习题解答 - 现控理论 - 第5章

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5-1 5-2 5-3 5-4 5-5 5-6 5-7 5-8 5-9 5-10 5-11 5-12 5-13 5-14 5-15 5-16 5-17 5-18

5-1 判定下列二次型函数的定号性。

222(1) V(x)?2x1?3x2?x3?2x1x2?2x1x3

22(2) V(x)?x1?2x3?2x1x3?6x2x3

?111???(3) V(x)?x?Qx?x??120?x

??102??

2??x1?x2(4) V(x)??24??x1?x2x2?0x2?0

解：(1) 本题二次型函数对应的对称权矩阵P为

?2-11?? P??-130????101??对实对称矩阵P作合同变换如下

?2-11?行:(1)?(3)?(1)?1-10???-130?P??-130???列:(1)?(3)?(1)?????101???001??行:(2)?(1)?(2)?100??020? ??列:(2)?(1)?(2)???001??因此该二次型函数及对应的对称权矩阵P为正定的。

(2) 本题二次型函数对应的对称权矩阵P为

?10?1?? P??003?????132??对实对称矩阵P作合同变换如下

?10?1?行:(1)?(3)?(3)?100???003?P??003???列:(1)?(3)?(3)??????132???031??行:(2)?3(3)?(2)?100??0?90? ??列:(2)?3(3)?(2)???001??因此该二次型函数及对应的对称权矩阵P为不定的。

(3) 对实对称矩阵P作合同变换如下

?111?行:(1)?(3)/2?(1)?1/210???120?P??120???列:(1)?(3)/2?(1)?????102???002??行:(2)?2(1)?(2)?1/200??000? ??列:(2)?2(1)?(2)???001??因此该二次型函数及对应的对称权矩阵P为半正定的。

2

(4) 由于

?x12?2?x1V(x):??2?x1?x2?1故该函数V(x)为正定函数。

?x2?0?x2?0?x2?04?x2?0x1?x2?0x1?0,x2?0x1?0,x2?0x2?0

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5-2 确定下列二次型函数中的待定系数的取值范围,从而使其成为正定的。

222(1) V(x)?x1?2x2?ax3?2x1x2?2x1x3?2x2x3 222(2) V(x)?ax1?bx2?cx3?2x1x2?2x1x3?4x2x3

解：(1) 本题二次型函数对应的对称权矩阵P为

?11?1?? P??121?????11a??对实对称矩阵P作合同变换如下 0??11?1?行:(1)?(3)?(3)?11??12?P??121?2??列:(1)?(3)?(3)??????11a???02a?1??行:(2)?(1)?(2)0?0??10?10行:(3)?2(2)?(3)?01??01? ?2?0?列:(3)?2(2)?(3)??列:(2)?(1)?(2)????02a?1???00a?5??因此该二次型函数及对应的对称权矩阵P为正定的条件为a>5。

(2) 本题二次型函数对应的对称权矩阵P为

?a11?? P??1b?2????1?2c??根据赛尔维斯特准则知，由于

a1?2??ab?1,1ba11?3?1b?2?abc?4a?b?c?4

1?2c?1?a,因此，该二次型函数及对应的对称权矩阵P为正定的条件为

a?0ab?1?0abc?4a?b?c?4?0

4

5-3 判定下列矩阵的正定性。 ?a12?2?(1) ?1?a1a2???1a1a2???1?(a1,a2,?1?0) ?2a2??

?a12?(2) ?a1a2?a1a3?a1a22a2a2a3a1a3??a2a3?(a1,a2,a3?0) 2?a3?

解 (1) 对实对称矩阵P作合同变换如下

?a12?2?P??1?a1a2???1a1a2?????1?行:(1)*?1/a1?(1)?1?2列:(1)*?1/a1?(1)??2?a2?a2???a2?2?a2????1?行:(1)?(2)?(1)??1?1?10?2??2? ??列:(2)/a2?(2)??列:(1)?(2)?(1)??1101????????行:(2)/a2?(2)因此,当?1>2该二次型函数及对应的对称权矩阵P为正定；当?1=2该二次型函数及对应的对称权矩阵P为半正定；当?1<2该二次型函数及对应的对称权矩阵P为不定。

(2) 对实对称矩阵P作合同变换如下 ?a12?P??a1a2?a1a3?a1a22a2a2a3?a12a1a3??行:(2)?(1)*a2/a1?(2)?a2a3??0列:(2)?(1)*a2/a1?(2)?2??a1a3a3???a120a1a3?行:(3)?(1)*a3/a1?(3)??00??0列:(3)?(1)*a3/a1?(3)?2??00a3??00??00? 00??因此,该二次型函数及对应的对称权矩阵P为半正定。

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5-4 设有二阶非线性系统为

?1?x2?x ??x??sinx?x12?2(1) 求出所有的平衡态;

