彩票中的数学 - 图文

彩票中的数学 摘要：

近年来“彩票飓风”席卷中华大地，巨额奖金的刺激使越来越多的人加入到“彩民”的行列。如何购买彩票才能在一夜之间成 为百万富翁，或者说最划算呢，是众多彩民最迫切希望取得的“真经”；而彩票公司则希望取得最多的利润。如何调和矛盾的双方使得大家“双赢”便成为我们这篇 论文的中心论题。

目前流行的“传统型”与“乐透型”两种彩票类型，采用公司与彩民各得销售总额的50%的原则，双方的利益均取决于销售总额的大 小，因此“双赢”的问题转化为怎样提高销售总额。众所周知，彩民购买一种彩票是否踊跃取决于奖项的设置，奖金额的高低，中奖概率的大小，以及不同生活水 平，不同文化背景的人如何看待这些设置，因此我们解决该问题的途径便是根据彩民心理曲线，综合考虑各奖项出现的可能性，奖项和奖金额的设置，得出针对不同 人群的风险型优化目标。

一． 问题的提出

近年来社会上出现的彩票越来越多，买彩票的人也越来越多，这样就需要选出一种较好的方案，使得彩票公司和购买彩票的人都较满意。 当前出现的主要的彩票类型大致分四种： （１）“传统型”

采用“10选6+1”方案，这种方案要求所选有序号码可重复，中奖等级由单注中奖号码相符的个数及顺序确定；

（２）“乐透型”有特别号码（不另选特别号） 这种方案要求所选无序号码不重复，同时设有特别号码，特别号码从彩民所选未中号码中考虑，彩民不另选特别号码，中奖等级由单注中奖号码的个数决定； （３）“乐透型”有特别号码（基本号与特别号分别选） 选出一组无序不重复号码作为基本号，再从剩余号码中选出一个特别号，中奖等级由单注中奖号码的个数决定；

（４）“乐透型”无特别号码

这种方案要求号码不重复，而且不考虑号码顺序，且没有特别号码，中奖等 级只由中奖号码相符的个数决定。

以上类型的总奖金比例一般为销售额的50%；投注者单注金额为2元，若中奖只

得最高奖项，不兼得低级别奖项；低项奖数额固定，高项奖按比例分配，但一等奖单注保底金额60万元，封顶金额500万元。

选取评定彩票优劣的原则，评价已知几种彩票的合理性，并提出该原则下的最优方案，再给广大彩民提供一些选购彩票的基本参考。

二． 模型假设

a) 票摇奖是公平的，各号码的出现是随机的；

b) 彩民购买彩票是随机的独立事件，且均购买自己认为最有利的类型；

c) 彩民购买一种彩票的踊跃性正比于所定优化目标函数值，即取决于获奖概率，奖金额和奖项设置；

d) 对同一方案中高级别奖项的奖金比例或奖金额不应低于相对低级别的奖金比例或奖金额。

三． 符号说明

——第j等（高项）奖占高项奖总额的比例，j=1，2，3； ——第i等奖金额均值，1<=i<=7；

——彩民中第i等奖xi的概率，1<=i<=7；

——彩民对某个方案第I等奖的满意度，即第i等奖对彩民的吸引力，1<=i<=7； ——某地区的“实力因子”，从彩票购买量的实际数据综合分析而得，一般为常数； F——彩票方案的合理性指标，即方案设置对彩民吸引力的综合指标；

——第i等奖的奖金额比等奖的奖金额高的倍数，由已知方案数据统计而得； m,n——m选n方案（加1或不加1方案，视在文中出处而定）。

四． 模型的建立

（一） 彩民获各项奖的概率： K1:10选6+1(6+1/10)型 K2:m选n(n/m)型

K3:m选n+1(n+1/m)型

K4:m选n(n/m)无特别号型

（各个奖项的获奖概率见附表1.）

（二）各单项奖的奖金：

由题知，单注所有可能的低项奖总额为 ，故单注可能的第j项（高项）奖奖金额平均值为 （各个奖项的获奖金额见附表2.）

（三）确定彩民的心理曲线

不同地域，不同文化背景，不同性格的人对同一事件的心理反应是不同的，因此，可借用模糊数学隶属度的概念和心理学的相关知识，根据人们通常对一件事物的心理变化一般遵循的规律，考察彩民对一个方案的各个奖项及奖金额的看法（即对彩民的吸引力）拟订彩民的心理效用曲线

其中 表示彩民的实力因子，一般为常数。

（四）实力因子的计算

实 力因子反应的是一定范围内具有相似生活水平与人文背景的彩民投资彩票可能性大小的指标，它不仅与个人经济实力有关，也与其周围投资彩票的风气以及本人是避 险型、趋险型心理有关，很难以统一标准来衡量全国各地众生百态的这一指标，为此我们先用几种彩票销售额（附录3）的全国均值来确定 ，再根据统计分析的结果得出全国此因子值不同的几个分区（利用多元统计中的变量聚类方法，在SAS软件中为varclus命令），分别加以计算。结果列表 如下： 地区

全国平均 403.192261

北京 内蒙古 辽宁 福建 湖北 湖南 贵州 1006.59899 天津 河北 安徽 江西 山东 云南 94.7208517 山西 黑龙江 河南 陕西 108.466411

吉林 浙江 广东 四川 578.945925 上海 海南 甘肃 194.227339

江苏 广西 重庆 新疆 86.3084778 (五）目标函数的确定

彩民购买彩票就是进行了一项风险投资，因此可根据决策分析理论，综合运用 心理效用函数和期望值原则，采用 为风险决策的益损函 数，得出目标函数

五． 模型的求解

在我们所确定的目标函数下，取定实力因子为统计分析所得的几个值，则可由Matlab程序求得29种方案的吸引力值，排序如下： 方案数 合理性值 方案数 合理性值

1 1.533901590898023e-006 2 1.060174412539086e-006 3 9.468101424530615e-007 4 9.021924272551504e-007 5 1.277373003498769e-006 7 7.510989606248021e-007 8 6.586619211106454e-007 9 6.693703167008767e-007 10 6.441986577795087e-007 11 7.079044868682156e-007 12 1.018908600738202e-006 13 6.841489679917499e-007 14 6.585124604903410e-007 15 7.149225357756267e-007 16 6.100762723833729e-007 17 1.202692659306653e-006 18 9.048169500016152e-007 19 1.112085026872884e-006 20 6.617732914819198e-007 21 5.528812514580733e-007 22 6.917596329876077e-007 26 8.125405970535384e-007 27 8.366418170314697e-007 28 8.018633500678174e-007 29 1.158186146333304e-006 6 9.023156591971661e-007 24 3.248289984757205e-007 25 3.165805189499602e-007 23 1.618317698268405e-007

由以上数据，我们得知在全国平均实力水平下，前7款最具合理性的彩票设置方案依次为： 方案数 合理性值 设置方案 排序

1 1.5339e-006 6+1/10 50% 20% 30% 50 0 0 0 1 5 1.2773e-006 7/29 60% 20% 20% 300 30 5 0 2 17 1.2026e-006 7/34 65% 15% 20% 500 30 6 0 3 2 1.0601e-006 6+1/10 60% 20% 20% 300 20 5 0 4 29 1.1581e-006 5/60 60% 20% 20% 300 30 0 0 5 19 1.1120e-006 7/35 70% 15% 15% 300 50 5 0 6 12 1.0189e-006 7/32 65% 15% 20% 500 50 10 0 7

六． 优化方案的确定

根据对模型的建立与求解，我们剩下的问题是选取哪一种彩票类型，哪一种取球方案（m,n取何值），设置哪些奖项，高项奖的比例和低项奖的奖金额如何设定，可使目标函数 有最大值。

设以m，n，rj（j=1,2,3），xj（i=4，5，6，7）为决策变量，以它们之间所满足的关系为约

束条件，则可得非线性规划模型：

关于条件约束的说明：

1. 这是利用已确定信息计算高额奖金； 2. 心理效用函数的确定； 3. 对前三等奖比例的约素；

4. 限定一等奖的获奖比例不会太大或太小；

5. 由题目要求给出的一等奖的保底金额与封顶金额；

6. 对已知的29种彩票设奖金额进行统计所得出的第i等奖奖金额与第i+1等奖 奖金额应满足的关系，其中

bi=1.0e+003 *[2.1409, 0.1000, 0.3290, 0.0200, 0.0100, 0.0100], ai=[10.0000, 4.0000, 3.0428, 2.0000, 2.0000, 2.0000].

