福建省泉州市2012届高三5月质量检查（数学理）WORD

准考证号 姓名

（在此卷上答题无效）

保密★启用前

2012年泉州市普通高中毕业班质量检测

理 科 数 学

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），第Ⅱ卷第21题为选考题，其它题为必考题.本试卷共6页，满分150分.考试时间120分钟. 注意事项：

1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2．考生作答时，将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效.

3．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.

4．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.

5.保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 参考公式：

样本数据x1、x2、?、xn的标准差：

s?1?(x1?x)2?(x2?x)2????xn?x???，其中x为样本平均数； n1Sh，其中S为底面面积，h为高； 34?R3，其中R为球的半径. 3柱体体积公式：V?Sh，其中S为底面面积，h为高； 锥体体积公式：V?2球的表面积、体积公式：S?4?R，V?第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1. 已知复数z??a?1???a?1?i(a?R,i为虚数单位)是纯虚数，则a?

A．-1 B.1 C. ?1 D.0 2. 下列向量中与向量a??1,2?垂直的是

市质检数学（理科）试题 第1页（共14页）

A．b=??1,2? B. c=??2,4? C．d=??3,6? D．e=??6,3? 3. 已知a,l是直线，?是平面，且a??，则“l?a”是“l??”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4. 已知sin??cos??A．

1，则sin2?? 38844 B．? C． D．? 99995.在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，现从中随机取出2个小球，则取出的2个小球标注的数字之和为5的概率是（ ） A．

4311 B． C． D．

10510256. 设等比数列?an?的前n项和为Sn，若a3?3S2?1，a2?3S1?1，则公比q?

A．1 B.2 C．4 D．8

7. 若函数f?x??ax2?bx?c?a,b,c?0?没有零点，则

a?c的取值范围是 bA．?1,??? B．?1,??? C．?2,??? D．?2,???

8. 某公司生产一种产品，每生产需投入成本81万元，每千件的销售收入R?x?（单．．．1．千件．．．．．位：万元）与年产量x（单位：千件）满足关系：R?x???x?324?0?x?10?．该公

2司为了在生产中获得最大利润（年利润=年销售收入－年总成本），则年产量应为 A．5千件 B．63千件 C．9千件 D．10千件 9. 如图1所示，一平面曲边四边形ABCD中，曲边BC是某双曲线的一部分，该双曲线的虚轴所在直线为l，边AD在直线l上，四边形ABCD绕直线l旋转得到一个几何体.若该几何体的三视图及其部分尺寸如图2所示，其中俯视图中小圆的半径为1，则该双曲线的离心率是

A．3 B．4 C．3 D．2

市质检数学（理科）试题 第2页（共14页）

ABl6DC4正视图图1侧视图俯视图

图2

10.设函数y?f?x?的定义域为D，若对于任意x1,x2?D且x1?x2?2a，恒有

f?x1??f?x2??2b，则称点?a,b?为函数y?f?x?图象的对称中心.研究并利用函数f?x??x3?3x2?sin??x?的对称中心，可得

?1?f???2012??

?2?f?????2012???4022?f???2012???4023?f??? 2012??A．4023 B．-4023 C．8046 D．-8046

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．请将答案填在答题卡的相应位置.

a11. 设集合A?3,2，B??a,b?，若A?B??2?，则A?B?________ .

??12. 已知圆x2?y2?2x?0与直线y?k(x?1)（k?R）有公共点，则实数k的取值范围

是_______.

?x?1?13. 已知不等式组?x?y?4所表示的平面区域为?,从?中任取一点P，则点P横坐标大

?y?0?于2的概率为_____.

14. 在某次模拟考试中，某校1000名考生的数学成绩近似服从正态分布N(120,100)，则该

市质检数学（理科）试题 第3页（共14页）

校数学成绩在140分以上的考生人数约为 .（注： 若??N(?,?2)，则） P(??2??????2?)?0.95415. 在回归分析的问题中，我们可以通过对数变换把非线性回归方程y?c1e2cx?c1?0?转化

为线性回归方程，即两边取对数,令z?lny,得到z?c2x?lnc1.受其启发，可求得函数

y?xlog2?4x??x?0?的值域是____ ___. 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分13分)

已知等差数列?an?满足a2?5,且a6?3a1?a4. （Ⅰ）求数列?an?的前n项和Sn；

（Ⅱ）从集合?a1,a2,a3,?,a10?中任取3个不同的元素，其中偶数的个数记为?，求?的分布列和期望. 17．(本小题满分13分)

已

知

函

数

f?x??Asin??x???yR（A?0,??0,???2）的部分图像，

OPQx图所P,Q是这部分图象与x轴的交点（按．示），函数图象上的点R满足：

|RP|?11,|RQ|?33,cos?RPQ?（Ⅰ）求函数f?x?的周期；

311. 11（Ⅱ）若P的横坐标为1，试求函数y?f?x?的解析式，并求f?18.（本小题满分13分）

?4??的值. ?3?如果两个椭圆的离心率相等，那么就称这两个椭圆相似.已知椭圆C与椭圆

1x2y2?:??1相似，且椭圆C的一个短轴端点是抛物线y?x2的焦点.

