数项级数经典例题大全

第十二章数项级数

1 讨论几何级数?qn的敛散性.

n?0?1?qn1解当|q|?1时, Sn??q?? , ( n?? ). 级数收敛;

1?q1?qk?0nk当|q|?1时, Sn??,级数发散 ;

当q?1时, Sn?n?1??? , ( n?? ), 级数发散 ; 当q??1时, Sn??11?(?1)n, ( n?? ), 级数发散 . 2??综上, 几何级数

?qn当且仅当|q|?1时收敛, 且和为

n?0?1 ( 注意n从0开始 ). 1?q2

1?讨论级数n?1n(n?1)的敛散性. n?n讨论级数n?12n?

解用链锁消去法求.

3

的敛散性.

解设Sn?k123n?1n???????n, ?k23n?1222222k?11123n?1nSn?2?3?4 ? ? ?n?n?1, 222222111111nSn?Sn?Sn??2?3???n?n?1 22222221?1?1?n22??11?2????n?1, ( n?? ). n?12?Sn?2, ( n?? ).

因此, 该级数收敛.

2n?4、讨论级数n?15n?3的敛散性.

解

?2n2n22?? , ? Sn?n????, ( n?? ). 级数发散.

5n?35n555、证明

1?p?2级数n?1n2?收敛 .

1, 则当n?2时,有 2n证显然满足收敛的必要条件.令un?p| un?1?un?2p11111???un?p | ? ? ? ???, ? ?2nn?pnk?1(n?k)k?1(n?k?1)(n?k)注: 应用Cauchy准则时，应设法把式 |

?uk?1pn?k|不失真地放大成只含n而不含p的式子，

令其小于?，确定N.

6、判断级数n?1?nsin?1n的敛散性.

?0. 级数判敛时应首先验证是否满足收敛的必要条(验证un?件)

1?7、证明调和级数n?1n发散.

证法一(用Cauchy准则的否定进行验证) 证法二(证明{Sn}发散.利用不等式ln(n?1) ? 1??

11??? ? 1?lnn. 即得Sn???，2n( n?? ). )

注: 此例为un?0但级数发散的例子.

8、考查级数

?nn?1?21?n?1的敛散性

.

n212?n?1?0 ? 2 ? 2 , ?? 解有2n?n?1n9、判断级数

22?52?5?82?5?8??2?3(n?1)????????11?51?5?91?5?9??1?4(n?1)?

的敛散性.

解limun?12?3n3?lim? ? 1?????.

n??un??1?4n4nn?110、讨论级数?nx (x?0)的敛散性.

un?1(n?1)xnn?1解因为?x? ? x , ( n?? ). n?1unnnx因此, 当0?x?1时,

????; x?1时, ????; x?1时, 级数成为?n, 发散.

.

2n?1n!?nn11、判断级数的敛散性

注:对正项级数

?un，若仅有

un?11?1，其敛散性不能确定. 例如对级数?和

nunun?11?1，但前者发散, 后者收敛. , 均有?n2un3?( ?1 )n?2n12、研究级数

n的敛散性 .

n3?(?1)1解limnun?lim??1?????. n??n??22?1?n????13、判断级数?n?n2?n????和?1?n?n2的敛散性 .

解前者通项不趋于零 , 后者用根值法判得其收敛 .

1?pp?nn?114、讨论级数

?的敛散性.

??1解考虑函数f(x)?p, p?0时f(x)在区间[ 1 , ?? )上非负递减. 积分

x??f(x)dx

1当p?1时收敛, 0?p?1时发散?级数

1当p?1时收敛,当0?p?1时发散,当?pnn?1p?0时,

1??0, 级数发散. np综上,p?级数

1当且仅当p?1时收敛. ?pn?1n?

xn( ?1 ) (x?0)?n15、判别级数n?1的敛散性.

?n解当0?x?1时, 由Leibniz判别法? 当x?1时, 通项??0,

?收敛;

?发散.

16、设an?0.证明级数?ansinnx和?ancosnx对?x?(0 , 2?)收敛.

x?1nx?3x??证2sin???coskx??sin??sinx?sin????