7. 说明由选球方案所决定的中奖概率应符合一般习惯：高一级奖的中奖概率低于 低一级奖的中奖概率； 8. 选出球数的范围； 9. 供选球数范围；

10.保证分配比例和奖金额非负的限定。

根据以上条件，利用Matlab进行非线形整数规划，我们得到新的最优方案为：

合理性值 设置方案

1.60742e-006 6/32 0.708983 0.0955094 0.195507 50 3 0 0

七． 模型的改进。

当我们使用各地区的实力因子来分别考虑最优方案时，仍然使用上面的最优模型，运行程序可得各地最优彩票设置为：

北京 内蒙古 辽宁 福建 湖北 湖南 贵州 29/7 0.73 0.170000 0.0999998 100 10 5 0 天津 河北 安徽 江西 山东 云南 32/7+

全国一等奖

关于彩票问题的数学模型

电子科技大学

指导教师：张勇

参赛队员：付小锋 丘允阳 胡俊东

2002.9.23

关于彩票问题的数学模型

摘要：

本文对彩票问题从数学的角度进行了分析研究，对29种常见方案的合理性进行了综合评价，设计了两种“更好”的方案。

首先，计算出各类型彩票各奖项的中奖概率。将中奖面和一等奖单注奖金的期望值作为方案合理性的评价指标，建立了一双目标优化模型。考虑到中奖面和一等奖单注奖金的期望值处于不同的数量级，对它们进行了规一化处理，然后引入非负加权因子，从而将双目标优化模型转化为单目标优化模型进行求解。考虑到不同的彩民对中奖面和一等奖单注奖金期望值的偏好程度不同，给出了适合于不同彩民的合理方案。

我们分别设计了面向“保值型”彩民的“22选5”方案和面向“激进型”彩民的双彩池摇奖方案，给出了相应的算法并对其可行性进行了分析。对彩票管理部门提出了设“积宝池”、使用调节基金、采用“二次开奖”和“附加奖”等建议。

最后，对模型进行了分析和评价，提出了模型的改进方向。并给报纸写了一篇关于合理选择彩票问题的文章。

关于彩票问题的数学模型 一、

问题的提出：

巨额诱惑使越来越多的人加入到“彩民”的行列，目前流行的彩票主要有“传统型”和“乐透型”两种类型。

“传统型”采用“10选6+1”方案，根据单注号码与中奖号码相符的个数多少及顺序确定中奖等级（具体摇奖规则及中奖等级说明见附件一）；“乐透型”有多种不同的形式，分为“m选n”型方案和“m选n+1”型方案，根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级，不考虑号码顺序（具体摇奖规则及中奖等级的说明见附件二）。

已知这两种类型彩票的总奖金比例一般为销售总额的50%，投注者单注金额为2元，

单注若已得到高级别的奖就不再兼得低级别的奖。现在常见的销售规则及相应的奖金设置方案如附表三，其中一、二、三等奖为高项奖，后面的为低项奖。低项奖数额固定，高项奖按比例分配，但一等奖单注保底金额60万元，封顶金额500万元，各高项奖额的计算方法为：

[(当期销售总额 ×总奖金比例) -低项奖总额 ]×单项奖比例

（1）根据这些方案的具体情况，综合分析各种奖项出现的可能性、奖项和奖金额的设置以及对彩民的吸引力等因素评价各方案的合理性。

（2）设计一种“更好”的方案及相应的算法，并据此给彩票管理部门提出建议。 （3）给报纸写一篇短文，供彩民参考。 二、

问题分析：

问题的第一问要求对29种彩票方案进行综合分析并评价各方案的合理性，考虑彩票发行人的获利情况和彩票方案对彩民的吸引力两个方面因素，分析彩票方案合理性。一套方案对彩民的吸引力越大，则它的销售总额也就越大；在销售规则不变的前提下，发行人的获利就越多。因此，方案对彩民的吸引力是影响彩票方案合理性的主要因素。

要评价方案的合理性关键在于确立关于方案合理性的评价指标。根据“不确定条件下消费者选择理论”，中奖率低但中奖额高是影响吸引力的主要因素。因此可以考虑将彩票的中奖面和高等奖单注奖金的期望值作为评价指标，来衡量各方案的合理性。

由于一等奖占高等奖奖金的60%以上，可以考虑用一等奖单注期望值代替高等奖单注奖金期望值作为评价指标，这并不影响对方案合理性的分析。由于一等奖单注奖金的期望值和中奖面之间又存在相互制约的关系，可以考虑建立双目标优化模型对问题进行研究。不同类型的彩民对两者的偏好程度不一样，高风险倾向彩民主要偏向于一等奖单注奖金的期望值，低风险倾向彩民主要偏向于中奖面。根据实际情况，可以引进偏好系数，考虑在不同偏好系数下，适合该类型彩民的合理性方案。 三、

基本假设：

1) 彩票的摇奖过程是公正的，即能够保证基本号和特别号的产生是随机的。 2) 单注彩票若已得到高级别的奖就不再兼得低级别的奖。 3) 各类型彩票的总奖金比例为其当期销售总额的50%。 4) 一等奖单注保底金额60万元，封顶金额500万元。

5) 当期未中出的浮动奖奖金，或者超出头等奖单注封顶限额部分的奖金，考虑自

动滚动到下一期一等奖，直至中奖。 6) 不考虑中奖弃领的情况。

7) 只讨论“传统型”和“乐透型”两种类型。

8) 方案中没有设置奖金的奖项的中奖概率计为零。 四、

变量说明：

1) k ：销售方案中设置的最低奖项的等级。 2) Pi (i=1,2,?,k) ：第i等奖出现的概率。

3) qi (i=4,5,?,k) ：低项奖中第i等奖对应的固定奖金额。 4) ti (i=1,2,3) ：高项奖中第i等奖对应的分配比例。 5) N ：当期彩票的总投注数（单位：注）。 6) Z ：一等奖奖金的期望值。 7) P ：彩票的中奖面。

8) m ：摇奖时的号码球总数。（单位：个）

9) n ：基本号码球个数。（单位：个） 10) P：29种方案中奖面的平均值。 11) P：P与P的比值。 *

??12) Z：29种方案一等奖单注奖金的平均期望值。 13) Z：Z与Z的比值。 *

??１：彩民对中奖面的偏好系数。 14) ?15) ?２：彩民对一等奖的偏好系数。 五、

模型的建立和求解：

（一）建模前的准备：

1、 对彩票各奖项的中奖概率的讨论：

通过对彩票的各种方案进行分析，发现彩票共可分为“传统型”、“乐透型”中的“从m中选n”和“从m中选n+1”型。为此，我们对这三种类型彩票各奖项的中奖概率分别进行讨论：

1)“传统型”彩票各奖项的中奖概率（以一注为单位，计算每一注彩票的中奖概率）： 一等奖：前6位数有106种可能，,特别号码有5种可能，共有106×5=5000000种选择，而一等奖号码只有一个。因此，一注中一等奖的概率为：