(2) 求出各平衡态处的线性化状态方程,并用李雅普诺夫第一法判断是否为渐近稳定。

解 (1) 对本题，平衡态为代数方程组

?x2?0 ??sinx?x?0?12的解,即下述状态空间中的状态为其孤立平衡态

??k??xe,k???k?0,1,2,3,... 0??(2) 由线性化方法，各平衡态处的线性化状态方程的系统矩阵A为

A??f(x)?x?x?xe1??0?0??????(?1)k?1???cosx1?1?x1??k?1? ?1????k??线性化系统的特征多项式为s2+s+(-1)k,因此，只有平衡态xe,k???k?0,2,4,...为渐0????k??，3，5,...为不稳定的。 近稳定的，而平衡态xe,k???k?10??

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5-5 设系统的运动方程式为

????1?y?y??y?0 y试确定其渐近稳定的条件。

?，则状态方程为 解：令x1?y,x2?y?1?y??x2?x ?x????y??(1?x)x?x121?2原点是唯一的平衡态，初选

2V(x)?x12?x2?0

则有

?(x)??2x2?1?x? V21?(x)?0。则在原点平衡态的这个邻域范围内，系统是稳定的。进一步，由于当x1?1，V?(x)?0对所有非零状态轨迹不能恒为零，因此该平衡态为渐近稳定的。 V

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5-6 试选择适当的李雅普诺夫函数,并利用该函数判定下列非线性系统的稳定性。 ??x2?x(1) ?1 2?x??x?xx112?2

??x2?x(2) ?1

?x??sinx?x12?2?1?x2??x(3) ??2??a(1?x2)2x2?x1,??x

a?0

22解：(1) 显然,原点是给定系统的惟一平衡态,如果选择正定函数V(x)?x1为李雅普?x2诺夫函数,那么沿任意轨迹x(t),V(x)对时间的全导数

22?(x)?2xx??V11?2x2x2??2x1x2

?(x)对所有非零初始状态出发的状态轨迹非恒为零，因此，该原是半负定函数，并且由于V点平衡态是渐近稳定的。

(2) 显然,原点是给定系统的平衡态。下面仅讨论原点平衡态的稳定性问题，其它平衡态

2可类似地进行分析。如果选择正定函数V(x)?sin2x1?x2cosx1为李雅普诺夫函数,那么沿任

意轨迹x(t),V(x)对时间的全导数

2?(x)?2?cosx??sinx?x?1?2x2?cosx1?x?2?2x2?1V?sinx1?x112?2?cosx1??sinx1?x2?2x2?cosx1??sinx1??2x2?cosx1??2x23?sinx1? 2??2x2??cosx1?x2?sinx1????(x)??2x2?高阶项，因此V?(x)为负定，故系统原点处的在原点的一个充分小的邻域内，V2平衡态渐近稳定。

(3) 原点为系统的平衡态，选李氏函数为：

2 V(x,t)?x12?x222?(x,t)?2xx??则 V为半正定，原点平衡态为稳定的。更进一步，1?x2?x211?2x2x2??2a??(x,t)?0，但此时x?2?x1?0，由于在原点的充分小的邻域内，当 x1?0,x2?0时，V?(x,t)都不能保持恒定为零。因此，原点平衡态为渐近稳定的。 故x2和V

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5-7 设系统的状态方程为

2??1?x2?ax1(x12?x2)?x ? 22?2??x1?ax2(x1?x2)??x试求其V函数,并在a?0,a?0和a?0时,分析平衡点处的系统稳定性。

22解 ) 设选择正定函数V(x)?x1为李雅普诺夫函数,那么沿任意轨迹x(t),V(x)对时间?x2的全导数

222?(x)?2xx??V11?2x2x2??2a(x1?x2)

?(x)是负定函数，该原点平衡态是渐近稳定的；当a?0，V?(x)是正定函因此，当a?0，V?(x)恒为0，该原点平衡态是稳定的，但非渐近数，该原点平衡态是不稳定的；当a?0，V稳定的。

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5-8 用李雅普诺夫方法判定下列线性定常系统的稳定性。 6??2???(1) x?x ?1?5??

1??0???(2) x?x ?6?5??

