数字信号处理教程答案 - 图文

数字信号处理教程 课后习题及答案

目录

第一章 离散时间信号与系统 第二章 Z变换

第三章 离散傅立叶变换 第四章 快速傅立叶变换 第五章 数字滤波器的基本结构

第六章 无限长单位冲激响应（IIR）数字滤波器的设计方法 第七章 有限长单位冲激响应（FIR）数字滤波器的设计方法第八章 数字信号处理中有限字长效应

第一章 离散时间信号与系统

1 .直接计算下面两个序列的卷积和y(n)?x(n)*h(n)

h(n)???an , 0?n?N?1

?0 , 其他n n?n0 x(n)????? ,n0?n??0,n?n0

请用公式表示。

分析：

①注意卷积和公式中求和式中是哑变量m（ n 看作参量）

， 结果y(n)中变量是 n,

??

y(n)?x(m)h(n?m)?m????m?h(m)x(n?m) ; ??? ②分为四步 （1）翻褶（ -m ），（2）移位（ n ）,（3）相乘，

3

(3)当n?n0?N?1时 ,全重叠 y(n)??m?n-N?1?x(m)h(n?m)nm?n0n???m?n?N?1?n0n???n?m???n0??????1??0n?n?m??n????m1?n?N?1?n?0?n?1?n??n?1?n????0,???解:y(n)?x(n)*h(n)?(1)(2)当n?n0时 nm????x(m)h(n?m)y(n)?0?当n0?n?n0?N?1时 ,部分重叠 y(n)?nm?n0?x(m)h(n?m)m?n0?m?n0???n?m?n?n?0m?n0?????nmy(n)??n?n0?n?1?n0?,(???)???n?n0????n?N?1???????n?11???n?1?N?n0?N??N???,?????y(n)?N?n?n0,?????（4）相加，求得一个 n 的 y(n) 值 ，如此可求得所有 n 值的 y(n) ; ③ 一定要注意某些题中在 n 的不同时间段上求和范围的不同

如此题所示，因而要分段求解。

2 .已知线性移不变系统的输入为x(n),系统的单位抽样响应 为h(n),试求系统的输出y(n),并画图

(1)x(n)? ? (n),(2)x(n)? R3(n),

(3)x(n)? ? (n?2),(4)x(n)? 2nu(?n?1),分析：

h(n)?R5(n)h(n)?R4(n)

h(n)?0.5nR3(n)h(n)?0.5nu(n)①如果是因果序列y(n)可表示成y(n)={y(0)，

y(1)，y(2)……}，例如小题（2）为

4

y(n)={1，2，3，3，2，1} ;

②?(n)*x(n)?x(n) , ?(n?m)*x(n)?x(n?m) ;

③卷积和求解时，n的分段处理。

解： (1) y(n)?x(n)*h(n)?R5(n)(2) y(n)?x(n)*h(n)?{1,2,3,3,2,1}(3) y(n)??(n?2)*0.5nR3(n)?0.5n?2R3(n?2)(4) x(n)?2nu(?n?1) h(n)?0.5nu(n)1?n当n?0 y(n)??0.52??23m???n4当n??1 y(n)??0.5n?m2m??2n3m???n?mm?1

3 .已知 h(n)?a?nu(?n?1),0?a?1 ，通过直接计算卷积和的办法，试确定

单位抽样响应为 h(n)的线性移不变系统的阶跃响应。

解:x(n)?u(n)h(n)?a?nu(?n?1)y(n)?x(n)*h(n),0?a?1当n??1时y(n)?m????1?an?ma?n?1?aa当n??1时y(n)?m????a?m?1?a

4. 判断下列每个序列是否是周期性的,若是周期性的,试确定其周期：

3?? (a) x(n)?Acos(n?)78j(n??)13(b) x(n)?Asin(? n) (c) x(n)?e63

分析：

序列为x(n)?Acos(?0n??)或x(n)?Asin(?0n??)时，不一定是周期序列， ①当2?/?0?整数，则周期为2?/?0；

5

2?P②当 ? ,（有理数 P、Q为互素的整数）则周期为 Q ；?0Q③当2?/?0?无理数 ，则x(n)不是周期序列。

解： (a)x(n)?Acos(3?n??)78 2?/?0?2?/3??14

73 ?是周期的,周期为14。(b)x(n)?Asin(13?n)313??626?/ 2?/?0? j(??)313n(c)x(n)?en?cos(??)?jsin(n??)66 ? 是周期的，周期6。是nn ??cos6?jsin6 5. 设系统差分方程为 2? /?0?12?: T 是无理数y(n)?ay(n?1)?x(n) ?是非周期的。其中x(n)为输入,y(n)为输出。当边界条件选为

(1)y(0)?0

(2)y(?1)?0试判断系统是否是线性的?是否是移不变的?

分析：已知边界条件，如果没有限定序列类型（例如因果序列、反因果序列等），则递推求解必须向两个方向进行（n ? 0及n < 0）。

解: (1)y1(0)?0时，(a)设x1(n)??(n)，按y1(n)?ay1(n?1)?x1(n)i)向n?0处递推，y1(1)?ay1(0)?x1(1)?0y1(2)?ay1(1)?x1(2)?0 ┇

6

y1(n)?ay1(n?1)?x1(n)?0?y1(n)?0,n?0ii)向n?0处递推，将原方程加以变换 y1(n?1)?ay1(n)?x1(n?1) 则y1(n)?1a[y1(n?1)?x1(n?1)] 因而y1(?1)?1a[y?1 1(0)?x1(0)]??a y1(?2)?1a[y1(?1)?x1(?1)]??a?2y?31(?3)?1a[y1(?2)?x1(?2)]??a ┇

y1(n)?1[y1(n?1)?x1(n?1)]??ana综上i),ii)可知：yn

1(n)??au(?n?1)(b)设x(n)??(n?1)i)向n?0处递推， 按y2(n)?ay2(n?1)?x2(n) y2(1)?ay2(0)?x2(1)?1y2(2)?ay2(1)?x2(2)?a ┇

y2(n)?ay2(n?1)?xn?12(n)?a?y2(n)?an?1,n?1ii)向n?0处递推，按变换后的y2(n) y2(n)?1a[y2(n?1)?x2(n?1)]

y2(?1)?1a[y2(0)?x2(0)]?0y2(?2)?1a[y2(?1)?x2(?1)]?0┇

y2(n)?1a[y2(n?1)?x2(n?1)]?0综上i),ii)可得：yn?12(n)?au(n?1)由　(a),(b)结果可知，

x(n)与x2(n)是移一位的关系，但 y1(n)与y２(n)不是移一位的关系，所以在　 y(0)?0条件下，系统不是移不变系统。7

c)设x(n)??(n)??(n?1)i)向n?0处递推y3(1)?ay3(0)?x3(1)?1 y3(2)?ay3(1)?x3(2)?ay3(3)?ay3(2)?x3(3)?a2 ┇

y3(n)?ay3(n?1)?x3(n)?an?1?y13(n)?an?,n?1ii)向n?0处递推

y3(?1)?1[y3(0)?x3(0)]??a?1ay3(?2)?1[y3(?1)?x3(?1)]??a?2a ┇

y3(n)?1a[y3(n?1)?x3(n?1)] ??an, n??1综上i),ii)可得：

y13(n)?an?u(n?1)?anu(?n?1) ?y1(n)?y2(n)?所给系统在y(0)?0条件下是线性系统。6.试判断:

是否是线性系统?并判断(2),(3)是否是移不变系统?

