2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛D题获奖论文 - 图文

2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛

承 诺 书

我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： D 我们的报名参赛队号为（8位数字组成的编号）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. （隐去论文作者相关信息等） 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： （论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。）

日期： 2014年 月 日 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛

编 号 专 用 页

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储药柜的设计

摘要

面向消费者的药品零售药房，日常运行中需要执行大量的药品存储和分拣工

作，目前自动化药房的研发及逐渐应用提高了药品存储和分拣效率，为医疗工作提供了极大地便利。储药通道即为自动化药房的重要部分，合理的储药槽设计可以减少储药槽的设计成本、合理的利用储存处空间、提高药品的存储率和分拣效率。本文根据问题中所给的数据，利用统计方面的知识联系实际问题，作出了相应的解答和处理。

问题1：首先假设在对储药柜没有任何限制的情况下，对药盒的宽度进行分类，设定储药槽的竖向隔板间距类型，结合实际情况对无限制情况下的模型进行优化处理，为模型（二）的建立奠定了基础。

问题2：为合理的利用储药槽且有效的减少宽度冗余，模型中将储药柜的列数设定为药品种类的因数，使得储药柜中的储药槽无剩余，在尽可能减少宽度冗余的同时，降低了储药柜的加工成本和提高了储药柜的适应能力。

问题3：结合问题2中的结论，对每种竖向隔板间隔类型中的药品高度进行分类，根据平面冗余的计算公式，合理的设定了横向隔板间距类型，使得储药柜的总平面冗余量尽可能小。

问题4：根据附件2中药品的最大日需求量及各药盒长度，首先计算了每一种药品所需要的储药槽个数，并结合问题3中所设计的储药柜的规格，合理的利用了储药柜中的空储药槽，计算了所需储药柜数量。

关键词：储药槽 竖向隔板间隔 横向隔板间隔 平面冗余

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一、问题重述

如题，储药柜的结构类似于书橱，由若干个横向隔板和竖向隔板将储药柜分割成若干个储药槽(如图1所示)。为保证药品分拣的准确率，防止发药错误，一个储药槽内只能摆放同一种药品。药品在储药槽中的排列方式如图2所示。药品从后端放入，从前端取出。一个实际储药柜中药品的摆放情况如图3所示。

图1 储药柜立体示意图

图2 储药柜的侧剖面及药品摆放示意图

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图3 储药槽药品摆放情况

为保证药品在储药槽内顺利出入，要求药盒与两侧竖向隔板之间、与上下两层横向隔板之间应留2mm的间隙，同时还要求药盒在储药槽内推送过程中不会出现并排重叠、侧翻或水平旋转。在忽略横向和竖向隔板厚度的情况下，建立数学模型，我们通过下面几个问题的提出解决方案：

问题1：药房内的盒装药品种类繁多，药盒尺寸规格差异较大，附件1中给出了一些药盒的规格。我们需要利用附件1的数据，给出竖向隔板间距类型最少的储药柜设计方案，包括类型的数量和每种类型所对应的药盒规格。

问题2：药盒与两侧竖向隔板之间的间隙超出2mm的部分可视为宽度冗余。增加竖向隔板的间距类型数量可以有效地减少宽度冗余，但会增加储药柜的加工成本，同时降低了储药槽的适应能力。我们设计时希望总宽度冗余尽可能小，同时也希望间距的类型数量尽可能少。所以我们仍可利用附件1的数据，给出合理的竖向隔板间距类型的数量以及每种类型对应的药品编号。

问题3：考虑补药的便利性，储药柜的宽度不超过2.5m、高度不超过2m，传送装置占用的高度为0.5m，即储药柜的最大允许有效高度为1.5m。药盒与两层横向隔板之间的间隙超出2mm的部分可视为高度冗余，已知平面冗余＝高度冗余×宽度冗余。在问题2计算结果的基础上，我们需要确定储药柜横向隔板间距的类型数量，使得储药柜的总平面冗余量尽可能地小，且横向隔板间距的类型数量也尽可能地少。

