三角形有关专题复习讲义

三角形专题复习讲义

一、基础知识及考点剖析——夯实基础

考点1、轴对称图形

(1)轴对称图形及对称轴定义：如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。

(2)有的轴对称图形的对称轴不止一条，如圆就有无数条对称轴。 (3)折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。

考点2、轴对称

(1)轴对称图形及对称轴定义：有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称. (2)图形轴对称的性质

①关于某直线对称的两个图形是全等形。

②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 ③轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

④如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。 考点3、轴对称与轴对称图形的区别

轴对称图形 轴对称

图形

区别

(1)轴对称图形是指(一个)具有特殊形状．．．．．

(1) 轴对称是指(两个)图形的位置关系，．．．

的图形，只对(一个)图形而言； 必须涉及(两个)图；

(2)对称轴(不一定)只有一条 (2) 只有(一条)对称轴

联系 若把轴对称图形沿对称轴分成两部分，那若把两个成轴对称的图形拼在一起看成一个

么这两个图形就关于这条直线成轴对称。 整体，那么它就是一个轴对称图形。

考点4、线段的垂直平分线

(1)经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．

(2)线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的

垂直平分线上．因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合． 考点5、常考模型 (1)图形的翻折模型：

抓住翻折前后哪些量(边、角)不变。

(2)最短距离问题：在直线l上找一点P，使得P到A、B两点的距离和最短。 A、B两点在直线l的同侧

A、B两点在直线l的异侧

题型1：对称的性质

1. 如图，点A、B的坐标分别为（0，3）、（4，6），点P为x轴上的一个动点，若点B关于直线AP的对称点B′恰好落在坐标轴上，则点B′的坐标为 ．

第1题图 第2题图 第3题图 2. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，点D在AC上，将△ADB沿直线BD翻折后，将点A落在点E处，如果AD⊥ED，那么线段DE的长为 ． 3. 如图：在Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠A<∠B,M是斜边的中点，将三角形ACM沿CM折叠，点A落在点D处，若CD恰好与AB垂直且垂足为E，则∠A的度数为 ． 4. 如图，△ABC中，已知∠BAC=45°，AD⊥BC于D，BD=2，DC=3，求AD的长。

小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题．请按照小萍的思路，探究并解答下列问题：

(1)分别以AB、AC为对称轴，画出△ABD、△ACD的轴对称图形，D点的对称点为E、F，延长EB、FC相交于G点，证明四边形AEGF是正方形；

(2)设AD=x，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出x的值．

考点6、等腰三角形的定义

(1)等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形。

(2)在等腰三角形中，相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边．两腰所夹的角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角．

(3)等腰三角形中边与角的分类谈论思想

??②确认能否构成三角形???③确定答案 分类讨论三部曲：①分类讨论?

A12BDC

考点7、等腰三角形的性质

(1)性质1：文字表达为：等腰三角形的两个底角相等（在同一三角形中，简写成“等边对等角”） ．．．．．．几何语言：在△ABC中，

∵AB=AC，∴∠B=∠C（同一三角形中，等边对等角）

(2)性质2：文字描述：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合（简称“三线合一”）． 几何语言：在△ABC中，∵AB=AC，且点D为BC的中点， ∴∠1=∠2，BD=CD，AD⊥BC（等腰三角形三线合一） (3)补充性质：

①对称性：等腰三角形是轴对称图形，有一条或者三条对称轴。 ②等腰三角形两腰上的中线、角平分线、高线对应相等. 考点8、等腰三角形的判定

(1)判定1：

文字描述：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角 所对的边也相等。(在同一三角形中，简写成“等角对等边”)． ．．．．．．

几何语言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC(同一三角形中，等角对等边)∴△ABC是等腰三角形

(2)判定2：

文字描述：有一边上的角平分线、中线、高线互相重合的三角形是等腰三角形。即三角形中有一边上的三线合一，那么这个三角形是等腰三角形。(注意：只能运用于填空选择题，解答题需要证明) 几何语言：在△ABC中，∵BD=DC，∠BAD=∠CAD，AD⊥BC，∴△ABC是等腰三角形 其实在判定三角形是否是等腰三角形时，只需要一边的三线中的任意两线合一就能证明出该三角形为等腰三角形。 如下表