484（Ⅰ）试求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）设椭圆E的中心在原点，对称轴在坐标轴上，直线l:y?kx?t(k?0,t?0)与

椭圆C交于A,B两点，且与椭圆E交于H,K两点.若线段AB与线段HK的中点

重合，试判断椭圆C与椭圆E是否为相似椭圆？并证明你的判断.

市质检数学（理科）试题 第4页（共14页）

19. （本小题满分13分）

某工厂欲加工一件艺术品，需要用到三棱锥形状的坯材，工人将如图所示的长方体ABCD?EFGH材料切割成三棱锥H?ACF.

（Ⅰ）若点M,N,K分别是棱

EHFGMKCBAGCHNDHA,HC,HF的中点，点G是NK上

的任意一点，求证：MG//平面ACF；

AF（Ⅱ）已知原长方体材料中，AB?2m，AD?3m，

开始 输入t DH?1m，根据艺术品加工需要，工程师必须求出该

三棱锥的高.

(i) 甲工程师先求出AH所在直线与平面ACF所成的角?，再根据公式h?AH?sin?求出三棱锥H?ACF的高.请你根据甲工程师的思路，求该三棱锥的高. ．．．．．．．．．．（ii）乙工程师设计了一个求三棱锥的高度的程序，其框图如图所示，则运行该程序时乙工程师应输入的t的值是多少？（请直接写出t的值，不要求写出演算或推证的过程）.

20．（本小题满分14分） 设函数f?x??lnx?x?ax.

2a?CF b?AC c?AF b2?c2?a2d? 2bc1e?bc1?d2 2h?3t e输出三棱锥H?ACF的高h 结束 （Ⅰ）求函数f?x?的导函数f??x?；

（Ⅱ）若x1、x2为函数f?x?的两个极值点，且x1?x2??增区间；

（Ⅲ）设函数f?x?在点Cx0,f?x0?（x0为非零常数）处的切线为l，若函数f?x?图象上的点都不在直线l的上方，试探求x0的取值范围.

市质检数学（理科）试题 第5页（共14页）

1，试求函数f?x?的单调递2??

21. 本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分.如果

多做，则按所做的前两题记分.作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中.作

（1）（本小题满分7分）选修4—2:矩阵与变换

已知矩阵M???a2??的一个特征值为1.

??13?（Ⅰ）求矩阵M的另一个特征值；

?3?5（Ⅱ）设????，求M?.

?2?（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为??x?2?2cos?（?为参数），在

y?2sin??极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l的方程为?sin(??（Ⅰ）求曲线C在极坐标系中的方程； （Ⅱ）求直线l被曲线C截得的弦长. （3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲

设函数f?x??2x?1?x?1. （Ⅰ）求不等式f?x??0的解集D；

（Ⅱ）若存在实数x?D使3x?2?x?a成立，求实数a的取值范围．

?4)?0.

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理科数学试题参考解答及评分标准

说明：

一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如

果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．

二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的

内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

市质检数学（理科）试题 第6页（共14页）

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．

一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分50分．

1． B 2．D 3．B 4．B 5．C 6． C 7．A 8．C 9 D． 10．D 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分20分.

11．?1,2,3? 12．????433??1?23, 13. 14． 15． ,?????933??2?三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 本小题主要考查等差数列、概率统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查函数与方程思想、必然与或然思想．满分13分． 解析：（Ⅰ）设等差数列的公差为d，由已知得

?a1?2?a1?d?5解得. ……2分 ??d?3??a1?5d?4a1?3d故an?a1?(n?1)d?3n?1，Sn?n(a1?an)321?n?n. ……5分 222（Ⅱ）由（Ⅰ）得an?a1?(n?1)d?3n?1，

∴?a1,a2,a3,?,a10???2,5,8,?,29?有5个奇数，5个偶数. ……6分

?有0,1,2,3共四个取值，

0312130C5C51C5C5C52C5C5C551P(??0)?3?,P(??1)?3?,P(??2)?3?,P(??3)?35?C1012C1012C1012C1012 故?的分布列为：

? P ……10分 则E?=0?0 1 2 3 1 125 125 121 1215513+1?+2??3??. ……13分 12121212217. 本小题主要考查三角函数的图象与性质、两角和与差的三角函数公式以及解三角形等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想．满分13分．

解

析

：（

Ⅰ

）

在

?PRQ中，由余弦定理可得：

市质检数学（理科）试题 第7页（共14页）

??332?PQ?2??11?2?|PQ|?11?2311， 11?PQ2?6|PQ|?16?0，?|PQ|?8或|PQ|??2（舍去）. ……………3分 ?函数y?f?x?的周期为8. ………….5分

（Ⅱ）?T?8，???2???， ……….7分 T4又?函数f?x?过点P(1,0)，?????4， …………9分

?????f?x??Asin?x??.

