二次函数中高档题

二次函数中档题 一、选择题

1.抛物线y??x?2??3可以由抛物线y?x平移得到,则下列平移过程正确的是( )

22A.先向左平移2个单位,再向上平移3个单位 。B.先向左平移2个单位,再向下平移3个单位 C.先向右平移2个单位,再向下平移3个单位 。 D.先向右平移2个单位,再向上平移3个单位

2?x?1?1?x≤3????2.已知函数y??，则使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为（ ）

2???x?5??1?x＞3?A．0 B．1

2C．2 D．3

3.如图为抛物线y?ax?bx?c的图像，A、B、C 为抛物线与坐标轴的交点，且OA=OC=1，则下列关系中正

确的是（ ） A．a＋b=－1 B． a－b=－1 C． b<2a D． ac<0

4.若二次函数y=ax+bx+c的x与y的部分对应值如下表：

2

X y

-7 -27

-6 -13

-5 -3

-4 3

-3 5

-2 3

则当x=1时，y的值为

A.5 B.-3 C.-13 D.-27

25.如图所示的二次函数y?ax?bx?c的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：（1）b?4ac?0；

y （2）c>1；（3）2a－b<0；（4）a+b+c<0。你认为其中错误的有 ．．

A．2个 B．3个 C．4个 D．1个 1

1 -1 O

2x 6.已知二次函数y?ax?bx?c中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示： x y

…… ……

0 4

1 1

2 0

3 1

4 4

…… ……

2点A（x1，y1）、B（x2，y2）在函数的图象上，则当1?x1?2,3?x2?4时，y1与y2的大小关系正确的是（ ）A．y1?y2 B． y1?y2 C． y1?y2 D． y1?y2 7.若二次函数y?(x?m)2?1．当x≤l时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ） A．m=l B．m>l C．m≥l D．m≤l

8.向上发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y公尺，且时间与高度关系为y=ax2?bx。若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则下列高度是最高的时间为（ ）

(A) 第8秒 (B) 第10秒 (C) 第12秒 (D) 第15秒 。

9.将函数y?x?x的图象向右平移a(a?0)个单位，得到函数y?x?3x?2的图象，则a的值为（ ）

1

22C．3 D．4 k k 10.如图，抛物线y = x2 + 1与双曲线y = 的交点A的横坐标是1，则关于x的不等式 + x2 +

xx

1 <0的解集是 ( )A．x > 1 B．x < ?1 C．0 < x < 1 D．?1 < x < 0 11.函数

函数值（ ）A．

12.如图，抛物线

的对称轴是直线

，且经过点

（3，0），则

（

为常数）的图象如左图，如果

B．

C．

时，

；那么D．

时，

A．1 B．2

y A x

的值为

（ ）A. 0 B. －1 C. 1 D. 2

13.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0），其中a、b、c满足a＋b＋c＝0和9a－3b＋c＝0，则该二次函数图象的对称轴是（ ） （A）x＝－2 （B）x＝－1 （C）x＝2 （D）x＝1

14.已知二次函数y=x2-2mx+m-1的图象经过原点,与x轴的另一个交点为A, 抛物线的顶点为B,则△OAB的面积为( ) A.

31 B.2; C.1; D. 222

15.若A（-4，y1），B（-3，y2），C（1，y3）为二次函数y=x+4x-5的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是

（ ）

A、y1＜y2＜y3 B、y2＜y1＜y3 C、y3＜y1＜y2 D、y1＜y3＜y2 16.先将抛物线y?x2?x?2关于x轴作轴对称变换，再将所得抛物线关于y轴作轴对称变换，经过两次变换后所得的新抛物线解析式为（ ）A．y??x2?x?2 B．y??x2?x?2 C．y??x2?x?2 D．y?x2?x?2 17.如图，二次函数 y?ax?2x?3的图像与x轴有一个交点在０和１之间（不含０和１），则a的取值范围是（ ）Ａ．a?二、填空题

1.如图，是二次函数 y＝ax＋bx＋c（a≠0）的图象的一部分， 给出下列命题 ：①a+b+c=0；②b＞2a；③ax2+bx+c=0的两根分别为-3和1；④a-2b+c＞0．其中正确的命题是 ．（只要求填写正确命题的序号）

2

2y 11a?1 Ｄ．0?a?1 Ｃ．a??且a?0 Ｂ．

33 O 1 x

112.已知二次函数的图象经过原点及点（?，?），且图象与x轴的另一交点到原点的

24距离为1，则该二次函数的解析式为 ．

23.已知抛物线y?ax?bx?（ca＞0）的对称轴为直线x?1，且经过点

，“<”或“=”） ??1，y1?，?2，y2?，试比较y1和y2的大小：y1 _y2（填“>”

4.若抛物线y?ax?bx?3与y??x?3x?2的两交点关于原点对称，则a、b分别为 ．

2

225.已知抛物线，若点（，5）与点关于该抛物线的对称轴对称，则点的坐标

是 ．

已知二次函数y=2x2-mx-4的图象与x轴的两个交点的横坐标的倒数和为2,则m=_________. 6.已知二次函数y=x2－4x－3，若－1≤x≤6，则y的取值范围为_______．

7.抛物线y=x2－4x+3?的顶点及它与x?轴的交点三点连线所围成的三角形面积是_______．

8．已知二次函数y=x2－2x－3与x轴交于A、B两点，在x轴上方的抛物线上有一点C，且△ABC的面积等于10，则C点坐标为________．

9.不论x取何值，二次函数y=－x2+6x+c的函数值总为负数，?则c?的取值范围为_______． 三、解答题

1.直线y=x－2与抛物线y=ax2+bx+c相交于（2，m），（n，3）两点，抛物线的对称轴是直线x=3，求抛物线的关系式．

2

2.如图，已知直线AB经过x轴上的点A(2，0)，且与抛物线y＝ax相交于B、C两点，已知B点坐标为(1，1)。 (1)求直线和抛物线的解析式；(2)如果D为抛物线上一点，使得△AOD与△OBC的面积相等，求D点坐标。