解 (1) 设选取的李雅普诺夫函数V(x)?x?Px,其中P为对称矩阵。将P代入李雅普诺夫方程,可得

?p11?p?12p12??26??2?1??p11??1?5???6?5??pp22?????12??p12??10?????? p22?01??解出p11、p12和p22,得

?pP??11?p12p12??-2.37500.7083???? p22?0.7083-0.0417???经检验，对称矩阵P不为正定矩阵，因此该线性系统不是渐近稳定的。

(2) 设选取的李雅普诺夫函数V(x)?x?Px,其中P为对称矩阵。将P代入李雅普诺夫方程,可得

?p11?p?12p12??01??0?6??p11??6?5???1?5??pp22?????12??p12??10????01? p22????解出p11、p12和p22,得

?pP??11?p12p12??0.5333-0.5???? p22?-0.50.7???经检验，对称矩阵P为正定矩阵，因此该线性系统是渐近稳定的。

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5-9 线性时变系统的状态方程为。

.1??x??x1?x21??t ?1?x?2??tx1?x2??2分析系统在平衡点处的稳定性如何？并求V函数。

解：原点是系统的一个平衡态，由

?(t)??AT(t)P(t)?P(t)A(t)?Q(t) P1???1/t其中 A(t)???,?t?1/2???10?Q(t)??? 01???t0?解矩阵P得 P(t)???。 根据根据赛尔维斯特准则有： 01???1?t?0,?2?t0?t?0 01该系统在平衡点处是大范围渐近稳定的。其李雅普诺夫函数为

2。 V(x,t)?xT(t)P(t)x(t)?tx12?x2

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5-10 用李雅普诺夫方法判定下列线性定常离散系统的稳定性。 1??0(1) x(k?1)???x(k) ?0.16?1??

40??1?x(k)?3?2?3(2) x(k?1)?? ???00??2????010?(3) x(k?1)??001?x(k),k?0

??k00??2??

解 (1) 设P为对称矩阵，由李雅普诺夫代数方程:

?0?0.16??p11??1?1????p12p12??01??p11??0.16?1???pp22???12??p12??10????01? p22????求解上述方程,解出p11、p12和p22,得

?pP??11?p12p12??5.0981-3.5328???? p22?-3.53284.0981??? 经检验对称矩阵P为正定的,因此,系统为大范围渐近稳定的。

(2) 设P为对称矩阵，由李雅普诺夫代数方程:

?1?32??p11?4?20??p???12??0?30????p13p12p22p23p13??140??p11??3?2?3???pp23?????12p33??200??????p13p12p22p23p13??100??010? p23????????p33??001??求解上述方程,解出P,得

?p11P???p12??p13p12p22p23p13??-0.34030.11880.2694??0.1188-0.1219-0.1219? p23?????p33??0.2694-0.1219-0.3614????经检验对称矩阵P不为正定的,因此,系统非渐近稳定的。

(3) 由李雅普诺夫代数方程GPG?P??Q,有

T12

?000????p12p13??010??p11p12p13??k??p11?10p22p??23??001?????p21p22p?23??2????p21?010????p31p32p33????k?020????p31p32p33???

??100????0?10????00?1?????100??解出矩阵 P??k2?4??0?k2?40?? ???00?8?k2?4???为使P为正定矩阵，根据根据赛尔维斯特准则，其充要条件是

k2?4?0

即 ?2?k?2，可保证系统在原点处是大范围渐近稳定。

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5-11 用克拉索夫斯基法判别下述非线性系统的稳定性。

3??1??x1?x2?x1?x ?3??x?x?x?x?2122解 由于f(x)连续可导且

3232f?(x)f(x)?(?x1?x2?x1)?(x1?x2?x2)?0

可取作李雅普诺夫函数,因此,有

?f(x)??1?3x12J(x)????x??1??1? 2??1?3x2?0??0 2??2?6x2?2??2?6x1?(x)?J(x)?J(x)??J?0?(x)负定,所以由克拉索夫斯基定理可知,平衡态xe=0是渐近稳定的。 由矩阵函数J14

5-12 用克拉索夫斯基法确定下述系统为大范围渐近稳定时,参数a和b的取值范围。

?1?ax1?x2?x?5 ?x?x?x?bx122?2

解 由于f(x)连续可导且

52f?(x)f(x)?(ax1?x2)2?(x1?x2?bx2)

因此当b?0时，f?(x)f(x)正定；当b=0时，只要a?-1,f?(x)f(x)正定.此时，上述f?(x)f(x) 可取作李雅普诺夫函数,因此,有

J(x)?1??f(x)?a??1?1?5bx4? ??x?2?2??(x)?J(x)?J?(x)??2aJ?2?2?10bx4??0

?2??(x)负定的条件为a<0, 4a(?1?5bx4)?4?0.所以综上所述,由克拉索夫斯基因此矩阵函数J2定理可知,平衡态xe=0是渐近稳定的条件为：

4b?0，a<0, 4a(?1?5bx2)?4?0.

或

b=0，a<-1

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5-13 用变量梯度法构成下述非线性系统的李雅普诺夫函数,并判别稳定性。

5??1??x1?2x1x2?x ???x??x2?2

参见5.4.2小节的例题

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5-14 用阿依捷尔曼法判别结构如题图5-14所示的非线性系统的稳定性。

题图5-14

参见5.4.3小节的例题

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