2014年高考全国卷I卷（理数）试题及答案详细解析

2014年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学 第Ⅰ卷

一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

21.已知集合A?xx?2x?3?0,B?x?2?x?2，则A?B?（ ）

????A．??2,?1? B．??1,2? C．??1,1? D．?1,2?

1+i??2．2?1-i?3? （ ）

A．1?i B．1?i C．?1?i D．?1?i

3．设函数f?x?,g?x?的定义域都为R，且f?x?是奇函数，g?x?是偶函数，则下列结论中正确的是（ ）

A．f?x?g?x?是偶函数 B．f?x?g?x?是奇函数 C．f?x?g?x?是奇函数 D．f?x?g?x?是奇函数

4．已知F为双曲线C:x?my?3m?m?0?的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距

22离为（ ）

A．3 B．3 C．3m D．3m

5．4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（ ）

1357 B． C． D． 88886．如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终

A．

边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f?x? ，则y?f?x?在?0,??的图像大致为（ ）

POMA

7．执行右面的程序框图，若输入的a,b,k分别为1，2，3，则输出的M?（ ） A．

2071615 B． C． D． 3258

8．设???0,A．3????1?sin???????tan?? 且,则（ ） ,??0,,???cos?22?????2 B．3?????2 C．2?????2 D．2?????2

9.不等式组??x?y?1,的解集记为D,有下面四个命题

x?2y?4?p1:??x,y??D,x?2y??2,p2:??x,y??D,x?2y?2,

p3:??x,y??D,x?2y?3,p4:??x,y??D,x?2y??1,其中的真命题是（ ）

A．p2,p3 B．p1,p2 C． p1,p4 D．p1,p3

10.已知抛物线C:y?8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交

2????????点,若FP?4FQ,则QF?（ ）

A．

75 B．3 C． D．2 223211．已知函数f?x??ax?3x?1，若f?x?存在唯一的零点x0，且x0?0，则a的取值范围是（ ）

A．?2,??? B．?1,??? C． ???,?2? D．???,?1?

12.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为（ ）

A.62 B.6 C. 42 D.4

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两个部分。第（13）题-第（21）题为必考题，每个考生都必须作答。第（22）题-第（24）题为选考题，考生根据要求作答。 二．填空题：本大题共四小题，每小题5分。

13.(x?y)(x?y)8的展开式中x2y7的系数为 .(用数字填写答案) 14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市； 乙说：我没去过C城市； 丙说：我们三人去过同一个城市. 由此可判断乙去过的城市为 .

????1????????????????15.已知A，B，C是圆O上的三点，若AO?(AB?AC)，则AB与AC的夹角为 .

216.已知a,b,c分别为?ABC的三个内角A,B,C的对边，a=2，且

A(2?b)(sinA?sinB)?(c?b)sinC，则?ABC面积的最大值

为 .

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.(本小题满分12分)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an?0，anan?1??Sn?1，其中?为常数.

(Ⅰ)证明：an?2?an??；

（Ⅱ）是否存在?，使得{an}为等差数列？并说明理由.

18. (本小题满分12分)从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：

COB

(Ⅰ)求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s（同一组数据用该区间的中点值作代表）；

（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(?,?2)，其中?近似为样本平均数x，?近似为样本方差s2. (i)利用该正态分布，求P(187.8?Z?212.2)；

（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8,212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX. 附：150≈12.2.

2若Z～N(?,?)，则P(????Z????)=0.6826，P(??2??Z???2?)=0.9544.

2219. (本小题满分12分)如图三棱柱ABC?A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB?B1C. (Ⅰ) 证明：AC?AB1；

（Ⅱ）若AC?AB1，?CBB1?60o，AB=BC，求二面角

A?A1B1?C1的余弦值.

x2y2320. (本小题满分12分) 已知点A（0，-2），椭圆E：2?2?1(a?b?0)的离心率为，

ab2F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为

(Ⅰ)求E的方程；

（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P,Q两点，当?OPQ的面积最大时，求l的方程.

23，O为坐标原点. 3bex?121. (本小题满分12分)设函数f(x)?aelnx?，曲线y?f(x)在点（1，f(1)）处

xx的切线为y?e(x?1)?2. (Ⅰ)求a,b； （Ⅱ）证明：f(x)?1.