分析：利用定义来证明线性：满足可加性和比例性，

T[a1x1(n)?a2x2(n)]?a1T[x1(n)]?a2T[x2(n)]

移不变性：输入与输出的移位应相同T[x(n-m)]=y(n-m)。

解： (1)ny(n)?x(m)

m????yn1(n)?T?x1?n???m?x1?m?

???y2?n??T?x2?n???n?m?

m?x2???ay1?n??byn2?n???ax1?m??bx2?n??

m????

8

T?axn1?n??bx2?n????bx2?n??

m??ax1?n????T?ax1?n??bx2?n???ay1?n??by2?n?

?系统是线性系统 解：(2) y(n)??x?n??2y1(n)?T?x1?n????x1?n??2

y?n??T?x222?n????x2?n??

ay??by??ax2n??21?n2?n?1?n????bx1?

T?ax1?n??bx2?n????ax1?n??bx2?n??2??ax2?21?n????bx2?n??2abx

1?n?x2?n?即T?ax1?n??bx2?n???ay1?n??by2?n??系统不是线性系统y2(n)?x2?n?sin?29???7?解： (3)y(n)?x?n?sin??2??9??7???T?x?n?m????x?n?m??2y?n?m???x?n?m??2即T?x?n?m???y?n?m?

?系统是移不变的y1(n)?x1?n?sin?29???7?

ay1?n??by2?n?

?ax1(n)sin(29???7)?bx2(n)sin(29???7)9

7. 试判断以下每一系统是否是(1)线性,(2)移不变的？

T?x?n?m???x?n?m?sin2???97y?n?m??x?n?m?sin2???97即T?x?n?m???y?n?m??????系统是移不变的 T?ax1?n??bx2?n????ax1(n)?bx2(n)?sin(2???)97即有T?ax1?n??bx2?n???ay1?n??by2?n??系统是线性系统(1)T[x(n)]?g(n)x(n) (2)T[x(n)]?x(n?n0) (4)T[x(n)]?k?n0x(n)?x(k)

n (3)T[x(n)]?e分析：

注意：T [x(n)] = g(n) x(n) 这一类表达式，若输入移位m,则有x(n)移位变成x(n-m),而g(n)并不移位，但y（n）移位m则x（n）和g(n)均要移位m 。

解：(1) T?x(n)??g(n)x(n) T?ax1(n)?bx2(n)??g(n)[ax1(n)?bx2(n)]?g(n)?ax1(n)?g(n)?bx2(n)?aT[x1(n)]?bT[x2(n)]?系统是线性系统。

T?x?n?m???g(n)x?n?m? y?n?m??g?n?m?x(n?m) 即T?x?n?m???y?n?m??系统不是移不变的。

10

T?x?n?m???ex(n?m) y?n?m??ex(n?m) 即T?x?n?m?? ?y?n?m??系统是移不变的。解：(2) T?x(n)??k?nx(k)?n0T?ax1(n)?bx2(n)?n?[ax1(k)?bx2(k)]

k??n0nn?ax1(k)?k??nk?bx2(k)0?n0?aT[x1(n)]?bT[x2(n)]?系统是线性系统。T?x?nn?m???x?k?m?k??n0n?m ??k??x?kn0?mn??my?n?m??x?k?

k?n0即T?x?n?m???y?n?m??系统不是移不变的。

解： (3) T?x(n)??x(n?n0)T?ax1(n)?bx2(n)??ax1(n?n0)?bx2(n?n0)?aT[x1(n)]?bT[x2(n)]8. 以下序列是系统的单位抽样响应h(n),试说明系统是否是(1)因果的,(2)稳定的？

11

(1) (3)1u(n)2n3nu(n)0.3nu(n)(2)(4)(6)1u(n)n!3nu(?n)0.3nu(?n?1)

(5)(7)

分析：

? (n?4)注意：0！=1，已知LSI系统的单位抽样响应，可用定性，用h（n）=0，n<0 来判断因果性。

解： (1) 当n?0时 , h(n)?0, ?是因果的。

?n????h(n)?M???来判断稳

n????|h(n)|?11???????,0212?不稳定。(2) 当n?0时，h(n)?0, ?是因果的。 11?1?1??????2*13*2*1111?1?1????????3248?稳定。n?????|h(n)|?111??????0！1！2！(3) 当n?0时，h(n)?0, ?是因果的。?n????|h(n)|?30?3?3??????12

?不稳定。(4)当n?0时，h(n)?0,?是非因果的。?n????|h(n)|?30?3?1?3?2?????3

2?稳定。 12

(5) 当n?0时，h(n)?0,?系统是因果的。10

|h(n)|?0.3?0.3?0.3?????7n?????012?系统是稳定的。(6) 当n?0时，h(n)?0?系统是非因果的。?n????|h(n)|?0.3?1?0.3?2??????

?系统不稳定。(7) 当n?0时，h(n)?0?系统是非因果的。n?????|h(n)|?1

?系统稳定。 9．列出下图系统的差分方程,并按初始条件y(n)?0,n?0，求输入为x(n)?u(n)时的输出序列y(n),并画图表示。 分析：

“信号与系统”课中已学过双边Z变换，此题先写出H(z) 然后利用Z反变换（利用移位定理）在时域递推求解；也可直接求出序列域的差分方程再递推求解[注意输入为u(n)]。

解：系统的等效信号流图为：

Y(z)1?z?1则由梅逊公式可得：?X(z)1?1z?144y(n)?y(n?1)?4x(n)?4x(n?1) y(n)?１y(n?1)?x(n)?x(n?1)４y(0)?1y(?1)?x(0)?x(?1)?14 13

y(1)?14y(0)?x(1)?x(0)?2?14y(2)?14y(1)?x(2)?x(1) ?2(1?1)?(1)244y(3)?14y(2)?x(3)?x(2) ?2(1?1?13442)?(14)

?y(n)?14y(n?1)?x(n)?x(n?1)?2(1?1???(1)n?1)?(1)n444???851n??3?3? 4 ???u(n)

10. 设有一系统,其输入输出关系由以下差分方程确定

y(n)?112y(n?1)?x(n)?2x(n?1)

设系统是因果性的。 试求：

(a) 该系统的单位抽样响应 ；(b)由(a)的结果,利用卷积和求输入 x(n)?ej?nu(n)的响应 。

分析：小题(a)可用迭代法求解

小题(b)要特别注意卷积后的结果其存在的n值范围。解：y(n)?12y(n?1)?x(n)?12x(n?1)(a)x(n)??(n)y(n)?h(n)?0(n?0)h(0)?12y(?1)?x(0)?12x(?1)?1

h(1)?12y(0)?x(1)?12x(0) ?12?12?1h(2)?1y(1)?x(2)?122x(1)?12h(3)?1y(2)?x(3)?1x(2)?(1)2222┇

14

h(n)?1y(n?1)?x(n)?1x(n?1)22 ???1???2?n?1

n?1?h(n)???1???2?u(n?1)??(n)(b) y(n)?x(n)*h(n)?(1)n?1u(n?1)???n?*ej?nu(n)2?(1)n?1u(n?1)*ej?nu(n)?ej?nu(n)2?????m?1)(m?1)ej?(n?m)u(n?1)?ej?nu(n)?(12n1e?j??1(1)ne?j?(n?1)22?2ej?n2u(n?1)?j?11?e2 ?ej?nu(n)ej?(n?1)?(1)ne?j?2?u(n?1)?ej?nu(n)

1?1e?j?2ej?n?(1)n2u(n?1)?ej?nu(n)?ej??12

11.有一理想抽样系统,抽样频率为?s?6?,抽样后经理想低通滤波器Ha(j?)还原,其中:?1 ??3??, Ha(j?)??2

?0, ??3??今有两个输入xa1(t)?cos2? t,xa2(t)?cos5? t,问输出信号ya1(t),ya2(t)有无失真?为什么?

