2012年中考数学压轴题分类解析汇编（十专题）专题03 面积问题

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专题3：面积问题

1. （2012广东佛山11分）（1）按语句作图并回答：作线段AC（AC=4），以A为圆心a为半径作圆，再以C为圆心b为半径作圆（a＜4，b＜4，圆A与圆C交于B、D两点），连接AB、BC、CD、DA．

若能作出满足要求的四边形ABCD，则a、b应满足什么条件？ （2）若a=2，b=3，求四边形ABCD的面积． 【答案】解：（1）作图如下：

能作出满足要求的四边形ABCD，则a、b应满足的条件是a+b＞4。 （2）连接BD，交AC于E，

∵⊙A与⊙C交于B、D，∴AC⊥DB，BE=DE。 设CE=x，则AE=4－x， ∵BC= b=3，AB= a=2， ∴

由

勾

股

定

理

得

：

2BE2?32?x2?22?（4?x）

解得：x?21。 82315?21?∴BE?32????。

8?8?1315315∴四边形ABCD的面积是2??AC?BE?4?。 ?282315答：四边形ABCD的面积是。

2【考点】作图（复杂作图），相交两圆的性质，勾股定理。

【分析】（1）根据题意画出图形，只有两圆相交，才能得出四边形，即可得出答案；

（2）连接BD，根据相交两圆的性质得出DB⊥AC，BE=DE，设CE= x，则AE=4－x，

根据勾股定理得出关于x的方程，求出x，根据三角形的面积公式求出即可。

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332. （2012广东广州14分）如图，抛物线y=?x2?x+3与x轴交于A、B两点（点A在

84点B的左侧），与y轴交于点C． （1）求点A、B的坐标；

（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的坐标；

（3）若直线l过点E（4，0），M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式．

3333【答案】解：（1）在y=?x2?x+3中，令y=0，即?x2?x+3=0，解得x1=﹣4，x2=2。

8484 ∵点A在点B的左侧，∴A、B点的坐标为A（﹣4，0）、B（2，0）。

33（2）由y=?x2?x+3得，对称轴为x=﹣1。

8433 在y=?x2?x+3中，令x=0，得y=3。

8411 ∴OC=3，AB=6，S?ACB?AB?OC??6?3?9。

22在Rt△AOC中，AC=OA2+OC2?42+32?5。

118AC?h=9，解得h=。 2518如图1，在坐标平面内作直线平行于AC，且到AC的距离=h=，这样的

5设△ACD中AC边上的高为h，则有

直线有2条，分别是L1和L2，则直线与对称轴x=﹣1的两个交点即为所求的点D。

设L1交y轴于E，过C作CF⊥L1于F，则CF=h=

18， 518CFCF9???5?。 ∴CE?sin?CEFsin?OCA425设直线AC的解析式为y=kx+b，

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将A（﹣4，0），B（0，3）坐标代入，得

?3??4k+b=0?k=，解得??4。

b=3???b=3∴直线AC解析式为y?3x?3。 49个长度单位）而形成2直线L1可以看做直线AC向下平移CE长度单位（

的，

3933x?3??x?。 42423399则D1的纵坐标为???1????。∴D1（﹣4，?）。

4244927同理，直线AC向上平移个长度单位得到L2，可求得D2（﹣1，）。

24927综上所述，D点坐标为：D1（﹣4，?），D2（﹣1，）。

44∴直线L1的解析式为y?（3）如图2，以AB为直径作⊙F，圆心为F．过E点作⊙F的切线，这样的切

线有2条．

连接FM，过M作MN⊥x轴于点N。

∵A（﹣4，0），B（2，0），∴F（﹣1，0），

⊙F半径FM=FB=3。

又FE=5，则在Rt△MEF中，-

43，cos∠MFE=。 55412在Rt△FMN中，MN=MN?sin∠MFE=33?，

5539FN=MN?cos∠MFE=33?。

554412则ON=。∴M点坐标为（，）。

555412直线l过M（，），E（4，0），

55ME=52?32?4，sin∠MFE=

123?4??k+b=?k=?设直线l的解析式为y=k1x+b1，则有?55，解得?4。

???b=3?4k+b=03∴直线l的解析式为y=?x+3。

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3同理，可以求得另一条切线的解析式为y=?x﹣3。

433综上所述，直线l的解析式为y=?x+3或y=?x﹣3。

44【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，勾股定理，直线平行和平移的性质，直线与圆的位置关系，直线与圆相切的性质，圆周角定理，锐角三角函数定义。

【分析】（1）A、B点为抛物线与x轴交点，令y=0，解一元二次方程即可求解。

（2）根据题意求出△ACD中AC边上的高，设为h．在坐标平面内，作AC的平行线，

平行线之间的距离等于h．根据等底等高面积相等的原理，则平行线与坐标轴的交点即为所求的D点．从一次函数的观点来看，这样的平行线可以看做是直线AC向上或向下平移而形成．因此先求出直线AC的解析式，再求出平移距离，即可求得所作平行线的解析式，从而求得D点坐标。这样的平行线有两条。

（3）本问关键是理解“以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个”的含

义．因为过A、B点作x轴的垂线，其与直线l的两个交点均可以与A、B点构成直角三角形，这样已经有符合题意的两个直角三角形；第三个直角三角形从直线与圆的位置关系方面考虑，以AB为直径作圆，当直线与圆相切时，根据圆周角定理，切点与A、B点构成直角三角形．从而问题得解。这样的切线有两条。

3. （2012广东梅州11分）如图，矩形OABC中，A（6，0）、C（0，2

）、D（0，3

），

射线l过点D且与x轴平行，点P、Q分别是l和x轴正半轴上动点，满足∠PQO=60°．

（1）①点B的坐标是 ；②∠CAO= 度；③当点Q与点A重合时，点P的坐标为 ；（直接写出答案）

（2）设OA的中心为N，PQ与线段AC相交于点M，是否存在点P，使△AMN为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的横坐标为m；若不存在，请说明理由．

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（3）设点P的横坐标为x，△OPQ与矩形OABC的重叠部分的面积为S，试求S与x的函数关系式和相应的自变量x的取值范围．

【答案】解：（1）①（6，23）。 ②30。③（3，33）。

（2）存在。m=0或m=3﹣3或m=2。

（3）当0≤x≤3时，

如图1，OI=x，IQ=PI?tan60°=3，OQ=OI+IQ=3+x； 由题意可知直线l∥BC∥OA， 可得

EFPEDC311==??，∴EF=（3+x）， OQPODO3333此时重叠部分是梯形，其面积为：

14343S?S梯形EFQO?（EF?OQ）?OC?（3?x）=x?43 233当3＜x≤5时，如图2，

1S?S梯形EFQO?S?HAQ?S梯形EFQO??AH?AQ2

43331333 ?x?43?x?。?x?3?2=?x2?32232当5＜x≤9时，如图3，

12S?（BE?OA）?OC?3（12?x）23

23 =?x?123。3当x＞9时，如图4，

11183543。 S?OA?AH??6?=22xx综上所述，S与x的函数关系式为：

?43x?43?0?x?3??3??321333x?x??39???x第 5 页 共 38 页

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【考点】矩形的性质，梯形的性质，锐角三角函数，特殊角的三角函数值，相似三角形的判定和性质，解直角三角形。