(3)其他判定方法：(注意：只能运用于填空选择题，解答题需要证明) ①有两边上的角平分线对应相等的三角形是等腰三角形。②有两边上的中线对应相等的三角形是等腰

三角形。

③有两边上的高线对应相等的三角形是等腰三角形。 ④三角形中有一条或者三条对称轴的三角形是等腰三角形 考点4、等腰三角形的性质

5. 若等腰三角形的周长为12，腰长为x，则腰长x的取值范围是 。 6. 若等腰三角形的一个角为50°，则它的顶角为 7. .等腰三角形的周长为16，其一边长为6，则另两边为 8. 如图，在△ABC中，∠BAC=106°，EF、MN分别是AB、AC的中垂线，E、M在BC上，则∠EAM等于( ) A．58° B．32° C．36° D．34°

第8题图 第9题图

9. 如图，△ABC中，AB=AC,BC=BD=ED=EA,则∠A的度数为 .

10. 如图，在五边形ABCDE中，∠B＝∠E，∠C=∠D，BC=DE，M为CD中点，求证：AM⊥CD．

11. 如图，已知∠1=∠2，EF⊥AD于点P，交BC延长线于点M.求证：∠EMB=

1(∠ACB-∠B). 2

考点9、特殊的等腰三角形——等边三角形

(1)等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形． (2)等边三角形的性质：

性质①：等边三角形的三边都相等。性质②：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°。 性质③：等边三角形的每边上的三线均合一，且都等于

3a.(a为等边三角形的边长)。 232a.(a为等边三角形的边长) 4性质④：等边三角形有3条对称轴。性质⑤：等边三角形的面积为

(注意：性质③④⑤只能运用于填空选择题，解答题需要证明) (3)等边三角形的判定方法

判定①三条边都相等的三角形是等边三角形；判定②三个角都相等的三角形是等边三角形； 判定③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。（该判定方法经常运用） 其他判定方法： ①每边上的三线均合一，且均相等，的三角形为等边三角形；

②有三条对称轴的三角形为等边三角形； (注意：其他判定方法中的①②只能运用于填空选择题，解答题需要证明)

考点10、直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。几何表示：Rt△ABC，∠C=Rt∠=90°

考点11、直角三角形的性质

性质1、直角三角形的两个锐角互余。几何表示：在Rt△ABC中，∵∠C=90°∴∠A+∠B=90°

性质2、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。几何表示：在Rt△ABC中，∵点D为斜边AB的中点 ∴CD=

1AB 2性质3、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。几何表示：在Rt△ABC中，∵∠B=30°，∴AC=

1AB 2几何表示：a2?b2?c2(其中a，b分别为直角三角形的两条直角边，c为直角三角

性质4、勾股定理：直角三角形的两条直角边的平分和等于斜边的平分。

形的斜边)

勾股定理的应用：

勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用有： ①勾股定理主要应用于计算直角三角形的边长。

②勾股数：满足a2?b2=c2的三个正整数，称为勾股数，如3，4，5； 5，12，13； 6，8，10；

8，15，17； 7，24，25； 9, 40, 41 ③利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 性质5、常用关系式：

由三角形面积公式可得：AB?h=AC?BC 考点12、直角三角形的判定

判定1、有一个角是直角的三角形是直角三角形 判定2、有两个角互余的三角形是直角三角形 判定3、勾股定理的逆定理

如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

即三角形的三边满足a2?b2?c2 则它是一个直角三角形. (其中a，b分别为直角三角形的两条直角边，c为直角三角形的斜边)

注意：若三角形的三边满足一组勾股数的k倍，那么这个三角形也是直角三角形。

当题目中要判断三边长是否可以构成直角三角形时，边长比较大的时候我们可以化简缩小，就能很快判断。 判定4、

补充：如果三角形中一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是一个直角三角形。 考点13、特殊角的直角三角形边之间的关系

题型2：含特殊角的三角形

12. 如图，点O事等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC,连接OD,则△COD是等边三角形；(1)当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？(2)求证：△COD是等边三角形？(3)当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由.

