复变函数教学大纲解读

复变函数教学大纲

【课程编码】 JSZB0070

【适用专业】 数学与应用数学、信息与计算科学 【课 时】 54学时 【学 分】 3学分 【课程性质、目标和要求】

复变函数是 数学与应用数学”、“信息与计算机科学”本科专业开设的一门专业必修课，也是数学分析课程的深入与延续；随着科学技术的不断发展，复变函数在越来越多的领域得到应用，如计算机科学、天文学、物理学、生物学、工程技术学等等。因此，复变函数是基础数学专业和应用数学专业的一门非常重要的、不可缺少的课程。

熟练掌握复变函数的基本理论和基本方法，对解析函数、柯西积分定理、柯西积分公式、解析函数的泰勒展开与罗朗展开、留数理论等有较深入的理解，并能用来解决简单的实际问题。

1、正确理解复数、复平面、复变函数、复球面及无穷远点的概念，熟练掌握复数与复变函数运算、性质及应用；

2、熟练掌握解析函数的等价刻划定理特别是柯西-黎曼条件。掌握初等函数的解析性，以及解析函数的无穷可微性、解析函数零点的孤立性与解析函数的唯一性定理、最大模原理等；

3、正确理解复变函数积分的定义，熟练掌握柯西积分定理及其推广形式、柯西积分公式、解析函数的平均值定理以及它们的各种应用；

4、掌握解析函数的泰勒展式、罗朗展式，并能用它来解决实际问题； 5、正确理解留数的定义及留数定理、辐角原理，会用留数计算实积分。 【教学时间安排】

本课程计 3 学分， 54学时, 学时分配如下：

章次 1 2 3

课程内容 复数与复变函数 解析函数 复变函数的积分 1

课时 10 10 10 备注（教学形式） 讲授8学时，习题课2学时 讲授8学时，习题课2学时 讲授5学时，习题课2学时 4 5 6 解析函数的幂级数表示法 解析函数的洛朗展式与孤立奇点 留数理论及其应用 7 7 10 讲授5学时，习题课2学时 讲授8学时，习题课2学时 讲授8学时，习题课2学时 讲授42学时，习题课12学时 合 计

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【教学内容要点】

第一章 复数与复变函数

一、学习目的要求

1、熟练掌握复数的模与辐角、复数的三种表示、复数的基本性质，掌握复数的乘幂与方根的求法，会用复数表示平面图形，会用复数解决一些简单的几何问题。

2、理解平面点集的几个基本概念，理解区域与约当曲线的概念，了解约当定理，会区分单连通区域与多连通区域。

3、充分理解复变函数、多值函数、反函数等概念，理解复变函数的几何表示，会求简单平面图形的变换象（或原象），理解复变函数的极限，掌握极限的等价刻划定理，理解复变函数的连续性及其等价刻划定理，熟悉有界闭集上连续函数的性质。

4、了解复球面，理解无穷远点与扩充复平面。 二、主要教学内容

1、复数：复数域、复平面、复数的模与辐角、复数的乘幂与方根 、共轭复数、复数在几何上的应用举例

2、复平面上的点集：复平面上的点集的几个基本概念、区域与约当曲线 3、复变函数：复变函数的概念、复变函数的极限与连续性

4、复球面与无穷远点：复球面、扩充复平面上的几个概念 第二章 解析函数 一、学习目的要求

1、理解复变函数的导数的概念，掌握解析函数的定义及其简单性质，熟练掌握解析函数的等价刻划定理特别是柯西-黎曼条件。

2、熟练掌握指数函数的定义与主要性质，掌握三角函数的定义与基本性质，了解双曲函数定义与基本性质。

2

3、掌握幂函数与指数函数的变换性质与单叶性区域，理解并逐步掌握通过限制幅角或割破平面的方法求根式函数和对数函数的单值解析分支，了解一般幂函数与一般指数函数，理解并掌握求具有多个支点的多值函数的支点从而使其能分出单值解析分支的方法，会由已知单值解析分支的初值计算终值，了解反三角函数与反双曲函数。