【分析】（1）①由四边形OABC是矩形，根据矩形的性质，即可求得点B的坐标：

∵四边形OABC是矩形，∴AB=OC，OA=BC，

∵A（6，0）、C（0，23），∴点B的坐标为：（6，23）。 ②由正切函数，即可求得∠CAO的度数： ∵tan?CAO?OC233，∴∠CAO=30°。 ==OA63③由三角函数的性质，即可求得点P的坐标；如图：当点Q与点A重合时，过

点P作PE⊥OA于E，

∵∠PQO=60°，D（0，33），∴PE=33。 ∴AE?PEtan600?3。

∴OE=OA﹣AE=6﹣3=3，∴点P的坐标为（3，33）。 （2）分别从MN=AN，AM=AN与AM=MN去分析求解即可求得答案：

情况①：MN=AN=3，则∠AMN=∠MAN=30°， ∴∠MNO=60°。

∵∠PQO=60°，即∠MQO=60°，∴点N与Q重合。 ∴点P与D重合。∴此时m=0。

情况②，如图AM=AN，作MJ⊥x轴、PI⊥x轴。 MJ=MQ?sin60°=AQ?sin60

0

?（OA?IQ?OI）?sin60??又MJ?3 （3?m）2113AM=AN=， 22233∴（3?m）=，解得：m=3﹣3。

22情况③AM=NM，此时M的横坐标是4.5， 过点P作PK⊥OA于K，过点M作MG⊥OA于G， ∴MG=3。 2第 6 页 共 38 页

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∴QK?PKtan600?333?3，GQ?MGtan600?1。 2∴KG=3﹣0.5=2.5，AG=

1AN=1.5。∴OK=2。∴m=2。 2综上所述，点P的横坐标为m=0或m=3﹣3或m=2。

（3）分别从当0≤x≤3时，当3＜x≤5时，当5＜x≤9时，当x＞9时去分析求解

即可求得答案。

134. （2012广东汕头12分）如图，抛物线y=x2?x?9与x轴交于A、B两点，与y轴

22交于点C，连接BC、AC． （1）求AB和OC的长；

（2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、B不重合），过点E作直线l平行BC，交AC于点D．设AE的长为m，△ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；

（3）在（2）的条件下，连接CE，求△CDE面积的最大值；此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积（结果保留π）．

13【答案】解：（1）在y=x2?x?9中，

22令x=0，得y=－9，∴C（0，﹣9）；

13令y=0，即x2?x?9=0，解得：x1=﹣3，x2=6，∴A（﹣3，0）、B（6，

220）。

∴AB=9，OC=9。

Ss?AE??m??（2）∵ED∥BC，∴△AED∽△ABC，∴?AED??，即： ???。1S?ABC?AB?9???9?92第 7 页 共 38 页

222012年中考数学压轴题分类解析汇编(十专题)

12

m（0＜m＜9）。 21912

（3）∵S△AEC=AE?OC=m，S△AED=s=m，

222∴s=

∴S△EDC=S△AEC﹣S△AED

12919281m+m=﹣（m﹣）+。 2222881∴△CDE的最大面积为，

899此时，AE=m=，BE=AB﹣AE=。

22=﹣

又BC?62+92=313，

9EFBEEF过E作EF⊥BC于F，则Rt△BEF∽Rt△BCO，得：?，即：?2。

OCBC9313∴EF?2713。 262

∴以E点为圆心，与BC相切的圆的面积 S⊙E=π?EF=

729?。 52【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值，勾股定理，直线与圆相切的性质。

【分析】（1）已知抛物线的解析式，当x=0，可确定C点坐标；当y=0时，可确定A、B点的坐标，从而确定AB、OC的长。

（2）直线l∥BC，可得出△AED∽△ABC，它们的面积比等于相似比的平方，由此得到关于s、m的函数关系式；根据题目条件：点E与点A、B不重合，可确定m的取值范围。 （3）①首先用m列出△AEC的面积表达式，△AEC、△AED的面积差即为△CDE的面积，由此可得关于S△CDE关于m的函数关系式，根据函数的性质可得到S△CDE的最大面积以及此时m的值。

②过E做BC的垂线EF，这个垂线段的长即为与BC相切的⊙E的半径，可根据相似

三角形△BEF、△BCO得到的相关比例线段求得该半径的值，由此得解。

5. （2012广东深圳9分）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=－2x＋b (b≥0)的位置随b的不同取值而变化．

(1)已知⊙M的圆心坐标为(4，2)，半径为2．

当b= 时，直线l：y=－2x＋b (b≥0)经过圆心M： 当b= 时，直线l：y=－2x＋b(b≥0)与OM相切：

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(2)若把⊙M换成矩形ABCD，其三个顶点坐标分别为：A(2，0)、B（6，0）、C(6，2). 设直线l扫过矩形ABCD的面积为S，当b由小到大变化时，请求出S与b的函数关系式，

【答案】解：（1）10；10?25。

（2）由A(2，0)、B（6，0）、C(6，2)，根据矩形的性

质，得D（2，2）。

如图，当直线l经过A(2，0)时，b=4；当直线l经过

D（2，2）时，b=6；当直线l经过B（6，0）时，b=12；当直线l经过C(6，2)时，b=14。

当0≤b≤4时，直线l扫过矩形ABCD的面积S为0。

当4＜b≤6时，直线l扫过矩形ABCD的面积S为△EFA的面积（如图1）， 在 y=－2x＋b中，令x=2，得y=－4＋b，则E（2，

－4＋b），

11令y=0，即－2x＋b=0，解得x=b，则F（b，0）。

221∴AF=b?2，AE=－4＋b。

2∴S=

11?11??AF?AE???b?2???－4＋b??b2－2b+4。 22?24?当6＜b≤12时，直线l扫过矩形ABCD的面积S为直角梯形DHGA的面积（如

图2），

11在 y=－2x＋b中，令y=0，得x=b，则G（b，0），

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11令y=2，即－2x＋b=2，解得x=b?1，则H（b?1，2）。

2211∴DH=b?3，AG=b?2。AD=2

2211∴S=??DH+AG??AD???b?5??2?b?5。

22当12＜b≤14时，直线l扫过矩形ABCD的面积S

为五边形DMNBA的面积=矩形ABCD的面积－△CMN的面积（如图2）

11在 y=－2x＋b中，令y=2，即－2x＋b=2，解得x=b?1，则M（b?1，

220），

令x=6，得y=－12＋b，，则N（6，－12＋b）。

1∴MC=7?b，NC=14－b。

2∴S=4?2?11?1?1?MC?NC?8???7?b???14－b???b2+7b?41。 22?2?4当b＞14时，直线l扫过矩形ABCD的面积S为矩形ABCD的面积，面积为

民8。

综上所述。S与b的函数关系式为：

?0?0?b?4???1b2－2b+4?4

?1??b2+7b?41?1214??【考点】直线平移的性质，相似三角形的判定和性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，直线与圆相切的性质，勾股定理，解一元二次方程，矩形的性质。 【分析】（1）①∵直线y=－2x＋b (b≥0)经过圆心M(4，2)， ∴2=－234＋b，解得b=10。