4??4PHR中，|PR|?11,cos?RPQ?过点R作x轴的垂线，垂足为H，在RT?311，11????|PH|?3，|RH|?2， R4,2， ?Asin?????2， A?2. …..11分

4???????f?x??2sin?x??，

4??4??则f?????6?2?4??????2sincos?2cossin. …….13分 ??2sin????34342?3??34?18. 本题主要考查椭圆的标准方程、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查分类整合思想、数形结合思想、化归转化思想等．满分13分．

x2y22??1的离心率为解析：（Ⅰ）椭圆?:， ……1分 84212抛物线y?x的焦点为(0,1). ……2分

4x2y2设椭圆C的方程为2?2?1(a?b?0)，

ab?c2?e??a2????a?2由题意，得： ?b?1，解得?，

??b?1?a2?b2?c2???x2?y2?1. ……5分 ∴椭圆C的标准方程为 2市质检数学（理科）试题 第8页（共14页）

（Ⅱ）解法一：椭圆C与椭圆E是相似椭圆. ……6分

?x2y2?1??联立椭圆C和直线l的方程，?8，消去y， 4?y?kx?t?得(1?2k2)x2?4ktx?2t2?8?0， ……7分 设A,B的横坐标分别为x1,x2，则x1?x2??4kt. ……8分 21?2kx2y2设椭圆E的方程为2?2?1(m?0,n?0,m?n)， ……9分

mn?x2y2?1??联立方程组?m2n2，消去y，得(n2?m2k2)x2?2ktm2x?m2(t2?n2)?0,

?y?kx?t?2ktm2设H,K的横坐标分别为x3,x4，则x3?x4??2. ……10分

n?m2k2∵弦AB的中点与弦HK的中点重合， ……11分 4kt2ktm2??2∴x1?x2?x3?x4，?， 2221?2kn?mk∵k?0,t?0，∴化简得m?2n， ……12分

22m2?n2n2求得椭圆E的离心率e?，……13分 ??m22n∴椭圆C与椭圆E是相似椭圆.

x2y2解法二：设椭圆E的方程为2?2?1(m?0,n?0,m?n)，

mn并设A(x1,y1),B(x2,y2),H(x3,y3),K(x4,y4). ∵A,B在椭圆C上，

222∴x1?2y12?8且x2?2y2?8，两式相减并恒等变形得k??2x1?x2. ……8分

y1?y2m2x3?x4由H,K在椭圆E上，仿前述方法可得k??2. ……11分

ny3?y4∵弦AB的中点与弦HK的中点重合， ∴m?2n， ……12分

22m2?n2n2求得椭圆E的离心率e?，……13分 ??m22n∴椭圆C与椭圆E是相似椭圆.

市质检数学（理科）试题 第9页（共14页）

19. 本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系和算法初步等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想及应用意识. 满分13分.

解:（Ⅰ）证法一：∵HM?MA,HN?NC,HK?KF，

∴MK//AF,MN//AC.

?MK?平面ACF,AF?平面ACF,

∴MK∥平面ACF，

同理可证MN∥平面ACF, ……3分 ∵MN,MK?平面MNK,且MK?MN?M， ∴平面MNK//平面ACF， ……4分

又MG?平面MNK，故MG//平面ACF.……5分 证法二：连HG并延长交FC于T，连接AT. ∵HN?NC,HK?KF， ∴KN//FC,则HG?GT，

又∵HM?MA，∴MG//AT， ……2分

zHEFyCAxBG?MG?平面ACF,AT?平面ACF，

∴MG//平面ACF. ……5分

（Ⅱ）(i)如图，分别以DA,DC,DH所在直线为

x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系O?xyz.则有A(3,0,0C),(0,2,F0),(，3,H(0,0,1). ……6分 ???????????? AC?(?3,2,0),AF?(0,2,1)，AH?(?3,0,1).

D(O)?设平面ACF的一个法向量n?(x,y,z)，

?????2???n?AC??3x?2y?0?x?y则有?????，解得??3,

???n?AF?2y?z?0?z??2y?令y?3，则n?(2,3,?6), ……8分

?????AH?n12610?∴sin????????, ……9分

35|AH||n|7?10∴三棱锥H?ACF的高为AH?sin??（ii）t?2. ……13分

61012?10?. ……10分 35720. 本题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想．满分14分．

市质检数学（理科）试题 第10页（共14页）

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