江苏省2015届高考数学二轮复习：第13讲 圆锥曲线(含轨迹问题)

第13讲 圆锥曲线(含轨迹问题)

本节知识在江苏高考试题中要求比较低，椭圆的标准方程和几何性质是B级考点，其余都是A级考点，但高考必考．在理解定义的基础上，只需对标准方程及其性质熟悉，特别是圆锥曲线中的离心率计算(含范围)．要能准确建模(方程或不等式)．

1. 掌握椭圆的标准方程，会求椭圆的标准方程；掌握椭圆的简单几何性质，能运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题；了解运用曲线的方程研究曲线的几何性质的思想方法．

2. 了解双曲线的标准方程，会求双曲线的标准方程；了解双曲线的简单几何性质． 3. 了解抛物线的标准方程，会求抛物线的标准方程；了解抛物线的简单几何性质．

x2y210

1. 若椭圆＋＝1的离心率e＝，则m的值是________．

5m5

2.若抛物线y2＝2x上的一点M到坐标原点O的距离为3，则M到该抛物线焦点的距

离为________．

3.双曲线2x2－y2＋6＝0上一个点P到一个焦点的距离为4，则它到另一个焦点的距离为________．

x2y2

4.已知椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为e，若椭圆上存在

abPF1点P，使得＝e，则该椭圆离心率e的取值范围是________．

PF2

x2y26

【例1】 已知椭圆G：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，右焦点为(22，0)，斜率为1

ab3的直线l与椭圆G交于A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(－3,2)．

(1) 求椭圆G的方程； (2) 求△PAB的面积． 【例2】 直角坐标系xOy中，中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆C上的点(22，1)到两焦点的距离之和为43.

(1) 求椭圆C的方程；

(2) 过椭圆C的右焦点F作直线l与椭圆C分别交于A、B两点，其中点A在x轴下方，→→

且AF＝3FB.求过O、A、B三点的圆的方程．

1

x22

【例3】 已知椭圆＋y＝1的左顶点为A，过A作两条互相垂直的弦AM、AN交椭

4圆于M、N两点．

(1) 当直线AM的斜率为1时，求点M的坐标；

(2) 当直线AM的斜率变化时，直线MN是否过x轴上的一定点？若过定点，请给出证明，并求出该定点；若不过定点，请说明理由．

【例4】 (2011·徐州模拟)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆B：(x－1)2＋y2＝16与点A(－1,0)，P为圆B上的动点，线段PA的垂直平分线交直线PB于点R，点R的轨迹记为曲线C.

(1) 求曲线C的方程；

(2) 曲线C与x轴正半轴交点记为Q，过原点O且不与x轴重合的直线与曲线C的交点记为M、N，连结QM、QN，分别交直线x＝t(t为常数，且t≠2)于点E、F，设E、F的纵坐标分别为y1、y2，求y1·y2的值(用t表示)．

x2y2

1. (2011·天津)已知双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是y＝3x，它的一个

ab焦点在抛物线y2＝24x的准线上，则双曲线的方程为__________．

2.(2010·全国)已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交

2

→→

C于D点，且BF＝2FD，则C的离心率为________．

1x2y2

1，?作圆x2＋y2＝1的切线，切3.(2011·江西)若椭圆2＋2＝1的焦点在x轴上，过点??2?ab点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是__________．

4.(2011·重庆)设双曲线的左准线与两条渐近线交于A，B两点，左焦点在以AB为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为________．

x2y2

5.(2011·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆＋＝1的顶点，

42过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连结AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k.

(1) 当直线PA平分线段MN时，求k的值； (2) 当k＝2时，求点P到直线AB的距离d； (3) 对任意k>0，求证：PA⊥PB.