②如图，作点M垂直于直线y=－2x＋b于点P，

过点

P作PH∥x轴，过点M作MH⊥PH，二者交于点H。设直线y=－2x＋b与x，y轴分别交于点A，B。

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MHAO1??。 PHOB21 ∴可设直线MP的解析式为y?x＋b1。

211 由M(4，2)，得2??4＋b1，解得b1?0。∴直线MP的解析式为y?x。

22121 联立y=－2x＋b和y?x，解得x=b, y?b。

55221 ∴P（b, b）。

55 则由△OAB∽△HMP，得

?2??1? 由PM=2，勾股定理得，?b-4?+ ?b-2??4，化简得4b2-20b+80=0。

?5??5? 解得b=10?25。

（2）求出直线l经过点A、B、C、D四点时b的值，从而分0≤b≤4，4＜b≤6，6＜b≤12，12＜b≤14，b＞14五种情况分别讨论即可。

6. （2012广东珠海9分）如图，在等腰梯形ABCD中，ABDC，AB=32，DC=2，高CE=22，对角线AC、BD交于H，平行于线段BD的两条直线MN、RQ同时从点A出发沿AC方向向点C匀速平移，分别交等腰梯形ABCD的边于M、N和R、Q，分别交对角线AC于F、G；当直线RQ到达点C时，两直线同时停止移动．记等腰梯形ABCD被直线MN扫过的图形面积为S1、被直线RQ扫过的图形面积为S2，若直线MN平移的速度为1单位/秒，直线RQ平移的速度为2单位/秒，设两直线移动的时间为x秒． （1）填空：∠AHB= ；AC= ； （2）若S2=3S1，求x；

（3）设S2=mS1，求m的变化范围．

22

【答案】解：（1）90°；4。

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（2）直线移动有两种情况：0＜x＜

①当0＜x＜

33及≤x≤2。 223时，∵MN∥BD，∴△AMN∽△ARQ。 2∵直线MN平移的速度为1单位/秒，直线RQ平移的速度为2单位/秒， ∴△AMN和△ARQ的相似比为1：2。

S?2?∴2????4。∴S2=4S1，与题设S2=3S1矛盾。 S1?1?∴当0＜x＜②当

23时，不存在x使S2=3S1。 23≤x≤2时， 2∵AB∥CD，∴△ABH∽△CDH。 ∴CH：AH=CD：AB=DH：BH=1：3。

1AC=1，AH═BH=4﹣1=3。 41∵CG=4﹣2x，AC⊥BD，∴S△BCD=3431=2

2∴CH=DH=

∵RQ∥BD，∴△CRQ∽△CDB。 ∴S?CRQ又

2?4?2x??2??=82?x。 ????1?21111S梯形ABCD?（AB?CD）?CE?（?32?2）?22?8，S?ABD?AB?CE??32?22?6，

2222∵MN∥BD，∴△AMN∽△ADB。∴

S1S?ABDx2?AF???， ??9?AH?2222

x，S2=8﹣8（2﹣x）。 322622

∵S2=3S1，∴8﹣8（2﹣x）=32x，解得：x1=<（舍去），x2=2。

353∴S1=

∴x的值为2。 （3）由（2）得：当0＜x＜

当

3时，m=4， 23≤x≤2时，∵S2=mS1， 2第 12 页 共 38 页

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8?8?2?x?S3648?12?∴m=2?=?2+?12=?36???+4。

22S1xx?x3?x3∴m是

增大，

∴当x=

22131121的二次函数，当≤x≤2时，即当??时，m随的增大而

22x3xx3时，m最大，最大值为4；当x=2时，m最小，最小值为3。 2∴m的变化范围为：3≤m≤4。

【考点】相似三角形的判定和性质，平移的性质，二次函数的最值，等腰梯形的性质。 【分析】（1）过点C作CK∥BD交AB的延长线于K，

∵CD∥AB，∴四边形DBKC是平行四边形。 ∴BK=CD=2，CK=BD。 ∴AK=AB+BK=32+2=42。 ∵四边形ABCD是等腰梯形，∴BD=AC。 ∴AC=CK。∴AE=EK=

1AK=22=CE。 2∵CE是高，∴∠K=∠KCE=∠ACE=∠CAE=45°。∴∠ACK=90°。

∴∠AHB=∠ACK=90°

2?4。 233（2）直线移动有两种情况：0＜x＜及≤x≤2；然后分别从这两种情况分析

22∴AC=AK?cos45°=42?求解：当 0＜x＜

33时，易得S2=4S1≠3S1；当 ≤x≤2时，根据相似三角形的性质与直角三角形的22面积的求解方法，可求得△BCD与△CRQ的面积，继而可求得S2与S1的值，由S2=3S1，即可求得x的值；

8?8?2?x?S33（3）由（2）可得当0＜x＜ 时，m=4；当≤x≤2时，可得m=2?，

2S122x2321?12?化为关于的二次函数m=?36???+4，利用二次函数的性质求得m的变化范围。

x?x3?2第 13 页 共 38 页

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7. （2012贵州贵阳12分）如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线．

（1）三角形有 条面积等分线，平行四边形有 条面积等分线；

（2）如图①所示，在矩形中剪去一个小正方形，请画出这个图形的一条面积等分线； （3）如图②，四边形ABCD中，AB与CD不平行，AB≠CD，且S△ABC＜S△ACD，过点A画出四边形ABCD的面积等分线，并写出理由．

【答案】解：（1）6；无数。

（2）这个图形的一条面积等分线如图：

连接2个矩形的对角线的交点的直线即把这个图形分成2个相等的部

分．即OO′为这个图形的一条面积等分线。

（3）四边形ABCD的面积等分线如图所示：

理由如下：

过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，连接AE。

∵BE∥AC，∴△ABC和△AEC的公共边AC上的高也相等，∴ S△ABC=S△AEC。 ∴S四边形ABCD?S?ACD?S?ABC?S?ACD?S?AEC?S?AED。 ∵S△ACD＞S△ABC，

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∴面积等分线必与CD相交，取DE中点F，则直线AF即为要求作的四

边形ABCD的面积等分线。

【考点】面积及等积变换，平行线之间的距离，三角形的面积，平行四边形的性质，矩形的性质。

【分析】（1）读懂面积等分线的定义，不难得出：三角形的面积等分线是三角形的中线所在的直线；过两条对角线的交点的直线都可以把平行四边形的面积分成2个相等的部分；从而三角形有3条面积等分线，平行四边形有无数条面积等分线。

（2）由（1）知，矩形的一条对角线所在的直线就是矩形的一条面积等分线； （3）过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，连接AE．根据△ABC和△AEC的公共

边

AC

上的高也相等推知

S△ABC=S△AEC；由“割补法”可以求得

S四边形ABCD?S?ACD?S?ABC?S?ACD?S?AEC?S?AED。

8. （2012贵州铜仁14分）如图，已知：直线y??x?3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=ax+bx+c 经过A、B、C（1，0）三点.