P 1= 1 /5000000 = 2×10-7= 0.0000002

二等奖：前6位数相同的，只有一种可能，故中二等奖的概率为 ：

Ｐ2= 1 /1000000 = 10-6= 0.000001 ；

三等奖：有18个号码可以选择，故中三等奖的概率为：

Ｐ3 = 18/ 1000000 = 0.000018 ；

四等奖：有252个号码可以选择，故中四等奖的概率为：

Ｐ4= 252/ 1000000 = 0.000252 ；

五等奖：有3420个号码可以选择，故中五等奖的概率为：

Ｐ5= 3420/ 1000000 = 0.00342 ；

六等奖：由于其特殊性，考虑如下：

① 不考虑号的重复：

abXXXX是六等奖号，所以不能是abXdef型，就有9?103-9个号

同理： XXXXef也有9?103-9个号

其他类型号不存在这种情况，都有92?103个号 所以总的不重复的号有：42282个号 ② 考虑重复的号的个数：

分析可发现重复号的类型有：abXcdX , XbcXef , abXXef,这三种类型每种有81个号，所以重复的号的个数为：243个

③ 总的中奖号数目：42282-243=42039

故中六等奖的概率为：

Ｐ6= 42039 / 1000000 = 0.042039。

合起来，每一注总的中奖率为：

Ｐ =Ｐ1 +Ｐ2 +Ｐ3 +Ｐ4+Ｐ5+P6= 0.0457302 ≈ 4.6%，

这就是说，每1000注彩票，约有 46注中奖 (包括一等奖到六等奖 )。

2)“乐透型”中“从m中选n”型彩票各奖项的中奖概率（以一注为单位，计算每一注彩票的中奖概率）：

此类型彩票开奖时从m个号码球中随机抽取 n+1个号码球，前 n个为基本号，第 n+1个为特别号码。从排列组合的知识可以得出，从 m个数码中随机抽取 n个数码组成一个中奖数组，而且与这 n个数码的顺序无关，所以这是一个组合问题。因此，从 m个数码中随机抽取 n个数码的组合数是Cm。

n

1一等奖：一等奖号码只有一个。因此，一注中一等奖的概率为：Ｐ1 =

n?1Cnm；

二等奖：二等奖 (n-1个基本号码加一个特别数码)的组合数为Cn。 三等奖：三等奖 (n-1个基本号码)的组合数为Cnn?1?Cm?n?11。

四等奖：四等奖 (n-2个基本号码加一个特别数码)的组合数为Cn五等奖：五等奖 (n-2个基本号码)的组合数为Cnn?2n?2?Cm?n?11。

?Cm?n?12。

n?3六等奖：六等奖 (n-3个基本号码加一个特别数码)的组合数为Cn七等奖：七等奖 (n-3个基本号码)的组合数为Cnn?3?Cm?n?12。

?Cm?n?13。

故“乐透型”中“从m中选n”型彩票各奖项的中奖概率为：

1Ｐ1 = Cm；Ｐ2

nC= Cn?1nnmC；Ｐ3 =

n?1n?Cm?n?1nm1C；Ｐ4 =

n?3nn?2n?Cm?n?1nm1C2nmC。

；

CＰ5=

n?2n?Cm?n?1nm2C；Ｐ6=

n?3n?Cm?n?1；P7=

C?Cm?n?1nm3CCC3)“乐透型”中“从m中选n+1”型彩票各奖项的中奖概率（以一注为单位，计算每一注彩票的中奖概率）：

采取类似于2)的分析方法，可以求出“从m中选n+1”型彩票各奖项的中奖概率为：

1Ｐ1 =

Cnn?1m；Ｐ2

2C= C1m?n?1n?1mC；Ｐ3 =

n?2n3n?1n?Cm?n?1n?1m1C；Ｐ4 =

n?1n?Cm?n?1n?1m2CC。

；

CＰ5=

n?2?Cm?n?1n?1mC；Ｐ6=

?Cm?n?1n?1mC；P7=

n?3n?Cm?n?1n?1m3CCC4）第23种方案：此方案属于“35选7”的特殊“乐透型”，但是此方案中没有设置特别号码。各奖项中奖概率如下计算：

7?i?1i?1C7?C287C35第i等奖中奖概率为：

（i=1,2?5）。

具体所提供的29种方案各奖项的中奖概率（即各种奖项出现的可能性）见附表四（各奖项的中奖概率分布表）。 对各方案影响因素的讨论：

彩票的方案是否合理受到多种因素的共同影响，我们考虑将中奖面和一等奖单注奖金的期望值作为评价的两个指标，对各方案的合理性进行评价。中奖面越广，一等奖单注奖金的期望值越高，对彩民的吸引力也就越大。对彩民吸引力增大，必然导致彩票销售总额的增加，从而方案也就越合理。下面对各目标函数分别进行讨论： 1)

彩票的中奖面P：

中奖面为中奖的彩票总数与该期彩票的总投注数的比值。彩票中奖面的大小与彩民的直接利益息息相关，如果中奖面广，单注的中奖概率就增大，对于彩民来说他购买彩票能够中奖的机率也就增加。因此，中奖面是衡量方案合理性的重要因素之一。在此，我们用各获奖项的概率之和作为彩票中奖面大小的衡量指标，即：

中奖面

P??Pii?1k (i=1,2,?,k)；

（Pi为第i等奖出现的概率）

2) 一等奖单注奖金的期望值Z：

通过对彩票业的良好现状及大量的资料进行分析，发现彩票的“巨额诱惑”是导致“彩民”数急剧增大，彩票业蓬勃发展的重要因素之一。也就是说当前大多数彩民对一等奖的关注程度远远超过了对其他奖项的关注程度，一等奖单注奖金的期望值的高低决定着对彩民的吸引力的大小。因此，一等奖单注奖金的期望值也是衡量方案合理性的重要因素之一。一等奖单注奖金的期望值Z为：

kk1(N?2??N??Pi?qi)?t1(1??Pi?qi)?t12i?4i?4N?PP11Z = =

（变量说明：N为当期彩票的总投注数；Pi (i=1,2,?,k) 为第i等奖出现的概率；

qi (i=4,5,?,k) 为低项奖中第i等奖对应的固定奖金额；t1 方案中一等奖对应的分

配比例。）

３、对各约束条件的讨论：

方案对彩民的吸引力主要与高项奖和低项奖的设置有关。设置高额巨奖的目的是激发人们的博彩心理，刺激他们去购买彩票。因此高项奖的奖金额必须足够高才能对彩民有足够的吸引力。设置中、低等奖的目的主要是满足多数人的心理需求。人们的中奖心理具有递进性，中了中、低等奖之后，往往会唤起拿到高等奖的信心与渴望。若中奖面太窄，则会使彩民受挫，打击彩民购买彩票的信心。

另外，一、二、三等奖金的比例必须适当，要使每期发下去的奖金尽可能的多，即在奖池中不能长期的驻留奖金，否则也会打击彩民的信心。

因为级差太小不能体现各奖项之间的等级差别, 而级差太大会打击彩民的信心，所以由以上分析得到以下3个约束条件：

(1) 高项奖的单注奖金比低项奖的单注奖金高。

博彩的游戏规则是单注中奖期望值与其概率成反比。我们称之为准则一；由于中奖概率随奖项等级的提高而单调递减，根据准则一有约束条件： Z1>Z2>Z3>q4

(1??Pi?qi)?tii?4k因为单注第i等奖期望：Zi = 由以上两式得：

Pi （１<= i <=3 ）

t1t2t3???PPP312q4(1??Pi?qi)i?4k

(2) 各项奖金的期望值的级差在一定的范围内。

即满足：Ｍax[Zi/ Zi＋１]<=c ( c为一常数)