二、主要教学内容

1、解析函数的概念与柯西-黎曼方程：复变函数的导数与微分、解析函数及其简单性质、柯西-黎曼方程

2、初等解析函数：指数函数、三角函数与双曲函数

3、初等多值函数：根式函数、对数函数、一般幂函数与一般指数函数、具有多个有限支点的情形、反三角函数与反双曲函数

第三章 复变函数的积分 一、学习目的要求

1、理解复变函数的积分的定义，掌握复积分的性质与计算方法。

2、掌握柯西积分定理及其等价形式和两种推广形式以及它们的应用，掌握不定积分特别是由变上限积分确定的单值解析函数，会用牛顿-莱布尼兹公式计算复定积分。

3、熟练掌握柯西积分公式与高阶导数公式，掌握解析函数的平均值定理、无穷可微性以及它的第二个等价刻划定理，掌握柯西不等式、刘维尔定理、摩勒拉定理。

4、掌握调和函数与共轭调和函数的概念，理解解析函数与调和函数的关系，掌握由解析函数的实部（或虚部）求虚部（或实部）的两种方法。

二、主要教学内容

1、复积分的概念与简单性质：复变函数的积分的定义、复积分的计算问题、复变函数积分的基本性质

2、柯西积分定理：柯西积分定理、柯西积分定理的古莎证明、不定积分、柯西积分定理推广、柯西积分定理推广到复围线的情形

3、柯西积分公式及其推论：柯西积分公式、解析函数的无穷可微性、柯西不等式、刘维尔定理、摩勒拉定理

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4、解析函数与调和函数的关系：调和函数与共轭调和函数的概念、解析函数与调和函数的关系

第四章 解析函数的幂级数表示法 一、学习目的要求

1、理解复数项级数敛散性的定义，掌握其收敛性的两个刻划定理，掌握复级数的绝对收敛性及绝对收敛复级数的性质，掌握关于复变函数项级数的柯西一致收敛准则与优级数准则，熟悉复连续函数项级数的性质，了解复变函数项级数的内闭一致收敛性，熟练掌握关于解析函数项级数的维尔斯特拉斯定理。

