2010—2011海淀区高三数学(文)期末考试题(带答案)

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海淀区高三年级第一学期期末练习

数 学（文）

答案及评分参考 2011．1

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）

第II卷（非选择题 共110分）

二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 共30分.有两空的题目，第一空3分，第二空2分）

9.2x y 4 0 10. 19 11.(3,0) y2 12x

12. 13. 2 14. 4 3 25

三、解答题(本大题共6小题,共80分)

15．（共13分）

解：（I） f(x) 1sinx cosx sin(x ) ， ............................... 3分 322

f(x)的周期为2 （或答:2k ,k Z,k 0）. ................................4分 因为x R，所以x 3 R,

所以f(x)值域为[ 1,1] . ...............................5分 （II）由（I）可知，f(A) sin(A

3) , ...............................6分

( sinA

3) 3 , ...............................7分 2

0 A ,

33

2 , 得到A . ...............................9分 A 333 A 4 , ..................................8分 3

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a ab , ....................................10分 b,且sinAsinB2

b

, sinB 1 , ....................................11分 sinB 0 B ， B

C A B

16. （共13分）

解：（I）围棋社共有60人， ...................................1分 由 2 . ....................................12分 6 . ....................................13分 60 30 150可知三个社团一共有150人. ...................................3分 12

（II）设初中的两名同学为a1,a2，高中的3名同学为b1,b2,b3, ...................................5分 随机选出2人参加书法展示所有可能的结果:{a1,a2},{a1,b1},{a1,b2},{a1,b3},{a2,b1}, {a2,b2}, a{,3}b,1{b2,2b. ..................................8分 }b1,{b3,b},b{10,个基本事件}2，共

设事件A表示“书法展示的同学中初、高中学生都有”， ..................................9分 则事件A共有{a1,b1},{a1,b2},{a1,b3},{a2,b1},{a2,b2},{a2,b3} 6个基本事件.

...................................11分 P(A) 63 . 105

3. ................................13分 5 故参加书法展示的2人中初、高中学生都有的概率为

17. （共13分）

解：（I） 四边形ABCD为菱形且AC BD O，

O是BD的中点 . ...................................2分 又点F为DC1的中点,

在 DBC1中，OF//BC1, ...................................4分 OF 平面BCC1B1，BC1 平面BCC1B1 ,

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OF//平面BCC1B1 . ...................................6分 （II） 四边形ABCD为菱形,

BD AC, ...................................8分 又BD AA1，AA1 AC A,且AA1,AC 平面ACC1A1 ,.................................10分 BD 平面ACC1A1, ................................11分 BD 平面DBC1 ,

平面DBC1 平面ACC1A1. ................................13分

18. （共13分） 2a32(x3 a3)解：f (x) 2x 2 ，x 0. .........................................2分 xx2

（I）由题意可得f (1) 2(1 a3) 0，解得a 1， ........................................3分

此时f(1) 4，在点(1,f(1))处的切线为y 4，与直线y 1平行.

故所求a值为1. ........................................4分 （II）由f (x) 0可得x a，a 0， ........................................ 5分 ①当0 a 1时，f (x) 0在(1,2]上恒成立 ，

所以y f(x)在[1,2]上递增， .....................................6分 所以f(x)在[1,2]上的最小值为f(1) 2a3 2 . ........................................7分 ②当1 a 2时，

....................................10分

由上表可得y f(x)在[1,2]上的最小值为f(a) 3a2 1 . ......................................11分 ③当a 2时，f (x) 0在[1,2)上恒成立，

所以y f(x)在[1,2]上递减 . ......................................12分

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所以f(x)在[1,2]上的最小值为f(2) a3 5 . .....................................13分 综上讨论，可知：

当0 a 1时， y f(x)在[1,2]上的最小值为f(1) 2a3 2；

当1 a 2时，y f(x)在[1,2]上的最小值为f(a) 3a2 1；

当a 2时，y f(x)在[1,2]上的最小值为f(2) a3 5.

19. （共14分）

解：根据题意，设P(4,t) .

(I)设两切点为C,D，则OC PC,OD PD，

由题意可知|PO|2 |OC|2

|PC|2,即42 t2 22 2 ， ............................................2分 解得t 0，所以点P坐标为(4,0). ...........................................3分 在Rt POC中，易得 POC 60 ，所以 DOC 120 . ............................................4分 所以两切线所夹劣弧长为2π4π. ...........................................5分 2 33

（II）设M(x1,y1),N(x2,y2)，Q(1,0)，

依题意，直线PA经过点A( 2,0),P(4,t)， t可以设AP:y (x 2)， ............................................6分 6

t y (x 2) 22和圆x y 4联立，得到 ， 6

22 x y 4

代入消元得到，(t2 36)x2 4t2x 4t2 144 0 ， ......................................7分 因为直线AP经过点A( 2,0),M(x1,y1)，所以 2,x1是方程的两个根， 4t2 14472 2t2

所以有 2x1 2， x1 2 ， ..................................... 8分 t 36t 36

tt72 2t224t代入直线方程y (x 2)得，y1 (2. ..................................9分 2) 266t 36t 36

t y (x 2) t同理，设BP:y (x 2)，联立方程有 ， 2222

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代入消元得到(4 t2)x2 4t2x 4t2 16 0，

因为直线BP经过点B(2,0),N(x2,y2)，所以2,x2是方程的两个根，

4t2 162t2 8， x2 2 ， 2x2 2t 4t 4

tt2t2 8 8t代入y (x 2)得到y2 (2 . .....................11分 2) 222t 4t 4

2t2 8若x1 1，则t 12，此时x2 2 1 t 42

显然M,Q,N三点在直线x 1上，即直线MN经过定点Q(1,0)............................12分 若x1 1，则t 12，x2 1， 2

所以有kMQ24t 8t2y 08ty2 0 8t................13分 ， 1 k NQx1 172 2t212 t2x2 12t2 8t2 12 1 1t2 36t2 42

所以kMQ kNQ， 所以M,N,Q三点共线，

即直线MN经过定点Q(1,0).

综上所述，直线MN经过定点Q(1,0). .......................................14分

20. （共14分）

解：（Ⅰ）当n 10时，集合A 1,2,3, ,19,20 ，

B x Ax 9 10,11,12, ,19,20 不具有性质P. ...................................1分 因为对任意不大于10的正整数m，

都可以找到集合B中两个元素b1 10与b2 10 m， 使得b1 b2 m成立 . ...................................3分 集合C x Ax 3k 1,k N*具有性质P. ....................................4分 因为可取m 1 10，对于该集合中任意一对元素c1 3k1 1,c2 3k2 1，k1,k2 N* 都有c1 c2 3k1 k2 1 . ............................................6分

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（Ⅱ）若集合S具有性质P，那么集合T (2n 1) xx S 一定具有性质P. ..........7分 首先因为T (2n 1) xx S ，任取t (2n 1) x0 T, 其中x0 S，

因为S A，所以x0 {1,2,3,...,2n}，

从而1 (2n 1) x0 2n，即t A,所以T A ...........................8分 由S具有性质P，可知存在不大于n的正整数m，

使得对S中的任意一对元素s1,s2，都有 s1 s2 m， ..................................9分 对上述取定的不大于n的正整数m， 从集合T (2n 1) xx S 中任取元素t1 2n 1 x1,t2 2n 1 x2，

其中x1,x2 S， 都有t1 t2 x1 x2 ； 因为x1,x2 S，所以有x1 x2 m，即 t1 t2 m 所以集合T (2n 1) xx S 具有性质P． .............................14分

说明：其它正确解法按相应步骤给分.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/pqoe.html