概率论课后习题解答

一、习题详解：

1.1 写出下列随机试验的样本空间：

(1) 某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数; 解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故?1??5,6,7,??； (2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和; 解：?2??2,3,4,?11,12?； (3) 观察某医院一天内前来就诊的人数;

解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以?3??0,1,2,?(4) 从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品; 解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故： ?4???i,j?1?i?j?5?; (5) 检查两件产品是否合格;

解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则?5???0,0?,?0,1?,?1,0?,?1,1??；

(6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2); 解：用x表示最低气温, y 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故： ?6?

?；

??x,y?T?x?

1

y?T2

?；

(7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离; 解：?7??x0?x?2?；

(8) 在长为l的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度. 解：?8???x,y?x?0,y?0,x?y?l?；

1.2 设A，B，C 为三事件, 用A;B;C 的运算关系表示下列各事件： (1) A 与B 都发生, 但C 不发生; ABC；

(2) A 发生, 且B 与C 至少有一个发生;A(B?C)； (3) A,B,C 中至少有一个发生; A?B?C； (4) A,B,C 中恰有一个发生;ABC?ABC?ABC； (5) A,B,C 中至少有两个发生; AB?AC?BC；

(6) A,B,C 中至多有一个发生;AB?AC?BC； (7) A;B;C 中至多有两个发生;ABC； (8) A,B,C 中恰有两个发生.ABC?ABC?ABC ； 注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。

1.3 设样本空间???x0?x?2?, 事件A=?x0.5?x?1?,B??x0.8?x?1.6? 具体写出下列各事件：

(1) AB; (2) A?B ; (3) A?B; (4) A?B （1）AB??x0.8?x?1?； (2) A?B=?x0.5?x?0.8?；

(3) A?B=?x0?x?0.5?0.8?x?2?; (4) A?B=?x0?x?0.5?1.6?x?2?

1.4 用作图法说明下列各命题成立： 略

1.5 用作图法说明下列各命题成立： 略

1.6 按从小到大次序排列P(A),P(A?B),P(AB),P(A)?P(B), 并说明理由.

解：由于AB?A,A?(A?B),故P(AB)?P(A)?P(A?B)，而由加法公式，有：

P(A?B)?P(A)?P(B)

1.7 若W 表示昆虫出现残翅, E 表示有退化性眼睛, 且P(W) = 0.125; P(E) = 0.075, P(WE) = 0.025, 求下列事件的概率： (1) 昆虫出现残翅或退化性眼睛;

(2) 昆虫出现残翅, 但没有退化性眼睛; (3) 昆虫未出现残翅, 也无退化性眼睛.

解：(1) 昆虫出现残翅或退化性眼睛对应事件概率为：

P(W?E)?P(W)?P(E)?P(WE)?0.175

(2) 由于事件W可以分解为互斥事件WE,WE，昆虫出现残翅, 但没有退化性眼睛对应事件 概率为：P(WE)?P(W)?P(WE)?0.1

(3) 昆虫未出现残翅, 也无退化性眼睛的概率为：P(WE)?1?P(W?E)?0.825. 1.8 设A 与B 是两个事件, P(A) = 0.6; P(B) = 0.8。试问： (1) 在什么条件下P(AB) 取到最大值? 最大值是多少? (2) 在什么条件下P(AB) 取到最小值? 最小值是多少?

解：(1) 由于AB?A,AB?B，故P(AB)?P(A),P(AB)?P(B),显然当A?B时P(AB)

取到最大值。 最大值是0.6.

(2) 由于P(AB)?P(A)?P(B)?P(A?B)。显然当P(A?B)?1时P(AB) 取到最小值，最小值是0.4.

1.9 设P(A) = 0.2, P(B) = 0.3, P(C) = 0.5, P(AB) = 0, P(AC) = 0.1, P(BC) = 0.2, 求事件 A,B,C 中至少有一个发生的概率.

解：因为 P(AB) = 0，故 P(ABC) = 0.A,B,C至少有一个发生的概率为：

P(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(BC)?P(AC)?P(ABC)?0.7

1.10 计算下列各题：

(1) 设P(A) = 0.5, P(B) = 0.3, P(A?B) = 0.6, 求P(AB); (2) 设P(A) = 0.8, P(A?B) = 0.4, 求P(AB); (3) 设P(AB) = P(A B); P(A) = 0.3, 求P(B)。 解：

（1）通过作图，可以知道，P(AB)?P(A?B)?P(B)?0.3 （2）P(AB)?1?P(AB)?1?(P(A)?P(A?B))?0.6 (3)由于P(AB)?P(AB)?1?P(A?B)?1?(P(A)?P(B)?P(AB))?1?P(A)?P(B)?P(AB)P(B)?1?P(A)?0.7

1.11 把3个球随机地放入4个杯子中，求有球最多的杯子中球数是1，2，3 概率各为多少？ 解：用Ai表示事件“杯中球的最大个数为i个” i=1,2,3。三只球放入四只杯中，放法有

4?4?4?64种，每种放法等可能。

对事件A1：必须三球放入三杯中，每杯只放一球。放法4×3×2种，故P(A1)?

