四川省绵阳市三台县芦溪中学2012届高三数学上学期第六次月考试题

芦溪中学2012届高三上学期第六次月考数学理科试题

班级：高2012级 班 姓名： 得分： 命题：陈新宇

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.全卷满分为150分，完成时间120分钟. 参考公式：

（A?B）=P（A）?P（B）如果事件A、B互斥，那么P （A?B）=P（A）?P（B）如果事件A、B独立，那么P

如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率

P（kkn-knk）=CnP（1?P） 第I卷（选择题，共60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 1．计算1?2sin2?8的值为

A．l

B．

12

C．3 D．

2

222．已知a、b∈R，i为虚数单位，若2i1?i?a?bi，则a+b的值为

A．0

B．1

C．2 D．3

3．设A??x|0?x?1?，B??x|x?1?，则“x?A”是“x?B”的 A．充分而不必要的条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要的条件 n?14．lim2(*)的结果为

n??1?2nn?NA．1 B．2

C．3

D．不存在

5．设等比数列{aS4n}的公比q?2，前n项和为Sn，则

a?（ ）

2A. 2 B. 4 C. 15 D. 1722

6．若非零向量AB与AC满足|AB?AC|?|BC|，则△ABC的形状是

A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形

7．若函数y?g（x）与y?x2?1（x?0）互为反函数，则函数y?（g-x）大致图象为

????8．已知a，b是非零向量，且?a,b???????ab3，则向量p??|??的模为

|a|b|A．2 B．3 C．2 D．3

用心 爱心 专心 1

?x?1,?9．已知变量x、y满足条件?x?y?0,则x+y的最大值是

?x?2y?9?0,?A.2 B.5 C.6 D.8

10．已知定义在R上的函数f(x),g(x)分别满足：f(1?x)?f(1?x)?0,g(?x)?g(x)，

则下列函数中，一定为奇函数的是 A．y?f(x)?g(x) B．y?f(x?1)?g(x)

C．y?f(x?1)?g(x)

?6D．y?f(x)?g(x?1)

)的图像,可以将函数y＝cos2x的图像

?311．为了得到函数y＝sin(2x－

A．向右平移C．向左平移

?6个单位长度 B．向左平移个单位长度 D．向右平移

81个单位长度 个单位长度

?6?312．设在四次独立重复试验中，事件A至少发生一次的概率为80，则在一次试验中事件A发生的概率是

A．

56 B．

C．

3

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

112D．

23

二、填空题：（本大题共4小题,每小题4分,共16分）把答案填在题中横线上.

13．已知数列{an}的通项公式为an??2n?11，其前n项的和为Sn(n?N?)，则当Sn取最大值时，n? .

14．设直线ax?y?3?0与圆(x?1)2?(y?2)2?4相交于A、B两点，且弦AB的长为

23，则a?___________．

?????a?15．设向量与b的夹角为，且a?(3,3)，2b?a?(?1,1)，则cos?? ．

16．已知a?R，且??k???2，k?Z设直线l:y?xtan??m，其中m?0，给出下

?列结论：①l的倾斜角为arctan(tan?)；②l的方向向量与向量a?(cos?,sin?)共线；③l与直线xsin??ycos??n?0(n?m)一定平行；④若0?a?角为

?4??；⑤若??k???4，则l与y?x直线的夹

?4，k?Z，与l关于直线y?x对称的直线l?与l互相垂直．其

中真命题的编号是 （写出所有真命题的编号）

三、解答题：（本大题共6小题，共74分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知点A、B、C的坐标分别为A（3，0），B（0，3），C（cosα，用心 爱心 专心

2

sinα），α?(

)． ,222????????????????2sina?sin2a(1)若|AC|?|CB|，求角α的值； (2)若AC?CB=－1，求的值. 1?tana

18．（本小题满分12分）设平面直角坐标系xoy中，设二次函数f(x)?x?2x?b(x?R)的图像与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C．求： （1）求实数b的取值范围； （2）求圆C的方程；

（3）问圆C是否经过某定点（其坐标与b无关）？请证明你的结论．

319．（本小题满分12分）设函数f(x)??x?3x?2分别在x1、x2处取得极小值、极大

?3?2值.xoy平面上点A、B的坐标分别为(x1,f(x1))、(x2,f(x2)),该平面上动点P满足PA?PB?4,点Q是点P关于直线y?2(x?4)的对称点.