(3) 一等奖单注奖金的期望应该在60万元到500万元之间。

60? 即满足：

(1??Pi?qi)?t1i?4kP1?500

（二）问题一模型的建立和求解：

１、通过以上建模前准备中对方案评价影响因素的分析，为了对各方案的合理性进行评价，可以建立关于P、Z值的双目标优化模型如下：

k??max　P??Pii?1??k?(1??Pi?qi)?t1?i?4?max　Z?P??1

k?(1??Pi?qi)?t1?i?4?60??500P?1?q4?t1t2t3????kPPP23?1(1??Pi?qi)?i?4?3??ti?1?约束条件为： s.t. ?i?1

该双目标规划模型表示中奖面越广，一等奖单注奖金的期望值越高，该方案也就越合理。

２、求解模型：

变量说明：

①P：29种方案中奖面的平均值。 ?②P：P与P的比值。 *

?③Z：29种方案一等奖单注奖金的平均期望值。 ④Z：Z与Z的比值。 *

??１：彩民对中奖面的偏好系数。 ⑤?２：彩民对一等奖的偏好系数。 ⑥?⑦W ：方案合理性的衡量指标。 1）对P、Z进行规一化处理：

我们分别求出这29种方案的P、Z值（见附表五），从表中可以发现它们的差异很大，分别处于不同的数量级。所以不能直接引入非负加权因子，将此双目标规划模型转化为单目标规划模型进行考虑。因此，我们考虑对P、Z进行规范化处理，将它们统一到相同的数量级范围。

进行规范化处理的具体步骤如下（我们以对P的处理为例进行说明）：

①

将这29种方案的P值进行加权求和，再算出它们的平均值。即求得

P?1P?29。

P求出每一种方案的P值与P的比值P*，即求得P*=P。

所求出的P*即为经过规一化处理后的P值。按照相同的方法对一等奖单注奖

②

金的期望值Z进行规一化处理，求得

*

*

Z*?ZZ，经过处理后的P*、Z*即处于相同的

数量级范围。（求出的P、Z见附表六）。

2）引入两个非负加权因子?1，?2，将此双目标规划模型转化为单目标规划模型，即：

**max　W =?P??Z12

k?(1??Pi?qi)?t1?i?4?60??500P?1?q4?t1t2t3????kPPP23?1(1??Pi?qi)?i?4?3??ti?1?约束条件为 s.t. ?i?1

非负因子?1，?2为多目标的权重系数，分别代表彩民对中奖面和一等奖单注奖金的期望值的偏好程度。该单目标规划模型表示在?1，?2一定的情况下，方案合理性的衡量指标W的值越大，则该方案在该情况下也就越合理。我们取三组权重系数，分别为：

?２＝0.5 ；?２＝0.8 ；?２＝0.2 ；１＝0.5 ，１＝0.2 ，１＝0.8 ，(1) ?(2) ?(3) ?

根据权重系数的不同，可以分别求出29种方案在该权重系数下的目标函数值（见附表七）。 ３、求解结果：

１＝0.2 ，?２＝0.8时：1) 权重系数为?（29种方案在该权重系数下的目标函数值如

下表A）：

目标函序号 数值 1 2 3 4 5 6 7 8 0.3966 0.5854 0.6111 0.6369 0.4346 0.4459 0.4982 0.5706 9 10 11 12 13 14 15 16 序号 数值 0.6256 0.417 0.5518 0.4502 0.4826 0.515 0.4856 0.5852 17 18 19 20 21 22 23 24 目标函序号 数值 0.4884 0.5745 0.5287 0.5124 0.4956 0.6321 0.8838 0.5016 25 26 27 28 29 目标函序号 数值 0.5038 0.5644 0.4383 0.6538 0.4448 目标函１＝0.2 ，?２＝0.8时各方案的目标函数值） （表A：?该类型彩民为“激进型”彩民，根据表A中各目标函数值的分布，我们可以得到适合于该类型彩民的较为合理的方案，依次为（同类型的只提供一种选择，此处只提供前五种）：23，28，4，9，16，18。

１＝0.8 ，?２＝0.2时： 2) 权重系数为?该类型彩民为“保值型”彩民。按照类似于1)的分析方法对目标函数值进行分析，得到适合于该类型彩民的较为合理的方案，依次为（同类型的只提供一种选择，此处只提供前五种）： 4，23，9，10，16。

１＝0.5 ，?２＝0.5时： 3) 权重系数为?该类型彩民为界于“激进型”和“保值型”之间的彩民。按照类似于1)的分析方法对目标函数值进行分析，得到适合于该类型彩民的较为合理的方案，依次为（同类型的只提供一种选择，此处只提供前五种）：23，26，4，25，9 。 （三）“更好”的方案的设计及相应的算法：

根据以上对彩票问题的研究，结合实际情况，我们设计了分别适合于“保值型”和“激进型”彩民的更为合理的方案。 1、面向“保值型”彩民：

“保值型”彩民即为低风险型彩民，因此对于面向“保值型”彩民的方案，应当考虑降低一等奖中奖难度，使每期均有一等奖中出，从而形成中奖效应，提高对彩民的吸引力并调动彩民的积极性。

随着大奖中奖概率的提高，单注奖金会因此而减少。考虑彩民心理承受能力和奖金设置对彩民的吸引力，单注一等奖的单注奖金最好不要低于1万元，一等奖的中奖概率宜取0.00001~0.00002。为保证彩民的利益和方案的可行性，可以考虑采用“封顶”和“保底”并且将奖金大部分集中到头奖的方案。 面对“保值型”彩民的方案和算法： 方案选择：22选5

中奖规则：选5中5为一等奖；选5中4为二等奖；其他奖项依次类推。（无特别

号且不考虑号码顺序）。

销售方案：总奖金占销售总额的50%，单注金额不变，单注若已得到高级别奖就不

再兼得低级别奖。低项奖金固定，高项奖金浮动，一等奖单注保底一万，封顶金额500万。

奖金设置：只设置一、二等奖。二等奖固定奖金50元，其余归一等奖。 方案的可行性分析：

1、 一等奖中奖概率为1/65780，即0.000015，为30选7的30多倍，36选7的125

倍。特别适合于低风险倾向的“保值型”彩民。 2、 中奖面为1.6%，相对来说可以让大部分彩民接受的。

3、 单注一等奖奖金保底10000，封顶金额5000000，使得彩民心理能接受并保证发

行部门的利益。

4、 一般每期均有中一等奖的情况，这容易形成中奖效应，从而提高彩票发行量 5、 可推广应用于人口基数较小或经济较不发达地区。

6、 由于没有调节基金，可能使某期总奖金超过销售总额的50%。 7、 可根据一等奖中奖概率的高低选择底数的大小

２、面向“激进型”彩民：

当方案设计面向高风险倾向彩民或者当预期总投注额很大时，例如某地区存在相当数量的高风险倾向彩民或者准备在全国范围内统一销售的情况，这时要求单注头奖奖金足够大。针对这种背景，根据预计总投注数的具体情况，我们提出了改进性超级乐透彩方案：

方案规则的设定：采用m选n+1的模式；并改采用“双彩池摇奖”的方式。具体规则为：n个正选号码从总球数为m个的彩池中一个一个摇出基本号，再从另一个总球数为m个的彩池中摇出一个特别号码。根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级，不考虑基本号码的顺序。根据预计总投注数N的大小，确定m的大小（n一般取5－７）。设置奖项为：n个基本号码和一个特别号码全部相符时为一等奖。现在拟取m为５２，n为５；.易得此时中一等奖的概率为１/１３５１４５９２０；中奖者奖成为“亿元”富翁。中一等奖期望人数＝中一等奖的概率*投注总数。故对１３亿人口的我国国情，在市场比较成熟的条件下，可在全国推行该方案。 2、 给彩票管理部门的建议：