2

3.函数y＝ax(a≠0)与直线y＝2x－3交于点A(1，b)，求： (1)a和b的值；

2

(2)求抛物线y＝ax的顶点和对称轴；

2

(3)x取何值时，二次函数y＝ax中的y随x的增大而增大，

(4)求抛物线与直线y＝－2两交点及抛物线的顶点所构成的三角形面积。

3

4.如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，其中A?点坐标为（－1，0），点C（0，5），D（1，8）在抛物线上，M为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）求△MCB的面积．

5.如图所示，抛物线y=－x2+5x+n经过点A（1，0），与y轴交于点B． （1）求抛物线的解析式；

（2）P是y轴正半轴上一点，且△PAB是以AB为腰的等腰三角形，试求P点坐标．

26.如图，直线y?x?m和抛物线y?x?bx?c都经过点A(1，0)，B(3，2)．

⑴求m的值和抛物线的解析式；⑵求不等式x?bx?c?x?m的解集(直接写出答案)．

4

2

二次函数高档题

y 4)两点，与x轴交于另一点B． ，0)、C(0，1．如图，抛物线y?ax2?bx?4a经过A(?1（1）求抛物线的解析式；（2）已知点D(m，m?1)在第一象限的抛物线上，

A 求点D关于直线BC对称的点的坐标；

（3）在（2）的条件下，连接BD，点P为抛物线上一点，且?DBP?45°，求点P的坐标．

2．已知抛物线y?ax?bx?c的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C（0，3），过点C作x轴的平行线与抛物线交于点D，抛物线的顶点为M，直线y= x+5经过D、M两点.

（1）求此抛物线的解析式；（2）连接AM、AC、BC，试比较∠MAB和∠ACB的大小，并说明你的理由.

2C B O 3．已知：直角梯形OABC中，BC∥OA，∠AOC=90°，以AB为直径的圆M交OC于D．E，连结AD、BD、BE。(1)在不添加其他字母和线的前提下，直接写出图1中的两对相似三角形。 ．．．．．．．．．．．．．．．．_____________________，______________________ 。

(2)直角梯形OABC中，以O为坐标原点，A在x轴正半轴上建立直角坐标系（如图2），若抛物线

y?ax2?2ax?3a(a?0)经过点A．B．D，且B为抛物线的顶点。

①写出顶点B的坐标（用a的代数式表示）___________。②求抛物线的解析式。

③在x轴下方的抛物线上是否存在这样的点P：过点P做PN⊥x轴于N，使得△PAN与△OAD相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。 B C D E O

5

M A

图1

4.如图，在Rt△ABC中，∠C = 90?，BC = 8厘米，点D在AC上，CD = 3厘米．点P、Q分别由A、C两点同

时出发，点P沿AC方向向点C匀速移动，速度为每秒k厘米，行完AC全程用时8秒；点Q沿CB方向向点B匀速移动，速度为每秒1厘米．设运动的时间为x秒（0＜x＜8），△DCQ的面积为y1平方厘米，△PCQ的面积为y2平方厘米．

（1）求y1与x的函数关系，并在图中画出y1的图象；（2）如图2，y2的图象是抛物线的一部分，其顶点坐标是（4，12），求点P的速度及AC的长；（3）在图2中，点G是x轴正半轴上一点（0＜OG＜8），过G作EF垂直于x轴，分别交y1、y2的图象于点E、F． ① 说出线段EF的长在图中所表示的实际意义； ② 当0＜x＜6时，求线段EF长的最大值． y y 1212 F A 10 10

8 8

P 6 6 ↓

E 4 4 D

2 2 B C Q →

G O O 2 G 4 6 8 10 x 2 4 6 8 10 x 5.如图，已知平面直角坐标系xOy中，点A(2,m)，B(-3,n)为两动点，其中m﹥1，连结OA，OB，OA?OB，作BC⊥x轴于C点，AD⊥x轴于D点．

（1）求证：mn=6；

（2）当S△AOB?10时，抛物线经过A，B两点且以

y轴为对称轴，求抛物线对应的二次函数的关系式；

（3）在（2）的条件下，设直线AB交y轴于点F， 过点F作直线l交抛物线于P，Q两点，问是否 存在直线l，使S⊿POF:S⊿QOF=1:2？若存在， 求出直线l对应的函数关系式；若不存在，请说明理由．

6

6．如图，直线l1:y??x?3与直线l2:y?标轴分别交于D,E两点。

（1）求点A的坐标，并求出经过A,C,D三 点的抛物线函数解析式；

（2）题（1）抛物线上的点的横坐标不动， 纵坐标扩大一倍后，得到新的抛物线，请 写出这个新的抛物线的函数解析式，判断 这个抛物线经过平移，轴对称这两种变换 后能否经过A,B,E三点，如果可以， 说出变换的过程，如果不可以，请说明理由。

（3）在题（1）中的抛物线顶点上方的对称轴上有一动点P，在对称轴右侧的抛物线上有一动点Q，为是否存在这样的动点P,Q，使?APQ与?ABD相似，如存在请求出动点Q的坐标，并直接写出AP的长度。

7．设抛物线y = ax2 + bx－2与x轴交于两个不同的点A（－1，0）、B（m，0），与y轴交于点C．且∠ACB = 90°． （1）求m的值和抛物线的解析式；