(选排列：好比3个球在4个位置做排列)。

38

对事件A3：必须三球都放入一杯中。放法有4种。(只需从4个杯中选1个杯子，放入此3个球，选法有4种)，故P(A3)?116。P(A2)?1?38?116?916

1.12 掷一颗匀称的骰子两次, 求前后两次出现的点数之和为3; 4; 5 的概率各是多少?

解：此题为典型的古典概型，掷一颗匀称的骰子两次基本事件总数为36。.出现点数和为“3”对应两个基本事件（1，2），（2，1）。故前后两次出现的点数之和为3的概率为

118。

同理可以求得前后两次出现的点数之和为4，5 的概率各是1.13 在整数0,1,2,?9中任取三个数, 求下列事件的概率： (1) 三个数中最小的一个是5; (2) 三个数中最大的一个是5.

1129,1。

3解：从10个数中任取三个数，共有C10?120种取法，亦即基本事件总数为120。

(1) 若要三个数中最小的一个是5，先要保证取得5，再从大于5的四个数里取两个，取法有

12。 C4?6种，故所求概率为20(2) 若要三个数中最大的一个是5，先要保证取得5，再从小于5的五个数里取两个，取法有C52?10种，故所求概率为

1.14 12只乒乓球中有4 只是白色球, 8 只是黄色球。现从这12 只乒乓球中随机地取出两 只, 求下列事件的概率：

(1) 取到两只黄球; (2) 取到两只白球; (3) 取到一只白球, 一只黄球. 解：分别用A1,A2,A3表示事件：

(1) 取到两只黄球; (2) 取到两只白球; (3) 取到一只白球, 一只黄球.则

P(A1)?C8C2112。

212?2866?1433,P(A2)?C4C2212?666?111,P(A3)?1?P(A1)?P(A2)?1633。

1.15 已知P(A)?0.7,P(B)?0.4，P(AB)?0.5, 求P((A?B)B).

P((A?B)?B)P(B)P((AB)?(BB))P(B)解：P((A?B)B)??

由于P(BB)?0，故P((A?B)B)?

P(AB)P(B)?P(A)?P(AB)P(B)?0.5

1.16 已知P(A)?0.6,P(B)?0.4,P(AB)?0.5。 计算下列二式： (1) P(A?B);（2）P(A?B);

解：（1）P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?1?P(B)P(AB)?1?0.4?0.5?0.8; （2）P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?1?P(B)P(AB)?1?0.4?0.5?0.6; 注意：因为P(AB)?0.5，所以P(AB)?1?P(AB)?0.5。

1.17 一批产品共20 件, 其中有5 件是次品, 其余为正品。现从这20 件产品中不放回地任 意抽取三次, 每次只取一件, 求下列事件的概率：

(1) 在第一、第二次取到正品的条件下, 第三次取到次品; (2) 第三次才取到次品; (3) 第三次取到次品.

解：用Ai表示事件“第i次取到的是正品”（i?1,2,3），则Ai表示事件“第i次取到的是次品”（i?1,2,3）。P(A)?1153?,P(AA)P?(AP)(A1A)212204131421???41938

(1) 事件“在第一、第二次取到正品的条件下, 第三次取到次品”的概率为：

P(A3A1A2)?5。

181520141951835228(2) 事件“第三次才取到次品”的概率为：

P(A1A2A3)?P(A1)P(A2A1)P(A3A1A2)????

（3）事件“第三次取到次品”的概率为：

14此题要注意区分事件（1）、(2）的区别，一个是求条件概率，一个是一般的概率。再例如，

设有两个产品，一个为正品，一个为次品。用Ai表示事件“第i次取到的是正品”（i?1,2）， 则事件“在第一次取到正品的条件下, 第二次取到次品”的概率为：P(A2A1)?1；而事件“第二次才取到次品”的概率为：P(A1A2)?P(A1)P(A2A1)?12。区别是显然的。

1.18 有两批相同的产品, 第一批产品共14 件, 其中有两件为次品, 装在第一个箱中; 第二批有10 件, 其中有一件是次品, 装在第二个箱中。今在第一箱中任意取出两件混入到第二箱中, 然后再从第二箱中任取一件, 求从第二箱中取到的是次品的概率。

