材料力学笔记（第二章）

材料力学（土）笔记

第二章 轴向拉伸和压缩

1．轴向拉伸和压缩的概念

拉（压）杆：作用于等直杆上的外力（或外力的合力）的作用线与杆件轴线重合 变形特征是杆将发生纵向伸长或缩短

2．内力法·截面法·轴力及轴力图 2.1 内力

内力：由外力作用引起的、物体内相邻部分之间分布内力系的合成

在物体内部相邻部分之间的相互作用的内力，实际上是一个连续分布的内力系 分布内力系的合成（力或力偶），简称内力

2.2 截面法·轴力及轴力图

轴力：杆件任意横截面上的内力，其作用线与杆的轴线重合，即垂直于横截面并其通过形心 规定用记号FN表示

用截面法，内力FN的数值由平衡条件求解，已知一端外力为F 由平衡方程

?Fx?0，FN?F?0

得

FN?F

规定引起纵向伸长变形的轴力为正，称为拉力 规定引起纵向缩短变形的轴力为负，称为压力 截面法包含以下三个步骤

①截开：在需求内力的截面处，假想地将杆分为两部分

②代替：将两部分上的任意一部分留下，吧弃去部分的作用代之以作用在截开面上的内力 ③平衡：对留下的部分建立平衡方程，根据已知外力来计算在截开面上的未知力 截开面上的内力对留下部分而言已属外力

静力学中的力（或力偶）的可移性原理，在截面法求内力的过程中是有限制的 将杆上的荷载用一个静力等效的相当力来替代，也是有所限制的 轴力图：用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置，用垂直于杆轴线的坐标表示横截面上轴力的数值，从而绘成表示周丽与截面位置关系的图线。正值的轴力滑上侧，负值画下侧

3．应力·拉（压）杆内的应力 3.1 应力的概念

应力：受力杆件某一横截面上分部内力在一点处的集度 考察M处的应力，在M点周围取一微小的面积?A 设?A面积上分布内力的合力为?F 在面积?A上内力?F的平均集度为

pm?pm称为面积?A上的平均应力

?F ?A为表明分布内力在M点处的集度，令微小面积?A无限缩小趋于零，则其极限值

p?lim?FdF ??A?0?AdA即为M点处的内力集度，称为截面m-m上M点处的总应力

?F是矢量，总应力p也是矢量，其方向一般既不与截面垂直，也不与截面相切 通常将总应力p分解为与截面垂直的法向分量?和与截面相切的切向分量? 法向分量?称为正应力

切向分量?称为切应力 应力具有如下特征：

①应力定义在受力物体的某一截面上的某一点处 讨论应力必须明确是在哪一个截面上哪一点处 ②在某一截面上一点处的应力是矢量

对于应力分量，通常规定离开截面的正应力为正，反之为负 ③应力的量纲为ML?1T?2,应力单位为Pa

1 Pa=1N/㎡，工程中常采用MPa，1 MPa=106Pa

④整个截面上各点处的应力与微面积dA之乘积的合成，即为该截面上的内力

3.2 拉压杆横截面上的应力

与轴力相应的只可能是垂直于截面的正应力 考察杆件受力后表面上的变形情况，由表及里地作出杆件内部变形情况的几何假设，再根据力与变形间的物理关系，得到应力在截面上的变化规律，然后再通过应力与dA之乘积的合成即为内力的静力学关系，得到与内力表示的应力计算公式 平面假设：假设原为平面的横截面在杆变形后仍为平面 根据平面假设，拉杆变形后两横截面将沿杆轴线作相对平移 拉杆在其任意两个横截面之间纵向线段的伸长变形是均匀的

假设材料是均匀的，杆的分布内力集度由于杆纵向线段的变形相对应 因而拉杆横截面上的正应力?呈均匀分布，即各点处的正应力相等 按应力与内力间的静力学关系

FN???dA???dA??A

AA即得拉杆横截面上正应力?的计算公式

??式中，FN为轴力，A为杆的横截面面积

FN A对于轴向压缩的杆，上式同样适用

这一结论实际上只在杆上离外力作用点稍远的部分才正确 圣维南原理：力作用于杆端的方式的不同，只会使与杆端距离不大于杆的横向尺寸的范围内受到影响

当等直杆受几个轴向外力作用时，由轴力图可求得其最大轴力FN,max 代入公式即得杆内得最大正应力为

?max?FN,maxA

最大轴力所在的横截面称为危险截面 危险截面上正应力称为最大工作应力

3.3 拉(压)杆斜截面上的应力

与横截面成?角的任意斜截面k-k上的应力

用一平面沿着斜截面k-k将杆截分为二，并研究左段杆的平衡 得斜截面k-k上的内力F?为

F??F

得到斜截面上各点处的总应力p?

p??F? A?

A?是斜截面面积，A?与横截面面积关心为A??A/cos?

代入可得

p??其中?0?Fcos???0cos? AF即拉杆在横截面（??0）上的正应力 A总应力p?是矢量，分解成两个分量：沿截面法线方向的正应力和沿截面切线方向的切应力 分别用??，??表示 两个分量可以表示为

其中角度?以横截面外向法线至斜截面外向法线为逆时针转向时为正，反之为负

①当??0时，????0是??中的最大值，即通过拉杆内某点的横截面上的正应力，是通过该点的所有不同方位截面上正应力中的最大值 ②当??45时，???o???p?cos???0cos2?

????p?sin??0sin2?