（2）已知点D（1，n）在抛物线上，过点A的直线y = x + 1交抛物线于另一点E．若点P在x轴上，以点P、B、D为顶点的三角形与△AEB相似，求点P的坐标．

y

E

F A O B H x

C D

7

1x?3的图象交于A点，l1与坐标轴分别交于B,C两点，l2与坐2

，0)，抛物线的顶点为D，过O作射线8.如图，已知抛物线y?a(x?1)2?33(a?0)经过点A(?2OM∥AD．过顶点D平行于x轴的直线交射线OM于点C，B在x轴正半轴上，连结BC．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若动点P从点O出发，以每秒1个长度单 位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间 为t(s)．问当t为何值时，四边形DAOP分别 为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？ （3）若OC?OB，动点P和动点Q分别从点

A O Q B x y M D C P O和点B同时出发，分别以每秒1个长度单 位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动，

当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t(s)，连接PQ，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小？并求出最小值及此时PQ的长．

9．如图，二次函数图像的顶点为坐标系原点O，且经过点A（3,3）， 一次函数的图像经过点A和点B（6,0）。（1）求二次函数与一次函数的解析式；

（2）如果一次函数图像与y轴相交于点C，点D在线段AC上，与y轴平行的直线DE与二次函数图像相交于点E，

?CDO??OED,求点D的坐标；

（3）当点D在直线AC上的一个动点时，以点O、C、D、E为顶点的四边形能成为平行四边形吗？请说明理由。

10.如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，?1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点

， 已知A点坐标为（0，3）。 C的左侧）

（1）求此抛物线的解析式；

（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线 于点D， 如果以点C为圆心的圆与直 线BD相切，请判断抛物线的对称轴l 与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明； （3）已知点P是抛物线上的一个动点， 且位于A，C两点之间，问：当点P运

8

第11题

yD A O B C x

动到什么位置时，?PAC的面积最大？并求出此时P点的坐标和

?PAC的最大面积.

11．如图，边长为2的正方形ABCO中，点F为x轴上一点，CF=1，过点B作BF的垂线，交y轴于点E． （1）求过点E、B、F的抛物线的解析式；

（2）将∠EBF绕点B顺时针旋转，角的一边交y轴正半轴于点M，另一边交x轴于点N，设BM与（1）中抛物线的另一个交点为点G，且点G的横坐标为论．

（3）点P在（1）中的抛物线上，且PE与y轴所成锐角的正切值为

6，EM与NO有怎样的数量关系？请说明你的结53，求点P的坐标． 212．已知：关于x的一元二次方程?x2?(m?4)x?4m?0，其中0?m?4． （1）求此方程的两个实数根（用含m的代数式表示）；

（2）设抛物线y??x?bx?c与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），若点D的坐标为（0，-2），且AD·BD=10，

求抛物线的解析式；

（3）已知点E（a，y1）、F（2a，y2）、G（3a，y3）都在（2）中的抛物线上，是否存在含有y1、y2、y3，

且与a无关的等式？如果存在，试写出一个，并加以证明；如果不存在，说明理由．

13．在平面直角坐标系中，将直线l：y??点B，将抛物线C1：y?点F．

（1）求直线AB的解析式；

（2）若线段DF∥x轴，求抛物线C2的解析式；

（3）在（2）的条件下，若点F在y轴右侧，过F作FH⊥x轴于点G，与直线l交于点H，一条直线m（m不过△AFH的顶点）与AF交于点M，与FH交于点N，如果直线m既平分△AFH的面积，求直线m的解析式．

9

233x?沿x轴翻折，得到一条新直线与x轴交于点A，与y轴交于4222x沿x轴平移，得到一条新抛物线C2与y轴交于点D，与直线AB交于点E、3

14．定义一种变换：平移抛物线F1得到抛物线F2，使F2经过F1的顶点A．设F2的对称轴分别交F1，F2于点

D，B，点C是点A关于直线BD的对称点．

0)，则①b的值等于（1）如图1，若F1：y?x，经过变换后，得到F2：y?x2?bx，点C的坐标为(2，______________；

②四边形ABCD为（ ）

A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形

（2）如图2，若F1：y?ax2?c，经过变换后，点B的坐标为(2，c?1)，求△ABD的面积； （3）如图3，若F1：y?21227x?x?，经过变换后，AC?23，点P是直线AC上的动点，求点P到点D333y F2 A B O 第18题图3

x D P F1 F2 的距离和到直线AD的距离之和的最小值．

F1 y y F2 D D O（A） B 第18题图1

C x A O B F1 C x C 第18题图2

15.如图，已知抛物线P：y＝ax2+bx+c(a≠0) 与x轴交于A、B两点(点A在x轴的正半轴上)，与y轴交于点C，矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F、G分别在线段BC、AC上，抛物线P上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：

x y ? ? －3－21世纪教育网 －2 －4 1 －5 22 0 ? ? 5 2（1）求A、B、C三点的坐标；

（2）若点D的坐标为(1，0)，求矩形DEFG的面积.

（3）若点D的坐标为(m，0)，矩形DEFG的面积为S，求S与m的函数关系，并指出m的取值范围；

（4）当矩形DEFG的面积S取最大值时，连接DF并延长至点M，使FM＝k·DF，若点M不在抛物线P上，求k的取值范围.

