选修2-1 第一章 常用逻辑用语 知识点详解

选修2-1第一章 常用逻辑用语 知识

点详解

1.1 命题及其关系

1. 定义：一般地，我们用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句，叫做命题；其中判断为正确的命题，为真命题；判断为不正确的命题，为假命题。

2. 辨析：能够分辨哪一个是命题及其真假

①判断一个语句是否是命题，关键在于能否判断其真假。语句可分为疑问句、祈使句、感叹句与陈述句。一般的，只有陈述句能分辨真假，其他类型的句子无所谓真假，我们把每个能分辨真假的陈述句作为一个命题。

②对于一个句子，有时我们可能无法判断其真假，但对这个句子却是有真假的，如：“太阳系外存在外星人”，对于这个句子所描述的情形，目前确定其真假，但从事物的本质而言，句子本身是可以判断其真假的。这类语句也称为命题。语句是不是命题，关键在于能不能判断其真假，也就是判断其是否成立。 ③不判断真假的语句，就不能叫命题。“X<2”。

3.原命题与逆命题

即在两个命题中，如果第一个命题的条件（或题设）是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题；如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆命题.

4. 否命题与逆否命题

即在两个命题中，一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题就叫做互否命题，若把其中一个命题叫做原命题，则另一个就叫做原命题的否命题.

5. 原命题与逆否命题

即在两个命题中，一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题就叫做互为逆否命题，若把其中一个命题叫做原命题，则另一个就叫做原命题的否命题.

6.四种命题的形式

一般到，我们用p和q分别表示原命题的条件和结论，

用┐p 和┐q分别表示p和q的否定，于是四种命题的形式就是：

原命题：若p则q；

逆命题：若q则p；

否命题：若┐p则┐q；

逆否命题：若┐q则┐p.

7. 四种命题的相互关系

一般的，四种命题的真假性，有且仅有以下四种情况：（四种命题的真假性之间的关系）

两个命题为互逆或互否命题，它们的真假性没有关系.

8. 反证法

欲证“若p则q”为真命题，从否定其结论即“非q”出发，经过正确的逻辑推理导出矛盾，从而“非q”为假，即原命题为真，这样的证明方法称为反证法 其反证法的步骤：

(1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；

(2)从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾；

(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确

1.2 充分条件与必要条件

1. 充分条件的定义

如果p成立时，q必然成立，即p q，我们就说，p是q成立的充分条件．（即为使q成立，只需条件p就够了）

2. 必要条件的定义

如果B成立时，A必然成立，即q p，我们就说，q是p成立的必要条件．（即为使q成立，就必须条件p成立）

3. (1)若p q，且q p，则称p是q的充分必要条件，简称充要条件。

说明：①充要条件是互为的；

②“p是q的充要条件”也说成“p与q等价” 、

③p当且仅当q”等.

p q，且q p，则p是q的充要条件；

p q，但

p，则p是q的充分而不必要条件；

qp，但p q，则p是q的必要而不充分条件；

pq，且p，则p是q的既不充分也不必要条件.

1.3 简单的逻辑联结词

1. “或”与日常生活中的用语“或”的意义不同，在日常生活用语中的“或”带有不可兼有的意思，而逻辑用语中的“或”可以同时兼有。对于逻辑用语“或”的理解我们可以借助于集合中的并集的概念：在A B {x|x A或x B}中的“或”是指 “x A”与“x B”中至少有一个成立，可以是“x A且x B”，也可以是“x A且x B”，也可以是“x A且x B”，逻辑用语中的“或”与并集中的“或”的含义是一样的；

2. 对“且”的理解，可以联想到集合中的交集的概念：在A B {x|x A且x B}的“且”是指“x A”、“x B”都要满足的意思，即x既要属于集合A，又要属于集合B；

3. 对“非”的理解，可以联想到集合中的补集的概念：“非”有否定的意思，一个命题p经过使用逻辑联结词“非”构成一个复合命题“非

非p为假，当pp”，当p为真时，p为假时，非p为真。若将命题p对应集合P，则命题非就对应着集合P在全集U中的补集CUP；对于非的理解，还可以从字意上来理解，“非”

本身就具有否定的意思，如“0.5是非整数”是对命题“0.5是整数”进行否定而得出的新命题。一般地，写一个命题的否定，往往需要对正面叙述的词语进行否定。

4. 构造复合命题的方式：简单命题+逻辑连结词（或、且、非）+简单命题。

后者结论与条件共同否定。

1.4 全称量词与存在量词

1. 全称量词、全称命题定义：

短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ”表 示。（常见的全称量词还有

“一切” “每一个” “任给” “所有的”等。）

含有全称量词的命题，叫做全称命题。

如：

全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立 ”可用符号简记为：

x M，p(x),简记为

读作“对任意x属于M，有p(x)成立”。

2. 存在量词、特称命题定义

：

短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ ”表示。(常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某个”“有的”等。)

含有存在量词的命题，叫做特称命题。

特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立 ”可用符号简记为：

x0 M，p(x0),

读作“存在一个x0属于M，使p(x0)成立”。

3. 同一全称命题、特称命题，由于自然语言的不同，可能有不同的表述方法：

4. 全称命题、特称命题（含有全称量词的命题叫全称命题，含有存在量词的命题叫特称命题）

（1）关系：全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。

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