6.(2011·重庆)如图，椭圆的中心为原点O，离心率e＝(1) 求该椭圆的标准方程；

→→→

(2) 设动点P满足：OP＝OM＋2ON，其中M，N是椭圆上的点，直线OM与ON的1

斜率之积为－，问：是否存在两个定点F1，F2，使得|PF1|＋|PF2|为定值？若存在，求出F1，

2F2的坐标；若不存在，说明理由．

2，一条准线的方程为x＝22. 2

3

(2011·苏锡常镇二模)(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的中心在原点O，右焦点F在x轴上，椭圆与y轴交于A、B两点，其右准线l与x轴交于T点，直线BF交椭圆于C点，P为椭圆上弧AC上的一点．

(1) 求证：A、C、T三点共线；

6＋2→→

(2) 如果BF＝3FC，四边形APCB的面积最大值为，求此时椭圆的方程和P点坐

3标．

2ax2y2?(1) 证明：设椭圆方程为2＋2＝1(a＞b＞0)①，则A(0，b)，B(0，－b)，T??c，0?.(1ab

分)

xyxy

AT：2＋＝1 ②，BF：＋＝1 ③，(3分)

abc－bc

2acb

联立①②③解得：交点C?a2＋c2，a2＋c2?，代入①得(4分)

??c?2?b?2?2a2?a＋c2??a2＋c2?4a2c2＋?a2－c2?2

a2＋b2＝?a2＋c2?22

3

2

3

＝1，(5分)

满足①式，则C点在椭圆上，A、C、T三点共线．(6分) (2) 解：过C作CE⊥x轴，垂足为E，△OBF∽△ECF.

4cb?11→→

，，代入①得2＋2＝1，∴ a2＝2c2，∵BF＝3FC，CE＝b，EF＝c，则C?33??33abb2＝c2.(7分)

2

设P(x0，y0)，则x0＋2y0＝2c2.(8分)

4cc?214c42

，，AC＝5c，S△ABC＝·此时C?2c·＝c，(9分) ?33?3233直线AC的方程为x＋2y－2c＝0，

|x0＋2y0－2c|x0＋2y0－2c

P到直线AC的距离为d＝＝，

55x0＋2y0－2c11x0＋2y0－2c2

S△APC＝d·AC＝··5c＝·c.(10分)

22335只需求x0＋2y0的最大值．

2222

(解法1)∵ (x0＋2y0)2＝x22x0y0≤x0＋4y20＋4y0＋2·0＋2(x0＋y0)(11分)

22＝3(x20＋2y0)＝6c，∴ x0＋2y0≤6c.(12分)

?4c?2?b?2

?3??3?

当且仅当x0＝y0＝

6

c时，(x0＋2y0)max＝6c.(13分) 3

2

(解法2)令x0＋2y0＝t，代入x2＋2y0＝2c2得

4

2222

(t－2y0)2＋2y20－2c＝0，即6y0－4ty0＋t－2c＝0.(11分)

Δ＝(－4t)2－24(t2－2c2)≥0，得t≤6c.(12分) 当t＝6c，代入原方程解得：x0＝y0＝∴ 四边形的面积最大值为

6

c.(13分) 3

6－22426＋226＋2

c＋c＝c＝，(14分) 3333

∴ c2＝1，a2＝2，b2＝1，(15分)

x2266

此时椭圆方程为＋y＝1，P点坐标为?，?.(16分)

23??3

第13讲 圆锥曲线(含轨迹问题)

x2y2

1. 已知方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是________，

m－12－m若该方程表示双曲线，则m的取值范围是________．

3

1，? (－∞，1)∪(2，＋∞) 【答案】 ??2?x2y2

2. 点P为椭圆2＋2＝1(a>b>0)上一点，F1 ，F2为椭圆的焦点，如果∠PF1F2＝75°，

ab∠PF2F1＝15°，则椭圆的离心率为________．

【答案】

6

3

3. 已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为________．

【答案】 x＝－1

x22

4. 设P点在圆x＋(y－2)＝1上移动，点Q在椭圆＋y＝1上移动，则|PQ|的最大值

9

2

2

是________．

36

【答案】 1＋ 解析：圆心C(0,2)，|PQ|≤|PC|＋|CQ|＝1＋|CQ|，于是只要求|CQ|

2的最大值．

设Q(x，y)，∴ |CQ|＝x2＋?y－2?2＝9?1－y2?＋?y－2?2＝－8y2－4y＋13， 1

∵ －1≤y≤1，∴ 当y＝－时，|CQ|max＝

4

273636＝，∴ |PQ|max＝1＋. 222

x2y2

5. (2011·南京二模)如图，椭圆C：＋＝1的右顶点是A，上、下两个顶点分别为B、

164D，四边形OAMB是矩形(O为坐标原点)，点E、P分别是线段OA、AM的中点．

5

6

－，0?. ∴ 直线MN过x轴上的一定点P??5?

x2y22

变式训练 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的离心率为，其

ab2焦点在圆x2＋y2＝1上．

(1) 求椭圆的方程；

→→

(2) 设A、B、M是椭圆上的三点(异于椭圆顶点)，且存在锐角θ，使OM＝cosθOA＋→sinθOB.