10

2

16.如图1，抛物线y＝ax－2ax－b（a＜0）与x轴交于点A、点B（－1，0），与y轴的正半轴交于点C，顶点

为D．

（1）求顶点D的坐标（用含a的代数式表示）； （2）若以AD为直径的圆经过点C．

①求抛物线的解析式；

②如图2，点E是y轴负半轴上的一点，连结BE，将△OBE绕平面内某一点旋转180°，得到△PMN（点P、M、N分别和点O、B、E对应)，并且点M、N都在抛物线上，作MF⊥x轴于点F，若线段MF :BF＝1 :2，求点M的坐标；

③如图3，点Q在抛物线的对称轴上，以Q为圆心的圆过A、B两点，并且和直线CD相切，请求出点Q的坐标．

y y y D N D D

21世纪教育网

C C P M C Q 1 1 1 1 1 1 B O A x B O E F A x B O A x 图1

图2

图3

17.如图，二次函数y??12x?2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点P从A点出发，以1个单位每2秒的速度向点B运动，点Q同时从C点出发，以相同的速度向y轴正方向运动，运动时间为t秒，点P到达B点时，点Q同时停止运动。设PQ交直线AC于点G。 （1）求直线AC的解析式；

（2）设△PQC的面积为S，求S关于t的函数解析式； （3）在y轴上找一点M，使△MAC和△MBC都是等

腰三角形。直接写出所有满足条件的M点的坐标； G （4）过点P作PE⊥AC，垂足为E，当P点运动时， E 线段EG的长度是否发生改变，请说明理由。

11

y Q C A P O B x

18.如图1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC，已知O（0，0），A（3，0），C（0，2），点P是OA边上的动点（与点O、A不重合）．现将△PAB沿PB翻折，得到△PDB；再在OC边上选取适当的点E，将△POE沿PE翻折，得到△PFE，并使直线PD、PF重合． （1）设P（x，0），E（0，y），求y关于x的函数关系式，并求y的最大值；

（2）如图2，若翻折后点D落在BC边上，求过点P、B、E的抛物线的函数关系式；

（3）在（2）的情况下，在该抛物线上是否存在点M，使△PEM是以PE为直角边的直角三角形？若不存在，说

明理由；若存在，求出点M的坐标．

y y

D C B C B

F F E E D

O P A x O P A x

图1 图2

19．（2011四川绵阳24，12）已知抛物线:y=x2-2x+m-1 与x轴只有一个交点，且与y轴交于A点,

如图，设它的顶点为B (1)求m的值；

(2)过A作x轴的平行线，交抛物线于点C，求证是△ABC是等腰直角三角形；

(3)将此抛物线向下平移4个单位后，得到抛物线C'，且与x 轴的左半轴交于E点，与y轴交于F点，如图.请在抛物线C'上求点P，使得△EFP是以EF为直角边的直角三角形.

yAEOF

CxB

12

20. （2011贵州安顺，27，12分）如图，抛物线y=

12

x+bx－2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A2（一1，0）．⑴求抛物线的解析式及顶点D的坐标；⑵判断△ABC的形状，证明你的结论；

⑶点M(m，0)是x轴上的一个动点，当CM+DM的值最小时，求m的值．

第20题图

21. （2010湖北孝感，25，2分）如图（1），矩形ABCD的一边BC在直角坐标系中x轴上，折叠边AD,使点D落在x轴上点F处，折痕为AE，已知AB=8，AD=10，并设点B坐标为（m,0），其中m＞0.

（1）求点E、F的坐标（用含m的式子表示）；（5分） （2）连接OA，若△OAF是等腰三角形，求m的值；（4分）

2

（3）如图（2），设抛物线y=a(x－m－6)+h经过A、E两点，其顶点为M，连接AM，若∠OAM=90°，求a、h、m的值. （5分） 22.如图，直线y?3x?3交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C（3,0）.

y B A O C x

13

⑴ 求抛物线的解析式;

⑵ 在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由.

23.（2010年四川省眉山）如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐

标原点，A、B两点的坐标分别为（?3，0）、（0，4），抛物线

52y?x2?bx?c经过B点，且顶点在直线x?上．

23（1）求抛物线对应的函数关系式；

（2）若△DCE是由△ABO沿x轴向右平移得到的，当四边形

ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；

（3）若M点是CD所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点

M作MN平行于y轴交CD于点N．设点M的横坐标为t，MN的长度为l．求l与t之间的函数关系式，并求l取最大值时，点M的坐标．

24．（2010江苏泰州，27，12分）如图，二次函数y??yBNMAODCEx129??x?c的图象经过点D??3,?，与x轴交于A、22??B两点．

⑴求c的值；

⑵如图①，设点C为该二次函数的图象在x轴上方的一点，直线AC将四边形ABCD的面积二等分，试证明线段BD被直线AC平分，并求此时直线AC的函数解析式；

⑶设点P、Q为该二次函数的图象在x轴上方的两个动点，试猜想：是否存在这样的点P、Q，使△AQP≌△ABP？如果存在，请举例验证你的猜想；如果不存在，请说明理由．（图②供选用）

14

25. (2010重庆市潼南县)如图, 已知抛物线y?12x?bx?c与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A的坐2标为（2，0），点C的坐标为（0，-1）. （1）求抛物线的解析式；

（2）点E是线段AC上一动点，过点E作DE⊥x轴于点D，连结DC，当△DCE的面积最大时，求点D

的坐标；

（3）在直线BC上是否存在一点P，使△ACP为等腰三角形，若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理

由.

y

D

xoAB

EC26题图 26、（2009年株洲市）已知?ABC为直角三角形，?ACB?90?，

AC?BC,点A、C在x轴上，点B坐标为（3，m）（m?0），

线段AB与y轴相交于点D，以P（1，0）为顶点的抛物线过点B、

yBD．

（1）求点A的坐标（用m表示）； （2）求抛物线的解析式；

（3）设点Q为抛物线上点P至点B之间的一动点，连结PQ并延长交BC于点E，连结 BQ并延长交AC于点F，试证明：

ODAPFCQEFC(AC?EC)为定值．

15

x

27、（2009年淄博市）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长是2．O为坐标原点，点A在x的正半轴上，点C在y的正半轴上．一条抛物线经过A点，顶点D是OC的中点．