（1）对人口基数较小或经济较不发达地区采取“22选5”方案，对高风险倾向彩民数量较多的地区或全国范围内统一销售的情况采取高难度的方案。 （2）考虑到在实际中可能会出现一等奖多期未中的情况及对于为补足60万单注保底奖金的那部分差款的处理。我们对彩票管理部门提出以下建议：

①设“积宝池”的方法，即当期一等奖未中，或者单注一等奖封顶后超出的部分，或者前期弃奖奖金自动滚入下期一等奖。并考虑从每期50%返回奖金中拿出1%来当调节基金，这样就可以很好的解决差款的问题。

②对于一二三等奖及固定奖之间单注奖比例可能出现的处理。可以通过修改规则，使用调节基金来解决。例如当期高等奖单注奖额在未达到封顶额但低于其下一等奖金额时，应保证高等奖的实际金额高于其下一等奖单注奖金的一倍，资金来源由调节基金来调节。或者采用增设附加号（特别号）来调节奖级间的比例。

③当一等奖中奖概率过低时，可能出现多期一等奖未中，而奖池里驻留奖金过多的情况，在不改变方案的前提下，这时彩票管理部门可考虑采用“二次开奖”和“附加奖”的办法。若这种现象长期出现，则应考虑修改方案，提高一等奖中奖概率，从而形成发行者和彩民的双赢局面。

④每一种方案根据其中奖率和中奖面的不同而有适应其的特定顾客群。一般根据中头奖概率的高低将方案分为高、中、低难度。偏好高回报的彩民一般会选用难度较高的方案。故发行新形式的彩票时，应考虑当地彩民的偏好。

六、模型分析：

1.模型结果的重述：（在不同权重下的较合理方案）

１＝0.2 ，?２＝0.8（1） 权重系数为?“激进型”彩民）时合理方案序号：23，28，4，

9，16，18。

１＝0.8 ，?２＝0.2（2） 权重系数为?“保值型”彩民）时合理方案序号：4，23，9，

10，16。

１＝0.5 ，?２＝0.5（3） 权重系数为?“中间型”彩民）时合理方案序号：23，26，4，

25，9 。 2. 模型的分析

1）在不同的偏好系数下，方案4，23，9都体现出比较好的稳定性。其主要原因是这

些方案同时具备有比较大的中奖面和比较高的一等奖单注期望值。

2）在同一偏好系数下，模型能较合理的衡量评价方案的合理性。以第一组数据为例：

10.90.80.70.60.50.40.3051015202530 （上图为综合指标分布图）

由综合指标分布图可以得到这样的结论：在偏好系数比例为8：2时，即对高风险倾向的彩民，方案23显著优于其他方案。2，3，4方案比5，6方案合理。这与实际是相符合的。因为方案23的单注一等奖奖金期望值超过5000000，而方案5，6一等奖单注中奖额仅为750000元，为方案4 2250000的1/3倍。故模型能显著的反映在某种偏好系数下，适合该类型彩民的方案的合理性。

反而言之，可以推算出不同方案适合哪种类型的彩民，从而给彩票管理部门提供有价值的参考。让他们根据当地彩民的实际情况，针对不同类型彩民采用不

同的方案，使其效益最高。. 七、模型的评价和改进：

a)

我们通过一些合理的假设，针对彩票方案合理话问题建立了一般模型。模型采用规范化将多指标转综合成单目标优化模型。对29个销售规则进行了很好的合理性分析，根据彩民对中奖率的偏好和对高项奖的偏好，给出了一个合理性排列，使彩民可以根据自己的喜好来选择最适合自己的彩票。 b)

对于29个销售规则合理性分析的基础上，我们给出了寻找一种更好的方案的思想，并且给出了一种更好的方案。 c) d)

模型是建立在一定的假设条件下，具有一定的实际推广意义。 模型没有考虑滚动彩池的方案，其合理性指标值有一定的偏差。

模型改进可以考虑在保证头奖奖金足够吸引人，中奖面可以让彩民接受的前提下，调节各等级奖项之间的比例，使方案尽可能的公平、合理。 八、参考文献：

[1] 欧阳卫民 闵路浩 《彩票理论与实践》 中国金融出版社 ，1996 [2] 严峰 韩玉芬 《彩票指南》 北京 中国人民大学出版社 ，1993 [3] 姜启源 《数学模型》 [M]. 北京 高等教育出版社，1993 [4] 王福保 《概率论与数理统计》 上海 同济大学出版社， 1994 [5] 中国科学院数学研究所运筹室 《最优化方法》 北京 ，1980 九、附件清单： 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

给报社的短文：合理选择彩票类型。 附件一（传统型摇奖规则及中奖等级） 附件二（乐透型摇奖规则及中奖等级） 附表三（销售规则及相应的奖金设置方案） 附表四（各奖项的中奖概率） 附表五（P、Z值表） 附表六（P*、Z*值）

8. 附表七（不同权重下的W值）

附 件

1、给报社的一篇短文： 合理选择彩票类型

彩票的中奖号码是由一定范围内的几个自然数，任意组合而成的。通过对现有的各类型彩票方案

进行研究，我们可以根据头奖中奖概率将彩票分为“低难度”、“中等难度”和“高难度”三种类型。

一般情况“低难度”产生“万元户”，“中等难度”产生“百万富翁”，“高难度”产生“千万富豪”。

风险和回报是成正比的，低风险低回报，高风险高回报。因此，彩民在购买彩票时必须根据自己的

偏好和所能够承担风险的大小购买适合自己的彩票。对于“保值型”即“保守型”的彩民，最好选择低、

中难度的彩票类型进行投注。（比如可考虑选择购买“传统型” 彩票和“乐透型”中的“22选5”型

彩票）。这两种类型的彩票中奖面相对来说都比较大，就是说彩民购买彩票后能够中奖的机会比较高。

但这种类型彩票的高项奖奖金一般都不会太高。

对于那些追求高额奖金的人，可以考虑购买高难度型彩票（比如“乐透型”中的“36选7”型彩票和

“六合彩”）。高难度型彩票的特点是高项奖特别是头奖的奖金比较可观，但风险比较高。比如，现在

流行的“六合彩”采取“40选6”方案，其头奖金额可高达几百万甚至更高，但它的中奖面仅为0.5% ，

即1000注彩票中只有5注能够中奖。所以彩民在投高难度型彩票之前，除了看到其奖金可观外还必须

清楚高难度型彩票的高风险性，要确定自己能够承担足够大的风险。

当然，要对彩票进行合理的投资，彩民还应具有分散投资的意识。即将资金分散开来投资，购买不同

的彩票，使得各种彩票所带来的平均风险最小，而所得到的平均收益最大。 2、 附件一（传统型摇奖规则及中奖等级）：

“传统型”采用“10选6+1”方案：先从6组0~9号球中摇出6个基本号码，每组摇出

一个，然后从0~4号球中摇出一个

特别号码，构成中奖号码。投注者从0~9十个号码中任选6个基本号码（可重复），从0~4中选一个特别号码，构成一注，

根据单注号码与中奖号码相符的个数多少及顺序确定中奖等级。以中奖号码“abcdef+g”为例说明中奖等级，如下表一（X表 示未选中的号码）。

表一 中 奖 等 级 10 选 6+1（6+1/10） 基 本 号 码 特别号码 一等奖 abcdef 选7中（6+1） g 二等奖 三等奖 四等奖 五等奖 六等奖 abcdef abcdeX Xbcdef abcdXX XbcdeX XXcdef abcXXX XbcdXX XXcdeX XXXdef abXXXX XbcXXX XXcdXX XXXdeX XXXXef 选7中（6） 选7中（5） 选7中（4） 选7中（3） 选7中（2） 说 明 3、附件二（乐透型摇奖规则及中奖等级）： “乐透型”有多种不同的形式，比如“33选7”的方案：先从01~33个号码球中一个一个地摇出7个基本号，再从剩余

