（3）由相容方程求应力函数。将 代入 4 0，得

d4f1d4f2x3d4fd2f

x4 4 2x2 0 4

6dydydydy

要使上式在任意的x处都成立，必须

d4f32

0 f(y) Ay By Cy D;4

dy

d4f1d2fA5B4

2 0 f(y) y y Gy3 Hy2 Iy; 142

dydy106

d4f232

0 f(y) Ey Fy2

dy4

代入 即得应力函数的解答，其中已经略去了与应力无关的一次项，得应力函数

x3Ay5By432

Gy3 Hy2 Iy) (Ey3 Fy2) 为： (Ay By Cy D) x(

6106

（4）由应力函数求应力分量，将 代入公式（2-24），注意体力

fx 1g,fy 0，求得应力分量表达式

2 B

x 2 fxx x3 Ay x 2Ay3 2By2 6Cy 2H

y3

6Ey 2F 1gx

2

y 2 fyy x Ay3 By2 Cy D x

2 x22B3 A

xy 3Ay2 2By C y4 y 3Gy2 2Hy I

x y23 2

（5）考察边界条件

在主要边界y b/2上，应精确满足应力边界条件

y

y b/2

y

y b/2

b3 b2b

2gx x A B C D 2gx

42 8

b3b2b

0 x A B C D 0

842

b4 x2 3b2b33b2

0 A Bb C A B G Hb I 0

2 432124

xy

y b/2

由上式得到

3b2b4b33b2

A Bb C 0，A B G Hb I 0 432124

求解各系数，得 231

A 3 2g,B 0,C 2g,D 2g,H 0

b2b2

b3b2

I 2g G (a) 164

在次要边界x 0上，列出三个积分的应力边界条件

b/2

x

b/2

x 0

dy 0 F 0

b/2

x

b/2

b/2

x 0

ydy 0 E 0

bb2

b/2 xy x 0dy 0 I 80 2g 4G (b)

由式(a)、(b)解出

b1 2g,G 2g 8010b

将各系数代入应力分量的表达式，得

I

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