（1）求抛物线的表达式；

（2）正方形OABC的对角线OB与抛物线交于E点，线段FG过点E与x轴垂直，分别交x轴和线段BC于F，G点，试比较线段OE与EG的长度；

（3）点H是抛物线上在正方形内部的任意一点，线段IJ过点H与x轴垂直，分别交x轴和线段BC于I、J点，点K在y轴的正半轴上，且OK=OH，请证明△OHI≌△JKC．

y

G J B

C K D E H

x O F I A

28.（2009年甘肃庆阳）如图18，在平面直角坐标系中，将一块腰长为5的等腰直角三角板ABC放在第二象限，且斜靠在两坐标轴上，直角顶点C的坐标为（?1，0），点B在抛物线y?ax?ax?2上．

（1）点A的坐标为 ，点B的坐标为 ； （2）抛物线的关系式为 ；

（3）设（2）中抛物线的顶点为D，求△DBC的面积；

（4）将三角板ABC绕顶点A逆时针方向旋转90°，到达△AB?C?的位置．请判断点B?、C?是否在（2）中的抛物线上，并说明理由．

2（第27题）

图18

16

29．（本题满分10分）孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线y?ax2(a?0)的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O，两直角边与该抛物线交于A、B两点，请解答以下问题：

（1）若测得OA?OB?22（如图1），求a的值；

（2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点O旋转到如图2所示位置时，过B作BF?x轴于点F，测得

OF?1，写出此时点B的坐标，并求点A的横坐标； ．．．

（3）对该抛物线，孔明将三角板绕点O旋转任意角度时惊奇地发现，交点A、B的连线段总经过一个固定

的点，试说明理由并求出该点的坐标．

30.如图18，点C，B分别为抛物线C1：y1?x?1、抛物线C2：y2?a2x?b2x?c2的顶点，分别过点B，C作x轴的平行线，交抛物线C1，C2于点A，D，且AC=BD．（1）求点A的坐标；（2）如图19，若将抛物线C1：“y1?x?1”改为抛物线“y1?2x?b1x?c1”，其他条件不变，求CD的长和a2的值．

附加题：如图19，若将抛物线C1：“y1?x?1”改为抛物线“y1?a1x?b1x?c1”，其他条件不变，求

222222yOxABEOyFBxA图1 图2 b1?b2的值．

17

31.如图17，抛物线F：y?ax?bx?c(a?0)与y轴相交于点C，直线L1经过点C且平行于x轴，将L1向上平移t个单位得到直线L2，设L1与抛物线F的交点为C、D，L2与抛物线F的交点为A、B，连接AC、BC （1）当a?213，b??，c?1，t?2时，探究△ABC的形状，并说明理由； 22（2）若△ABC为直角三角形，求t的值（用含a的式子表示）；

（3）在（2）的条件下，若点A关于y轴的对称点A’恰好在抛物线F的对称轴上，连接A’C，BD，求四边形A’CDB的面积（用含a的式子表示）

C D L2 A B L1O 图17 x

32. （1）如图15-1，矩形ABCD，点C与坐标原点O重合，点A在x轴上，点B坐标为

，求经过A、B、C三点抛物线的解析式； 3，3）

（2）如图15-2，抛物线E：y??12x?bx?c经过坐标原点O，其顶点在y轴左侧，以O为顶点作矩2形OADC，A、C为抛物线E上两点，若AC∥x轴， AD=2CD，则抛物线的解析式是 ；

2（3）如图15-3，点A、B、C分别为抛物线F：y?ax?bx?c(a?0)上的点，点B在对称轴右侧，点

D在抛物线外，顺次连接A、B、C、D四点，所成四边形为矩形，且AC∥x轴，AD=2CD，求矩形ABCD的周长（用含a的式子表示）.

D图15-1 y By y BO (B)x (C)AO x CCAA18 D图15-2 O D图15-3 x

33.如图18，抛物线F： y?ax2?bx?c的顶点为P，抛物线F与y轴交于点A，与直线OP交于点B. 过点P作PD⊥x轴于点D，平移抛物线F使其经过点A、D得到抛物线F′： y?a?x2?b?x?c?，抛物线F′与x轴的另一个交点为C.

（1）当a?1，b??2，c?3时，求点C的坐标（直接写出答案）； （2）若a、b、c满足b2?2ac.

①求b:b′的值；

②探究四边形OABC的形状，并说明理由.

y

A P O D B

C x 图18

34.如图15，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（－1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，对称轴与抛物线相交于点P、

与直线BC相交于点M，连接PB． ⑴求该抛物线的解析式；

⑵抛物线上是否存在一点Q，使△QMB与△PMB的面积相等，若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由；

⑶在第一象限、对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R，使△RPM与△RMB的面积相等，若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，说明理由．

y P C

M ABO x

图15

19

35..如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标为（2，4），直线x?2与x轴相交于点B，连结OA，抛物线

y?x2从点O沿OA方向平移，与直线x?2交于点P，顶点M到A点时停止移动．

（1）求线段OA所在直线的函数解析式；（2）设抛物线顶点M的横坐标为m, ①用m的代数式表示点P的坐标； ②当m为何值时，线段PB最短；

（3）当线段PB最短时，相应的抛物线上是否存在点Q，使△QMA的面积与△PMA的面积 相等，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

yA P M B O x?2x 0)B(1，，0)C(0，?2)三点．36.如图，抛物线经过A(4，，（1）求出抛物线的解析式；

（2）P是抛物线上一动点，过P作PM?x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形

与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得的面积最大，求出点D的坐标．

y

x O B 1 4 A

?2 C （第36题图） 37． 已知抛物线y?ax?bx?c的对称轴为直线x?2，且与x轴交于A、B两点．与y轴交于点C．其中A(1，0)，C(0，?3)．（1）（3分）求抛物线的解析式； （2）若点P在抛物线上运动（点P异于点A）．