的26个号码球中摇出一个特别号码。投注者从01~33个号码中任选7个组成一注（不可重复），根据单注号码与中奖号码相

符的个数多少确定相应的中奖等级，不考虑号码顺序。又如“36选6+1”的方案，先从01~36个号码球中一个一个地摇出6

个基本号，再从剩下的30个号码球中摇出一个特别号码。从01~36个号码中任选7个组成一注（不可重复），根据单注号码

与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级，不考虑号码顺序。这两种方案的中奖等级如表二。

表二（注：●为选中的基本号码；★ 为选中的特别号码；○ 为未选中的号码）

中 奖 33 选 7（7/33） 36 选 6+1（6+1/36） 基 本 号 码 特别号码 说 明 基 本 号 码 特别号码 ●●●●●● ★ 说 明 一等奖 ●●●●●●● 选7中（7） 二等奖 ●●●●●●○ ★ 三等奖 ●●●●●●○ 选7中（6+1） 选7中（6） 选7中（5+1） 选7中（5） 选7中（4+1） 选7中（4） 选7中（3+1） 选7中（6+1） ●●●●●● 选7中（6） ●●●●●○ ★ 四等奖 ●●●●●○○ ★ 选7中（5+1） ●●●●●○ 五等奖 ●●●●●○○ 选7中（5） ●●●●○○ ★ 六等奖 ●●●●○○○ ★ 选7中（4+1） ●●●●○○ 七等奖 ●●●●○○○

4、 附表三（销售规则及相应的奖金设置方案）：

序号 奖项 方案 一等奖 比 例 1 2 3 4 6+1/10 6+1/10 6+1/10 6+1/10 50% 60% 65% 70% 二等奖 比 例 20% 20% 15% 15% 三等奖 比 例 30% 20% 20% 15% 四等奖 金 额 50 300 300 300 五等奖 金 额 20 20 20 六等奖 金 额 5 5 5 选7中（4） ●●●○○○ ★ 七等奖 金 额 备 注 按序 按序 按序 按序

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 7/29 6+1/29 7/30 7/30 7/30 7/31 7/31 7/32 7/32 7/32 7/33 7/33 7/34 7/34 7/35 7/35 7/35 7/35 7/35 60% 60% 65% 70% 75% 60% 75% 65% 70% 75% 70% 75% 65% 68% 70% 70% 75% 80% 100% 20% 25% 15% 10% 10% 15% 10% 15% 10% 10% 10% 10% 15% 12% 15% 10% 10% 10% 2000 20% 15% 20% 20% 15% 25% 15% 20% 20% 15% 20% 15% 20% 20% 15% 20% 15% 10% 20 300 200 500 200 200 500 320 500 500 500 600 500 500 500 300 500 1000 200 4 30 20 50 50 30 50 30 50 50 50 60 50 30 50 50 100 100 50 2 5 5 15 10 10 20 5 10 10 10 6 10 6 10 5 30 50 20 5 5 5 10 5 2 5 5 5 无特别号 24 25 26 27 28 29

6+1/36 6+1/36 7/36 7/37 6/40 5/60 75% 80% 70% 70% 82% 60% 10% 10% 10% 15% 10% 20% 15% 10% 20% 15% 8% 20% 500 500 500 1500 200 300 100 100 50 100 10 30 10 10 10 50 1 5 5 5、 附表四（各奖项的中奖概率）： 序号 一等奖 二等奖 三等奖 四等奖 五等奖 六等奖 七等奖 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 0.0000002 0.0000002 0.0000002 0.0000002 0.000001 0.000018 0.000252 0 0 0 0 0 0 0 0 0.000001 0.000018 0.000252 0.00342 0.0423 0.000001 0.000018 0.000252 0.00342 0.0423 0.000001 0.000018 0.000252 0.00342 0.0423 0.00000064 0.00000448 0.000094 0.000283 0.00283 0.0047 0.00000064 0.000014 0.000085 0.000888 0.00222 0.0148 0.00000049 0.00000344 0.000076 0.000227 0.00238 0.004 0.0265 0.00000049 0.00000344 0.000076 0.000227 0.00238 0.004 0.0265 0.00000049 0.00000344 0.000076 0.000227 0.00238 0.004 0.0265 0.00000038 0.00000266 0.000061 0.000184 0.00202 0.00337 0.0236 0.00000038 0.00000266 0.000061 0.000184 0.00202 0.00337 0.000000297 0.00000208 0.00005 0.000150 0.00172 0.00287 0.000000297 0.00000208 0.00005 0.000150 0.00172 0.00287 0.000000297 0.00000208 0.00005 0.000150 0.00172 0.00287 0.000000234 0.00000164 0.000041 0.000123 0.00147 0.00246 0 0 0 0 0 0.000000234 0.00000164 0.000041 0.000123 0.00147 0.00246 0.0188 0.000000186 0.0000013 0.000034 0.000101 0.00127 0.00211 0 0.000000186 0.0000013 0.000034 0.000101 0.00127 0.00211 0.0169 0.000000149 0.00000104 0.000028 0.00008 0.0011 0.0018 0 0.000000149 0.00000104 0.000028 0.00008 0.0011 0.0018 0.0152 21 0.000000149 0.00000104 0.000028 0.00008 0.0011 0.0018 0.0152 22 23 24 25 26 27 28 29 0.000000149 0.00000104 0.000028 0.00008 0.0011 0.0018 0.0152 0.000000149 0.00002915 0.00112 0.01705 0.0213 0.00000012 0.00000347 0.000021 0.00029 0.00073 0.0066 0.0088 0.00000012 0.00000347 0.000021 0.00029 0.00073 0.0066 0 0.00000012 0.00000084 0.000023 0.00007 0.00095 0.00158 0.0137 0.000000097 0.00000068 0.00002 0.00006 0.00083 0.00138 0.00000026 0.00000156 0.000052 0.000129 0.00206 0.00275 0.000000183 0.00000092 0.000049 0.000099 0.00262 0 0 0 0

6、 附表五（P、Z值表）： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7、 附表六（P、Z值）： 序号 1 2 3 4 5 6 7 *

*

P值 0.00027 0.046 0.046 0.046 0.0079 0.018 0.0332 0.0332 0.0332 0.0292 0.0056 0.0048 0.0048 0.0048 0.0041 Z值 2468500 1933500 2094625 2255750 756280 660000 762760 947290 1087800 795160 1704600 1773400 1909800 2046200 2462700 序号 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 P值 0.0229 0.0035 0.0204 0.003 0.0182 0.0182 0.0182 0.0395 0.0164 0.0076 0.0163 0.0023 0.005 0.0028 Z值 2392300 3382400 3351200 3978500 3285900 3025500 3838300 5426174 4480000 5966700 5207500 6251500 2560000 3410900 P*值 0.0154 2.6087 2.6087 2.6087 0.4488 1.0214 1.8824 Z*值 0.8924 0.699 0.7573 0.8155 0.2734 0.2386 0.2758 序号 16 17 18 19 20 21 22 P*值 1.2987 0.1995 1.1581 0.1707 1.0329 1.0329 1.0329 Z*值 0.8649 1.2228 1.2116 1.4383 1.1879 1.0938 1.3876 8 9 10 11 12 13 14 15 序号 1.8824 1.8824 1.6584 0.3198 0.2718 0.2718 0.2718 0.2323 0.3425 0.3933 0.2875 0.6163 0.6411 0.6904 0.7398 0.8903 23 24 25 26 27 28 29 2.2405 0.9328 0.4336 0.9259 0.1299 0.2832 0.1571 1.6181 1.6196 2.1571 1.8827 2.2601 0.9255 1.2331 W 序号 W 序号 W 序号 W

8、 附表七（不同权重下的W值）：

１＝0.5 ，?２＝0.5 ： (1) ?