求：(Ⅰ)点A、B的坐标 ；(Ⅱ)动点Q的轨迹方程．

20．（本小题满分12分）某单位有三辆汽车参加某种事故保险，单位年初向保险公司缴纳

用心 爱心 专心

3

每辆900元的保险金.对在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位获9000元的赔偿（假设每辆车最多只赔偿一次）．设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为,是否发生事故相互独立,求一年内该单位在此保险中： （1）获赔的概率；(4分)

（2）获赔金额?的分别列与期望．(8分)

21．（本小题满分12分）已知定义在R上的奇函数f(x)?f?(x)在点x?1处取得极值.

4x?bax?121191011,1,且各车

的导函数为f?(x)，且

（1）求函数f(x)的解析式；

（2）若函数f(x)在区间(m,m?2)上是增函数，求实数m所有取值的集合； （3）当x1,x2?R时，求f?(x1)?f?(x2)的最大值．

22．（本小题满分足：

a1?2a2?3a3???nann14

?分）已知各项均为正数的数列{an}满

3,n?N，

?(an?1)an （1）求a1、a2、a3，猜测an的表达式并证明； （2）求证：sin?an≥

2an；

???1??S?Sn （3）设数列?sin的前项和为，求证：. ?nn32aann?1??

四川省绵阳市三台县芦溪中学2012级高三上期末考试

数学(理)模拟试题综合练习参考答案

用心 爱心 专心 4

一、选择题：1—5DCABC 6—10CDBCB 11—12CD 二、填空题： 13．5；14．0；15．三、解答题：

31010； 16．②④

???????? 17．解：.(1)∵AC=(cos?－3, sin?), BC=(cos?, sin?－3).

????∴∣AC∣=(cosa?3)2?sin2a?10?6sina． ????????????22∣BC∣=cosa?(sina?3)?10?6sina．由∣AC∣=∣BC∣得sin?=cos?.

又∵??(?3?2,42????????(2)由AC·BC =－1,得(cos?－3)cos?+sin? (sin?－3)=－1

2∵sin?+cos?=.①

3)，∴?=

5?.

又

2sin2a?sin2a1?tana?2sin2a?2sinacosa1?sinacosa49?2sinacosa.

由①式两边平方得1+2sin?cos?=∴2sin2 , ∴2sin?cos?=?59,

1?tana918．解：（Ⅰ）令x＝0，得抛物线与y轴交点是（0，b）；

??a?sin2a5令f?x??x?2x?b?0，由题意b≠0 且Δ＞0，解得b＜1 且b≠0．

2（Ⅱ）设所求圆的一般方程为x2?y2?Dx?Ey?F?0，

令y＝0 得x2?Dx?F?0这与x2?2x?b＝0 是同一个方程，故D＝2，F＝b． 令x＝0 得y?Ey＝0，此方程有一个根为b，代入得出E＝―b―1． 所以圆C 的方程为x?y?2x?(b?1)y?b?0.

（Ⅲ）圆C 必过定点（0，1）和（－2，1）．证明如下：将（0，1）代入圆C 的方程，得左边＝02＋12＋2×0－（b＋1）＋b＝0，右边＝0， 所以圆C 必过定点（0，1）．

同理可证圆C 必过定点（－2，1）．

3219．解: (Ⅰ)令f?(x)?(?x?3x?2)???3x?3?0解得x?1或x??1

222当x??1时,f?(x)?0, 当?1?x?1时,f?(x)?0 ,当x?1时,f?(x)?0 所以,函数在x??1处取得极小值,在x?1取得极大值,故 x1??1,x2?1,f(?1)?0,f(1)?4 所以, 点A、B的坐标为A(?1,0),B(1,4).