2、掌握阿贝尔定理，充分理解幂级数的敛散性，熟练掌握幂级数收敛半径的求法，掌握幂级数和函数的解析性。

3、掌握泰勒定理，理解幂级数的和函数在收敛圆周上的情况，掌握一些初等函数的泰勒展开式，会用间接法把解析函数展开为幂级数。

4、掌握解析函数零点的概念及具有零点的解析函数的表达式，掌握解析函数零点的孤立性与解析函数的唯一性定理，熟练掌握最大模原理及其推论。

二、主要教学内容

1、复级数的基本性质：复数项级数、一致收敛的复函数项级数、解析函数项级数

2、幂级数：幂级数的敛散性、收敛半径的求法、柯西—阿达马(Hadamard)公式、幂级数和函数的解析性

3、解析函数的泰勒(Taylor)展式：泰勒定理、幂级数的和函数在收敛圆周上的情况、一些初等函数的泰勒展开式

4、解析函数零点的孤立性及唯一性定理：解析函数零点的孤立性、唯一性定理、最大模原理

第五章 解析函数的洛朗(Laurent)展式与孤立奇点 一、学习目的要求

1、了解双边幂级数的敛散性及其和函数的解析性，掌握罗朗定理，理解罗朗级数与泰勒级数的关系，会用间接法把解析函数在孤立奇点邻域内展成罗朗级数。

2、掌握孤立奇点的三种类型及其判别法，掌握席瓦尔兹引理，了解关于本性奇点的维尔斯特拉斯定理和皮卡（大）定理。

4

3、理解解析函数在无穷远点邻域内的性态，掌握无穷远点作为孤立奇点的分类及相应的判别法。

4、掌握整函数的概念及其分类，了解亚纯函数的概念及其与有理函数的关系。 二、主要教学内容

1、解析函数的罗朗展式：双边幂级数、解析函数的罗朗展式、罗朗级数与泰勒级数的关系、解析函数在孤立奇点邻域内的罗朗展式

2、解析函数的孤立奇点：孤立奇点的三种类型、可去奇点、施瓦茨引理、极点、本性奇点、皮卡（Picard）定理

3、解析函数在无穷远点的性质：无穷远点作为孤立奇点的分类及相应的判别法 4、整函数与亚纯函数的概念：整函数、亚纯函数 第六章 留数理论及其应用 一、学习目的要求

1、掌握留数的定义与留数定理，熟练掌握留数的求法，掌握无穷远点的留数的定义及其求法。

2、掌握用留数计算三角函数有理式在一个周期上的积分、有理函数的无穷限广义积分、有理函数与纯虚变量指数函数（或三角函数）乘积的无穷限广义积分的方法，了解积分路径上有奇点的积分的求法。

3、掌握关于解析函数零点与极点个数的定理，掌握辐角原理及其应用，掌握儒歇定理及其应用。

二、主要教学内容

1、留数：留数的定义及留数定理、留数的求法、函数在无穷远点的留数 2、用留数定理计算实积分：用留数定理计算三角函数有理式在一个周期上的积分、用留数定理计算有理函数的无穷限广义积分、用留数定理计算有理函数与纯虚变量指数函数（或三角函数）乘积的无穷限广义积分、用留数定理计算积分路径上有奇点的积分、杂例、用留数定理计算多值函数的积分

3、辐角原理及其应用：对数留数、辐角原理、儒歇（Rouche）定理

【成绩考核方式】

1、成绩评定总则

5

成绩评定总则：平时占20%、期末占80%。 2、平时成绩评定

平时成绩主要以平时作业、课堂考勤、课堂讨论发言等情况综合评定，占总成绩的20%。

3、期末考核评定

期末以笔试、闭卷方式进行，以学生卷面答题情况为依据、教研室组织集体阅卷；占总成绩的80%。

【教材与参考书目】

指定教材：

钟玉泉编：《复变函数论》（第三版），高等教育出版社 参考书目：

1、钟玉泉：《复变函数学习指导书》，高等教育出版社 2、方企勤：《复变函数教程》，北京大学出版社

3、杨战民等：《复变函数与积分变换》，西安电子科技大学出版社 4、龚昇：《简明复分析》，北京大学出版社

5、L. V. 阿尔福斯：《复分析》（张立、张靖译），上海科学技术出版社

【有关说明（教学建议）】

1、复变函数是数学分析的后继课，建议先学习数学分析。

2、建议在学习的过程中与数学分析的相关理论比较，这样既可以复习数学分析，又可以帮助学习复变函数。

3、复变函数论的主要研究对象是解析函数，建议讲授时在这方面多下工夫，并且始终贯彻这条主线。

4、和所有其它数学课一样，学生在学习时要多做练习多思考，重在对知识的应用。

（ 编制：高丽 / 审核：赵华新）

6

成绩评定总则：平时占20%、期末占80%。 2、平时成绩评定

平时成绩主要以平时作业、课堂考勤、课堂讨论发言等情况综合评定，占总成绩的20%。

3、期末考核评定

期末以笔试、闭卷方式进行，以学生卷面答题情况为依据、教研室组织集体阅卷；占总成绩的80%。

【教材与参考书目】

指定教材：

钟玉泉编：《复变函数论》（第三版），高等教育出版社 参考书目：

1、钟玉泉：《复变函数学习指导书》，高等教育出版社 2、方企勤：《复变函数教程》，北京大学出版社

3、杨战民等：《复变函数与积分变换》，西安电子科技大学出版社 4、龚昇：《简明复分析》，北京大学出版社

5、L. V. 阿尔福斯：《复分析》（张立、张靖译），上海科学技术出版社

【有关说明（教学建议）】

1、复变函数是数学分析的后继课，建议先学习数学分析。

2、建议在学习的过程中与数学分析的相关理论比较，这样既可以复习数学分析，又可以帮助学习复变函数。

3、复变函数论的主要研究对象是解析函数，建议讲授时在这方面多下工夫，并且始终贯彻这条主线。

4、和所有其它数学课一样，学生在学习时要多做练习多思考，重在对知识的应用。

（ 编制：高丽 / 审核：赵华新）

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/pqyf.html