2?2k?12?22??11?1???sin( n? )x?sin( n? )x??sin( n? )x，

22?2?1sin( n? )x1nx2. x?( 0 , 2? )时，sin?0? ??coskx?x22k?12sin2可见x?( 0 , 2? )时, 级数

?coskx的部分和有界. 由

Dirichlet判别法推得级数

?a

ncosnx收敛 . 同理可得级数数?ansinnx收敛 .

17、若n?1?an?an?2nn?1收敛，证明

??也收敛。

证明：由于?an收敛，因而，{an}收敛于0，故，存在N，使得n>N时，

n?1|an|￡1，

因而，n>N时，

an1， ?22nn故，由比较判别法得：?

an收敛。 2n?1n?18、证明：若?|an?an?1|收敛，则{an}收敛。

n?1?证明：由于?|an?an?1|收敛，则由Cauchy收敛准则，对e>n?1?0，存在N，

当n>N时，对任意的正整数p，成立

|an+1-an|+L+|an+p-an+p-1|

因而，

|an+p-an|?|an+1an|+L+|an+p-an+p-1|

再次用数列收敛的Cauchy收敛准则得：{an}收敛。

19、若?an收敛，则?n?1?1发散。

n?11?|an|?分析证明级数的发散性，首选工具是级数收敛的必要条件。 证明：由于?an收敛，故

n?1?n?liman=0，

?因而，

n?lim(1+|an|)=1，

?故，?1发散。

n?11?|an|?20、判断下列具体级数的敛散性

?11 1、?； 2、 , a?0 ,p?0； ?np1?a[lnn]n?1n?1??(2n?1)!!?n?3、?； 4、???；

n!2n?1?n?1n?1??(n?1)!n25、?； 6、?n。 nn?110n?12?n?分析对具体的级数，按照判别敛散性的一般程序，先考察通项的极限，在

通项极限为0的情形下，考虑比较判别法，常用的作为比较的级数的形式为

?￥n=1￥1n、，通过对通项的结构分析，选择合适的对比级数，此时，已q?pnn=1经学习过的数列的速度关系或阶的关系，有利于我们确定对比级数；对通项中含有n幂次或n！形式的级数常用Cauchy判别法或D’Alembert判别法，更复杂的题