（1）求抛物线的解析式;

（2）若点D的坐标为（－1，0），在直线y??x?3上有一点P，使ΔABO与ΔADP相似，求出点P的坐标；

（3）在（2）的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点E，使ΔADE的面积等于四边形APCE的面积？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由．

2

【答案】解：（1）由题意得，A（3，0），B（0，3），

∵抛物线经过A、B、C三点，

∴把A（3，0），B（0，3），C（1，0）三点分别代入y=ax+bx+c得方程组

2

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2012年中考数学压轴题分类解析汇编(十专题)

?9a?3b?c?0?a?1?? ，解得：?b??4。 ?c?3?a?b?c?0?c?3??∴抛物线的解析式为y=x-4x+3。

（2）由题意可得：△ABO为等腰三角形，如图1所示，

若△ABO∽△AP1D，连接DP1，则

2AOOB， ?ADOP1∴DP1=AD=4。∴P1(-1,4)。

若△ABO∽△ADP2 ，过点P2作P2 M⊥x轴于M，

连接DP2，

∵△ABO为等腰三角形, ∴△ADP2是等腰三角形。

由三线合一可得：DM=AM=2= P2M，即点M与点C重合。∴P2（1，2）。 （3）不存在。理由如下：

如图2设点E (x, y)，则

1S?ADE??AD?|y|?2|y|

2①当P1(－1，4)时， S四边形AP1CE=S三角形ACP1+S三角形ACE

S四边形AP1CE?S?ACP1?S?ACE 11??2?4??2?|y|?4?y22 ∴2y=4+y。 ∴y=4。

∵点E在x轴下方 ∴y=-4。代入得： x-4x+3=-4,即

2x2?4x?7?0

∵△=(－4)－437=＋12<0，∴此方程无解。

∴当P1(－1，4)时，在x轴下方的抛物线上，不存在点E，使ΔADE的面积

等于四边形APCE

的面积。

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2

2012年中考数学压轴题分类解析汇编(十专题)

②当P2（1，2）时， S四边形AP2CE=SDACP2+SDACE=2+y

∴2y=2+y。∴y=2。

∵点E在x轴下方，∴y=-2。代入得：即 x2?4x?5?0 x2-4x+3=-2，∵△=(－4)－435=－4<0，∴此方程无解。

∴当P2（1，2）时，在x轴下方的抛物线上，不存在点E，使ΔADE的面积

等于四边形APCE

的面积。

综上所述，在x轴下方的抛物线上不存在这样的点E，使ΔADE的面积等于

四边形APCE

的面积。

【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的性质，一元二次方程根的判别式。

【分析】（1）求出A（3，0），B（0，3），由A、B、C三点坐标用待定系数法即可求得抛物线的解析式。

（2）根据等腰三角形的判定和性质和相似三角形的性质即可求出点P的坐标。 （3）由（2）的两解分别作出判断。

9. （2012湖南益阳12分）已知：如图1，在面积为3的正方形ABCD中，E、F分别是BC和CD边上的两点，AE⊥BF于点G，且BE=1． （1）求证：△ABE≌△BCF；

（2）求出△ABE和△BCF重叠部分（即△BEG）的面积；

（3）现将△ABE绕点A逆时针方向旋转到△AB′E′（如图2），使点E落在CD边上的点E′处，问△ABE在旋转前后与△BCF重叠部分的面积是否发生了变化？请说明理由．

2

【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABE=∠BCF=90°，AB=BC。∴∠ABF+∠CBF=90°。

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∵AE⊥BF，∴∠ABF+∠BAE=90°。∴∠BAE=∠CBF。

在△ABE和△BCF中，∵∠ABE=∠BCF，AB=BC，∠BAE=∠CBF， ∴△ABE≌△BCF（ASA）。 （2）解：∵正方形面积为3，∴AB=3。

在△BGE与△ABE中，∵∠GBE=∠BAE，∠EGB=∠EBA=90°，∴△BGE∽△ABE。 ∴

S?BGEBE2 =()。 S?ABEAE2

2

2

又∵BE=1，∴AE=AB+BE=3+1=4。 ∴S?BGE=133。 ?S????ABE2428AEBE2（3）解：没有变化。理由如下：

∵AB=3，BE=1，∴tan?BAE?13?3。∴∠BAE=30°。 3∵AB′=AD，∠AB′E′=∠ADE'=90°，AE′= AE′，

∴Rt△ABE≌Rt△AB′E′≌Rt△ADE′，

∴∠DAE′=∠B′AE′=∠BAE=30°。

∴AB′与AE在同一直线上，即BF与AB′的交点是G。 设BF与AE′的交点为H，

则∠BAG=∠HAG=30°，而∠AGB=∠AGH=90°，AG= AG，∴△BAG≌△HAG。 ∴S四边形GHE?B??S?AB?E??S?AGH?S?ABE?S?ABG?S?BGE。 ∴△ABE在旋转前后与△BCF重叠部分的面积没有变化。

【考点】正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，解直角三角形。

【分析】（1）由四边形ABCD是正方形，可得∠ABE=∠BCF=90°，AB=BC，又由AE⊥BF，由同角的余角相等，即可证得∠BAE=∠CBF，然后利用ASA，即可判定：△ABE≌△BCF。

（2）由正方形ABCD的面积等于3，即可求得此正方形的边长，由在△BGE与△ABE

中，∠GBE=∠BAE，∠EGB=∠EBA=90°，可证得△BGE∽△ABE，由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案。

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（3）由正切函数，求得∠BAE=30°，易证得Rt△ABE≌Rt△AB′E′≌Rt△ADE′，

可得AB′与AE在同一直线上，即BF与AB′的交点是G，然后设BF与AE′的交点为H，可证得△BAG≌△HAG，从而证得结论。

10. （2012湖南张家界12分）如图，抛物线y??x2?23x?2与x轴交于C．A两点，3与y轴交于点B，点O关于直线AB的对称点为D，E为线段AB的中点． （1）分别求出点A．点B的坐标； （2）求直线AB的解析式； （3）若反比例函数y?k的图象过点D，求k值； x（4）两动点P、Q同时从点A出发，分别沿AB．AO方向向B．O移动，点P每秒移动1个单位，点Q每秒移动

1个单位，设△POQ的面积为S，移动时间为t，问：S是否存在最大值？2若存在，求出这个最大值，并求出此时的t值；若不存在，请说明理由．

【答案】解：（1）令y=0，即?x2? ∴C（?323x?2?0，解得x1=?，x2=23。

333，0）、A（23，0）。 3令x=0，得y=2。∴B（0，2）。 ∴A（23，0）、B（0，2）。

（2）∵令直线AB经过点B（0，2），∴设AB的解析式为y=k1x+2。

又∵点A（23，0）在直线上，∴0=k123+2，解得k1=?∴直线AB的解析式为y=?3。 33x+2。 3第 19 页 共 38 页

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（3）由A（23，0）、B（0，2）得：OA=23，OB=2，AB=4，∠BAO=30°，

∠DOA=60°。

∵OD与O点关于AB对称，∴OD=OA=23。

∴D点的横坐标为OD2cos60=3，纵坐标为OD2sin60=3。 ∴D（3，3）。 ∵y?0

0

kk过点D，∴3?，即k=33。 x3（4）存在。

∵AP=t，AQ=

11t，P到x轴的距离：AP?sin30°=t，OQ=OA﹣AQ=23﹣221t， 211113132∴S?OPQ?（?23?t）?t??t2?t??（t?23）?。