分析：要想时域抽样后不产生失真的还原出原信号，则抽样频率（

fs）必须大于

f?2fh。

最高信号频率（ fh）的2倍，即满足s

15

解：根据奈奎斯特定理可知：

xa1(t)?cos2? t ,频谱中最高频率?a1?2??6??3?2?ya1(t)无失真。??????xa2(t)?cos5? t ,频谱中最高频率 ?a2 6??5???3?2?ya2(t)失真。

12.已知一个线性时不变系统的 单位抽样响应h(n) 除了区间N0?n?N1之外皆为零；又已知输入 信号x(n)除了区间N2?n?N3之外皆为零；如 果假设输出信号y(n)除区间N4?n?N5之外皆 为零，试以N0,N1,N2,N3表示N4,N5。

分析：由于

y(n)??x(m)h(n?m)m可知x(n)的非零范围为N2?m?N3，

h(n-m) 的非零范围为N0?m?N1 。

解：按照题意，在区间N0?n?N1之外单位抽样响应 h(n)皆为零；在区间N2?n?N3x(n) 之外输入皆为零,

的非零空间为 mN2?m?N3h(n?m)的非零空间为N0?n?m?N1将两不等式相加可得： N0?N2?n?N1?N3，在此区间之外，h(n?k)和x(k)的非零抽样互不重叠，故输出皆为零。由于题中给出输出除了区间N4?n?N5之外皆为零，所以有：N4?N0?N2N5?N1?N3

因此y(n)??x(m)h(n?m),由x(m)13.一个具有下列有限长单 位抽样响应h(n)的系统：h(n)?0,n?0或n?N,(N?0),请证明：如果|x(n)|?B，则输出的界值为|y(n)|?B?|h(k)| ，同时请证明|y(n)|可能达到这个k?0N?1界值，即寻找一个满足 |x(n)|?B的序列 x(n)，使y(n)对某些n值有|y(n)|?B?|h(k)|。k?0N?1

16

分析： 题中要求某些n值使y(n)?BN?1k?0 最方便的是n?0 时?h(k) ，k?0N?1k?0N?1满足 y(0)?B 进一步看只要 y(0)?B?h(k) 满足即可 ，?h(k) ， 由卷积和公式有y(0)??N?1h(k)x(?k) ， 即要求x(?k)?Bh*(k) ， k?0?也就是要求满足x(n)??Bh*(?n)h(?n) , 当h(?n)?0???0 , 当h(?n)?0 证明：由于题中给出h(n)?0,(n?0,N?n) 式中N?0 因此，可以把y(n)写成N?1 y(n)??h(k)x(n?k)，而k?0|y(n)|??N?1?|h(k)|?|x(n?k)|?，k?0 若|x(n?k)|?B则输出的界值N?1 |y(n)|?B?|h(k)|　，为达到这个界值我们k?0 凑一个序列?h?(?n)B ,x(n)????|h(?n)|h(?n)?0　　　　　???0,h(?n)?0　N?1h?

于是y(n)??h(k)(k?n)k?0|h(k?n)|B　N?1因此y(0)??|h(k)|2N?1B?Bk?0|h(k)|?|h(k)|k?0h(k) 17

。

第二章 Z变换

． 求以下序列的z变换，并画出零极点图和收敛域。

n(1)x(n)?an(|a|?1)(2)x(n)???1??2??u(n)n(3)x(n)????1??2??u(?n?1)(4)x(n)?1n,(n?1)(5)x(n)?nsin(?0n),n?0(?0为常数）(6)x(n)?Arncos(?0n??)u(n),0?r?1

分析：

?Z[x(n)]?X(z)?Z 变换定义

n?x(n)z?n???，

n的取值是x(n)的有值范围。Z变换的收敛域 是满足

?z?n?M??n?x(n)???的z值范围。

解：(1) 由Z变换的定义可知：

?1X(z)?n?z?n?a?nz?n?n??a???n??????anz?nn?0????anzn?n?1?anz?nn?0?az1?az?1?1?a21?a(1?az)(1?az?1)z

?(a2?1)za(z?1a)(z?a)18

1 a1收敛域： az?1,且z?1 即： a?z?

a

极点为： z?a,z?1a 零点为： z?0,z??

解：(2) 由z变换的定义可知：

? X(z)?(1)nu(n)z?n n????2???(1n?n2)z

n?0 x ( n ) ? ?? 1 ? n1(2) ??2??u(n)1?1 ?12z收敛域： 12?1z?1 即： z?12 极点为： z?12 零点为： z?0

(3)x(n)????1?n?2??u(?n?1)

解:（3）

X(z)????(1)nu(?n?1)z?n?1???(1)nz?n

n???2n???2? ???2nzn ??2zn?11?2z

?1 1?1?12z 收敛域： 2z?1 即： z?12

极点为： z?12 零点为： z?0

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(4)x(n)?1

n,(n?1)解： (4) X(z)???1n?1n?z?n ?

?dX(z)???dz?1(?n)z?n?1?(?z?n?1)?1 ，|z|?1 n??1nn??1z?z2?X(z)?lnz?ln(1?z)?lnz1?z

因为X(z)的收敛域和dX(z)dz的收敛域相同， 故X(z)的收敛域为|z|?1。 极点为：z?0,z?1 零点为： z??

(5)x(n)?nsin?0n,n?0(?0为常数）

解：(5) 设 y(n)?sin(?0n)?u(n)

?1则有 Y(z)?n)?z?n?z?sin?0n?y(???1?2z?1cos??2，|z|?10?z而 x(n)?n?y(n)

z?1X(z)??zdz?Y(z)?(1?z?2∴d)sin?0(1?2z?1cos?,|z|?10?z?2)2因此，收敛域为 ：z?1

极点为： z?ej?0,z?e?j?0 （极点为二阶）零点为： z?1,z??1,z?0,z??