解：用Ai(i?0,1,2)表示事件“在第一箱中取出两件产品的次品数i”。用B表示事件“从第二箱中取到的是次品”。则P(A0)?112，

212，

C12C1422?6691,P(A1)?312，

C12?C2C14211?2491,P(A2)?C22C142?191,

P(BA0)?P(BA1)?P(BA2)?根据全概率公式，有：

P(B)?P(A0)P(BA0)?P(A1)P(BA1)?P(A2)P(BA2)?328

1.19 一等小麦种子中混有5%的二等种子和3%的三等种子。已知一、二、三等种子将来长出的穗有50 颗以上麦粒的概率分别为50%, 15% 和10%。假设一、二、三等种子的发芽率相同,求用上述的小麦种子播种后, 这批种子所结的穗有50 颗以上麦粒的概率. 解：设Ai(i?1,2,3)表示事件“所用小麦种子为i等种子”，

。 B表示事件“种子所结的穗有50 颗以上麦粒”

则P(A1)?0.92,P(A2)?0.05,P(A3)?0.03,P(BA1)?0.5，P(BA2)?0.15，P(BA3)?0.1，根据全概率公式，有：

P(B)?P(A1)P(BA1)?P(A2)P(BA2)?P(A3)P(BA3)?0.4705

1.20 设男女两性人口之比为51 : 49, 男性中的5% 是色盲患者, 女性中的2.5% 是色盲患者.今从人群中随机地抽取一人, 恰好是色盲患者, 求此人为男性的概率。 解：用B表示色盲，A表示男性，则A表示女性，由已知条件，显然有：

P(A)?0.51,P(A)?0.49,P(BA)?0.05,P(BA)?0.025,因此：

根据贝叶斯公式，所求概率为：P(AB)?P(AB)P(B)?P(AB)P(AB)?P(AB)?P(A)P(BA)P(A)P(BA)?P(A)P(BA)?102151

1.21 根据以往的临床记录, 知道癌症患者对某种试验呈阳性反应的概率为0.95, 非癌症患者因对这试验呈阳性反应的概率为0.01, 被试验者患有癌症的概率为0.005。若某人对试验呈阳性反应, 求此人患有癌症的概率

解：用B表示对试验呈阳性反应，A表示癌症患者，则A表示非癌症患者，显然有：

P(A)?0.005,P(A)?0.995,P(BA)?0.95,P(BA)?0.01,

因此根据贝叶斯公式，所求概率为：

P(AB)?P(AB)P(B)?P(AB)P(AB)?P(AB)?P(A)P(BA)P(A)P(BA)?P(A)P(BA)?95294

1.22 仓库中有10 箱同一规格的产品, 其中2 箱由甲厂生产, 3 箱由乙厂生产, 5 箱由丙厂生产, 三厂产品的合格率分别为95%; 90% 和96%.

(1) 求该批产品的合格率;

(2) 从该10 箱中任取一箱, 再从这箱中任取一件, 若此件产品为合格品, 问此件产品由甲、 乙、丙三厂生产的概率各是多少? 解：设，B1?{产品为甲厂生产A?{产品为合格品}，则

},B2?{产品为乙厂生产},B3?{产品为丙厂生产},

（1）根据全概率公式，P(A)?P(B1)P(AB1)?P(B2)P(AB2)?P(B3)P(AB3)?0.94，该批产品的合格率为0.94.

（2）根据贝叶斯公式，P(B1A)?同理可以求得P(B2A)?2794P(B1)P(AB1)P(B1)P(AB1)?P(B2)P(AB2)?P(B3)P(AB3)?1994

,P(B3A)?2447，因此，从该10 箱中任取一箱, 再从这箱中任取

192724。 ,,949447一件, 若此件产品为合格品, 此件产品由甲、乙、丙三厂生产的概率分别为：

1.23 甲、乙、丙三人独立地向同一目标各射击一次, 他们击中目标的概率分别为0.7， 0.8 和 0.9，求目标被击中的概率。

解：记A={目标被击中}，则P(A)?1?P(A)?1?(1?0.9)(1?0.8)(1?0.7)?0.994

1.24 在四次独立试验中, 事件A 至少发生一次的概率为0.5904, 求在三次独立试验中, 事件A发生一次的概率.