(Ⅱ) 设p(m,n)，Q(x,y)，PA?PB???1?m,?n???1?m,4?n??m?1?n?4n?4

22用心 爱心 专心 5

kPQ??12，所以

y?nx?m2??12，又PQ的中点在y?2(x?4)上，所以

2y?m2?x?n??2??4? ?2?消去m,n得?x?8???y?2??9

23．由题意知A1，A2，A3独20．解：设Ak表示第k辆车在一年内发生此种事故，k?1，，立，且P(A11)?19，P(A2)?10，P(A3)?111．

（Ⅰ）该单位一年内获赔的概率为

1?P(A?81A2A3)?1?P(A1)P(A2)P(A3)?19?9310?1011?11．

（Ⅱ）?的所有可能值为0，9000，18000，27000．

P(??0)?P(A8101A2A3)?P(A1)P(A2)P(A3)?9?910?11?811，

P(??9000)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3) ?P(A1)P(A2)P(A3)?P(A1)P(A2)P(A3)?P(A1)P(A2)P(A3)

?199?10?10810924211?9?110?11?89?10?111?990?1145，

P(??18000)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3) ?P(A1)P(A2)P(A3)?P(A1)P(A2)P(A3)?P(A1)P(A2)P(A3)

?11099?110?11?19?10?181311?9?110?11?27990?110，

P(??27000)?P(A111A2A3)?P(A1)P(A2)P(A3)?9?110?11?1990．

综上知，?的分布列为

? 0 9000 18000 27000 P 8 1111 345110 1990 求?的期望有两种解法： 解法一：由?的分布列得E??0?8111?9000?1145?18000?3110?27000?990

?2990011≈2718.18（元）．

解法二：设?k表示第k辆车一年内的获赔金额，k?1，，23，则?1有分布列 ?1 0 9000 用心 爱心 专心 6

P 89 19 故E?11?9000?9?1000． 同理得E??112?900010?900，E?3?9000?11?818.18．

综上有E??E?1?E?2?E?3?1000?900?818.18?2718.18（元）． 21．解：（1）?f(x)?4x?bax2?1是奇函数，易求得b=0.

又f?(x)?4(ax2?1)?4x?2ax(ax2)2,且f(x)?1在点x=1处取得极值，

?f?(x)?0.可得a?1.故f(x)?4xx2?1.

（2）?f?(x)??4(x?1)(x?1),1(x2?1)2由f?(x)?0???x?1.

?f(x)的单调递增区间为（－1，1）.

若f(x)在区间（m，m+2）上是增函数，则有m=－1.

即m取值的集合为{－1}.

（3）?f?(x)??4(x?1)(x?1)(x2?1)2?4[2(x2?1)2?1x2?1]，

令t?1,则f?(x)?g(t)?4(2t2?t)?8(t?12x2?14)?12,t?(0,1].

?f?(x)?[?1?f?(x92,4].1)?f?(x2)?4?(?12)?2.

?f?(x91)?f?(x2)的最大值为

2.

22．解：（1）a1?2,a2?3,a3?4. 猜测：an?n?1. ①当n=1时，a1=1+1=2，猜想成立.

②假设当n=k时成立，即ak=k+1.

?a1?2a2?3a3???nan(an?1)ann?3?an(an?1)an1?2a2?3a3???nan?3.?aan?1?1)an?11?2a2?3a3???(n?1)an?1?(n?1)(3(n?2),

两式相减,得nan(an?1)ann?1)(an?1?1)an?1n?3?(3.则当n?k?1时,(k?1)a(k?1)(ak?1?1)ak?1k(ak?1)akk?1?3?3?a2k?1?2ak?1?k(k?2)?0?(ak?1?1)2?(k?1)2?ak?1?k?2ak?1??k(舍去). 即当n=k+1时，猜想成立.

故对一切n?N*,an?n?1成立．

用心 爱心 专心 7

（2）设f(x)?sinx?

由

2?x(0?x??2)，

?2]由

f?(x)?cosx?2??0,得x?arccos2?.

y?cosx的单调性,知f(x)在(0,内有且只有一个极大值点，且

2x(0?x?f(0)?f(?2)?0.因此在(0,?2]内，f(x)?0,即sinx??2?).

令x??an,??an?(0,?2],?sin?an?2an.又当n?1时,?an??2,?sin?an?2an.?sin?.?2

ana.n （3）?a?2nan?1?6,??a?(0,?nan?12).由（2）可知sina?nan?1a.

nan?1?S?n?sin

2?3?sin?3?4???sin?(n?1)?(n?2)

?2(12?13?1?1???134n?1?1n?2)?(12?1n?2)?13. 即对一切n?N*,Sn?13. 同理可证sinx?x(0?x??2). ?Sn?sin??sin????sin?

2?33?4(n?1)?(n?2)

??(1?1?1???111?2?1334n?1?n?2)??(12?n?2)?2. 即对一切n?N*,Sn??2. ?13?Sn??2.

用心 爱心 专心 8

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