2228282?t?4 ?1?依题意， ? t?23， 得0＜t≤4。

?2t>0?? ∴当t=23时，S有最大值为

3。 2【考点】二次函数综合题，动点问题，曲线上点的坐标与方程的关系，对称的性质，线段中垂线的性质，含30角的直角三角形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，点到直线的距离，二次函数的最值。

【分析】（1）抛物线的解析式中，令x=0，能确定抛物线与y轴的交点坐标（即B点坐标）；令y=0，能确定抛物线与x轴的交点坐标（即A、C的坐标）。

（2）由（1）的结果，利用待定系数法可求出直线AB的解析式。

（3）欲求出反比例函数的解析式，需要先得到D点的坐标．已知A、B的坐标，易

判断出△OAB是含30角的直角三角形，结合O、D关于直线AB对称，可得出OD的长，结合∠DOA的值，应用三角函数即可得到D点的坐标。

（4）首先用t列出AQ、AP的表达式，从而可得到点P到x轴的距离，以OQ为底、

P到x轴的距离为高，可得到关于S、t的函数关系式，根据函数的性质即可得到S的最大值及此时t的值。

00

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11. （2012江苏宿迁12分）如图，在平面直角坐标系xoy中，已知直线l1:y=l2：y=－x+6相交于点M，直线l2与x轴相较于点N. （1） 求M，N的坐标；

1x与直线2（2） 在矩形ABCD中，已知AB=1，BC=2，边AB在x轴上，矩形ABCD沿x轴自左向右以

每秒1个

单位长度的速度移动.设矩形ABCD与△OMN的重叠部分的面积为S.移动的时间为t（从点B与点O重合时开始计时，到点A与点N重合时计时结束）。直接写出S与自变量t之间的函数关系式（不需要给出解答过程）；

（3） 在（2）的条件下，当t为何值时，S的值最大？并求出最大值.

?1?x=4?y=x【答案】解：（1）解?2得?。∴M的坐标为（4，2）。

y?2???y??x?6 在y=－x+6中令y=0得x=6，∴N的坐标为（6，0）。 （2）S与自变量t之间的函数关系式为：

?12?4t?0?t?1???1t?1?1

24?413??t+?5

1，此时t=1。 4第 21 页 共 38 页

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当1＜t≤4时，S的最大值为

7，此时t=4。 42313493?13?11=??t??+， 当4＜t≤5时，∵S=?t2+t?4244?3?6∴S的最大值为

1113，此时t=。

363。 21 当6＜t≤7时，S随t的增大而减小，最大值不超过。

21311 综上所述，当t=时，S的值最大，最大值为。

36 当5＜t≤6时，S随t的增大而减小，最大值不超过

【考点】一次函数综合题，平移问题，直线上点的坐标与方程的关系，一次函数和二次函数的最值。

【分析】（1）联立两直线方程即可求得M的坐标，在y=－x+6中令y=0即可求得N的坐标。

（2）先求各关键位置，自变量t的情况：

起始位置时，t=0；当点A与点O重合时，如图1，t=1；当点C与点M重合

时，如图2，t=4；当点D与点M重合时，如图3，t=5；当点B与点N重合时，如图4，t=6；结束位置时，点A与点N重合，t=7。

①当0≤t≤1时，矩形ABCD与△OMN的重叠部分的面积为一三角形面积（不

1111含t=0），三角形的底为t，高为t，∴S=?t?t=t2。

2242②当1＜t≤4时，矩形ABCD与△OMN的重叠部分的面积为一梯形面积，梯形

的上底为

111?1111t?1+t?1=t?。 ???t?1?，下底为t，高为1。∴S=??2?222422??③当4＜t≤5时，矩形ABCD与△OMN的重叠部分的面积为两梯形面积的和，

第一个梯形的上底为

1下底为2，高为4??t?1?=5?t；第二个梯形的上底为－t +6，?t?1?，

2下底为2，高为t?4。

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1?1131349?∴S=??t?1?+2???5?t?+??t +6+2???t?4?=?t2+t?。

2?22424?④当5＜t≤6时，矩形ABCD与△OMN的重叠部分的面积为一梯形面积，梯形

的上底为

6－t ，下底为7－t，高为1。∴S=113?6?t+7?t??1=?t+。 22⑤当6＜t≤7时，矩形ABCD与△OMN的重叠部分的面积为一三角形面积（不

1149含t=7），三角形的底为7－t，高为7－t，∴S=??7?t???7?t?=t2?7t+。

222（3）分别讨论各分段函数的最大值而得所求。

1． 12. （2012四川内江12分）如图14，已知点A（－1，0），B（4，0），点C在y轴的正半轴上，且∠ACB=90，抛物线y?ax?bx?c经过A、B、C三点，其顶点为M. (1)求抛物线y?ax?bx?c的解析式；

(2)试判断直线CM与以AB为直径的圆的位置关系，并加以证明；

(3)在抛物线上是否存在点N，使得S?BCN?4?如果存在，那么这样的点有几个？如果不存在，请说明理由。

20

2

【答案】解：（1）Rt△ACB中，OC⊥AB，AO=1，BO=4，

∴△ACO∽△ABO 。∴

COAO2

，∴OC=OA?OB=4。 ?OBCO∴OC=2。∴点C（0，2）。

∵抛物线y?ax?bx?c经过A、B两点，

∴设抛物线的解析式为：y?a?x+1??x?4?，将C点代入上式，得：

22?a?0+1??0?4?，解得a=?1。

2第 23 页 共 38 页

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∴抛物线的解析式：y??113?x+1??x?4?，即y??x2+x+2。 222（2）直线CM与以AB为直径的圆相切。理由如下：

如图，设抛物线的对称轴与x轴的交点为D，连接CD。

由于A、B关于抛物线的对称轴对称，则点D为Rt△ABC斜边AB的中点，CD=

1AB。 21231?3?25由（1）知：y??x+x+2=??x??+，

222?2?82325259），ME= ?2?。

28883而CE=OD=，OC=2，∴ME：CE=OD：OC。

2则点M（， 又∵∠MEC=∠COD=90°，∴△COD∽△CEM。∴∠CME=∠CDO。 ∴∠CME+∠CDM=∠CDO+∠CDM=90°。∠DCM=90°。 ∵CD是⊙D的半径，∴直线CM与以AB为直径的圆相切。 （3）由B（4，0）、C（0，2）得：BC=25，

1145。 BC?h??25?h?4，h?22545过点B作BF⊥BC，且使BF=h=h?，过F作直线l∥BC交x轴于G。

55Rt△BFG中，sin∠BGF=sin∠CBO=，

5455BG=BF÷sin∠BGF=?=4。

55则：S?BCN?∴G（0，0）或（8，0）。 易知直线BC：y=?x+b，

将G点坐标代入，得：b=0或b=4，则： 直线l：y=?11 x+2，则可设直线l：y=? 2211 x或y=?x+4； 22联立抛物线的解析式，得：

11??y?? x y?? x?4 ????22 ?，或?。 ?y??1 x2?3 x?2?y??1 x2?3x?2??2222??第 24 页 共 38 页

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???x?2+22?x?2?22?x?2解得?或?或?。

y?3???y??1?2??y??1+2∴抛物线上存在点N，使得S?BCN?4，这样的点有3个： 。 N（，?1? 2）、N（，?1? 2）、N（3）12?2 222?2 232，【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，直线与的位置关系，平行线的性质。