目则需选用更精细的判别法。

1解、1）、a?(0,1]，{}不收敛于0，此时，级数发散；

1?an11a?1时，，由比较判别法得收敛。 ?nn1?aa 2、分析结构，发现对比级数为度。

由于对任意的p>0,

?￥n=11nk的形式，只需比较通项收敛于0的速

(lnn)plim=0, n??n￥1故，由比较判别法可知：?发散。 pn=1[lnn]3）、通项含有阶层形式，故采用比值判别法。

(2n-1)!!记un=，则

n!un+12n+1lim=lim=2>1， n?ギun+?n+1n故，该级数发散。 4）、由通项结构为n幂次形式，采用Cauchy判别法。

记un=(nnn)，则

2n+1n?limギn1un=lim=<1，

n+?2n+12故，由Cauchy判别法知该级数收敛。

5）、由通项结构可知用D’Alembert判别法。

(n+1)!记un=，则 n10un+1n+2lim=lim=+?n?ギun+?10n故，该级数发散。 6）、用Cauchy判别法。

，

n2记un=n，则

21nlimun=，

n??2故，该级数收敛。

21、判断下列具体级数的敛散性。

1）、

?òn=1?n?11n0￥(n)+1pnsix22xnp、??dx 2）

n?1?1n0x1?xdx

3）、??n(l1?x)dx

分析通项为积分形式的级数敛散性的判别，通常有3种方法：

1、利用积分判别法，转化为广义积分的敛散性，此时通项常具有形式

un??an?1anf(x)dx , f(x)?0 , { an}递增趋于??。

2、直接计算积分转化为一般形式的数项级数。

3、通过对积分进行估计，用比较判别法判断，此时通项常具有形式其中{an}单减趋于0。在上述3种方法中，常用1、3两种方法，un??f(x)dx，

0an这是考点。

解：1）、从类型看，适用于第一种方法。此级数与广义积分?相同的敛散性，由于

???sin2xdx具x2ò+?p21??sinxdx收敛，dx收敛，因而由比较方法，??22xx故，该级数也收敛。

2）、典型的第3种方法处理的题型。由于积分上限趋于0，考察被积函数在0点附近的性质，由于x?0时，

un??1n0x1?x1n32~x，因而， ，

x1?xdx~?1n0xdx~故此级数应收敛。

上述可以视为结构特征分析，知道了结构特征，具体的验证方法可以灵活选 择，下面的方法属于直接比较法。

对充分大的n，当0?x?1n011?2，故 时，

n1?x0?un?2?xdx?41， 33n2且级数

?+?n=11n32收敛，因而，原级数收敛。

当然，用比较方法的极限形式更直接，如 由于

n?limunn3-2ギ=limt0òt0xdx1-x t32t21-t=lim=， 1t?0332t2因而，原级数收敛。 注、我们选择

?+?n=11n32作为对比级数，是由于结构特征分析为选择判断标准提供

了依据，而数列极限的连续化处理使得我们能够利用高级的极限计算方法如L’Hospital法则。

3）、与2）类似，当n充分大时，un??ln(1?x)dx~?xdx?或者计算方法

un?(1?x)ln(1?x)|?1n01n01n01，故收敛。22n11111~(1?)??2 nnnnnt?或者limn???1n0ln(1?x)dx12ln(1?x)dxln(1?t)1??lim?lim?，

0t?0?n都可以得到级数的收敛性。

t2t?0?2t2

22、判断敛散性

?11 1）、? 2）、?nisnlnnlnlnnlnnn?3n?2?1 n分析典型的积分判别法处理的题型结构。 解：1）、由于

??1??dx?lnlnlnx|???， 3?3xlnxlnlnx因此，由积分判别法，该级数发散。

111112）、分析结构特点，，由积分判别法 sin~?lnnnlnnnnlnn1发散，故原级数发散。 ?n?1nlnn?事实上，由于

11sinn=1，

limlnnn??11lnnn故，?11sin和nn?2lnn?1具有相同的敛散性，由于 ?n=2nlnn1?dx=lnlnx|+2?xlnx?，

￥ò+?2因而，由积分判别法，原级数发散。

24、判断敛散性

1）、?(en?1?1n2?ocs?1n?1、?(?ln)； 2）)；

nnn?1n?3）、?[e?(1?n?1?111????)]。 1!2!n!分析这类题目较难，因为所用到的是分析学中最难的“阶”的比较或函数展

开理论。注意，展开过程中选择适当的展开项。

解：1）、先作“阶”的分析。由于

1p111p12en-cos=[1+2+o(2)]-[1-()2+o(2)]

nnn2nn111 +o()~n2n2n2故级数应该收敛。

验证这个事实：由于 =Cen?1n2-cos12limギn2px2en=lim-cospx x0x22xex+psinpxp2， =lim=1+x?02x2且

?￥n=11n2收敛，故原级数收敛。

2）、类似，由于

111?ln(1?)1?n?limx?ln(1?x)?lim1?x?1， limnn???x?0x?0122x2x2n故，该级数收敛。

3）、利用函数展开则

111e?e?1?????? , 0???1

1!2!n!(n?1)!故，

111e0

1!2!n!(n+1)!因而，该级数收敛。

25、设f(x)?C2[0,明?f￠(n)收敛。

n=1￥?)，且f(+?)(x)30，fⅱ(x)<0，证1，f￠分析这是一个正项级数，从所给条件看，需借助Taylor展开研究函数的性质，

利用展开式得

f(x)=f(x0)+fⅱ(x0)(x-x0)+1f?(x)(x-x0)2 2(n)的性质，显然 我们试着从上式中分析f￠f(x)?f(x0)f￠(x0)(x-x0)，

估计f￠(x0)，则

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