1 2 3 4 5 6 7 8

0.4539 1.6538 1.683 1.7121 0.3611 0.6300 1.0791 1.1124 9 10 11 12 13 14 15 16 1.1378 0.973 0.468 0.4564 0.4811 0.5058 0.5613 1.0818 17 18 19 20 21 22 23 24 0.7112 1.1848 0.8045 1.1104 1.0634 1.2102 1.9293 1.2762 25 26 27 28 29 1.2945 1.4043 1.195 0.6043 0.6951 (2) ＝0.2 ， ＝0.8 序W 号 序W 号 序W 号 序W 号

1 0.3966 9 0.6256 17 0.4884 25 0.5038 2 0.5854 10 0.417 18 0.5745 26 0.5644

3 0.6111 11 0.5518 19 0.5287 27 0.4383 4 0.6369 12 0.4502 20 0.5124 28 0.6538 5 0.4346 13 0.4826 21 0.4956 29 0.4448 6 0.4459 14 0.515 22 0.6321 7 0.4982 15 0.4856 23 0.8838 8 0.5706 16 0.5852 24 0.5016

１＝0.8 ，?２＝0.2 (3) ?序号 1 2 3 4 5 6 7 8 W 0.1908 2.2268 2.2384 2.2501 0.4137 0.8648 1.5611 1.5744 序号 9 10 11 12 13 14 15 16 W 1.5846 1.3842 0.3791 0.3457 0.3555 0.3654 0.3639 1.2119 序号 17 18 19 20 21 22 23 24 W 0.4042 1.1688 0.4242 1.0639 1.0451 1.1038 2.116 1.0702 序号 25 26 27 28 29 W 0.7783 1.1173 0.5559 0.4117 0.3723 全国二等奖

彩票方案综合评价模型

电子科技大学

指导老师：覃思义

参赛队员：黄智林 方亮曾文虹

日期：2002.9.23

彩票方案综合评价模型

摘要：

本文针对彩票方案的合理性评价问题，建立了两个模型。

对彩票方案合理性的综合评价，关键在于找到评价指标。本文主要从彩民的利益出发，考虑大奖的金额，总中奖面，大奖的平均中奖人数等几个彩民最关心的因素，建立了7个评价指标。根据这些指标，分别用线性评价函数法和神经元评分法建立了两个模型对彩票方案的合理性进行综合评价，并找出了几种较好的彩票发行方案为：第5，7，8，9，19，22 ，26种方案。在此基础上，通过改进其中的两种相对最好的两种方案，找到了更好的方案。

最后，根据计算结果对彩票管理部门提出建立，并写了一篇短文，以供彩民参考。

彩票方案综合评价模型

一．

问题的提出

近几年来，中华大地掀起了一股“彩票飓风”，巨额使越来越多的人加入到了“彩民”的行列。目前流行的彩票主要有“传统型”和“乐透型”两种类型。它们各自采取不同形式的抽奖方案。

（1）、现给出常见的销售规则及相应的奖金设置方案，请根据这些方案的具体情况，评价各方案的合理性。

（2）、设计一种“更好”的方案及相应的算法，并据此给彩票部门提出建议。 （3）、根据你的结论给报纸写一篇短文，以供彩民参考。 二．

问题的分析

对彩票方案的评价关键在于找出合理评价指标，从彩民的角度看，重要的因素有：大奖的金额，总中奖面，中奖机率，以及奖项的设置是否合理等。综合考虑以上因素，建立合适的指标，构造出评价函数，对29种方案进行分析和评价。 三．

基本假设

1. 当期销售的每注彩票号码是相互独立产生的。 2. 对于中了高项奖的彩票不再兼得低项奖的奖金。 3. 一等奖的单注奖金保底60万元，封顶500万元。

4. 每次抽奖都是严格按照规则，公正的抽取中奖号码，且每种号码被抽中的机会

相同。

四．

符号说明

Q 当期彩票的销售总额 N 当期彩票的销售注数

nij 第j种方案中获得第i等奖的注数 （j=1,2,? ,29 i=1,2,? ,7） qij 第j种方案中第i等奖的奖金 pij 第j种方案中第i等奖的中奖几率

?ij 第j种方案中第i等奖的奖金比例

五．

问题（1）模型的建立及求解

对于问题（1）我们分别建立线性评价函数模型和神经元评分模型 模型一：线性评价函数法

在评价一个彩票方案的合理性前，先要判断该方案的奖项和奖金额的设置是否合理。一个合理的方案必须要满足以下3个约束条件: (1) 高项奖的单注奖金比低项奖的单注奖金高 (2) 各项奖金的级差必须在适当的范围内。 (3) 一等奖单注奖金必须在60万元到500万元之间

下面用这三个约束条件对29种方案进行初选，去掉那些不合理的方案。 用约束条件(1) 筛选的结果是：全部方案都合理

用约束条件(2) 筛选的结果是：第1，6，23，24，25种方案不合理。 用约束条件(3) 筛选的结果是：第27种方案不合理。

经过初选后，将不合理的方案都去掉，还剩23种方案。筛选的具体过程见附件一。 为了公正的评价29种方案的合理性，假设29种方案的销售额都是2000万元，则每种方案售出的彩票注数为1000万注。假设每注彩票号码是在相同的条件下相互独立产生的。那么1000万注彩票的号码相当于是对一注彩票进行了1000万重贝努里试验的结果。若第j种方案的第i等奖的中奖几率为pij，则第j种方案的第i等奖的中奖注数nij=k的概率是：

kkPN(nij?k)?CNpij?(1?pij)N?k （N=1×107 ） ①

因此nij服从二项分布，即nij ~B(N,pij)。

衡量一个方案的合理性，就是衡量该方案对彩民的吸引力。而彩票方案对彩民的吸引力主要与高项奖和低项奖的设置有关。

1）设置高额巨奖的目的是激发人们的博彩心理，刺激他们去购买彩票。因此高项奖的奖金额必须高才能对彩民有吸引力。

2）设置中、低等奖的目的主要是满足多数人的心理需求。人们的中奖心理具有递进性，中了中、低等奖之后，往往会唤起拿到高等奖的信心与渴望。因此中奖面不能太窄，否则会使彩民受挫，打击了彩民够买彩票的信心。

通过以上的分析，我们建立7个指标来衡量一个方案的合理性：

i）一，二，三等奖的单注奖金额 ii）每注彩票的总中奖率

iii）一，二，三等奖的期望中奖注数 下面分别计算各项指标

1．对一，二，三等奖的单注奖金额q1j， q2 j， q3 j的计算.

利用公式：[（当期销售总额?总奖金比例）－低项奖金总额] ?单项奖比例，可以计算出各等奖的奖金总额Ｃij，再计算出各等奖中奖注数的期望E(nij)（j=1,2,? ,29 i=1,2,3 ）。则一，二，三等奖的单注奖金额q1j， q2 j， q3 j为：

qkj?