问题4：附件2给出了每一种药品编号对应的最大日需求量。在储药槽的长度为1.5m、每天仅集中补药一次的情况下，计算出每一种药品需要的储药槽个数。为保证药房储药满足需求，我们还需要根据问题3中单个储药柜的规格，计算最少需要多少个的储药柜。

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二 、问题分析

由于储药柜是由若干个横向隔板和竖向隔板分割成若干个储药槽而形成的，我们所设计的储药柜应充分考虑药品分拣的准确性，防止发药错误。同时要保证药品在药槽内顺利出入，则必须使药盒与两层竖直隔板之间、与上下两层隔板之间留有2mm的空隙。并保证药盒在药槽内被推送的过程中不会发生并排重叠、侧翻或水平旋转。因此，根据药盒规格的不同，设计出符合各种药盒的储药槽是本题重点。

问题1：根据附件一中各种药品的长、宽、高，我们需设计符合各种所给规格药盒大小的储药槽，并充分分析药盒与两层竖直隔板、与上下两层隔板之间的距离。

问题2：宽度冗余（药盒与两侧竖向隔板之间的间隙超出2mm的部分）是我们考虑的重点，为此合理的设计竖向隔板的间距类型数量，以调节宽度冗余与加工成本及储药槽的适应能力是解决此问题的关键因素。

问题3：根据所给储药柜的限定条件及问题2的计算结果的基础上，重点是在设计中确定储药柜横向隔板的间距类型数量，使得储药柜的总平面冗余量（平面冗余＝高度冗余×宽度冗余）尽可能地小，且横向隔板间距的类型数量也尽可能地少。

问题4：根据附件2中每一种药品编号对应的最大日需求量，在储药槽的长度为1.5m、每天仅集中补药一次的情况下，我们需要计算每一种药品需要的储药槽个数。再依据问题3中单个储药柜的规格，计算最少储药柜个数。

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三 、符号说明

ai bi 竖向隔板间距 药盒宽度 药品总数 竖向隔板间距类型总数 第i种类型的商品个数 空余储药槽的冗余 第i种类型的药品个数与储药柜层数比的余数 n m ni ? ci e ej 储药柜层数 横向隔板间距 药盒的高度 药盒的长度 药品最大日需求量 对应药槽可容纳药品的数量 储药柜最少放置的药品数量 每一药品所需的药槽个数 dj C T V t h

四、模型假设

问题1、2假设：

1、 假设对于储药柜的高度和宽度没有任何限制。 2、 假设每种药品只可占用一个储药槽。 问题3假设：

1、假设储药柜的宽为2500mm,有效高度为1500mm。 2、假设每种药品只可占用一个储药槽。 问题4假设：

在问题3的条件下，假设每种药品可占用多个储药槽。

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五、模型的建立与求解

模型（一）

竖向隔板间距设计

通过对问题1的分析和假设1，我们利用已知附件1给出的数据，建立模型一竖向隔板间距类型最少的储药柜设计模型，对药品类型的数量和每种类型对应的药盒规格做出数据图表，如图4所示：

图4 竖向隔板间距类型和药品数量统计图

图4中横坐标表示竖向相邻隔板之间的距离范围为14mm—60mm，纵坐标表示药品的数量种类，统计附件1中的数据我们可以得到药盒的宽度最小值为10mm,最大值为56mm,根据题目要求和假设1我们对所有带存储药品按照其宽度进行分类，结果如图1所示。由图1可知竖向隔板间距为14mm—17mm、55mm—60mm时，药品种类较少，18mm、32mm—54mm等药品的数量超过了20种以上，19mm—23mm、26mm—31mm等药品的数量种类较多，其平均在50种以上，当竖向隔板间距为24mm时，药品的数量品种最多，达到了227种。对储物柜的宽度和高度没有任何要求时，通过此方法可以确定竖向隔板间距最少的设计方案，但是实际生活中储药柜是有一定宽度和高度的，因此此方案不符合实际要求，所以要对其进行优化改进。 考虑到实际生活中储药柜的高度和宽度有一定的规格要求，为此我们需要对储药柜的储药槽进行优化设计。