(6)x(n)?Arncos(?0n??)u(n),0?r?1解：(6)

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设 y(n)?cos(?0n??)?u(n) ?[(cos(?0n)?cos??sin(?0n)?sin?]u(n) ?cos??cos(?0n)?u(n)?sin??sin(?0n)?u(n)

)?cos??1?z?1cos??1? Y(z0zsin?01?2z?1cos??2?sin??0?z1?2z?1cos??20?z ?cos??z?1cos(???0)1?2z?1cos?0?z?2, z?1则 Y(z) 的收敛域为 z?1 而 x(n)?Arn?y(n)? X(z)?A?Y(zA?cos??z?1rcos(???0)?r)?1?2z?1rcos?2?2 0?rz则X(z) 的收敛域为 ： z?|r| 。2 . 假如x(n)的z变换代数表示式是下式，问X(z)可能有多少

不同的收敛域。

1?1z?2 X(z)?4

(1?14z?2)(1?54z?1?38z?2)分析：

有限长序列的收敛域为 ： 0?z?? , n1?n?n2 特殊情况有 ： 0?z?? , n1?0 0?z?? , n2?0 右边序列的收敛域为 ： Rx??z?? , n?n1 因果序列的收敛域为 ： Rx??z?? , n?n1?0

左边序列的收敛域为 ： 0?z?Rx? , n?n2 特殊情况有 ： z?Rx? , n?n2?0 双边序列的收敛域为 ： Rx??z?Rx?有三种收敛域 ： 圆内 、 圆外 、 环状（ ?0 ， z?? 要单独讨论 ）解 : 对X(Z)的分子和分母进行因式分解得

(1?1Z?1)(1?1Z?1X(Z)?22)(1?14Z?2)(1?12Z?1)(1?34Z?1)1?1 ?2Z?1(1?1jZ?1)(1?1jZ?1)(1?3

Z?1224) X(Z)的零点为 : 1/2 ， 极点为 : j/2 , -j/2 , -3/4

∴ X(Z)的收敛域为 :

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(1) 1/2 < | Z | < 3/4 , 为双边序列， 请看 <图形一> (2) | Z | < 1/2 , 为左边序列，请看 <图形二>

(3) | Z | > 3/4 ， 为右边序列， 请看 <图形三>

3.用长除法,留数定理,部分分式法求以下X(z)的z反变换1?1z?1 (1) X(z)?2, z?1 (2) X(z)?1?2z?1, 11?1z?221?1z?z?14

44 (3)X(z)?z?a11?az, z?a分析：

长除法：对右边序列（包括因果序列）H（z）的分子、分母都要按

z的降幂排列，对左边序列（包括反因果序列）H（z）的分子、分 母都要按z的升幂排列。

部分分式法：若X（z）用z的正幂表示，则按X(z)/z 写成部分分

式，然后求各极点的留数，最后利用已知变换关系求z反变换可得 x（n）。 留数定理法：

（1） 注意留数表示是 Res (X(z)zn?1)z?z?(z?zk)X(z)zn?1kz?zk 因而 X(z)zn?1 的表达式中也要化成 1/(z?zk) 的形式才能相抵 消 ， 不能用 1/(1?z1kz?) 来和（ z?zk） 相抵消 ， 这是常出

现的错误 。（2） 用围线内极点留数时不 必取“?” 号（负号） ， 用围线外极点留 数时要取“?” 号（负号） 。（1）（i）长除法：

1?1?1X(z)?2z1

1?1?z?21?1z?142极点为z??1/2,而收敛域为：|z|?1/2,

因而知x(n)为因果序列，所以分子分母要按降幂排列

1?1z?1?1z?2???

21?1z?1

4?211?1z?12 22

?1?1 2z

?1z?1?14z?22 14z?2

X(z)?1?12z?1?14z?2?????n

?????1???z?nn?0?2?n所以：x(n)???1???2???u(n)

（1）(ii)留数定理法：

x(n)?112?j?czn?1dz, 设 c为1?1z?12z?12内的逆时针方向闭合曲线：

当n?0时，

1zn?1?1n1?1?1z?1z在c内有 22zz??12一个单极点

? 则x(n)?Res???zn?n?1??????1?2??, n?0??z??2??z??12

由于 x(n) 是因果序列 ，

故 n?0 时， x(n)?0

n 所以 x(n)???1???2???u(n)

（1）(iii)部分分式法：

1?1 X(z)?2z?11z1?1?? ?21?114z1?2zz?2

23

因为 z?12 所以 x(n)???1?n??2???u(n)

（2）(i). 长除法：

由于极点为z?114,而收敛域为z?4 ,

因而 x(n)是左边序列,所以要按z的 升幂排列：

8?28z?112z2????

14?z2?z 2?8z

7z7z?28z2

28z228z2?112z3

X(z)?8?28z?112z2????? ?8??7?4n?zn

n?11 ?8??n?z?nn??7?4??? 所以 x(n)?8??(n)?7???1?n?4???u(?n?1)

（2）(ii)留数定理法:

x(n)?1n?12? j?cX(z)zdz 设 c 为 z?14 ， 内的逆时针方向闭合曲线当 n?0 时：

X(z)zn?1 在c外有一个单极点z?14 24

?x(n)??Res[X(z)zn?1]z?1

4

? 7 ? (1)n4, ( n ? 0)当 n?0 时：

X(z)zn?1在c内有一个单极点z?0

∴x(n)?Res[X(z)zn?1]z?0?8,n?0

当 n?0 时： X(z) zn?1在 c 内无极点 ，

则： x(n)?0,n?0

综上所述，有：

x(n)?8?(n)?7(14)nu(?n?1)

(2)(iii). 部分分式法：

X(z)z?28?7z??? z(z?114)zz?4 则 X(z)?8?7z?7 z?18?1?1?14z4 因为 z?14 则x(n)是左边序列

所以 x(n)?8?(n)?7(14)nu(?n?1)

(3)(i). 长除法： 因为极点为z?1a，由z?1a可知,x(n)为

因果序列, 因而要按 z 的降幂排列: ?1111a?a(a?a)z?1?1a2(a?a)z?2???? ?az?1z?a

z?1a?(a?1 a)?(a?111

?1a)?a(a?a)z

25

1(a??1?1)zaa ?11)z?1a(a??1aa?12(a)z?2a ??????n 则X(z)??1???(a?1)??1???z?na

n?1a?a? 所以

nx(n)??1a??(n)?(a?1a)???1??a???u(n?1)

(3)(ii). 留数定理法:

x(n)?12?j?cX(z)zn?1dz ，设 c 为 z?1a 内的逆时针方向闭合曲线。

当 n?0 时：X(z)zn?1在 c 内有 z?1??a 一个单极点x(n)?ResX(z)zn?1z?1a? ?????1z?a?zn?1??a???z?1?a??z?1an ?(a?1?1?a)???a??,(n?0)当 n?0 时：X(z)zn?1 在c 内有z?0,z?1a两个单极点x(0)?Res?X(z)zn?1?z?1a?Res?X(z)zn?1?z?0 ?a?1a?a ??1a当n?0 时：由于x(n)是因果序列， 此时 x(n)?0 。 所以

nx(n)??1a??(n)?(a?1?1?a)??a???u(n?1)(3)(iii). 部分分式法：

X(z)z?z?az(1?az)??az?1?a21?az

26

则X(z)??a?(a?11a)?

1?1az?1 所以

nx(n)?(?a)??(n)?(a?1?1?a)???a???u(n)

n ??11?1?a??(n)?(a?a)???a???u(n?1)

4. 有一右边序列 x(n)，其 z 变换为X(z)?1

(1?12z?1)(1?z?1)(a) 将上式作部分分式展开(用 z?1表示)，由展开式求 x(n) 。 (b)

将上式表示成 z 的多项式之比，再作部分分式展开，由展开式求 x(n) ,并说明所得到的序列与(a)所得的是一样的。 注意：不管哪种表示法最后求出x（n）应该是相同的。

解：(a)

因为X(z)??12 1?1??11?z?12z且x(n)是右边序列 n 所以 x(n)?(2???1??2??)u(n)

(b)

(z)?z2X(z?12)(z?1)31 ?1?2z?2 (z?12)(z?1)?1 ?1?22z?1?z?12 27

n则 x(n)??(n)???1??2??u(n?1)?2u(n?1)

n

? (2 ???1??2??)u(n)5．对因果序列,初值定理是

x(0)?limz??X(z),如果序列为 n?0时

x(n)?0,问相应的定理是什么?

