2014年高考数学一轮复习 热点难点精讲精析 2.6对数函数

2014年高考一轮复习热点难点精讲精析：2.6对数函数

一、对数式的化简与求值 对数的化简与求值的基本思路

（1） 利用换底公式及，尽量地转化为同底的和、差、积、商运算；

（2） 利用对数的运算法则，将对数的和、差、倍数运算，转化为对数真数的积、商、幂再运算； （3） 约分、合并同类项，尽量求出具体值。

对数运算的一般思路[

(1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并.

(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用

对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算.

〖例1〗计算 （1）

(lg2)?lg2?lg50?lg25lg5?lg8000?(lg2lg600?12lg0.036?22；（2）

(log32?log92)?(log43?log83)；

3)212lg0.1（3）解：（1）原式

2?(lg2)?(1?lg5)lg2?lg5?(lg2?lg5?1)lg2?2lg5

?(1?1)lg2?2lg5?2(lg2?lg5)?2；

?(lg2lg3?lg2lg9)?(lg3lg4?lg3lg8)?(lg2lg3?lg22lg3)?(lg32lg2?)3lg2 lg3（2）原式

? （3）分子=

3lg25lg35??2lg36lg24；

2lg5(3?3lg2)?3(lg2)?3lg5?3lg2(lg5?lg2)?3；

(lg6?2)?lg361000?110?lg6?2?lg6100?4分母=

3?原式=4。

；

二、比较大小 1、相关链接

1

（1）比较同底的两个对数值的大小，可利用对数函数的单调性来完成。 ①a>1,f(x)>0.g(x)>0,则logaf(x)>logag(x)?f(x)>g(x)>0; ②00,g(x)>0,则logaf(x)>logag(x) ?0b>1，如图1.

当f(x)>1时，logbf(x)>logaf(x); 当0 logbf(x).

②若1>a>b>0,如图2。

当f(x)>1时，logbf(x)> logaf(x); 当1>f(x)>0时，logaf(x)> logbf(x). ③若a>1>b>0。

当f(x)>1时，则logaf(x)> logbf(x); 当0

①作差（商）法；②利用函数的单调性；③特殊值法（特别是1和0为中间值） 2、例题解析

〖例〗对于0?a?1，给出下列四个不等式： ①loga(1?a)?loga(a?);

a1②loga(1?a)?loga(1?)；

a1?a1?1a1③a④a?a?a;

;其中成立的是（ ）

1?a1?1a（）①与③（）①与④（）②与③（）②与④

分析：从题设可知，该题主要考查y?logax与y?a两个函数的单调性，故可先考虑函数的单调性，再比较大小。

x 2

解答：选。∵0

1a,1+a<1+

1a,∴loga(1?a)?loga(1?),aa11?a?a1?1a;即②④正确。

注：（1）画对数函数图象的几个关键点

共有三个关键点：

（2）解决与对数函数有关的问题时需注意两点 ①务必先研究函数的定义域； ②注意对数底数的取值范围。 （3）比较对数式的大小

①当底数相同时，可直接利用对数函数的单调性比较；

②当底数不同，真数相同时，可转化为同底（利用换底公式）或利用函数的图象，数形结合解决； ③当不同底，不同真数时，则可利用中间量进行比较。 三、对数函数图象与性质 1、相关链接

（1）对数函数的性质是每年高考必考内容之一，其中单调性和对数函数的定义域是热点问题。其单调性取决于底数与“1”的大小关系。

（2）利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”。即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决。 （3）与对数函数有关的复合函数的单调性的求解步骤 ①确定定义域；

②弄清函数是由哪些基本初等函数复合而成的，将复合函数分解成基本初等函数y=f(u),u=g(x) ③分别确定这两个函数的单调区间；

④若这两个函数同增或同减，则y=f(g(x))为增函数，若一增一减，则y=f(g(x))为减函数，即“同增异减”。 2、例题解析

〖例1〗已知f(x)=loga(ax-1)(a>0,a≠1)

(1)求f(x)的定义域；

(2)讨论函数f(x)的单调性.

思路解析：(1)本题求f(x)的定义域，但由于在条件中已知函数的解析式，所以，在求解方法上，可以考虑函数的真数大于零，解不等式.(2)本题求f(x)的单调性，但由于在条件中已知函数为复合函数，所以在解题方法上，可用复合函数求其单调性.

