综合试卷2

2009-2010学年度第一学期综合试卷2

高三数学试卷

命题人：江吕猛 分值：160分 考试时间：120分钟

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上． ．．．．．．．

1、设A、B为两个非空子集，定义：A?B?{a?ba?A,b?B},若A={0，2，5}, B={1， 2，6}，则A+B子集的个数是 ★ .

x2y2

2．“a>2”是“方程 + =1 表示的曲线是双曲线”的 ★ 条件(填“充分不必

a+12-a

要，.必要不充分，充要条件，既不充分也不必要”).

2009

1＋i

3、在复平面内，复数 对应的点位于 ★ . (1－i)2x?0??cos?x?4、已知f(x)??，则f(4)?f(?4)的值等于 ★ .

33f(x?1)?1x?0??5、已知x、y的取值如下表所示： x 0 1 3 4 2.4.4.6.y 2 3 8 7 ??0.95x?a，则a? ★ ． 从散点图分析，y与x线性相关，且y6、若椭圆

x22ab2y?2bx的焦点F分成5﹕3的两段，则此椭圆的离心率为 ★ . ??????????227、已知圆(x?2)?y?9和直线y?kx交于A,B两点,O是坐标原点, 若OA?2OB?O，

????则|AB|? ★ .

?y22?1(a?b?0)的左、右焦点分别为F1,F2，线段F1F2被抛物线

8、?ABC的三内角A，B，C所对边长分别是a,b,c，设向量m?(a?b,sinC), n?(3a?c,sinB?sinA)，若m//n，则角B的大小为______★_______.

?x?y?5?0?9、已知实数x,y满足条件?x?y?0，z?x?yi(i为虚数单位），则|z?1?2i|的最

?x?3?大值和最小值分别是 ★ ． 10、已知函数f(x?1)为奇函数，函数f(x?1)为偶函数，且f(0)?2,则f(4)? ★ .a 11、在小时候，我们就用手指练习过数数. 一个小朋友 按如图所示的规则练习数数，数到2008时对应的指头 是 ★ .(填出指头的名称，各指头的名称依次为大拇指、食指、中指、无名指、小指). 12、给定an?log(n?1)(n?2)（n∈N*），定义乘积a1?a2???ak为整数的k（k∈N*）叫做“理想数”，则区间[1，2008]内的所有理想数的和为 ★ ．

13．设等边?ABC的边长为a，P是?ABC内的任意一点，且P到三边AB,BC,CA的距离分别为d1,d2,d3，则有d1?d2?d3为定值

32a；由以上平面图形的特性类比空间

图形：设正四面体ABCD的棱长为a，P是正四面体ABCD内的任意一点，且P到四个面ABC、ABD、ACD、BCD的距离分别为d1,d2,d3,d4，则有d1?d2?d3?d4为定值__★_. 14．已知f(x)?ax2?bx?c(a?0)，且方程f(x)?x无实数根，下列命题： ①方程f[f(x)]?x也一定没有实数根；

②若a?0，则不等式f[f(x)]?x对一切实数x都成立； ③若a?0，则必存在实数x0，使f[f(x0)]?x0

④若a?b?c?0，则不等式f[f(x)]?x对一切实数x都成立．

中，正确命题的序号是 ★ ．(把你认为正确的命题的所有序号都填上)

二、解答题：

15（14分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知a+b=5，c =7， 且4sin

16．（本小题14分）如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，AE＝EB＝BC＝2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．

（1）求证：AE⊥BE；（2）求三棱锥D－AEC的体积； （3）设M在线段AB上，且满足AM＝2MB，试在线段 CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE.

A E F M B D C 2A?B2?cos2C?72.(1) 求角C的大小； （2）求△ABC的面积.

17．（15）已知f(x)?ax3?3x2?x?1，a?R． （1）当a??3时，求证：f(x)在R上是减函数；

（2）如果对?x?R不等式f?(x)?4x恒成立，求实数a的取值范围．

18（15分）某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元， 并且每件产品需向总公司交a元（3?a?5）的管理费，预计

当每件产品的售价为x元（9?x?11）时，一年的销售量为(12?x)2万件.

（1）求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x的函数关系式； （2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q(a).

19.如图，直角三角形ABC的顶点坐标A(?2，0)，直角顶点

C在x轴上，点P为线段OA的中点 B(0,?22，顶点)（1）求BC边所在直线方程；

APOCxy（2）圆M是△ABC的外接圆，求圆M的方程；

（3）若DE是圆M的任一条直径，试探究PD?PE是否是定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．

B 20、在直角坐标平面上有一点列P1(x1,y1),P2(x2,y2)?,Pn(xn,yn)?，对一切正整数n，点Pn位于函数y?3x?134的图象上，且Pn的横坐标构成以?52为首项，?1为公差的等差数列{xn}．

（1）求点Pn的坐标；

（2）设抛物线列c1,c2,c3,?,cn,?中的每一条的对称轴都垂直于x轴，第n条抛物线cn的顶点为Pn，且过点Dn(0,n2?1)，设与抛物线cn相切于Dn的直线斜率为kn，求：

1k1k2?1k2k3???1kn?1kn；

*（3）设S??x|x?2xn,n?N式．

?，T??y|y?4yn,n?N*?，等差数列{an}的任一

项an?S?T，其中a1是S?T中的最大数，?265?a10??125，求{an}的通项公

答 案

一、填空题：

1、2；2、充分不必要条件；3、第二象限；4、3；5．2.6；6．9．226,228

255； 7．

32510； 8．?；

6； 10．?2；11、食指；12、2026；13、

63a； 14．①②④.