7?19z?1X(z)?12241?5z?1?z?22讨论一个序列 x(n),其

z变换为：

X(z) 的收敛域包括单位圆，试求其 x(0) 值。分析：

这道题讨论如何由双边序列Z变换X(z)来求序列

初值x(0)，把序列分成因果序列和反因果序列两部分， [它们各自由X(z)求x(0)表达式是不同的]，将它们 各自的x(0)相加即得所求。

解：当序列满足n?0,x(n)?0时,有:0X(z)?z?nn?x(n)???

?x(0)?x(?1)z?x(?2)z?2????所以此时有：zlim?0X(z)?x(0) 若序列x(n)的Z变换为：

7?19z?17z2?19zX(z)?122412241?5?2z?1?z?2(z?2)(z?12) ?z（ z?2）?z?X1(z)?X2(z)

43（ z?12）?X(z) 的极点为 z11?2,z2?2由题意可知：X(Z)的收敛域包括单位圆 则其收敛域应该为：

12?z?2 28

则 x1(n) 为 n?0 时为有值左边序列，x2(n) 为因果序列：xz1(0)?zlim?0X1(z)?zlim?0（4z?2）?0

xz12(0)?limz??X2(z)?limz???（3z?12）3?x(0)?x0)?11(0)?x2(36. 有一信号y(n),它与另两个信号x1(n)和x2(n)的 关系是: y(n)?x1(n?3)?x2(?n?1)

nn 其中 x?1??1?1(n)???2??u(n) ，x2(n)???3??u(n) 已知 Z[anu(n)]?11?az?1 ，z?a 利用 z 变换性质求 y(n) 的 z 变换 Y(z) 。

分析：

(1) 注意移位定理 ： x(n)?X(z) x(?n)?X(z?1) x(n?m)?zmX(z) x(?n?m)?z-mX(z?1) （2） y(n)?x1(n)*x2(n) 则 Y(z)?X1(z)X2(z) 。解：根据题目所给条件可得：

x???1Z11(n)?1?1 x2(n)???1 ?12z?11?3z ?xZ1(n?3)???z311?1 z?

z?122 x??Z2(?n)?X12(z?1)? z?111?1? 3z3 xn?1)?Zz?12(??? z?31?1

3z而 y(n)?x1(n?3) ? x2(?n?1)

29

所以 Y(z)?Z?x1(n?3)??Z?x2(?n?1)?

?z3z?1 ?1?1 2z?11?13z??3z3

(z?3)(z?12)7. 求以下序列x(n)的频谱X(ej?)。 (1) ?(n?n?an0) (2) eu(n) (3) e?(??j?0)nu(n) (4) e?anu(n)cos(?0n) 分析：

可以先求序列的Z变换X(z)再求频率

X(ej?) X(ej?)?X(z)z?ej?

即

X(ej?)为单位圆上的Z变换，或者直接求序列的?傅里叶变换

X(ej?)?e?j?n

n?x(n)???解：

对题中所给的x(n)先进行z变换 再求频谱得：

(1) ???X(z)?Z?x(n)? ?Z??(n?n0)?

?z?n0

?X(ej?)?X(z)|z?ej? ?e?jn0?

(2)??X(z)?Ze?an??u(n)? ?1 1?e?az?1 30

?X(ej?)?X(z)|z?ej? ?1

1?e?ae?j?(3)???X(z)?Z?e?(??j?0)nu(n)? ?1 1?e?(??j?0)z?1?X(ej?)?X(z)|z?ej? ?1 1?e???e?j(???0)

(4)???X(z)?Z?e?anu(n)cos(?0n)?

?1?z?1e?acos?01?2z?1e?acos?0?z?2e?2a

∴X(ej?)?X(z)|z?ej?

?1?e?j?e?acos?01?2e?j?e?acos??2j??2a 0?ee8. 若x1(n),x2(n)是因果稳定序列，求证：

1?j?j??j?2????XX11(e)2(e)d??{2????X)d?}{11(e2??????X2(ej)d?}分析：

利用时域卷积则频域是相乘的关系来求解

x1??1(n)*x2(n)?2????X1(ej)X2(ej?)ej?nd?

而 x1(n)*x2(n)n?0?x1(0)x2(0) ?1?2????X1(ej?)Xj?2(e)d? ，

再利用x1(n)、x2(n)的傅里叶反变换，代入n = 0即可得所需结果。

证明:

设 y(n)?x1(n)?x2(n) 则 Y(z)?X1(z)?X2(z)? Y(ej?)?Xj??1(e)?X2(ej)

? 1?2????X1(ej?)Xj?2(e)ej?nd?

31

1?j?j?n?Y(e)ed?2???? ?y(n)

?x1(n)?x2(n)? 1?X1(ej?)X2(ej?)d?2??? ?x1(n)?x2(n)|n?0??n? ??x1(k)x2(n?k)??k?0?n?0?

?x1(0)?x2(0)?12?1 x2(n)?2???x1(n)?????X1(ej?)ej?nd?X2(ej?)ej?nd?????

∴x1(0)?1?j?X(e)d? 1???2?1?j?x2(0)?X(e)d? 22?????1?j?j?X(e)X(e)d?12???2? ??11?{?X1(ej?)d?}{?X2(ej?)d?}2???2???

9．求x(n)?R5(n)的傅里叶变换。

分析:

这道题利用傅里叶变换的定义即可求解，但最后结果应化为模和相角的关系。

解：根据傅里叶变换的概念可得：

X(e)?DTFT?RN(n)? ?j?N?1n?0?1?e?j? njN?2?jN?2

1?e?j? Nee?e ???111?j?j??j?1?e?j?e2e2?e2?jN?2

N?1???j?????2??e?sinN?sin?,22? ?

?? ? ? 2k?,k为整数?N, ? ? 2k???????? 32

?当??2k?时，

X(ej?)? sin?N?2?sin??2?

argX(ej?)????N?1??2????arg?sin?N?2?sin??2??

????N?1?2? ?2????n? , Nn?? ? 2?N?n?1?

当N?5 时， 即可得到所需的 X(ej?) 和 argX(ej?) 。

10. 设X(ej?)是如下图所示的x(n)信号的傅里叶变换，

不必求出X(ej?)，试完成下列计算：

(a) X(ej0) (b) ??j???X(e)d? (c) ?22????X(ej)d? (d)

??dX(ej?)??d?d?分析：

利用序列傅里叶变换的定义、它的导数以及帕塞瓦公式

1?j?22????x(e)d??(n)2 。

n??x???解：

j0?(a) X(e)?)e?j0?n?n?x(n???n??x(n)?6???(b) ??j??j??ej0d?

??X(e)d????X(e) ?2 ? x(0) ?4 ?(c)由帕塞瓦尔公式可得：

??j?2???X(e)d??2?x(n)2?28?

n?????(d)∵X(ej?)?x(n)?j?n

n?e??? 33

∴

dX(ej?)???(?jn)x(n)e?j?nd? n???即DTFT?(?jn)x(n)??dX(ej?)d?