请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑。

22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE .(Ⅰ)证明：∠D=∠E；

（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形.

23. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

?x?2?tx2y2??1，直线l：?已知曲线C：（t为参数）. 49y?2?2t?(Ⅰ)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；

（Ⅱ）过曲线C上任一点P作与l夹角为30的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值.

24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 若a?0,b?0，且

33o11??ab. ab(Ⅰ) 求a?b的最小值；

（Ⅱ）是否存在a,b，使得2a?3b?6？并说明理由.

2014年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学答案解析

一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的一项。

21.已知集合A?xx?2x?3?0,B?x?2?x?2，则A?B?（ ）

????A．??2,?1? B．??1,2? C．??1,1? D．?1,2?

2解析：A?xx?2x?3?0?x?x?3??x?1??0?xx??1或x?3，

??????又B??x?2?x?2?，A?B???2,?1?，故选A

?1+i?2．2?1-i?3? （ ）

A．1?i B．1?i C．?1?i D．?1?i

?1+i???1+i??1+i??2i??1+i???1?i，故选D

解析：22?2i?1-i??1-i?3．设函数f?x?,g?x?的定义域都为R，且f?x?是奇函数，g?x?是偶函数，则下列结论中正确的是（ ）

A．f?x?g?x?是偶函数 B．f?x?g?x?是奇函数 C．f?x?g?x?是奇函数 D．f?x?g?x?是奇函数

解析：f?x?是奇函数，g?x?是偶函数，则f?x?g?x?是奇函数，排除A

32f?x?是奇函数，f?x?是偶函数，g?x?是偶函数，则f?x?g?x?是偶函数，排除B f?x?是奇函数，g?x?是偶函数，则f?x?g?x?是奇函数，C正确

f?x?是奇函数，g?x?是偶函数，f?x?g?x?是奇函数，则f?x?g?x?是偶函数，排除

D，故选C

4．已知F为双曲线C:x?my?3m?m?0?的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距

22离为（ ）

A．3 B．3 C．3m D．3m

解析：双曲线的焦点到渐近线的距离为虚半轴长b，故距离3，选A

5．4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加

公益活动的概率为（ ） A．

1357 B． C． D． 8888解析：周六没有同学的方法数为1，周日没有同学的方法数为1，所以周六、周日都有同学

24?27?，故选D 参加公益活动的概率为P?2486．如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终

边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f?x? ，则y?f?x?在?0,??的图像大致为（ ）

POMA

解析：由已知OP?1,PM?sinx,OM?cosx，又以f?x??sinxcosx?11f?x??OP?OMMP，所221sin2x，故选C 27．执行右面的程序框图，若输入的a,b,k分别为1，2，3，则输出的M?（ ） A．

2071615 B． C． D． 3258

33,a?2,b?； 2283815815,a?,b?； 当n?3时，M?,a?,b?；当n?4时，M?32383815此时运算终止，M?，故选D

8解析：当n?2时，M?8．设???0,A．3????1?sin???????tan?? 且,则（ ） ,??0,,???cos??2??2??2 B．3?????2 C．2?????2 D．2?????2

解析: 由tan??1?sin?sin?1?sin???sin?cos??cos??cos?sin? 得

cos?cos?cos?即sin??????cos?,所以sin????????????,由已知???sin????0,,???????0,? ,222?????? ,y?sinx在??,?上单调递增,所以

2?22?所以??2??????2,0??2?????????????2??,2?????2,故选C

9.不等式组??x?y?1,的解集记为D,有下面四个命题

?x?2y?4p1:??x,y??D,x?2y??2,p2:??x,y??D,x?2y?2,

p3:??x,y??D,x?2y?3,p4:??x,y??D,x?2y??1,其中的真命题是（ ）

A．p2,p3 B．p1,p2 C． p1,p4 D．p1,p3 解析:令x?2y?m?x?y??n?x?2y???m?n?x??m?2n?y,所以

4?m???m?n?141?3,解得?,所以x?2y??x?y???x?2y??0,因而可以判断p1,p2?33?m?2n?2?n??1?3?为真,故选B

10.已知抛物线C:y?8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交

2????????点,若FP?4FQ,则QF? （ ）

75 B．3 C． D．2 22????????解析:由已知xP??2x,F?2又FP?4FQ,则

A．

?4?4?xQ?2?,?xQ?1,过Q作QD垂直于l，垂足为D，

所以QF?QD?3，故选B

11．已知函数f?x??ax?3x?1，若f?x?存在唯一的零点x0，且x0?0，则a的取值

32范围是（ ）

A．?2,??? B．?1,??? C． ???,?2? D．???,?1?