【分析】（1）Rt△ACB中，OC⊥AB，利用相似三角形能求出OC的长，即可确定C点坐标，再利用待定系数法能求出该抛物线的解析式。

（2）证明CM垂直于过点C的半径即可。

（3）先求出线段BC的长，根据△BCN的面积，可求出BC边上的高，那么做直线l，

且直线l与直线BC的长度正好等于BC边上的高，那么直线l与抛物线的交点即为符合条件的N点。

13. （2012四川广元9分）如图，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上一点，CD与⊙O相切

于点E，AD ⊥CD

（1）求证：AE平分∠DAC； （2）若AB=3，∠ABE=60°，

①求AD的长；②求出图中阴影部分的面积。

【答案】解：（1）证明：连接OE。

∵CD是⊙O的切线，∴OE⊥CD。 ∵AD⊥CD，∴AD∥OE。∴∠DAE=∠AEO。 ∵OA=OE，∴∠EAO=∠AEO。 ∴∠DAE=∠EAO。∴AE平分∠DAC。

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（2）①∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°。

∵∠ABE=60°，∴∠EAO=30°。∴∠DAE=∠EAO=30°。 ∵AB=3

，

∴

在

Rt△ABE

中

，

A?E?A在

32B?，32?c3，

o?2s1?3，

20AE=

3?3?，

BRt△ADE中∵∠DAE=30°

332∴AD?AE?cos30??3339??。 224，

②∵∠EAO=∠AEO=30°

∴?AOE?180???EAO??AEO?1800?300?300?1200。

∵OA=OB，∴S?AOE?S?BOE?∴S阴影?S扇形AOE?S?AOE21 S?ABE。 21?S扇形AOE? S?ABE

2?3?120????? ?2? ?1?1?33?3 ?3??93。 ?3602222416【考点】切线的性质，平行的判定和性质，圆周角定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，三角形内角和定理，扇形面积的计算。

【分析】（1）连接OE，由切线的性质可知，OE⊥CD，再根据AD⊥CD可知AD∥OE，故∠DAE=∠AEO， 再由OA=OE可知∠EAO=∠AEO，故∠DAE=∠EAO，故可得出结论。

（2）①根据∠ABE=60°求出∠EAO的度数，进而得出∠DAE的度数，再根据锐角三角函数的定

义求出AE及BE的长，在Rt△ADE中利用锐角三角函数的定义即可得出AD的长。

②由三角形内角和定理求出∠AOE的度数，再根据OA=OB可知

S?AOE?S?1?BOE S?2求 EAB出△AOE的面积，由S阴影?S扇形AOE?S?AOE即可得出结论。

14. （2012山东菏泽10分）如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A（0，1），B（2，0），O（0，0），将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到△A′B′O． （1）一抛物线经过点A′、B′、B，求该抛物线的解析式；

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（2）设点P是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点P，使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积4倍？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）在（2）的条件下，试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形？并写出四边形PB′A′B的两条性质．

【答案】解：(1) ∵△A′B′O是由△ABO绕原点O逆时针旋转90得到的，

且A（0，1），B（2，0），O（0，0） ∴A?(?1, 0), B?(0, 2)。

设抛物线的解析式为y?ax2?bx?c(a?0)， ∵抛物线经过点A′、B′、B，

0

?0?a?b?c?a??1??∴?2?c，解之得?b?1。 ?0?4a?2b?c?c?2??∴满足条件的抛物线的解析式为y??x2?x?2。 （2）∵P为第一象限内抛物线上的一动点，

设P(x,y)，则x?0, y?0，P点坐标满足y??x2?x?2。 连接PB，PO，PB′。

∴S四边形PB?A?B ?S?B?OA? ?S?PB?O ?S?POB

111??1?2+?2?x+?2?y 222?x?(?x2?x?2)?1??x2?2x?3。

假设四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍，

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则?x2?2x?3?4，即x2?2x?1?0，解之得x?1，此时

y??12?1?2?。2

∴P（1，2）。

∴存在点P（1，2），使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的

4倍。

（3）四边形PB′A′B为等腰梯形。它的性质有：

①等腰梯形同一底上的两个内角相等； ②等腰梯形对角线相等； ③等腰梯形上底与下底平行； ④等腰梯形两腰相等。

答案不唯一，上面性质中的任意2个均可。

【考点】二次函数综合题，旋转的性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，等腰梯形的判定和性质。

【分析】（1）利用旋转的性质得出A′（－1，0），B′（0，2），再利用待定系数法求二次函数解析式即可。

（2）利用S四边形PB′A′B=S△B′OA′+S△PB′O+S△POB，再假设四边形PB′A′B的面积是△A′B′O

面积的4倍，得出一元二次方程，得出P点坐标即可。

（3）利用P点坐标以及B点坐标即可得出四边形PB′A′B为等腰梯形，利用等腰

梯形性质得出答案即可。

15. （2012山东枣庄10分）如图，在平面直角坐标xOy中，一次函数y?kx?b?k?0?的图象与反比例函数y?m?m?0?的图象交于二、四象限内的A、B两点，与x轴交于C点，x点B的坐标为（6，n）．线段OA=5，E为x轴上一点，且sin∠AOE=（1）求该反比例函数和一次函数的解析式； （2）求△AOC的面积．

【答案】解：（1）过点A作AD⊥x轴于D点，如图，

∵sin∠AOE=

∴sin∠AOE=

4． 545，OA=5，

ADAD4??。 OA55第 28 页 共 38 页

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∴AD=4，∴DO=

AO2－AD2?52－42?3。

而点A在第二象限，∴点A的坐标为（－3，4）。

m，得m=－12， x12∴所求的反比例函数的解析式为y??。

x12将B（6，n）代入y??，得n =－2。

x将A（－3，4）代入y?将A（－3，4）和B（6，－2）分别代入y?kx?b，得

2???3k?b?4?k??，解得?3。 ?6k?b??2???b?22∴所求的一次函数的解析式为y??x?2。

322（2）在y??x?2中，令y?0，即?x?2?0，解得x?3。

33∴C点坐标为（0，3），即OC=3， ∴S?AOC?11?AD?OC??4?3?6。 22【考点】反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，锐角三角函数定义，勾股定理。

4，OA=5，根据正弦的定义可求出5mAD，再根据勾股定理得到DO，即得到A点坐标（－3，4），把A（－3，4）代入y?，即

x【分析】（1）过点A作AD⊥x轴于D点，由sin∠AOE=

可确定反比例函数的解析式；将B（6，n）代入，确定点B点坐标，然后把A点和B点坐标代入y?kx?b，即可确定一次函数函数的解析式。

（2）先令y?0，求出C点坐标，得到OC的长，然后根据三角形的面积公式计算

△AOC的面积即可。

16. （2012浙江金华12分）在△ABC中，∠ABC＝45°，tan∠ACB＝．如图，把△ABC的一边BC放置在x轴上，有OB＝14，OC＝

，AC与y轴交于点E．

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2012年中考数学压轴题分类解析汇编(十专题)