由帕塞瓦尔公式可得：

??dX(ej?)2????d??2?|(?jn)x(n)|2d?n?????2?n2x2(n)

n?????2?(9?1?0?1?9?64?25?0?49)?316?11．已知x(n)有傅里叶变换X(ej?)，用X(ej?)表示下列信号的 傅里叶变换。

(a)x(?1?n)(b) xx?(?n)?x(n)1(n)?x(1?n)?x3(n)?2

(c) x22(n)?(n?1)x(n)

分析：

利用序列翻褶后移位关系以及频域的取导数关系式来求解。

x(n)?X(ej?) , x(?n)?X(e?j?)x(m?n)?e?j?mX(e?j?) , X(ej?

-jd)d??DTFT[nx(n)] 。

解：

(a) DTFT?x(n)??X(ej?)

DTFT?x(?n)??X(e?j?) DTFT?x(1?n)??e?j?X(e?j?) DTFT?x(?1?n)??ej?X(e?j?)

?

DTFT[x1(n)]?X(e?j?ej?] ? 2 X (e?j?)co?s

34

(b) DTFT[x?(?n)]?X?(ej?) X*(ej?因而：DTFT[x)?X(ej?)2(n)?2 ?Re[X(ej?)](c) X(ej??)?x(n)e?j?n

n????则 dX(ej?)???(?jn)x(n)e?j?nd?

n???dX(ej?即 DTFT?nx(n)??)(?j)d?j? ?jdX(e)

d?同理:DTFT?n2x(n)? ?j?djdX(ej? )

d?(d?)?d2X(ej??)d?2

而 x23(n)?nx(n)?2nx(n)?x(n) 所以

DTFT?x3(n)?

?DTFT?n2x(n)??2DTFT?nx(n)? ?DTFT?x(n)?

d2??X(ej?)d?2?2jdX(ej?)d??X(ej?) 12. 已知用下列差分方程描述的一个线性移不变因果系统 y(n)?y(n?1)?y(n?2)?x(n?1)

(a) 求这个系统的系统函数，画出其零极点图并指出其收敛区域； (b) 求此系统的单位抽样响应；

(c) 此系统是一个不稳定系统，请找一个满足上述差分方程的稳 定的（非因果）系统的单位抽样响应。 分析：

x(n)?X(z) , h(n)?H(z) , y(n)?Y(z)

35

则 H(z)?Y(z)/X(z)?Z[h(n)]，

要求收敛域必须知道零点、极点 。收敛域为Z平面 某个圆以外，则为因果系统（不一定稳定），收敛域 若包括单位圆，则为稳定系统（不一定因果）。

(a) 对题中给出的差分方程的两边作Z变换，得： Y(z)?z?1Y(z)?z?2Y(z)?z?1X(z)

所以H(z)?Y(z)z?1zX(z)?1?z?1?z?2?(z?a 1)(z?a2) 零点为z=0，极点为z?a1?0.5?1?5??1.62

z?? z?a2?0.5?1?5???0.62 因为是因果系统，所以|z|>1.62是其收敛区域。

零极点图如右图所示。

右边是本题的零极点图。

（b） 因为 H(z)?z?z(z?a?1??z?? 1)(z?a2)a1?a2?z?a1z?a2??1?a?11?

1?a2?1?a?1z1?1?a?2z1??1?? n?n??n?n?a1?a2???a1z??a2z?n?0n?0?所以 h(n)?1na?an1?a2?u(n)1?a2

式中 a1?1.62 , a2??0.62 由于H(z)的收敛区域不包括单位圆，故这是个不 稳定系统。

(c) 若要使系统稳定，则收敛区域应包括单位圆,因此选H(z)的

收敛区域为 a2?z?a1，即 0.62?z?1.62，则 H(z)?1?a?z?z?a?z??? 1?a21z?a2中第一项对应一个非因果序列，而第二项对应一个因果序列。

?1 所以 H(z)?1???an?n?n?n?a1?a2?1z?a2z? n?????n?0?

36

1

则有h(n)?aan?n?1)?an1u(2u(n)?2?a?1??0.447???

(1.62)nu(?n?1)?(?0.62)nu(n) 从结果可以看出此系统是稳定的，但不是因果的。 13. 研究一个输入为x(n)和输出为y(n)的时域线性离散移不变系 统，已知它满足 y(n?1)?103y(n)?y(n?1)?x(n) 并已知系统是稳定的。试求其单位抽样响应。 分析：

在Z变换域中求出H(z)?Y(z)/X(z)，

然后和题12（c）一样分解成部分分式分别 求Z反变换。

解：

对给定的差分方程两边作Z变换，得：

z?1Y(z)?103Y(z)?zY(z)?X(z)则：H(z)?Y(z)X(z) ?1z?1?10 3?z ?z(z?3)(z?13)极点为 z11?3,z2?3，

为了使它是稳定的，收敛区域必须包括

单位圆，故取 1/3?|z|?3 。

利用第十二题(c)的结果，a1?3,a2?1/3

即可求得

h(n)??3?n8??3nu(?n?1)??1?????3??u(n)??

?

14.研究一个满足下列差分方程的线性移不变系统，该系统 不限定为因果、稳定系统。利用方程的零极点图，试求 系统单位抽样响应的三种可能选择方案。

37

解 :

对题中给定的差分方程的两边 作Z变 换，得：

?15y(n?1)?y(n)?y(n?1)?x(n)2

5zY(z)?Y(z)?zY(z)?X(z)2

Y(z)H(z)?X(z)因此

?z?1

15??z2

? 其零点为

z1(z?2)(z?)2

12z?0

z?2z2? 极点为 1 ,

因为该系统不限定为因果，稳定系统,所以其收敛域情况有三种，分别如左图所示。

收敛域情况有： 零极点图一：

z?2

零极点图二：

1?z?22

零极点图三：

注：如果想要参看具体题解，请先选择方案，然后单击 解答 按键即可。

38

1z?2 (1) 按12题结果(此处z1=2, z2=1/2),

可知当收敛区域为

z?2,则系统

是非稳定的，但是因果的。其单

位抽样响应为：

h(n)?1zz(znn1?z2)u(n)1?2

?23(2n?2?n)u(n)

(2) 同样按12题，当收敛区域为

12?z?2 ，

则系统是稳定的但是非因果的。

其单位抽样响应为：

h(n)?1zzn(?n?1)?zn1u2u(n)2?z??1??2?n3??2nu(?n?1)??1?????2??u(n)???

(|z2|?|z|?|z1|)

(其中 zz11?2

2?2 )

(3)

类似 , 当收敛区域为

z?12时，

则统是非稳定的，又是非因果的。

39

其单位抽样响应为：

h(n)?1z?znu(?n?1)?zn12u(?n?1)?2?z1

??23(2n?2?n)u(?n?1)

(其中

z1?2,z2?12)

15. 有一个用以下差分方程表示的线性移不变因果系统

y(n)?2ry(n?1)co?s?r2y(n?2)?x(n) 当激励

x(n)?anu(n)时,求系统的响应。请用z变换来求解。 分析：

两种解法：

①直接由Z变换Y（z）的关系可得到y（n）， ②由Y（z）用留数法可求得y（n）。

解法一:

已知

x(n)?anu(n), 则 y(n)?2ry(n?1)cos??r2y(n?2) ?anu(n)

将上式进行Z变换，得：

Y(z)?2rz?1Y(z)cos??r2z?2Y(z) ?11?az?1 因此

Y(z)?1(1?2rz?1cos??r2z?2)(1?az?1)

?1

(1?rej?z?1)(1?re?j?z?1)(1?az?1)

40

?????(rej?)mz?m???????(re?j?)lz?l??m?0??l?0?? ? ??k?k?