2?02是??中的最大值，即与横截面呈45°的斜截面上的切应力，是

拉杆所有不同方位截面上切应力中的最大值

单元体：在拉杆表面任意一点A处用横截面、纵截面及表面平行的面貌截取一各边长均为无穷小的正六面体

应力状态：通过一点的所有不同方位截面上应力的全部情况

单轴应力状态：在研究的拉杆中，一点处的应力状态由其横截面上的正应力?0即可完全确定

4．拉（压）杆的变形·胡克定律

设拉杆原长为l，承受一对轴向拉力F的作用而伸长后，其长度增为l1 则杆的纵向伸长为

?l?l1?l 杆件变形程度可以每单位长度的纵向伸长（?l/l）来表示 线应变：每单位长度的伸长（或缩短），用?表示 拉杆的纵向线应变为

???l l拉杆的纵向伸长?l为正，压杆的纵向缩短?l为负

研究一点处的线应变，可围绕该点取一个很小的正六面体 设所取正六面体沿x轴方向AB边的原长为?x 变形后其长度的改变量为??x

对于非均匀变形比值??x/?x为AB边的平均线应变

当?x无限趋于零时，其极限值称为A点处沿x轴方向的线应变

?x?lim??xd?x ??x?0?xdx

拉杆在纵向变形的同时将有横向变形

设拉杆为圆杆，原始直径为d，受力变形后缩小为d1 则其横向变形为

?d?d1?d

在均匀变形情况下，拉杆的横向线应变为

?'??d d拉杆的横向线应变为负，即与其纵向线应变的正负号相反

拉（压）杆的变形量与其所受力之间的关系与材料性能有关，只能通过实验来获得 当杆内应力不超过材料的某一极限值（比例极限）时

杆的伸长?l与其所受外力F、杆的原长l成正比，与其横截面面积A成反比

?l?引进比例常数E，则

Fl A?l?由于F?FN，上式改写为

Fl EAFNl EA?1?2?l?此关系称为胡克定律，式子中比例常数E称为弹性模量，其量纲为MLTE的数值随材料而异，其值表征材料抵抗弹性变形的能力 EA称为杆的拉伸（压缩）刚度

对于相等且受力相同的拉杆，其拉伸刚度越大拉杆变形越小 将上述公式改写成

，单位为Pa

?l1FN ??lEA可得胡克定律的另一种表达方式

???E

它不仅适用于拉（压）杆，而且还可以更普遍地用于所有的单轴应力状态

称其为单轴应力状态下的胡克定律 对于横向线应变?'，实验结果指出

当拉（压）杆的应力不超过材料的比例极限时，它与纵向线应变?的绝对值之比为一常数 此比值称为横向变形因数或泊松比，通常用?表示，即

???' ??是量纲为一的量，其数值随材料而异，也是通过实验测定的

纵向线应变与横向线应变的正负号恒相反，故有

?'????

??'???

E一点处横向线应变与该点处得纵向正应力成正比，但正负号相反

例题2-5

计算结点A的位移

为计算位移?A，假想地将两杆在A点处拆开，并沿两杆轴线分别增加长度?l1和?l2 分别以B、C为圆心，以两杆伸长后长度BA1，CA2为半径作园，交点A''为A点新位置

3．拉（压）杆内的应变能

应变能：伴随着弹性变形的增减而改变的能量

在弹性体的变形过程中，积蓄在弹性体内的应变能V?在数值上等于外力做功W

V??W

上式称为弹性体的功能原理，应变能V?的单位为J（1 J=1 N·m） 推导拉杆应变能计算公式

在静荷载F的作用下，杆伸长?l

力对该位移所作的功等于F与?l关系图线下的面积

弹性变形范围内F与?l成线性关系，可得F所做的功W为

W?积蓄在杆内的应变能为

1F?l 22FNlEA211F2lV??F?l?FN?l????l

222EA2EA2l由于拉杆各横截面上所有点处的应力均相同

故杆的单位体积内所积蓄的应变能就等于杆的应变能V?除以体积V 应变能密度：单位体积内的应变能，用v?表示

公式表明应变能密度可以视作正应力?在其相应的线应变?上作的功

1F?lV?12v?????? VAl2E?2v???

2E2?2应变能的单位为J/m3

只适用于应力与应变成线性关系的先弹性范围内

能量法：利用应变能的概念可以解决与结构或构件的弹性变形有关的问题 例题2-6

1P?A?V? 2

6．材料在拉伸和压缩时的力学性能 6.1 材料的拉伸和压缩试验

标距：圆截面标准试样的工作段长度l 标准比例l?10d和l?5d

万能试验机：使试样发生变形（伸长或缩短）并测定试样抗力 变形仪：将微小变形放大，测量试样变形

6.2 低碳钢试样的拉伸图及其力学性能 低碳钢是工程上最广泛使用的材料

拉伸图：横坐标表示试样工作段的伸长量?l，纵坐标表示试样承受的荷载F

低碳钢在整个拉伸试验过程中其工作段伸长量与荷载间的关系大致可分为四个阶段 ①弹性阶段：试样变形时完全弹性的，全部卸除载荷后，试样将恢复原长 低碳钢在此阶段内，其伸长量与荷载之间成正比，即胡克定律表达式 ②屈服阶段：试样的伸长量急剧地增加，而荷载读数在很小范围内波动 屈服：试样的荷载在很小的范围内波动，而其变形却不断增大的现象 屈服阶段出现的变形，是不可恢复的塑性变形

滑移线：试样经过抛光，则在试样表面将可看到大约与轴线成45°方向的条纹，是由材料

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