解：记A4={四次独立试验，事件A 至少发生一次}，A4={四次独立试验，事件A 一次也不发生}。而P(A4)?0.5904，因此P(A4)?1?P(A4)?P(AAAA)?P(A)4?0.4096。所以

P(A)?0.8,P(A1)?1?0.8?0.2

12三次独立试验中, 事件A 发生一次的概率为：C3P(A)(1?P(A))?3?0.2?0.64?0.384。

二、第一章定义、定理、公式、公理小结及补充：

Pm?nm!(m?n)! 从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。 （1） 排列组合公式 Cm?nm!n!(m?n)! 从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。 加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n （2）加法和乘法原理 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。 乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。 （3）一些常见排列 重复排列和非重复排列（有序） 对立事件（至少有一个） 顺序问题 如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。 试验的可能结果称为随机事件。 （4）随机试验和随机事件 在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质： ①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； （5）基本事②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用?来表示。 件、样本空间基本事件的全体，称为试验的样本空间，用?表示。 和事件 一个事件就是由?中的部分点（基本事件?）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，?表示事件，它们是?的子集。 ?为必然事件，?为不可能事件。 不可能事件?的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件Ω的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。 ①关系： 如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：A?B 如果同时有A?B，B?A，则称事件A与事件B等价，或称A等于B。 A、B中至少有一个发生的事件：A?B，或者A+B。 属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A?B，也可表示为A?AB或者AB，它表示A发生而B不发生的事件。 （6）事件的关系与运算 A、B同时发生：A?B，或者AB。A?B??，则表示A与B不可能同时发生，称事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。 ??A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为A。它表示A不发生的事件。互斥未必对立。 ②运算： 结合律：A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C 分配律：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C=(AC)∪(BC) 对偶律： A?B?A?B，A?B?A?B 设?为样本空间，A为事件，对每一个事件A都有一个实数P(A)，若满足下列三个条件： 1° 0≤P(A)≤1， 2° P(Ω) =1 （7）概率的公理化定义 3° 对于两两互不相容的事件A1，A2，?有 ????P?Ai?????i?1???P(A)ii?1 常称为可列（完全）可加性。 则称P(A)为事件A的概率。 1° ????1,?2??n?， （8）古典概型 2° P(?1)?P(?2)??P(?n)?1n。 设任一事件A，它是由?1,?2??m组成的，则有 P(A)=?(?1)?(?2)???(?m)? =P(?1)?P(?2)???P(?m) ?mn?A所包含的基本事件数基本事件总数 若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何概型。对任一事件A， P(A)?L(A)L(?)（9）几何概型 。其中L为几何度量（长度、面积、体积）。 （10）加法公式 （11）减法公式 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 当P(AB)＝0时，P(A+B)=P(A)+P(B) P(A-B)=P(A)-P(AB) 当B?A时，P(A-B)=P(A)-P(B) 当A=Ω时，P(B)=1- P(B) 定义 设A、B是两个事件，且P(A)>0，则称P(AB)P(A)为事件A发生条件下，事（12）条件概率 件B发生的条件概率，记为P(B/A)?P(AB)P(A)条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。 例如P(Ω/B)=1?P(B/A)=1-P(B/A) 乘法公式：P(AB)?P(A)P(B/A) 。 （13）乘法公式 更一般地，对事件A1，A2，?An，若P(A1A2?An-1)>0，则有 P(A1A2?An)?P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)??P(An|A1A2?An?1)。 ①两个事件的独立性 设事件A、B满足P(AB)?P(A)P(B)，则称事件A、B是相互独立的。 若事件A、B相互独立，且P(A)?0，则有 P(AB)P(A)P(B)P(B|A)???P(B)P(A)P(A) 若事件A、B相互独立，则可得到A与B、A与B、A与B也都相互独立。 （14）独立性 必然事件?和不可能事件?与任何事件都相互独立。 ?与任何事件都互斥。 ②多个事件的独立性 设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件， P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A) 并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 那么A、B、C相互独立。 对于n个事件类似。 （15）全概公式 设事件B1,B2,?,Bn满足 1°B1,B2,?,Bn两两互不相容，P(Bi)?0(i?1,2,?,n)， nA?2°则有 ?Bi?1i， P(A)?P(B1)P(A|B1)?P(B2)P(A|B2)???P(Bn)P(A|Bn)。 设事件B1，B2，?，Bn及A满足 1° B1，B2，?，Bn两两互不相容，P(Bi)?0,?Bi??，i=1，2，?，n， 2° P(A)?0，则 （16）贝叶斯公式 P(Bi/A)?P(Bi)P(A/Bi)n，i=1，2，?n。 ?P(Bj?1j)P(A/Bj)此公式即为贝叶斯公式。 （i?1，2，?，n），通常叫先验概率。P(Bi/A)，（i?1，2，?，P(Bi)，n），通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。 我们作了n次试验，且满足 ? 每次试验只有两种可能结果，A发生或A不发生； ? n次试验是重复进行的，即A发生的概率每次均一样； ? 每次试验是独立的，即每次试验A发生与否与其他次试验A发生与否是互不影响的。 这种试验称为伯努利概型，或称为n重伯努利试验。 用p表示每次试验A发生的概率，则A发生的概率为q?1?p，用Pn(k)表示n重伯努利试验中A出现k次的概率， Pn(k)?（17）伯努利概型 Cknpqkn?k，k?0,1,2,?,n。

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