?? ? azk?0??

???????rm?lm?0l?0k?0

e j( m ?l)?akz?(l?m?k)

令n?m?l?k，

则 Y(z)???????rn?kej(n?2l?k)?akz?nn?0l?0k?0

所以y(n)?????rn?kej(n?2l?k)?akl?0k?0解法二：

差分方程进行Z变换后得:

H(z)?11?2rz?1cos??r2z?2 ?z2(z?z1)(z?z2) 其中

z1?rej??r(co?s?jsin?)

z2?re?j??r(co?s?jsin?)故 Y(z)?H(z)X(z)z3 ?(z?z1)(z?z2)(z?a) 其收敛区域为

z?max?r,a?。因为

是因果系统，且当n?0时x(n)等 于零，所以 y(n)?0,n?0当n?0 时，采用围线积分法，其中围线C 包围z1,z2,a三个极点，所以

41

3y(n)??zn?1,z?z(zn?2p?n?2n?2?2?a)z1?(z1?a)z2?(z1?z2)a

?Y(z)p?1 (z1?zu(n)2)(z1?a)(z2?a)

将z1?rej?,z2?re?j?代入上式，即可得到

y(n)

16. 下图是一个因果稳定系统的结构，试列出系统差分方程，

求系统函数。当

b0?0.5,b1?1,a1?0.5时，求系统单

位冲激响应 , 画出系统零极点图和频率响应曲线。

分析：

解法一：利用此系统是一阶系统写出差分方程，令其二阶项系统为零，可得一阶差分方程，取Z变换求得H（z）从而求得h（n）。

解法二：将系统用流图表示，改变流图中两个一阶节的级联次序

（线性系统服从交换定理），然后写出差分方程，再取Z变换 求得H（z）从而求得h（n）。

解法一:由图示可得

x1(n)?x(n)?a1x1(n?1)

y(n)?b0x1(n)?b1x1(n?1)

则 y(n)?ky(n?1)?b0x1(n)?b1x1(n?1)?kb0x1(n?1)?kb1x1(n?2)

?b0x(n)?(a1b0?b1?kb0)x1(n?1)?kb1x1(n?2)

?b0x(n)?(a1b0?b1?kb0)x(n?1)

?a1(a1b0?b1?kb0)x1(n?2)?kb1x1(n?2)

由方框图可看出：差分方程应该是一阶的

所以 a21b0?a1b1?ka1b0?kb1?0?k??a1

42

则有

y(n)?a1y(n?1)?b0x(n)?(a1b0?b1?a1b0)x(n?1)

?b0x(n)?b1x(n?1)

即 Y(z)(1?a1?11z?)?(b0?b1z)X(z)

所以 H(z)?Y(z)b0?b1z?1X(z)?1?a1z?1

当 b0?0.5,b1?1,a1?0.5 时：

b0?b?1H(z)?1z?10.5?z1?a?1z?11?0.5z?1

0.5z?1?1?0.5z?1?1?0.5z?1

因为此系统是一个因果稳定系统 ; 所以其收敛

域为 z?0.5

?h(n)?0.5??0.5?nu(n)??0.5?n?1u(n?1)

解法二： 将图P2-11 画成流图结构，并化简如下：

由于线性流图的级联结构可以改变级联次序，因而上图又可化成：

由这个流图即可很方便地写出其线性差分方程：

y(n)?a1y(n?1)?b0x(n)?b1x(n?1)

取z变换可得：

43

Y(z)(1?a?11z)?(b10?b1z?)X(z)

所以

(z)?Y(z)?b0?b1z?1H X(z)1?a?11z 将 b0?0.5,b1?1,a1?0.5代入，可得：

H(z)?0.5?z?11?0.51?0.5z?1?zz?0.5H(z)1?0.z?5zz(z?0.5)?Az?Bz?0.5, 其中A??2,B?2.5

因而 H(z)??2?2.5zz?0.5,|z|?0.5

(由于系统是因果稳定的)

所以 h(n)??2?(n)?2.5?(0.5)nu(n) 17．设

x(n)是一离散时间信号，其z变换为X(z)，对下列信

号利用X(z)求它们的z变换：

(a)

x1(n)??x(n)，这里△记作一次差分算子，定义为：

?x(n)?x(n)?x(n?1)

x(n2),n为偶数(b) x2(n)?{0，n为奇数

(c) x3(n)?x(2n)

分析：

x2(n)式序列的抽取序列，x3(n)是 内插零值序列（不是内插序列），解题的 关键是要进行变量变换，以得到与x(n) 的Z变换相似的表达式。 解：

(a) Z??x(n)??Z?x(n)??Z?x(n?1)?

?X(z)?z?1X(z)?(1?z?1)X(z) 44

(b)

Z?x2(n)???n??nx?? z?n?even?2?， n则2

?2m令m??上式?m????x(m)z?X(z2)

?m)?z?n?x(m)z?2(c)令m?2n则Y(zn?x(2n)???m??even由此可设

?x(m)?12?1?(?1)m? x(m)则：Y(z)?11?(?1)m x(m)?z?2 ??mm????2???m1?1?x(m)?m2?12?x(m)??1?2?2z??1?1m???2?X(z2)?X(?z2)?m?????z???

???

45

第三章 离散傅立叶变换

1.如下图，序列x(n)是周期为6的周期性序列，试求其傅立叶级数的系数。解: X~(k)?n?5~x(n)Wnk6??0n?5~x(n)e?j2?6nk

?02??14?12e?j2?6k10e?j2??62k?8e?j2?63k?6e?j64k?10e?j2?65k

计算求得X~:

(0)?60;X~(1)?9?j33; X~(2)?3?j3 ;X~(3)?0 ; X~(4)?3?j3 ;X~(5)?9?j33 。

2.设x(n)?R4(n),~x(n)?x((n))6 . 试求X~(k)并作图表示~x(n),X~(k)。 解: X~(k)??5x~(n)Wnk52?6?n?0n?~x(n)e?j6nk

?0

?j?k?j2??1?e3?e3k?e?j?k计算求得：X~(0)?4 ; X~

(1)??j3 ; X~(2)?1 ; X~(3)?0 ; X~(4)?1 ; X~(5)?j3 。

3.设x(n)???n?1,0?n?40，其它n,h(n)?R4(n?2),?令~x(n)?x((n))~6,h(n)?h((n))试求~x(n)与h~4,

(n)的周期卷积并作图 。解：在一个周期内的计算值

~y(n)?~x(n)*h~(n)?h~(n?m)~y(n)?~x(n)*h~(n)?h~(n?m) 46

4.已知x(n)如图P3?1所示,试画出x((?n))5,x((?n))6R6(n),x((n))3R3(n)x((n))6,x((n?3))5R5(n),x((n))7R7(n)