设：ai为竖向隔板间距，bi为药盒宽度，n为药品总数，m为竖向隔板间距

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类型总数，ni为第i种类型的药品个数，整理成表格为：

表 1 ：第i 种类型的药品个数对应于竖向隔板间距 a3 a1 a2 竖向隔板间距 …… 第i种类型的药品个数 n1 n2 n3 ai nm …… 设：?为空余储药槽的冗余,ci为ni与e比的余数，储药柜层数为e.则：

ni%e?ci (5-1)

若ci?0，则该列冗余为0.

若ci?0，则剩余的数据移动到下一列，于是下一列的数据总数为：(ci?ni?1).该列的冗余为：

y=(ci?ni?1)/e (5-2)

同上，当i?m时，若cm?0，说明没有余数，即该储药柜的储药槽设计最佳，没有空余储药槽。

当i?m时，若cm?0，说明余数不为0，即0?cm?m，则所剩空格为：

(m?cm).即该储药柜的空储药槽为(m?cm).

针对问题1和实际生活中储药柜高度和宽度受限制时，竖向隔板间距类型和

药品数量的优化后的关系，如图5所示：

图5 竖向隔板间距和药品类型的列数统计图

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图5中横坐标表示优化后竖向隔板间距的距离，分别为17mm—60mm，纵坐标表示不同类型的列数。我们将1919种不同药品的种类进行了数据统计分析，为了使储药槽的竖向隔板间距类型尽可能小。根据题目要求，每种药品只占用一个储药槽，为做出竖向隔板的间距及每种类型药品规格的最优化模型，我们将储药柜划分为19层、101列，此优化模型符合实际生活中储药的规则，因此解决了实际生活中储药柜的宽度和高度问题。

模型（二）

竖向隔板间距类型优化

通过对问题2的分析，药盒与两侧竖向隔板间距之间的间隙超出2mm的部分为宽度冗余，为了使储药柜的总宽度冗余尽可能小，同时减小储药柜的加工成本。为减少剩余储药槽的数量，我们利用问题1中处理过的数据，对问题2进行统计，统计结果如下表所示：

表2：每种竖向隔板间距情况下的宽度冗余 竖向隔板间距（mm） 每种固定宽度药盒下的数量（种） 各部分冗余度 竖向隔板间距（mm） 每种固定药盒的数量 各部分冗余度 竖向隔板间距（mm） 每种固定药盒下的数量 各部分冗余度 竖向隔板间距（mm） 每种固定药盒下的数量 各部分冗余度 竖向隔板间距（mm） 每种固定药盒下的数量 各部分冗余度 竖向隔板间距（mm） 每种固定药盒下的数量

17 18 19 15mm(166) 14mm(10) 10 24 20mm(217) 19mm(11) 11 29 25mm(86) 24mm(9) 9 34 30mm(170) 29mm(6) 6 39 35mm(47) 34mm(10) 10 45 41mm(9) 40mm(10) 20 16mm(86) 15mm(9) 9 25 21mm(113) 20mm(10) 10 30 26mm(51) 25mm(6) 6 35 31mm(27) 30mm(11) 11 40 36mm(17) 35mm(2) 2 46 42mm(3) 41mm(16) 21 17mm(168) 16mm(8) 8 26 22mm(32) 21mm(6) 6 31 27mm(49) 26mm(8) 8 36 32mm(9) 31mm(10) 10 41 37mm(13) 36mm(6) 6 47 43mm(24) 42mm(14) 13mm（7） 14mm(18) 12mm（3） 13mm(1) 11mm（3） 10mm（6） 27 22 18mm(94) 17mm(1) 1 27 23mm(158) 22mm(18) 18 32 28mm(15) 27mm(4) 4 37 33mm(43) 32mm(14) 14 42 38mm(15) 37mm(4) 1 23 19mm(95) 0 28 24mm(32) 23mm(6) 6 33 29mm(11) 28mm(8) 8 38 34mm(6) 33mm(13) 13 44 44mm(41) 39mm(16) 8