13. 已知：等腰三角形的底角为15°，腰长为20，求：腰上的高。

考点14、直角三角形全等的判定方法——HL

两Rt△三角形一条斜边与一条直角边对应相等 则两三角形全等，简称HL定理。该定理只适用于直角三角形。以前学习的SSS、SAS 、ASA、AAS四种判断方法，对于直角三角形同样适用。 几何语言：在Rt△ABC和Rt△DEF中，∵??AB?DE ∴Rt△ABC≌Rt△DEF (HL)

?AC?DF注意：两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等。 考点15、角平分线的性质定理的逆定理

在角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 ．．．．．二、课堂重难点题型精讲——方法能力提升

题型1：将军饮马模型 例1. (1)如图，在公路a的同旁有两个仓库A、B，现需要建一货物中转站，要求到A、B两仓库的距离和最短，这个中转站M应建在公路旁的哪个位置比较合理？(2)已知：A、B两点在直线l的同侧，在l上求作一点M，使得| AM?BM|最小

题型2：立体图形展开与勾股定理综合问题 例2. 如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（ ）

A．521 B．25 C．35 D．105?5

例2题图 例3题图

例3. 如图是一块长，宽，高分别是6，4和3的长方体木块一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（ ） A．3?213 B．97 C．85 D．109 题型3：如何寻找等腰三角形 例4. 在等边△ABC所在的平面内求一点P，使△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形，具有这样性质的点P有( )

A．1个 B．4个 C．7个 D．10个 例5. 已知A、B是线段MN上的两点，MN=4，MA=1，MB＞1，以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，设AB=x，(1)求x的取值范围；(2)若△ABC为直角三角形，求x的值。

题型4：直角三角形斜中线定理 例6. 如图，在ΔABC中，三边BC、AC、AB上的高AE、BF、CD相交于点M，P为BM的中点，Q为AC的中点，求证；PQ⊥ED。

题型5：直角三角形的判定 例7. 如图，已知∠MCN=900，A是∠MCN平分线上一定点，B为CM上一动点，点D在CN上且∠BAD=450。问：RtΔBCD的周长是否是定值？请说明理由。

题型6：勾股定理的实际应用问题 例8. 如图所示，有一块塑料模板ABCD，长为10 cm，宽为4cm，将你手中足够大的直角三角板PHF的直角顶点P落在AD边上(不与A、D重合)并在AD上平行移动：

①能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C？若能，请你求出这时AP的长；若不能，请说明理由.

②再次移动三角板位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边PH始终通过点B，另一直角边PF与DC的延长线交于点Q，与BC交于点E，能否使CE=2cm？若能，请你求出这时AP的长；若不能，请说明理由.

题型7：翻折与勾股定理综合 例9. 如图，把一张长 8,宽 4的长方形纸片折叠,折叠后使相对的两个点A、C重合,点D落在D′，折痕为EF,求:重合部分的面积.

例10. 正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G（如图）．

（1）如果正方形边长为2，M为CD边中点．求EM的长

（2）如果M为CD边的中点，求证：DE：DM：EM=3：4：5； （3）如果M为CD边上的任意一点，设AB=2a，问△CMG的周长是否与点M的位置有关？若有关，

请把△CMG的周长用含DM的长x的代数式表示；若无关，请说明理由．

题型8：勾股定理与三角形边的关系

例11. 在锐角△ABC中，已知某两边a=1，b=3，那么第三边的变化范围是( ) A．2

例12. 如图，一架长2.5m的梯子，斜放在墙上，梯子的底部B离墙脚O的距离是0.7m，当梯子的顶部A向下滑0.4m到A′时，梯子的底部向外移动多少米?

题型9：勾股定理与因式分解综合

例13. 已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2?b2c2?a4?b4，试判断△ABC的形状

题型10：截长补短类型 例14. 已知：如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，∠ABC的平分线交AC于E，试比较AE+BE与BC的大小？

例15. 五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°，求证：AD平分∠CDE。

题型11：K字型模型

例16. 如图①所示,已知A、B为直线l上两点,点C为直线l上方一动点,连接AC、BC,分别以AC、

BC为边向?ABC外作正方形CADF和正方形CBEG,过点D作DD1?l于点D1,过点E作

EE1?l于点E1.