(1)求AC所在直线的函数解析式；

(2)过点O作OG⊥AC，垂足为G，求△OEG的面积；

(3)已知点F(10，0)，在△ABC的边上取两点P，Q，是否存在以O，P，Q为顶点的三角形与△OFP全等，且这两个三角形在OP的异侧？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】解：(1) 在Rt△OCE中，OE＝OCtan∠OCE＝103∴点E(0，234。 34??234，

3510设直线AC的函数解析式为y＝kx＋234，有34k?234?0，解

3得：k＝?3。 5∴直线AC的函数解析式为y＝?x?234。 (2) 在Rt△OGE中，tan∠EOG＝tan∠OCE＝

35EG3?， GO5设EG＝3t，OG＝5t，OE=EG2+OG2=34t，∴234=34t，得t＝2。

11∴EG＝6，OG＝10。∴S?OEG＝?OG?EG=?10?6=30/

22(3) 存在。

①当点Q在AC上时，点Q即为点G， 如图1，作∠FOQ的角平分线交CE于点P1， 由△OP1F≌△OP1Q，则有P1F⊥x轴， 由于点P1在直线AC上，当x＝10时， y＝??10?234?234?6 ∴点P1(10，234?6)。

②当点Q在AB上时，如图2，有OQ＝OF，作∠FOQ

的角平分线交CE于点P2，过点Q作QH⊥OB于点H，设OH＝a，

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则BH＝QH＝14－a，

在Rt△OQH中，a＋(14－a)＝100，

解得：a1＝6，a2＝8，∴Q(－6，8)或Q(－8，6)。 连接QF交OP2于点M．

当Q(－6，8)时，则点M(2，4)；当Q(－8，6)时，则点M(1，3)。 设直线OP2的解析式为y＝kx，则2k＝4，k＝2。∴y＝2x。

2

2

?1034y=2x??x=??13解方程组?，得?。 3y=?x?234?y=2034?5??13?∴P2(10342034)； ， 13135341534)。 ， 99当Q(－8，6)时，则点M(1，3)．同理可求P2′(综上所述，满足条件的P点坐标为 (10，234?6)或(103420345341534)或()。 ， ， 131399【考点】一次函数综合题，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，锐角三角函数定义，全等三角形的判定和应用。

【分析】(1)根据三角函数求E点坐标，运用待定系数法求解。

(2)在Rt△OGE中，运用三角函数和勾股定理求EG，OG的长度，再计算面积。 (3)分两种情况讨论求解：①点Q在AC上；②点Q在AB上．求直线OP与直线AC

的交点坐标即可。

17. （2012广西柳州12分）如图，在△ABC中，AB=2，AC=BC=5．

（1）以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系如图，请你分别

写出A、B、C 三点的坐标；

（2）求过A、B、C三点且以C为顶点的抛物线的解析式； （3）若D为抛物线上的一动点，当D点坐标为何值时，S△ABD=

1S△ABC； 2（4）如果将（2）中的抛物线向右平移，且与x轴交于点A′B′，与y轴交于点C′，当平

移多少个单位时，

点C′同时在以A′B′为直径的圆上（解答过程如果有需要时，请参看阅读材料）．

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附：阅读材料

一元二次方程常用的解法有配方法、公式法和因式分解法，对于一些特殊方程可以通过换元

法转化为一元

二次方程求解．如解方程：y－4y＋3=0．

解：令y=x（x≥0），则原方程变为x－4x＋3=0，解得x1=1，x2=3． 当x1=1时，即y=1，∴y1=1，y2=-1． 当x=3，即y=3，∴y3= 3 ，y4=- 3 ．

所以，原方程的解是y1=1，y2=-1，y3= 3 ，y4=- 3 ． 再如x?2?22

2

2

2

2

4

2

x2?2 ，可设y?x2?2 ，用同样的方法也可求解．

【答案】解：（1）∵AB的垂直平分线为y轴，∴OA=OB=

11AB=32=1。 22∴A的坐标是（－1，0），B的坐标是（1，0）。 在Rt△OBC中，OC?2）。

（2）设抛物线的解析式是：y=ax+b，

2

BC?OB?22?5?2∴C的坐标为（0，?12?2，

?a??2?a?b?0根据题意得：? ，解得：? 。

b?2b?2??∴抛物线的解析式是：y??2x?2。 （3）∵S△ABC=

21111AB?OC=3232=2，S△ABD=S△ABC，∴S△ABD=S△ABC=1。 22221设D的纵坐标是m，则AB?|m|=1，∴m=±1。

2当m=1时，－2x+2=1，解得：x=±

2

2。 2第 32 页 共 38 页

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当m=－1时，－2x+2=－1，解得：x=±

2

6。 2∴D的坐标是：（

－1）。

2266，1）或（－，1）或（，－1），或（－，2222（4）设抛物线向右平移c个单位长度，则0＜c≤1，OA′=1－c，OB′=1＋c。

平移以后的抛物线的解析式是：y??2?x?c??2。 令x=0，解得y=－2c+2，即OC′= ＋2c+2。

当点C′同时在以A′B′为直径的圆上时有：OC′=OA′?OB′， 则（－2c＋2）=（1－c）（1＋c），即（4c－3）（c－1）=0。 解得：c=2

2

2

22

2

2

233 ，?（舍去），1，－1（舍去）。 22故平移3 或1个单位长度。 2【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，线段垂直平分线的性质，勾股定理，平移的性质，相似三角形的判定和性质，解多元方程。

【分析】（1）根据y轴是AB的垂直平分线，则可以求得OA，OB的长度，在直角△OAC中，

利用勾股

定理求得OC的长度，则A、B、C的坐标即可求解。

（2）利用待定系数法即可求得二次函数的解析式。 （3）首先求得△ABC的面积，根据S△ABD=求得D的

纵坐标，把D的纵坐标代入二次函数的解析式，即可求得横坐标。

（4）设抛物线向右平移c个单位长度，则0＜c≤1，可以写出平移以后的函数解析式，当点C′

同时在以A′B′为直径的圆上时由相似三角形的性质有：OC′=OA?OB，据此即可得到一个关于c的方程求得c的值。

18. （2012广西桂林12分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝6，D为BC的中点．

(1)若E、F分别是AB、AC上的点，且AE＝CF，求证：△AED≌△CFD；

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2

1 S△ABC，以及三角形的面积公式，即可22012年中考数学压轴题分类解析汇编(十专题)

(2)当点F、E分别从C、A两点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿CA、AB运动，到点A、B