2解析：当a?0时， f?x???3x?1有两个零点，不满足条件

当a?0时，f'?x??3ax2?6x?3ax?x?解

得

??2?2??，令f'x?0?3axx???????0， a?a??时

，

x?0或x?2a，当

a?0f?x??ax3?3x2?1在

2???2???,和0,??递增，?????,0?递减，

a???a?4?2?f??=?2?1为极小值，f?0?=1为极大值，

a?a?4?2?=??1?0,即为a??2，当a?0?2a?a?若f?x?存在唯一的零点x0，且x0?0，只需f?时，f?x??ax3?3x2?1在???,0?和??2??2?,???递增，?0,?递减，f?0?=1为极大值，a???a?4?2?f??=?2?1为极小值，不可能有满足条件的极值，故选C

a?a?12.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（ ）

A.62 B.6 C. 42 D.4

解析：几何体为如图所示的一个三棱锥P?ABC，底面ABC为等 腰三角形，AB?BC,AC?4, 顶点B到AC的距离为4，面

PBAPAC?面ABC，且三角形PAC为以A为直角的等腰直角三角形，所以 棱PB最长，长度为6，故选B

第Ⅱ卷

C本卷包括必考题和选考题两个部分。第（13）题-第（21）题为必考题，每个考生都必须作答。第（22）题-第（24）题为选考题，考生根据要求作答。 二．填空题：本大题共四小题，每小题5分。

13.(x?y)(x?y)的展开式中xy的系数为 .(用数字填写答案) 解析：(x?y)(x?y)?x(x?y)?y(x?y)，故展开式中xy的系数为

888228271C8?C82?8?28??20

14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市； 乙说：我没去过C城市； 丙说：我们三人去过同一个城市. 由此可判断乙去过的城市为 .

解析：乙没去过C城市，甲没去过B城市，但去过的城市比乙多，所以甲去过A，C，三人都去过同一个城市，一定是A，所以填A

????1????????????????15.已知A，B，C是圆O上的三点，若AO?(AB?AC)，则AB与AC的夹角为 .

2????1????????A解析：AO?(AB?AC)，如图所示，O为BC中点，即

2?????????BC为圆O的直径，所以AB与AC的夹角为

216.已知a,b,c分别为?ABC的三个内角A,B,C的对边，a=2，

BC且(2?b)(sinA?sinB)?(c?b)sinC，则?ABC面积的最大值为 . 解析：

O(2?b)(sinA?sinB)?(c?b)sinC?(2?b)(a?b)?(c?b)c?2a?b2?c2?bc，因

b2?c2?a21???A? 为a=2，所以2a?b?c?bc?b?c?a?bc?cosA?2bc232222213?ABC面积S?bcsinA?bc，而

24b2?c2?a2?bc?b2?c2?bc?a2?b2?c2?bc?4?bc?4

13S?bcsinA?bc?3 24三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.(本小题满分12分)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an?0，anan?1??Sn?1，其中?为常数.

|PA|?d?2d,所以

sin30?|PA|max??2d?max?2dmax?22525 ;|PA|min??2d?min?2dmin?5524. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 若a?0,b?0，且

3311??ab. ab(Ⅰ) 求a?b的最小值；

（Ⅱ）是否存在a,b，使得2a?3b?6？并说明理由. 解析：(Ⅰ)

11??ab?abab?a?b, ab?a?0,b?0?abab?a?b?2ab?ab?2?ab?2 法一:a?b?2ab?2法二:

2a3?b3??a?b??a2?ab?b2???a?b???a?b??3ab??abab?abab????3333?ab?3?42 ??2?3ab?

??3?abab??ab??3ab?

??3395338444令ab?t，a?b?t?3t,而a?b'?9t?15t=t9t?15，

?????t?2??a3?b3?'?0,所以a3?b3?t9?3t5?42

（Ⅱ）不存在a,b，使得2a?3b?6 因为2a?3b?26ab?43?6,所以不存在

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