等各序列。解:x(n)?a(cos?0n)RN(n)N?1X(k)??a(cos??j2?0n)eNnkRN(k)n?0N?1?1j?2a[0n)e]RN(k)n?(e?j?0n?e?j2?Nnk?0N?1?1?j(2?Nk??0)n2a[?e?n?0?N?1e?j(2?N??0)n]RN(k)n?0j???0N1a[1?e?21?e?j(2??1?ej0N]RNk??0)1?e?j(2?Nk??0)N(k)?j?0Nj?0NN?1a[e2(e2?e?j?02)2?e?j12?2(Nk??0)(ej12?2(Nk??0)?e?j12(2?Nk??0))?j?0N2j?0N?j?0Ne(e2?e2)]?j1e(2?k??j122N0)(e2(?k??0)?j1N?e2(2?Nk??0))?j?0Ne2?sin(?0N?12)2a[e?j12(2?Nk??0)sin(??Nk?12?0)e?j?0N2sin(?0N2)]e?j12(2?Nk??0)sin(?1Nk?2?0)

5试求以下有限长序列的N点DFT(闭合形式表达式)(1)x(n)?a(cos?0n)RN(n)(2)x(n)?anRN(n)(3)x(n)?? (n-n0), 0?n0?N(4)x(n)?nRN(n)(5)x(n)?n2RN(n)

47

解:( 1 ) x(n)?a(cos?0n)RN(n) X(k)N???1a(cos?n)e?j2?Nnk0RN(k)n?0N?1?1?j?n2a??(e0?ej?0n)e?j2?Nnk?n???0??RN(k)N?1?1a??j(2?k??nN??eN0)2?n?0??1?e?j(2?N??0)n???RN(k)n?0?1?e?j?0Nj?0N?1?2a?1?e??j(2?k??)??j(2??1?eN01?eNk??)??RN(k)0??0N00?1?2a?e?j2(ej?N2?e?j?N2)?12?12?12??j2(Nk??)(ej2(Nk??)?e?j(?k??0)?e002N)?

0N0N0N??ej2(ej?2?e?j?2)??j1(2?k??12?12?e2N0)(ej2(Nk??0)?e?j2(Nk??0)?)???0?e?j?N2?sin(?0N)?12a???j12?2?e2(Nk??0)?sin(?1Nk?2?0)N

ej?02sin(?0N?2)???e?j12?2(Nk??0)sin(??Nk?12?0)??(2)x(n)?anRN(n)X(k)?N?1ane?j2?Nnk?1?aNn??0?1?ae?j2Nk 48

(3) x(n)??(n?n0),0?n0?N X(k)?N??1x(n)e?j2N?nkRN(k)n?0

?N??1?(n?n)e?j20N?nkRN(k)n?0 ?e?j2N?n0kRN(k)4）x(n)?nRN(n)N?1 X(k)??nWnkNRN(k)n?0N?1WkNX(k)??nW(n?1)kNRN(k)n?0?1X(k)(1?WkNnkN?1N)??nW?n?0?nW(n?1)kNNn?0?(Wk2k3kN?2WN?3WN????? (N?1)W(N?1)kW2k3kN?[N?2WN????? (N?2)W(N?1)kN?N?1])RN(k)N?1?(?(N?1)??WnkN)RN(k)n?1??(N?1)?WkN?11?Wk??NN X(k)??N

1?WkRN(k)NN?15）x(n)?n2RnkN(n) ?X(k)?n?n2WN?0根据第(4)小题的结论

xN1(n)?nRN(n)，则X1(k)??1?WkN49

（??

（ N?1Wk(n?1)kNX(k)??n2WNn?0N?1N?1X(k)(1?WkN)??n2WnkN?n?0?n2W(n?1)kNn?0?Wk?4W2k3kNN?9WN?????(N?1)2W(N?1)k2k?4W3kN?[WNN?????(N?2)2W(N?1)k?1）2N?(N]N?1??(N?1)2??(2n?1)WnkNn?1N?1??N(N?2)?2?nWnkNn?1??N(N?2)?2X1(k)??N(N?2)?2N1?WkN?X(k)?N(N?2)Wk2N?N(1?Wk2N)

6.如图画出了几个周期序列~x(n).这些序列可以表示成N?1傅里叶级数~x(n)?1N?X~(k)ej(2?/N)nk;问:k?0(1)哪些序列能够通过选择时间原点使所有的X(k)成为实数?(2)哪些序列能够通过选择时间原点使所有的X(k)[除X(0)外]成虚数?(3)哪些序列列能做到~x(k)?0,k??2,?4,?6,???解：(1)要使X~(k)为实数,即要求X~:*(k)?X~(k)根据DFT的性质可知:~x(n)在其 一个周期内应满足实部偶对称,虚部奇对称(关于n?0为轴),又 由图知：~x(n)为实序列,虚部为零,

故x(n)应满足偶对称： ~x(n)?~x(?n),即~x(n)以n?0为对称轴偶对称,故第二个序列满足这个条件。

50

(2) 要使X~(k)为虚数,即要求:X~*(k)??X~(k)根据DFT的性质可知:~x(n)在其一个周期内应满足:实部奇对称 ,虚部偶对称(关于n?0为轴) 。

又已知~x(n)为实序列故~x(n)??~x(?n),~x(n)在一圆周上以n?0为对称轴奇对称故这三个序列都不满足这个条件。(3)由于是8点周期序列 对于第一个序列：?32?j?k X~1(k)?e?j8nk?1?e??1?(?1)kn?01e?j?4ke?j?4k 当 k??2,?4,?6X~?1????时,1(k)?0对于第二个序列:2X~1(k)??e?j?4nk?1?e?j34?kn?01?e?j?4k

当 k??2,?4,?6???时,X~1(k)?0对于第三个序列：~x3(n)?~x1(n)?~x1(n?4)根据序列移位性质可知:X~)?X~k~3(k1(k)?ej?X1(k)?(1?ej?k)1?(?1)k1?e?j?4k 当 k??2,?4,?6~???时,X3(k)?0?第一,第三个序列满足X~(k)?0，k??2,?4,???51

即在一个周期内

7 在下图中画出了两个有限长序列,试画出它们的六点圆周卷积。

y(n)????5?x?1(m)x2((n?m))6?R6(n)m?0?

8.如图表示一个5点序列 x(n);(1)试画出y1(n)?x(n)?x(n);

(2)试画出y2(n)?x(n)⑤ x(n);(3)试画出y3(n)?x(n)⑩ x(n)。9.设有两序列 x(n)???x(n), 0?n?5?0, 其他n y(n)???y(n), 0?n?14?0, 其他n各作15点的DFT,然后将两个DFT相乘,再求乘积 的IDFT,设所得结果为f(n),问f(n)的哪些点对应于x(n)?y(n)应该得到的点。解：序列x(n)的点数为N1?6,y(n)的点数为N2?15故x(n)*y(n)的点数应为：N?N1?N2?1?20又f(n)为x(n)与y(n)的15点的圆周卷积，即L?15所以，混叠点数为N?L?20?15?5。用线性卷积结果 以15 为周期而延拓形成圆周卷积序列 f(n) 时，一个周期 内在n?0到n?4(?N?L?1)这5点处发生混叠，即f(n) 中只有n?5到n?14的点对应于x(n)*y(n)应该得到的点。10．已知两个有限长序列为

x(n)???n?1, 0 ? n?3 ?0, 4 ? n?6y(n)????1, 0 ?n?4

?1, 5 ? n?6试用作图表示x(n),y(n)以及f(n)?x(n)⑦y(n)。

11.已知x(n)是N点有限长序列,X(k)?DFT[x(n)]。现将长度变成rN点的有限长序列y(n)y(n)???x(n), 0?n?N-1

?0, N?n?rN-1试求DFT[y(n)](rN点DFT)与X(k)的关系。 52

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