各部分冗余度 竖向隔板间距（mm） 每种固定药盒下的数量 各部分冗余度 竖向隔板间距（mm） 每种固定药盒下的数量 各部分冗余度 4 48 44mm(8) 43mm(11) 11 54 50mm(11) 49mm(6) 48mm(2) 10 16 49 45mm(43) 44mm(14) 14 55 51mm(1) 50mm(18) 18 10 50 46mm(8) 45mm(11) 11 56 52mm(7) 51mm(12) 12 16 51 47mm(23) 46mm(15) 15 60 56mm(6) 55mm(6) 54mm(1) 53mm(6) 26 14 52 48mm(12) 47mm(7) 7 具体统计结果见附件3（注：附件3中我们给出储药柜合理的竖向隔板间距类型的数量以及每种类型对应的药品编号）。

由问题2可知：储药槽的宽度冗余:

??ai?bi?4 (5-3)

由于我们把储药柜划分为：19行、101列，而刚好有1919种药品种类.所以剩余的宽度冗余??0，所以储药柜的总宽度冗余公式为：

y??(ai?bi?4)????ni(ai?bi?4)?? (5-4)

i?1i?1nm将上表中整理出的：在每种竖向隔板间距下，不同类型药品所对应的宽度代入总高度冗余公式里，得出：

储药槽的总宽度冗余： y?398mm

利用这种方法，有效的减少了因数据量大、计算困难而引起误差大的可能性，使所求的结果更精确，从而达到减少加工成本、降低储药槽适应能力、减少宽度冗余的目的。

模型（三）

横向隔板间距类型及平面冗余的计算

通过对问题3的分析，考虑到补药的便利性，储药柜宽度不超过2.5m，储药柜的最大允许有效高度为1.5m。药盒与两层横向隔板之间的间隙超出2mm的部分视为高度冗余。结合问题2所得出的数据图表，我们采用数据统计、排序、筛选、求和的方法，对宽度、高度进行分析，得出问题2储药柜的高度，其结果超过了储药柜的最大允许高度。

针对上面所出现的问题，在问题3条件下，我们对问题2进行了优化，并提出了分析求解的方法。为了更清楚的使储药柜的平面冗余最小，我们把药盒的高

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度划分成：25-30、31-35···96-100、101-125的16个区间。再对药品宽度进行排序、统计，统计结果如下表所示：

表3 不同高度范围内药盒宽度的个数 药盒高度范围（mm) 在不同高度范围内药盒宽度的个数（个） 25-30 31-35 36-40 41-45 46-50 51-55 56-60 61-65 66-70 71-75 76-80 81-85 86-90 91-95 96-100 101-125 10 96 114 135 151 106 140 217 283 290 175 108 41 21 14 18 具体数据统计表见附件4

根据平面冗余公式可知，要使储药柜的平面冗余尽可能小，可采用两种方法： 方法一：让宽度冗余或高度冗余中的一个为0，另一个尽可能接近于0。 方法二：让高度冗余跟宽度冗余都尽可能的小。

在本模型中，因数据量较大，无法使高度冗余或宽度冗余均接近于0，因此我们将方法一与方法二结合对数据进行处理。

结合问题2出现的问题，我们改变了储药柜的设计方案，通过对高度、宽度范围的划分，考虑到总平面冗余要尽可能小，最终我们把储药柜的用竖向隔板划分为91个区间、用横向隔板划分为22个区间。