解析：(1)使f(x)=loga(ax-1)有意义，则ax-1>0，即ax>1， 当a>1时，x>0；当0

∴当a>1时，函数的定义域为 {x|x>0}； 当0

3

(2)当a>1时，设0

∴logx12a(a?1)?logxa(a?1)，

∴f(x1)

∴当a>1时，函数f(x)在(0,+∞)上为增函数； 当0

∴ ax1?1?ax2?1?0，

∴logx1a(a?1)?log2a(ax?1)∴f(x1)

∴当0＜a＜1时，函数f(x)在(-∞,0)上为增函数； 综上可知：函数f(x)=loga(ax-1)在其定义域上为增函数.

方法提示：利用复合函数（只限由两个函数复合而成的）判断函数单调性的方法 （1） 找出已知函数是由哪两个函数复合而成的； （2） 当外函数为对数函数时，找出内函数的定义域； （3） 分别求出两函数的单调区间；

（4） 按照“同增异减”确定函数的单调区间；

（5） 研究函数的单调区间一定要在函数的定义域上进行。 2〖例2〗设函数

f?x???1?x??2ln?1?x?.

(1)求f?x?的单调区间;

x??1(2)若当

??1,e??e?1??时,(其中e?2.718?)不等式f?x??m恒成立,求实数m的取值范围;

f?x??x2(3)试讨论关于x的方程:?x?a在区间?0,2?上的根的个数.

f??1?2x?x?2?解 （1）函数的定义域为

??1,???,?x??2??x?1???x?1???x?1. 1分 由f??x??0得x?0;

2分

由f??x??0得?1?x?0, 3分

则增区间为?0,???,减区间为??1,0?.

4分

f??x??2x?x?2?x?1?0,?1得x?0,由(1)知f?x?在??1,0?(2)令?e??上递减,在?0,e?1?上递增,

6分

4

1?1?12f??1??2?2,e?2??222f?e?1??e?2ee??e由,且,

8分

?x??1??1,e?1?e?22??时,f?x? 的最大值为e?2,故m?e?2时,不等式f?x??m恒成立.

2 9分

(3)方程

f?x??x?x?a,21?x?x?1即x?1?2ln?1?x??a.记g?x??x?1?2ln?1?x?,则

g??x??1?x?1.由g??x??0得x?1;由g??x??0得?1?x?1.

所以g(x)在[0,1]上递减，在[1，2]上递增.

而g(0)=1，g(1)=2-2ln2，g(2)=3-2ln3，∴g(0)＞g(2)＞g(1) 10分 所以，当a＞1时，方程无解； 当3-2ln3＜a≤1时，方程有一个解， 当2-2ln2＜a≤a≤3-2ln3时，方程有两个解； 当a=2-2ln2时，方程有一个解；

当a＜2-2ln2时，方程无解. 13分 字上所述，a?(1,??)?(??,2?2ln2)时，方程无解；

a?(3?2ln3,1]或a=2-2ln2时，方程有唯一解；

时，方程有两个不等的解.

14分

a?(2?2ln2,3?2ln3]注：解决对数函数问题，首先要看函数的定义域，在函数的定义域内再研究函数的单调性，判断时可利用定义，也可利用复合函数单调性的判断。对于恒成立问题注意等价思想的应用。 四、对数函数的综合应用

1?x〖例1〗已知函数f(x)=-x+log(1)求f(

120121?x2.

)+f(-

12012)的值；

(2)当x∈(-a,a］，其中a∈(0,1），a是常数时，函数f(x)是否存在最小值？若存在，求出f(x)的最小值；若不存在，请说明理由.

思想解析:(1)本题是求函数值，而解析式中的两个变量互为相反数，所以，在解题方法上，应考虑函数的奇偶性；(2)本题探求f(x)的最值是否存在，由于已知函数的解析式，在解题方法上应考虑函数的单调性.

1?x1?x解答: (1)由f(x)=-x+log1?x2有意义得：1?x>0，

解得：-1

1?x1?x?x=x-log1=-f(x)， 2又∵f(-x)=x+log

1?x2∴函数f(x)为奇函数，即f(-x)+f(x)=0，

5

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