时停止；设△DEF的面积为y，F点运动的时间为x，求y与x的函数关系式；

(3)在(2)的条件下，点F、E分别沿CA、AB的延长线继续运动，求此时y与x的函数关系式．

【答案】解：（1）证明：∵∠BAC ＝90°， AB＝AC＝6，D为BC中点，

∴∠BAD＝∠DAC＝∠B＝∠C＝45° 。∴AD＝BD＝DC=32 。 ∵AE＝CF，∴△AED≌△CFD（SAS）。

（2）依题意有，FC＝AE＝x，AF=6－x

∵△AED≌△CFD， ∴

1S四边形AEDF?S?AED?S?ADF?S?CFD?S?ADF?S?ADC??32?32?9

211∴S?DEF?S四边形AEDF?S?AEF?9?x?6?x??x2?3x+9。

221∴y?x2?3x+9。

2

（3）依题意有：FC＝AE＝x，AF＝BE＝x－6，AD＝DB，∠ABD＝∠DAC＝45°，

∴∠DAF＝∠DBE＝135° 。∴△ADF≌△BDE（SAS）。∴S?ADF?S?BDE。 ∴S?DEF?S?EAF+S?ADB?∴y?11x?x?6?+9?x2?3x+9。 2212x?3x+9。 2【考点】动点问题，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，等积变换。

【分析】（1）由已知推出△ABC是等腰直角三角形后易用SAS证得结果。

（2）由△AED≌△CFD，根据等积变换由S?DEF?S四边形AEDF?S?AEF可得结果。

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（3）由△AED≌△CFD，根据等积变换由S?DEF?S?EAF+S?ADB可得结果。

19. （2012广西玉林、防城港10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，梯形AOBC的边OB在x轴的正半轴上，AC//OB,BC⊥OB,过点A的双曲线y?OC于点D,交边BC于点E.

（1）填空：双曲线的另一支在第 象限，k的取值范围是 ； （2）若点C的坐标为（2,2），当点E 在什么位置时，阴影部分面积S最小？ （3）若

k的一支在第一象限交梯形对角线xOD1?，S△OAC=2 ，求双曲线的解析式. OC2

【答案】解：（1）三，k＞0，

（2）∵梯形AOBC的边OB在x轴的正半轴上，AC∥OB，BC⊥OB，

而点C的坐标标为（2，2），

∴A点的纵坐标为2，E点的横坐标为2，B点坐标为（2，0），

kkkk得x?；把x=2代入y?得y?。 x2x2kk∴A点的坐标为（，2），E点的坐标为（2，）。

22把y=2代入y?∴

1kk1k1112S阴影部分?S?ACE?S?OBE?（?2?）（?2?）??2??k2?k?2?（k?2）?1.5。

22222828当k=2时，S阴影部分最小，最小值为1.5。

此时E点的坐标为（2，1），即E点为BC的中点。 ∴当点E在BC的中点时，阴影部分的面积S最小。 （3）设D点坐标为（a，

∵

k）， aOD12k?，∴OD=DC，即D点为OC的中点。∴C点坐标为（2a，）。 OC2a2k∴A点的纵坐标为。

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k2kaa2k代入y?得x=，∴A点坐标为（，），

x22aa1a2k4又∵S△OAC=2，∴3（2a－）3=2，∴k=。

223a4∴双曲线的解析式为y?。

3x把y=

【考点】反比例函数综合题，反比例函数图象与性质，曲线上点的坐标与方程的关系，梯形的性质，二次函数的最值。

【分析】（1）根据反比例函数图象与性质得到：双曲线y?得到另一支在第三象限。

（2）根据梯形的性质，AC∥x轴，BC⊥x轴，而点C的坐标为（2，2），则A点的纵坐标为2，E点的横坐标为2，B点坐标为（2，0），再分别把y=2或x=2代入y?k 的一支在第一象限，则k＞0，xk可得到Ax点的坐标和E点的坐标，然后计算出阴影部分面积S关于k的二次函数关系式，应用二次函数的最值求法即可求得阴影部分面积S最小时点E 的位置。

OD1k），由?得OD=DC，即D点为OC的中点，从而可得 C

OC2ak2k2ka2k点坐标为（2a，），得到A点的纵坐标为，代入 y?可确定A点坐标为（，），

x2aaa （3）设D点坐标为（a，

根据三角形面积公式由S△OAC=2列式求解即可求出k的值，从而得到双曲线的解析式。 20. （2012内蒙古呼和浩特12分）如图，抛物线y=ax+bx+c（a＜0）与双曲线y=2

k相交x于点A，B，且抛物线经过坐标原点，点A的坐标为（﹣2，2），点B在第四象限内，过点B作直线BC∥x轴，点C为直线BC与抛物线的另一交点，已知直线BC与x轴之间的距离是点B到y轴的距离的4倍，记抛物线顶点为E． （1）求双曲线和抛物线的解析式； （2）计算△ABC与△ABE的面积；

（3）在抛物线上是否存在点D，使△ABD的面积等于△ABE的面积的8倍？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

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【答案】解：（1）∵点A（﹣2，2）在双曲线y=∴k=﹣4。

∴双曲线的解析式为y=?k上， x4。 x∵BC与x轴之间的距离是点B到y轴距离的4倍，

∴设B点坐标为（m，﹣4m）（m＞0）代入双曲线解析式得m=1。 ∴抛物线y=ax+bx+c（a＜0）过点A（﹣2，2）、B（1，﹣4）、O（0，0）。

2

?4a?2b+c=2?a=?1??∴?a+b+c=?2，解得：?b=?3。

?c=0?c=0??∴抛物线的解析式为y??x2?3x。

?3?9（2）∵抛物线的解析式为y???x+?+，

?2?42393∴顶点E（?，，对称轴为x=?。 ）

224∵B（1，﹣4），∴﹣x﹣3x=﹣4，解得：x1=1，x2=﹣4。 ∴C（﹣4，﹣4）。 ∴S△ABC=

2

13536=15， 2由A、B两点坐标为（﹣2，2），（1，﹣4）可求得直线AB的解析式为：y=

﹣2x﹣2。

设抛物线的对称轴与AB交于点F，则F点的坐标为

3（?，1）。

2951515 ?1?。∴S△ABE=S△AEF+S△BEF=333=。

2484415（3）S△ABE=，∴8S△ABE=15。

8∴EF=

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∴当点D与点C重合时，显然满足条件，

当点D与点C不重合时，过点C作AB的平行线CD， 其直线解析式为y=﹣2x﹣12。

令﹣2x﹣12=﹣x﹣3x，解得x1=3，x2=﹣4（舍去）。 当x=3时，y=﹣18，故存在另一点D（3，﹣18）满足条件。 综上所述，可得点D的坐标为（3，﹣18）或（﹣4，﹣4）。

【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，三角形的面积，平行的性质。

【分析】（1）将点A的坐标代入双曲线方程即可得出k的值，设B点坐标为（m，﹣4m）（m＞0），根据双曲线方程可得出m的值，然后分别得出了A、B、O的坐标，利用待定系数法求解二次函数解析式即可。

（2）根据点B的坐标，结合抛物线方程可求出点C的坐标，从而可得出△ABC的面积。先求出AB的解析式，然后求出点F的坐标，及EF的长，从而根据S△ABE=S△AEF+S△BEF可得△ABE的面积。

（3）先确定符合题意的△ABD的面积，从而可得出当点D与点C重合时，满足条件；当点D与点C不重合时，过点C作AB的平行线CD，则可求出其解析式，求出其与抛物线的交点坐标即可得出点D的坐标。

2

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