①如图l．当△PBC面积与△ABC面积相等时．求点P的坐标；

②如图2．当∠PCB=∠BCA时，求直线CP的解析式。

2 20

∴抛物线的解析式为y??x2?4x?3。

（2）①令?x?4x?3?0，解得x1?1，x2?3 ∴B（3, 0） 当点P在x轴上方时，如图1，

过点A作直线BC的平行线交抛物线于点P， 易求直线BC的解析式为y?x?3， ∴设直线AP的解析式为y?x?n， ∵直线AP过点A（1,0），代入求得n??1。 ∴直线AP的解析式为y?x?1 解方程组?2?y?x?12?y??x?4x?3∴点P， 1(21)，得??x1?1?x2?2 ，??y1?0?y2?1当点P在x轴下方时，如图1

?1)， 设直线AP1交y轴于点E(0，把直线BC向下平移2个单位，交抛物线于点P2、P3， 得直线P2P3的解析式为y?x?5，

?3?17?3?17x?x??1?2?y?x?5??22解方程组?，得 ，??2y??x?4x?3??y??7?17?y??7?1712???2?2

3?17?7?173?17?7?17，)，P3(，) 22223?17?7?173?17?7?17综上所述，点P的坐标为：P，(21)，P(，)，P(，) 23122220)C(0，?3) ②∵B(3，，∴P2(∴OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=45°

设直线CP的解析式为y?kx?3 如图2，延长CP交x轴于点Q， 设∠OCA=α，则∠ACB=45°?α ∵∠PCB=∠BCA ∴∠PCB=45°?α

∴∠OQC=∠OBC-∠PCB=45°-（45°?α）=α ∴∠OCA=∠OQC

又∵∠AOC=∠COQ=90° ∴Rt△AOC∽Rt△COQ

yAOOAOC13?0) ，∴?，∴OQ=9，∴Q(9，OCOQ3OQ0)，∴9k?3?0 ∵直线CP过点Q(9，1∴k?

31∴直线CP的解析式为y?x?3。

3∴

BQxPC第24题 图2其它方法略。 38.解：（1）设所求抛物线的解析式为：y＝a(x－1)2＋4，依题意，将点B（3，0）代入，得：

a(3－1)2＋4＝0 解得：a＝－1 ∴所求抛物线的解析式为：y＝－(x－1)2＋4

46

（2）如图6，在y轴的负半轴上取一点I，使得点F与点I关于x轴对称，

在x轴上取一点H，连接HF、HI、HG、GD、GE，则HF＝HI???????①

设过A、E两点的一次函数解析式为：y＝kx＋b（k≠0）， ∵点E在抛物线上且点E的横坐标为2，将x＝2代入抛物线y＝－(x－1)2＋4，得 y＝－(2－1)2＋4＝3 ∴点E坐标为（2，3）

2

又∵抛物线y＝－(x－1)＋4图像分别与x轴、y轴交于点A、B、D ∴当y＝0时，－(x－1)2＋4＝0，∴ x＝－1或x＝3 当x＝0时，y＝－1＋4＝3, ∴点A（－1，0），点B（3，0），点D（0，3） 又∵抛物线的对称轴为：直线x＝1， ∴点D与点E关于PQ对称，GD＝GE???????②

分别将点A（－1，0）、点E（2，3）代入y＝kx＋b，得： P y C ?k?1??k?b?0 ? 解得：?

?2k?b?3?b?1过A、E两点的一次函数解析式为：y＝x＋1 ∴当x＝0时，y＝1 ∴点F坐标为（0，1） ∴DF?2???????????????③ 又∵点F与点I关于x轴对称， ∴点I坐标为（0，－1）

∴EI?DE?DI?2?4?25???④

2222D E F A O I H G B x

又∵要使四边形DFHG的周长最小，由于DF是一个定值， Q ∴只要使DG＋GH＋HI最小即可

由图形的对称性和①、②、③，可知， 图6 DG＋GH＋HF＝EG＋GH＋HI

只有当EI为一条直线时，EG＋GH＋HI最小 设过E（2，3）、I（0，－1）两点的函数解析式为：y＝k1x＋b1（k1≠0）， 分别将点E（2，3）、点I（0，－1）代入y＝k1x＋b1，得： ??2k1?b1?3?k?2 解得：?1

?b1??1?b1??1过A、E两点的一次函数解析式为：y＝2x－1

1∴当x＝1时，y＝1；当y＝0时，x＝；

21∴点G坐标为（1，1），点H坐标为（，0）

2∴四边形DFHG的周长最小为：DF＋DG＋GH＋HF＝DF＋EI 由③和④，可知： DF＋EI＝2?25 ∴四边形DFHG的周长最小为2?25。 （3）如图7，由题意可知，∠NMD＝∠MDB，