根据附件4中的数据，我们将横向隔板间距划分为以下类型：127mm、88mm、83mm、80mm、78mm、76mm、74mm、73mm、72mm、71mm、68mm、67mm、64mm、63mm、62mm、57mm、53mm、49mm、47mm、44mm、40mm、36mm。

根据问题3，药盒与两层横向隔板之间的间隙超出2mm的部分为高度冗余，已知平面冗余=高度冗余?宽度冗余

设：ai为竖向隔板间距（i的取值范围为1到m），bi为药盒的宽度，dj为药盒的高度（j的取值范围为1到f），ej为储药槽的横向间距，?为空余储药

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槽的冗余。则我们可以得出平面冗余（平面冗余＝高度冗余×宽度冗余）为：

y??j?1f?(ai?1mi?bi?4)(ej?dj?2)?? (5-5)

根据竖向隔板的间距类型和横向隔板的间距，我们可设定药品柜的储药槽按照22层，91列的矩阵排列，假设每种药品只占用一个储药槽，根据药品的数量，我们可以得到2002个储药槽，但全部的药盒数量为1919个，于是得到83个空储药槽。

下面我们将对药品的排列方式做已详细说明：有平面冗余的公式我们可知，要是平面冗余尽可能的小，我们在排列药品时，首先将相同宽度的药品排列在相同的列中，此时的竖向冗余为零，当无法达到要求时，我们可将相同高度的药品排在同一列，此时横向冗余为零，依然可以将平面冗余降到最小，当两方面都不满足时，我们对数据进行处理，将竖向冗余和横向冗余尽可能的降低，使其乘积（平面冗余）尽量减小。

通过上述排列方式，我们可计算得到空药品槽的平面冗余为：

??87908mm2

其余药品槽的平面冗余总和为：

y??'j?1f?(ai?1mi?bi?4)(ej?dj?2)?1866mm2 (5-6)

由上述两种情况可知，此排列方式得到的总平面冗余为：

y?1866?87908?89774mm2

综上可知，在储药柜宽度不超过2500mm，高度不超过1500mm的条件限制下，要使储药槽的规格符合要求，我们应尽可能的让横向隔板和纵向隔板的间距类型分别尽可能的小，同时在平面冗余的约束，所有药盒的高度和宽度相互制约的条件下，我们采取上述排列方式，减小了平面冗余，为模型（四）的建立奠定了基础。

模型（四）

储药柜数量计算

依据附件2给出的每种药品编号对应的最大日需求量，在储药槽的长度为1500mm、每天仅集中补药一次的情况下，为保证药房出要满足需求，根据问题3单个储药柜的规格，再结合附件1，为方便我们对数据进行统计、分析以及求解，我们把附件2整合到附件1中，分别对每一对应药槽可容纳药品的数量（V）、储药柜最少放置的药品数量（t）、每一药品所需的药槽的个数（h），进行数据

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统计分析。具体分析见附件5。

V?150?0C (5-7)

当T为奇数时，t=（T+1）/2； 当T为偶数时，t=T/2；

因为储药槽的药品一天仅集中补给一次，所以用药品的最大日需求量/2，即为每天储药柜最少放置的药品数量。

，当h=t/V为小数时，不管小数点后的数是大是小，都进1。因为药

槽没有半个，所以进1。

表4 前三种药品所需药品槽的计算 每一药槽可储药柜每种每一药品日最大需求药品编号 长（mm） 容纳药品的药品最少放需要的药量（单位：盒） 数量（盒） 的数量（盒） 槽（个） 1 120 273 12.5 137 12 2 125 155 12 78 7 3 125 139 12 70 6 例如：我们从附件5取出前三行，分别进行计算。