① 求证：直线OA与OB的斜率之积为定值； ② 求OA2＋OB2.

(1) 解：依题意，得c＝1.于是a＝2，b＝1. x22

所以所求椭圆的方程为＋y＝1.

2(2) ①证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)， x2x2122

则＋y1＝1①，＋y22＝1②. 22

→→→又设M(x，y)，因OM＝cosθOA＋sinθOB，

??x＝x1cosθ＋x2sinθ，故? ?y＝y1cosθ＋y2sinθ.?

?x1cosθ＋x2sinθ?2因M在椭圆上，故＋(y1cosθ＋y2sinθ)2＝1.

2x1?2?x2＋y2?2?x1x2＋y1y2?cosθsinθ＝1. ＋y2整理得?1cosθ＋2sinθ＋2?2??2??2?x1x2将①②代入上式，并注意cosθsinθ≠0，得＋y1y2＝0.

2所以kOAkOB＝

y1y21

＝－为定值． x1x22

2

2

2

2

x1x2?2x1x22222222

－② 解：(y1y2)＝?＝(1－y21)(1－y2)＝1－(y1＋y2)＋y1y2，故y1＋y2＝1. ?2?＝2·2

2

22

xx12222?＋y1?＋?＋y2又?2＝2，故x1＋x2＝2. ?2??2?

222所以OA2＋OB2＝x21＋y1＋x2＋y2＝3.

例4 解：(1) 连结RA，由题意得RA＝RP，RP＋RB＝4， 所以RA＋RB＝4＞AB＝2，

x2y2

由椭圆定义，得点R的轨迹方程为＋＝1.

43

(2) 设M(x0，y0)，则N(－x0，－y0)，QM、QN的斜率分别为kQM、kQN， y0y0则kQM＝，kNQ＝，

x0－2x0＋2

11

y0y0所以直线QM的方程为y＝(x－2)，直线QN的方程为y＝(x－2)．

x0－2x0＋2令x＝t(t≠2)，则y1＝

y0y0(t－2)，y2＝(t－2)， x0－2x0＋2

2

x0y2320又(x0，y0)在椭圆＋＝1上，所以y20＝3－x0. 434

2?3－3x2?

?40??t－2?

所以

y20y1·y2＝2(t－2)2＝

x0－4

x20－4

3

＝－(t－2)2，其中t为常数且t≠2.

4

高考回顾

x2y2x2y222

1. －＝1 解析：由题设可得双曲线方程满足3x－y＝λ(λ>0)，即－＝1.于是927λλ

3λ4λ

c2＝＋λ＝.又抛物线y2＝24x的准线方程为x＝－6，因为双曲线的一个焦点在抛物线y2

334λx2y2

＝24x的准线上，则c＝＝36，于是λ＝27.所以双曲线的方程－＝1.

3927

2

3x2y2→

2. 解析：设椭圆方程为2＋2＝1(a>b>0)，设D(x2，y2)，B(0，b)，C(c,0)，BF＝

3ab→

(c，－b)，FD＝(x2－c，y2

?x＝2c，?by＝－.?2

22

3

1921b2

∴ 2·c＋2·＝1， a4b4

933

∴ e2＝，∴ e＝. 443

x2y2

3. ＋＝1 解析：作图可知一个切点为(1,0)，所以椭圆c＝1.分析可知直线AB为圆541111

1，?为圆心，为半径的圆的公共弦．由(x－1)2＋?y－?2＝与x2＋y2＝1x2＋y2＝1与以??2??2?42相减得直线AB方程为：2x＋y－2＝0.令x＝0，解得y＝2，∴ b＝2，又c＝1，∴ a2＝5，x2y2

故所求椭圆方程为：＋＝1.

54

2aab?a2abc?4. (1，2) 解析：由题可知A?－c，c?，c－<，∴ b

cca

即1

5. 解：(1) 由题意知M(－2,0)，N(0，－2)，M、N的中点坐标为?－1，－?