二、解答题：

15、(1) 解：∵A+B+C=180° 由4sin ∴4?2A?B21?cosC2?cos2C?272得4cos722C2?cos2C?72 ????2分

?(2cosC?1)? ??????4分

122 整理，得4cosC?4cosC?1?0 解 得：cosC? ??6分

∵0??C?180? ∴C=60° ??????7分

（2）解：由余弦定理得：c2=a2+b2－2abcosC，即7=a2+b2－ab ????8分 ∴7?(a?b)?3ab

2

由条件a+b=5得 7=25－3ab ab=6??12分

∴S?ABC?12absinC?12?6?32?332 ????14分

16．（1）证明：?AD?平面ABE，AD//BC

∴BC?平面ABE，则AE?BC????2分

又?BF?平面ACE，则AE?BF

∴AE?平面BCE 又BE?平面BCE ∴AE?BE???? 5分

(2)VD?AEC?VE?ADC?13×22×2?43 ????????????8分

（3）在三角形ABE中过M点作MG∥AE交BE于G点,在三角形BEC中过G点作

GN∥BC交EC于N点,连MN,则

13由比例关系易得CN＝CE ???????????? 10分

?MG∥AE MG?平面ADE, AE?平面ADE,

平面ADE ?MG∥

同理, GN∥平面ADE????????????12分

平面ADE ?平面MGN∥

又MN?平面MGN ?MN∥平面ADE ?N点为线段CE上靠近C点的一个三等分点??????14分 17.解：（1）当a??3时，f(x)??3x3?3x2?x?1，

∵f/(x)??9x2?6x?1??(3x?1)2?0，∴f(x)在R上是减函数.

（2）∵?x?R不等式f?(x)?4x恒成立，即?x?R不等式3ax2?6x?1?4x恒成立，

?x?R 2x?1?0不恒成立；∴?x?R不等式3ax2?2x?1?0恒成立. 当a?0时，

当a?0时，?x?R不等式3ax2?2x?1?0恒成立，即??4?12a?0，∴a??13.

12?]. ?x?R不等式3ax?2x?1?0不恒成立. 综上，当a?0时，a的取值范围是(??，3

18、解：（1）分公司一年的利润L(万元)与售价x的函数关系式为：

L?(x?3?a)(12?x)，x?[9, 11].

2???????4分 ???????6分

（2）L?(x)?(12?x)?2(x?3?a)(12?x).

?(12?x)(18?2a?3x) 令L??0得x?6?23a或x?12(不合题意，舍去). 23a?2832∵3?a?5，∴8?6?在x?6?23. ???????7分

a两侧L?(x)的值由正变负.

所以（1）当8?6?23a?9，即3?a?292时，

???????9分

Lmax?L(9)?(9?3?a)(12?9)?9(6?a).

（2）当9?6?Lmax?L(6?2323a?283即

2392?a?5时，

23a)]?4(3?2a)?(6?a?3?a)[12?(6?13a)，???11分

39?9(6?a),3?a???2所以Q(a)??. ????????12分

9?4(3?1a)3,?a?5?32?9答：若3?a?，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L最大，最大值

292Q(a)?9(6?a)(万元)；若?a?5，则当每件售价为(6?a)元时，分公司一年的利

3213润L最大，最大值Q(a)?4(3?a)(万元). ????????15分

319、y?2222x?22；x?y?2x?8?0；是定值，为?5

20、解:（1）xn???yn?3?xn?13452?(n?1)?(?1)??n?54,?Pn(?n?3232

54)

2n?32)?2??3n?,?3n??cn的对称轴垂直于x轴，（2）且顶点为Pn．?设cn的方程为y?a(x?12n?54,

2把Dn(0,n?1)代入上式，得a?1，?cn的方程为：y?x2?(2n?3)x?n2?1．

kn?y|x?0?2n?3，??1k1k21125'1kn?1kn?12[(?151(2n?1)(2n?3)?17)?(17?19?122n?112n?1(1??12n?31)

)]

?1k2k31???)?1101kn?1kn?1)???(2n?3=(?2n?34n?6.

（3）S?{x|x??(2n?3),n?N,n?1}，

T?{y|y??(12n?5),n?N,n?1}?{y|y??2(6n?1)?3,n?N,n?1}

?S?T?T,T 中最大数a1??17．

设{an}公差为d，则a10??17?9d?(?265,?125)，由此得：

?2489?d??12,又?an?T?d??12m(m?N)

**?d??24,?an?7?24n(n?N)

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