NMMD要使，△DNM∽△BMD，只要使即可， ?MDBD即：MD2＝NM×BD????????????⑤ 设点M的坐标为（a，0），由MN∥BD，可得

NMAM △AMN∽△ABD，∴ ?BDAB再由（1）、（2）可知，AM＝1＋a，BD＝32，AB＝4

∴MN?AM?BD?(1?a)?32?32(1?a) ∵MD＝OD＋OM＝a＋9，

∴⑤式可写成： a2＋9＝32(1?a)×32

4

47

A O B 2

y C T D N AB2

22

44M x

图7

解得：a＝32或a＝3（不合题意，舍去）

∴点M的坐标为（32，0）

又∵点T在抛物线y＝－(x－1)2＋4图像上， ∴当x＝32时，y＝15 ∴点T的坐标为（32，1544）

39.解答：解：（1）由y=0得，ax2

﹣2ax﹣3a=0， ∵a≠0， ∴x2﹣2x﹣3=0， 解得x1=﹣1，x2=3， ∴点A的坐标（﹣1，0），点B的坐标（3，0）；

（2）由y=ax2

﹣2ax﹣3a，令x=0，得y=﹣3a， ∴C（0，﹣3a），

又∵y=ax2﹣2ax﹣3a=a（x﹣1）2

﹣4a， 得D（1，﹣4a）， ∴DH=1，CH=﹣4a﹣（﹣3a）=﹣a， ∴﹣a=1， ∴a=﹣1， ∴C（0，3），D（1，4），

设直线CD的解析式为y=kx+b，把C、D两点的坐标代入得，错误！未找到引用源。， 解得错误！未找到引用源。， ∴直线CD的解析式为y=x+3； （3）存在．

由（2）得，E（﹣3，0），N（﹣错误！未找到引用源。，0） ∴F（错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。），EN=错误！未找到引用源。， 作MQ⊥CD于Q，

设存在满足条件的点M（错误！未找到引用源。，m），则FM=错误！未找到引用源。﹣m， EF=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。，MQ=OM=错误！未找到引用源。 由题意得：Rt△FQM∽Rt△FNE， ∴错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。，

整理得4m2

+36m﹣63=0，∴m2

+9m=错误！未找到引用源。，m2

+9m+错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。

（m+错误！未找到引用源。）2

=错误！未找到引用源。 m+错误！未找到引用源。=±错误！未找到引用源。 ∴m1=错误！未找到引用源。，m2=﹣错误！未找到引用源。， ∴点M的坐标为M1（错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。），M2（错误！未找到引用源。，﹣未找到引用源。）．

40.解答：解：（1）过点B作BD⊥x轴，垂足为D， ∵∠BCD+∠ACO=90°，∠AC0+∠OAC=90°， ∴∠BCD=∠CAO， 又∵∠BDC=∠COA=9°，CB=AC， ∴△BDC≌△CAO， ∴BD=OC=1，CD=OA=2， ∴点B的坐标为（3，1）；

（2）∵抛物线y=ax2

﹣ax﹣2过点B（3，1），

48

错误！∴1=9a﹣3a﹣2，

解得：a=错误！未找到引用源。，

2

∴抛物线的解析式为y=错误！未找到引用源。x﹣错误！未找到引用源。x﹣2；

（3）假设存在点P，使得△ACP是直角三角形， ①若以AC为直角边，点C为直角顶点，

则延长BC至点P1使得P1C=BC，得到等腰直角三角形ACP1，过点P1作P1M⊥x轴，如图（1）， ∵CP1=BC，∠MCP1=∠BCD，∠P1MC=∠BDC=90°， ∴△MP1C≌△DBC， ∴CM=CD=2，P1M=BD=1，

∴P1（﹣1，﹣1），经检验点P1在抛物线y=错误！未找到引用源。x﹣错误！未

找到引用源。x﹣2上； ②若以AC为直角边，点A为直角顶点，则过点A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC， 得到等腰直角三角形ACP2，过点P2作P2N⊥y轴，如图（2）， 同理可证△AP2N≌△CAO， ∴NP2=OA=2，AN=OC=1，

2

∴P2（﹣2，1），经检验P2（﹣2，1）也在抛物线y=错误！未找到引用源。x﹣错误！未找到引用源。x﹣2上； ③若以AC为直角边，点A为直角顶点，则过点A作AP3⊥CA，且使得AP3=AC， 得到等腰直角三角形ACP3，过点P3作P3H⊥y轴，如图（3）， 同理可证△AP3H≌△CAO， ∴HP3=OA=2，AH=OC=1，

2

∴P3（2，3），经检验P3（2，3）不在抛物线y=错误！未找到引用源。x﹣错误！未找到引用源。x﹣2上； 故符合条件的点有P1（﹣1，﹣1），P2（﹣2，1）两点．

2

49

??a?b?c?0?a??1??41. 解：（1）由题意，得?c??3，解得?b?4

?c??3?b????2?2a2∴抛物线的解析式为y??x?4x?3。

2（2）①令?x?4x?3?0，解得x1?1，x2?3 ∴B（3, 0）

当点P在x轴上方时，如图1，

过点A作直线BC的平行线交抛物线于点P， 易求直线BC的解析式为y?x?3， ∴设直线AP的解析式为y?x?n， ∵直线AP过点A（1,0），代入求得n??1。 ∴直线AP的解析式为y?x?1

EyPAOP3CBx?y?x?1?x1?1?x2?2解方程组?，得? ，?2y?0y?1?1?2?y??x?4x?3∴点P， 1(21)当点P在x轴下方时，如图1

?1)， 设直线AP1交y轴于点E(0，把直线BC向下平移2个单位，交抛物线于点P2、P3， 得直线P2P3的解析式为y?x?5，

P2第24题 图1?3?17?3?17x?x??1?2?y?x?5??22解方程组?，得 ，??2?y??x?4x?3?y??7?17?y??7?1712???2?2

3?17?7?173?17?7?17，)，P3(，) 22223?17?7?173?17?7?17(21)，P(，)，P(，) 综上所述，点P的坐标为：P，23122220)C(0，?3) ②∵B(3，，∴P2(∴OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=45°