药品1：长为120mm，储药槽的长度为1500mm，计算第一种药品的药槽可容纳的药品的数量：

V?1500?120?12.5

由于药槽内不能容纳半个药盒，所以要对所得数据进行取整运算，则药品1每一药槽可容纳12盒药；

计算储药槽药品1最少放的数量：t?(273?1)?2?137；

计算每一药品需要的药槽个数：h=137÷1211.41，对所得数据进行取整加1运算，可得药槽个数12。

同理，我们求出：

药品2：V=1500÷125=12；t=(155+1)÷2=78; h=78÷126.5，药槽个数取7。

药品3：V=1500÷125=12；t=（139+1）÷2=70；h=70÷125.83，药槽个数取6。

根据问题3单个储药柜的规格，在保证药方储药满足需求的情况下，我们把1919种药品中需要多个储药槽的药品列出来，总共有108种，其余1811中药品只需要一个储药槽即可满足每天的日需求量的最大值。现在我们需要计算最少需要多少个储药柜，第一个储药柜依据问题3单个储药柜的规格，我们1919种不同类型的药品按照其药盒规格放在相应的储药槽中，其余下的108种药品中，还需要有187个储药槽的药品每分配，由于我们的储药柜还有83个空闲的药槽，在187个药槽中，找满足条件合适的药品可以放进去，依据附件5的统计表我们

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在187个里面找到35个药品满足条件，可以放在第一个空余的药槽里面。此时还需要152个储药槽，设定第二个储药柜可满足着152种药品的药盒的药盒规格，即要满足存放条件及药品的日需求量，我们至少需要两个储药柜。

六、模型的评价与应用

模型的优点：

1.模型（一）根据不同的情况合理的设立条件，对所给的数据进行了分类，为后续模型的建立奠定了基础，通过图表的形式直观的了解到数据的分类区间。

2.模型（二）没有空药槽的摆列方式，合理的利用了空间，极大地减少了竖向冗余。虽然最终摆列超出了问题三所设定的储药柜规格，但是其优点为不同储药柜的设计提供了另一种思路。

3.模型（三）克服了储药柜规格对药盒排列的限制及药盒自身的宽度和高度的相互制约，给出了竖向隔板和横向隔板类型合理的划分方式，尽可能的减小了平面冗余。

4.模型（四）的建立方式极大的利用了所有的储药槽，处理过程简单易懂，当药品种类、数量较多时，采用此方法可极大地提高储药柜在现实生活中的利用率。

模型的不足：

1.本文中的所有模型均采用EXCEL进行统计处理，计算量较大，当数据种类、数量较大且数据较多时，处理过程较为繁琐，计算效率较低。

2.模型（三）中空药槽数量较多，减少了药槽的利用率，后期需进行优化处理。

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七、参考文献

[1].米红，张文璋编著，实现现代统计分析方法与SPSS应用，北京：当代中国出版社，2000.(2014年9月12日)

[2].倪安顺编著，EXCEL统计与数量方法应用，北京：清华大学出版社，1998.(2014年9月13日)

[3].高惠璇，两个多重相关变量组的统计分析（3），数理统计与管理，第21卷，第2期，（2003），58—126。(2014年9月13日)

[4].范金成，梅长林编著，数学分析，北京：科学出版社，2002.(2014年9月13日)

[5].李育辉，黄飞，成对数据分析之行动者——对象互依性模型（APIM）。 网址：

http://wenku.http://www.wodefanwen.com//view/8dala7bbfdoa79563cle7267.html(2014年9月14日)

[6].丁丽娟，数值计算方法，北京：北京理工大学出版社，1997.(2014年9月14日)

[7].白其峥主编，数学建模案例分析，北京：海洋出版社，2000.(2014年9月14日)

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八、附录

附件1：药盒型号。 附件2：药品需求量。

附件3：（1）每种竖向隔板间距情况下的宽度冗余。

（2）竖向隔板间距类型的数量以及每种类型对应的药品编号。 附件4：不同高度区间内的药品规格。

附件5：每一种药品需要的储药槽个数。

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/pq6p.html