2014《成才之路》高一数学（人教A版本）4能力提升：2-3-1平面向量基本定理

能 力 提 升

一、选择题

→→→

1．在四边形ABCD中，AB＝a＋2b，BC＝－4a－b，CD＝－5a－3b，其中a、b不共线，则四边形ABCD为( )矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。 A．平行四边形 B．矩形 C．梯形 D．菱形 [答案]C

→→→→

[解析]∵AD＝AB＋BC＋CD＝a＋2b－4a－b－5a－3b＝－8a－2b→→→

＝2(－4a－b)＝2BC，即AD＝2BC，聞創沟燴鐺險爱氇谴净。 ∴AD∥BC且AD≠BC，故选C.

→→

2．已知OA＝a，OB＝b，C为线段AB上距A较近的一个三等分→

点，D为线段CB上距C较近的一个三等分点，则用a、b表示OD为( )残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。

1

A.9(4a＋5b) 1

B.16(9a＋7b)

1

C.3(2a＋b) 1

D.4(3a＋b) [答案]A

[解析]利用向量加法和减法的几何意义和平面向量基本定理求解．

→→→→→→

∵OD＝OA＋AD，AD＝AC＋CD酽锕极額閉镇桧猪訣锥。 1→1→1→2→5→

＝3AB＋3CB＝3AB＋9AB＝9AB.彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。 →→55

而AB＝b－a，∴AD＝9b－9a，謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。 →→→5545

∴OD＝OA＋AD＝a＋(9b－9a)＝9a＋9b.厦礴恳蹒骈時盡继價骚。 3．如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E→→

是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若AC＝a，BD＝b，→

则AF＝( )茕桢广鳓鯡选块网羈泪。

1112

A.4a＋2bB.3a＋3b鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。 1121

C.2a＋4bD.3a＋3b籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。 [答案]D

→→→2→121

[解析]∵AF＝AC＋CF＝a＋3CD＝a＋3(b－a)＝3a＋3b.預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。 →→→→

4．已知△ABC中，点D在BC边上，且CD＝2DB，CD＝rAB＋→

sAC，则r＋s的值是( )渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。 24A.3B.3 C．－3 D．0 [答案]D

→2→

[解析]∵CD＝3CB铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡。 2→→

＝3(AB－AC)擁締凤袜备訊顎轮烂蔷。 22∴r＝3s＝－3 ∴r＋s＝0.

5．(09·全国Ⅰ文)设非零向量a、b、c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，

则a与b的夹角为( )贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷。 A．150° B．120° C．60° D．30° [答案]B

[解析]∵|a|＝|b|＝|c|≠0，且a＋b＝c

∴如图所示就是符合题设条件的向量，易知OACB是菱形，△OBC和△OAC都是等边三角形．

∴a与b的夹角为120°.

6．(2011～2012·合肥市)如图，△ABC中，AD＝DB，AE＝EC，→→→

CD与BE交于F，设AB＝a，AC＝b，AF＝xa＋yb，则(x，y)为( )

坛摶乡囂忏蒌鍥铃氈淚。

?11??22?

A.?2，2?B.?3，3?蜡變黲癟報伥铉锚鈰赘。 ????

?11??21?

C.?3，3?D.?3，2?買鲷鴯譖昙膚遙闫撷凄。 ????

[答案]C

→→→→[解析]设CF＝λCD，∵E、D分别为AC、AB的中点，∴BE＝BA＋→1

AE＝－a＋2b，綾镝鯛駕櫬鹕踪韦辚糴。 →→→1

BF＝BC＋CF＝(b－a)＋λ(2a－b)驅踬髏彦浃绥譎饴憂锦。 ?1?

＝?2λ－1?a＋(1－λ)b，猫虿驢绘燈鮒诛髅貺庑。 ??

1→→2λ－11－λ2∵BE与BF共线，∴＝1，∴λ＝3，锹籁饗迳琐筆襖鸥娅薔。 －1

2→→→?2→2?1

∴AF＝AC＋CF＝b＋3CD＝b＋3?2a－b?構氽頑黉碩饨荠龈话骛。 ?

?

1111

＝3a＋3b，故x＝3，y＝3.輒峄陽檉簖疖網儂號泶。 二、填空题

3

7．向量a与b的夹角为25°，则2a与－2b的夹角θ＝________. [答案]155°

→→

[解析]作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝25°，如图所示．尧侧閆繭絳闕绚勵蜆贅。

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