(1)如图②,当点E恰好在直线l上时(此时E1与E重合),试说明DD1?AB；

(2)在图①中,当D、E两点都在直线l的上方时,试探求三条线段DD1、EE1、AB之间的数量关系,并说明理由；

(3)如图③,当点E在直线l的下方时,请直接写出三条线段DD1、EE1、AB之间的数量关系.(不需要

证明)

题型12：勾股树模型

例17. 如图1，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，则不难证明S1=S2+S3．

(1)如图2，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1、S2、S3表示，那么S1、S2、S3之间有什么关系？（不必证明）

(2)如图3，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1、S2、S3之间的关系并加以证明．

题型13：利用旋转法求图形内部角度或者线段长度问题

例18. 如图，设P是等边△ABC内的一点，PA=3，PB=4，PC=5，则∠APB的度数是 。

题型14：勾股定理证明问题

例19. 如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，D为斜边BC中点，DE⊥DF，求证：EF2?BE2?CF2。

题型15：等边三角形证明问题

例20. 已知：在△ABC中，∠CAB和∠ABC的平分线AD、BE交于点P． （1）当△ABC为等边三角形（如图1）时，求证：EP=DP； （2）当△ABC不是等边三角形，但∠ACB=60°（如图2）时，（2）中的结论是否还成立？

例21. 已知：如图，△ABC、△CDE都是等边三角形，AD、BE相交于点O，点M、N分别是线段AD、BE的中点．

(1)求证：AD=BE；(2)求∠DOE的度数；(3)求证：△MNC是等边三角形．

三、课堂举一反三精炼——理解、消化、升华

1. 如图，在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，1.21，1.44，正放置的四个正方形的面积为S1、S2、S3、S4，则S1+S2+S3+S4=（ ） A．3.65 B．2.42 C．2.44 D．2.65

2. 图示是一种“羊头”形图案，其作法是，从正方形1开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形2，和2′，…，依次类推，若正方形7的边长为1cm，则正方形1的边长为________cm.

3. 如图，点C在线段AB上，在AB的同侧作等边三角形ACM和BCN，连接AN，BN，若∠MBN=38°，则∠ANB的大小等于 。

第3题图 第4题图

4. 在正方形ABCD中P是正方形内一点，PA=1，PB=2，PC=3，则PD= ． 5. 直角三角形的面积为S，斜边上的中线长为d，则这个三角形周长为（ ）

A．d2?S?2d B．d2?S?d C．2d2?S?2d D．2d2?S?d 6. 如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的P点有( ) A．2个 B．4个 C．6个 D．8个

第6题图 第7题图

7. 如图所示，当四边形PABN的周长最小时，a=

ABC的形状。8. 若△ABC的三边长为a、b、c，根据下列条件判断△(1)a2?b2?c2?200?12a?16b?20c

(2)a3－a2b?ab2－ac2?bc2－b3?0

9. 如图，一个长方体形的木柜放在墙角处(与墙面和地面均没有缝隙)，有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处．

(1)请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；

(2)当AB＝4，BC＝4，CC1＝5时，求蚂蚁爬过的最短路径的长； (3)求点B1到最短路径的距离．

10. 如图，在ΔABC中 ，∠B=∠2A，CD⊥AB于点D，E为BC的中点，EF∥CA交AB于点F，求证：DF=

1BC。 2

11. 如图，已知∠MON和线段AB，求作一点P，使PA=PB并使点P到OM、ON的距离相等。

12. 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，如图，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东30o方向往C移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或走过四级，则称为受台风影响。 (1)该城市是否会受到这交台风的影响？请说明理由。

(2)若会受到台风影响，那么台风影响该城市持续时间有多少？ (3)该城市受到台风影响的最大风力为几级？

13. 如图，将长方形纸片ABCD沿直线AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与CD交于点E. (1)试找出一个与△AED全等的三角形，并加以证明.

(2)若AB=8，DE=3，P为线段AC上的任意一点，PG⊥AE于G，PH⊥EC于H，试求PG+PH的值，并说明理由.

14. 一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米。（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？

15. 已知：如图，ABCD是正方形，∠FAD=∠FAE。求证：BE+DF=AE

16. 如图，已知：?C?90?，AM?CM，MP?AB于P。求证：BP2?AP2?BC2

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