2?， 2?直线PA平分线段MN，又直线PA经过原点，所以k＝

2. 2

??y＝2x，?2，4?，A?－2，－4?， (2) 直线PA：y＝2x，由?2得P23??33??3??x＋2y＝4，

12

2x－

32?y2

，0，AB方程：＝C?，即：x－y－＝0， ?3?4223

－－－333

所以点P到直线AB的距离d＝

?2－4－2??333?22

2

＝3

.

(3) (解法1)由题意设P(x0，y0)，A(－x0，－y0)，B(x1，y1)，则C(x0,0)， ∵ A、C、B三点共线，∴ kAC＝kAB，

y0y1＋y0＝， 2x0x1＋x0

y0－y1x2y2x2y20011又因为点P、B在椭圆上，∴ ＋＝1，＋＝1，两式相减得：kPB＝＝－

4242x0－x1

x0＋x1

，

2?y0＋y1?

x0＋x1??y1＋y0??x0＋x1?y0?

∴ kPAkPB＝?－＝－＝－1，∴ PA⊥PB. ?x0?2?y0＋y1???x1＋x0??y0＋y1?

(解法2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点T(x0，y0)，则P(－x1，－y1)，C(－x1,0)， ∵ A、C、B三点共线，∴

y2－y1y1y2＝＝＝k，又因为点A、B在椭圆上， x2＋x1x2－x12x1AB

22

x2y2x2y0121y1∴ ＋＝1，＋＝1，两式相减得：＝－，

4242x02kAB

y0y11∴ kOTkPA＝·＝－×2kAB＝－1，∵ OT∥PB，∴ PA⊥PB.

x0x12kABy＝kx，??22?2，2k?，

(解法3)由?xy得P??1＋2k21＋2k2??＋＝1，??42A?－

??

22k??2，0?，

?2，－2?，C?1＋2k1＋2k??1＋2k2?

2k

b1＋2k2kk??kAC＝＝，直线AC：y＝?x－2?， 422?1＋2k?

21＋2k

k2?24＋6k2x2y22k2?代入＋＝1得到?1＋2?x－x－2＝0， 421＋2k21＋2k

4＋6k2

解得xB＝，

?2＋k2?1＋2k22k?x－?B?2?1＋2k?－4kyB－yP2?1?－1?＝－1，∴ PA⊥PB. kPB＝＝＝2＝－.∴ kPA·kPB＝k·?k?24kkxB－xP

xB－

1＋2k2点评：本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质，直线的斜率及其方程，点到直线距离公式，直线的垂直关系的判断．另外还考查了解方程组，共线、点在曲线上的问题．字母运算的运算求解能力， 考查推理论证能力．(1)(2)属容易题；(3)是考查学生灵活运用、数学综

13

合解题能力，属难题．

c2a2

6. 解：(1) 由e＝＝，＝22，

a2c

x2y2

解得a＝2，c＝2，b＝a－c＝2，故椭圆的标准方程为＋＝1.

42

2

2

2

→→→

(2) 设P(x，y)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则由OP＝OM＋2ON，得 (x，y)＝(x1，y1)＋2(x2，y2)＝(x1＋2x2，y1＋2y2)， 即x＝x1＋2x2，y＝y1＋2y2.

222

因为点M，N在椭圆x2＋2y2＝4上，所以x21＋2y1＝4，x2＋2y2＝4，

222

故x2＋2y2＝(x21＋4x2＋4x1x2)＋2(y1＋4y2＋4y1y2)

222＝(x1＋2y21)＋4(x2＋2y2)＋4(x1x2＋2y1y2) ＝20＋4(x1x2＋2y1y2)．

设kOM，kON分别为直线OM，ON的斜率，由题设条件知， y1y21

kOM·kON＝＝－，因此x1x2＋2y1y2＝0，所以x2＋2y2＝20.

x1x22

x2y2

所以P点是椭圆＋＝1上的点，设该椭圆的左、右焦点为F1，F2，则由椭

?25?2?10?2

圆的定义|PF1|＋|PF2|为定值，又因c＝?25?2－?10?2＝10，因此两焦点的坐标分别为F1(－10，0)，F2(10，0)．

14

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/pr53.html