设直线CP的解析式为y?kx?3 如图2，延长CP交x轴于点Q， 设∠OCA=α，则∠ACB=45°?α

50

38.抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点为C（1，4），交x轴于A、B两点，

交y轴于点D，其中点B的坐标为（3，0）。 （1）求抛物线的解析式；

（2）如图14，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中点E的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为直线PQ上的一动点，则x轴上师范存在一点H，使D、G、H、F四点所围成的四边形周长最小。若存在，求出这个最小值及点G、H的坐标；若不存在，请说明理由。

（3）如图15，在抛物线上是否存在一点T，过点T作x轴的垂线，垂足为点M，过点M作MN∥BD，交线段AD于点N，连接MD，使△DNM∽△BMD。若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由。

y C y P C y C D D E D A O B x

A F O Q B x

A O B x

图13

图14 图15

2

39.已知抛物线y=ax﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．

（1）求A、B的坐标；

（2）过点D作DH丄y轴于点H，若DH=HC，求a的值和直线CD的解析式；

（3）在第（2）小题的条件下，直线CD与x轴交于点E，过线段OB的中点N作NF丄x轴，并交直线CD于点F，则直线NF上是否存在点M，使得点M到直线CD的距离等于点M到原点O的距离？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

21

40.在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板放在第一象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C

2

（1，0），如图所示，抛物线y=ax﹣ax﹣2经过点B． （1）求点B的坐标； （2）求抛物线的解析式；

（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直 角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

41. 已知抛物线y?ax?bx?c的对称轴为直线x?2，且与x轴交于A、B两点．与y轴交于点C．其中 A(1，0)，C(0，?3)．（1）（3分）求抛物线的解析式； （2）若点P在抛物线上运动（点P异于点A）．

①（4分）如图l．当△PBC面积与△ABC面积相等时．求点P的坐标；

②（5分）如图2．当∠PCB=∠BCA时，求直线CP的解析式。

2 22

42、（2011?兰州）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别在y轴的

2

负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax+bx+c经过点A、B和D错误！未找到引用源。． （1）求抛物线的解析式．

（2）如果点P由点A出发沿AB边以2cm/s的速度向点B运动，同

时点Q由点B出发沿BC边以1cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设

22

S=PQ（cm） ①试求出S与运动时间t之间的函数关系式，并写出t的取值范围； ②当S取错误！未找到引用源。时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由．

（3）在抛物线的对称轴上求点M，使得M到D、A的距离之差最大，求出点M的坐标．

2

43.已知关于x的二次函数y=ax+bx+c（a＞0）的图象经过点C（0，1），且与x轴交于不同的两点A、B，点A的坐标是（1，0） （1）求c的值；

（2）求a的取值范围；

（3）该二次函数的图象与直线y=1交于C、D两点，设A、B、C、D四点构成的四边形的对角线相交于点P，记△PCD的面积为S1，△PAB的面积为S2，当0＜a＜1时，求证：S1﹣S2为常数，并求出该常数．

44.抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点为C（1，4），交x轴于A、B两点，

交y轴于点D，其中点B的坐标为（3，0）。 （1）求抛物线的解析式；

（2）如图14，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中点E的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为直线PQ上的一动点，则x轴上师范存在一点H，使D、G、H、F四点所围成的四边形周长最小。若存在，求出这个最小值及点G、H的坐标；若不存在，请说明理由。

（3）如图15，在抛物线上是否存在一点T，过点T作x轴的垂线，垂足为点M，过点M作MN∥BD，交线段AD于点N，连接MD，使△DNM∽△BMD。若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由。

23

y C y P C y C D D E D A O B x

A F O Q B x

A O B x

图13

图14 图15

D y 7.已知：m，n是方程x?6x?5?0的两个实数根，且m?n，抛物线

2B 0)，B(0，n)． 的图象经过点A(m，y??x2?bx?c(1) 求这个抛物线的解析式；

24

C

O A x

(2) 设（1）中的抛物线与x轴的另一交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C，D的坐标和△BCD的面积； (3) P是线段OC上的一点，过点P作PH?x轴，与抛物线交于H点，若直线BC把△PCH分成面积之比

为2:3的两部分，请求出P点的坐标．

10.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为x＝1，且抛物线经过A（—1，0）、B（0，—3）两点，与x轴交于另一点B．

（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；

（2）在抛物线的对称轴x＝1上求一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，并求出此时点M

的坐标；

（3）设点P为抛物线的对称轴x＝1上的一动点，求使∠PCB＝90°的点P的坐标．

y x＝1 A B O x

C

第10题

11.如图，直线y??x?1与抛物线y?ax?bx?4都经过点A(?1,0)、C(3,-4) （1）求抛物线的解析式；

（2） 动点P在线段AC上，过点P作x轴的垂线与抛物线相交于点E，求线段PE长度的最大值；

（3） 当线段PE的长度取得最大值时，在抛物线上是否存在点Q，使△PCQ是以PC为直角边的直角三角形?

若存在，请求出Q点的坐标；若不存在．请说明理由． 1.解：（1）

y 24)两点， ，0)，C(0，抛物线y?ax?bx?4a经过A(?1A O P E C 图9

x 2?a?b?4a?0，?a??1，解得??抛物线的解析式为y??x2?3x?4． ????4a?4.?b?3.（2）

m点D(m，m?1)在抛物线上，?m?1??2?3m?4，即

m2?2m?3?0，?m??1或m?3．点D在第一象限，?点D的坐??CBA?45°．设点D关于直线BC的4)．由（1）知OA?OB，标为(3，对称点为点E．

C(0，4)，?CD∥AB，且CD?3，??ECB??DCB?45°，?E点在y轴上，且

CE?CD?3．

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