CijE(nij) (k=1，2，3 ； j=1,2,? ? ?,29 ； i=1,2,3)

由于nij~B(N,pij)，则E(nij)?N?pij

综上所述，一，二，三等奖的单注奖金额的计算公式为：

qkj?2?N?50%??qij?N?piji?47N?pkj??kj ②

(k=1，2，3 ； j=1, 2 ,? ? ?, 29 ； i=1, 2 ,3)

上式是除第23种方案以外的28种方案计算通式，对于第23种方案只需计算出一等奖的单注奖金额（计算时对没设置的奖项，认为它的单注奖金额为０）。 2．对每注彩票的总中奖率的计算

由于中了高项奖的彩票不再兼得低项奖的奖金，则方案j每注彩票的总中奖率就是其各个奖项的中奖概率的叠加，即是

Pj??piji?17 （j=1, 2,? ? ?, 29 ； i=1, 2,? ? ?, 7）

计算时对没设置的奖项，认为它的中奖概率为０。 3．对一，二，三等奖的期望中奖注数计算

由于n１j服从二项分布，因此可以根据二项分布的性质得到方案j一，二，三等奖的期望中奖注数为：

E(n1j)?N?p1j； E(n2j)?N?p2j

E(n3j)?N?p3j （j=1, 2 ,? ? ?, 29）

经过以上的处理，虽然得到了每种方案的相应指标，但它们的数量级是不同，为了使它们之间具有可比性,我们把各种指标的值都映射到 [0，1] 区间上。由此，我们可以建立一个评价彩票方案合理性的评价函数D，对于第j种方案，它的评价函数Dj为：

Dj???i?wiji?18

上式中wij（i=1,2,? ,8）的含义如下：

w1j，w2j，w3j，分别是第j种方案一，二，三等奖的单注奖金额映射到区间[0，1]上的值。 w4j是第j种方案当期彩票的总中奖注数映射到区间[0，1]上的值。

w5j，w6j，w7j，是第j种方案一，二，三，等奖中奖注数的期望映射到区间[0，1]上的值。

?i（i=1,2,?，7）是相应的权重系数。Dj值的大小反映了彩票方案合理性的高低，Dj

值越大，表明该方案越合理。

我们采用线性映射，对各个指标作如下的处理：

w1j?q1j5?10 ，

76w2j?w5j?q2j5?10 ， E(n1j)10 ，

5w3j?q3j5?104 E(n2j)100，

w7j?E(n3j)1000

w4j??piji?1 ，

w6j?（j=1,2,? ? ?,29 ； i=1,2,? ? ?,7）

当权重系数?i（i=1,2,?，7）的取值为：

?1?6,?2?3,?3?1,?4?40,?5?4,?6?3,?7?2时

得到各种方案评价函数Ｄj值的情况如下表所示： 表 一

排列序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 方案序号 26 22 19 5 9 8 7 29 18 20 4 28 2 3 21 17 16 11 Ｄj值 8.4316 7.9934 7.6199 7.3061 7.2898 7.1200 6.9296 6.8541 6.8331 6.7669 6.7582 6.7283 6.6490 6.6007 6.5008 6.4493 6.3610 6.0510

19 20 21 22 23 10 15 14 13 12 5.8785 5.7463 5.7395 5.5921 5.5454 关于权重系数对评价函数的影响，将在参数的灵敏度分析中讨论。 模型二：神经元评分法 1．模型的引出

在模型一中评价函数的确定依赖于选取的权重系数，而权重的选取过于抽象，不好制定统一的标准。为了更直观地作出评判标准，我们考虑下面的评判方式：

令 xj=[w1j w2j w3j w4j w6j w7j w8j]T xj是特征向量，向量中的7维元素分别代表7种评判指标。

通过观察找出一种较好的方案（在实际中还可选一种运作得比较好的方案，这里不妨选第22种方案），为它打一个分（分数介于0 ~ 1），不妨设为0.7。即向量x22对应分数0.7。

为了找出各种评判指标的影响，不妨分别将向量中各维元素进行变动（w5j变大，其余变小）得到7个新的向量。如将1等奖金额减小到60万，得到w1j= 0.12 ，即：

xj1=[w1j w2j w3j w4j w5j w6j w7j ]T

用同样的方法可得到其它6个新向量（这样改过后的方案较改前差），并分别对它们打分，可得下表（通过得分的变化来反应各评判指标的影响）：

表 二

向量 x221 x222 x223 x224 x225 x226 x227 ??改动的元素 ?j= w10.12 ?j= w2w2j/10 0.5 ?j= w3w3j /10 0.45 ?j= w40.001 0.5 ?j= w5?j= w6?j= w7w5j /10 w6j /10 w7j /10 0.5 0.45 0.4 目标得分 0.01 （说明：w1j降到了原来的0.02倍左右，其它几个元素仅降到原来的0.1倍左右，故x221的得分要低得多。）

考虑用单个神经元来实现目标，具体方式为：将这9个向量依次输入，目标输出依次为各向量的得分。通过对神经元进行多次训练，使实际输出尽可能接近目标输出。网络训练完成后，就可以用来对各种方案进行评分了。

?2．对神经元的简要说明（具体知识请参见参考文献[3]）： 其原理图如下：

图一：神经元工作原理图

图二：singmoid函数图形

10.90.8 -8Singmoid函数曲线 0.7y轴 0.60.50.40.30.20.10-10 -6 -4 0 x轴 -22 4 6 8 10 神经元的每一个输入wi(i=1，2，3，…，7)都对应一个相应的权值?i，所有的输入与其对应的权值的乘积之和输入给一个对数S型函数(即singmoid函数)。该神经元的另一个输入是常数1乘以阈值b。则对于该出神经元的输出：

a??wi??i?bi?17

神经元利用学习规则来调节整个网络的权值和阈值，使该网络的输出最终达到目标的期望值。

学习规则：对于输入向量x，输出 Q，目标矢量为t的神经元。该神经元的学习误差为e，则e=t- Q，此时神经元的权值阈值修正公式为：

??i?(t?Q)?wi?e?wi

?b?(t?Q)?1?e

??上述式中i=1，2，3，4，则更新的权值i与阈值b?为： ????????i ii

b??b??b

神经元的学习规则属于梯度下降法，该法则已被证明：如果能存在，则算法在有限次的循环迭代后可以收敛到正确的目标矢量。

3．神经元评分模型的求解及结果。

令权值和阈值的初值为0，目标误差为0，学习速率设为1。将向量 x22 ，x221, x222, x223, x224, x225, x226, x227, 依次输入神经元，训练20000次得到实际输出。 实际输出：0.6703 0.0112 0.5002 0.4516 0.5236 0.5003 0.4505 0.4001 目标输出：0.7 0.01 0.5 0.45 0.5 0.5 0.45 0.4

可以看出，结果还是比较令人满意的。

对通过初选的各种方案进行评分，可以得到如下表所示的结果（排序后）： 表 三 方案 评分 方案 评分 方案 评分 21 0.2702 16 0.3557 22 0.6737 15 0.2721 20 0.3764 19 0.6896 3 0.2849 17 0.4304 26 0.8112 4 0.2874 10 0.4673 7 0.8654 13 0.3193 18 0.4685 8 0.8892 12 0.3216 28 0.5323 9 0.9046 2 0.3245 11 0.5766 5 0.9775 14 0.3398 29 0.6030 可以看出，较好的是第22, 19, 26, 7, 8, 9, 5几种方案，与模型一的结果基本一致。 4．对本模型的讨论

1）训练后得到的权值和阈值分别为：

?1~?7：6.8762 5.0766 5.8363 36.3713 5.3492 9.7732 4.4363

b ：-10.1676

2）根据神经网络的知识，我们实际上得到了一个如下的评判函数：

1?a Q(a)=1?e (sigmoid函数)

其中： 六．

a??wi??i?bi?17

问题（2）模型的建立及求解

在问题（1）中，用模型一和模型二对29种方案进行评价，得出第26种方案和第5种方案都是很好的方案。因此，我们这两个方案为基础，寻找使评价函数取最大值时的一，二，三等奖奖金的比例（对四~七等奖，按原来的方案不变）。对于确定的方案，评价函数中只有前三个指标是变化的，其他指标都是定值，由此，把评价函数简化为

D????i?wiji?13

上式中的?i是权重系数，wij是第j种方案的第i个评价指标。

且

w1j?q1j5?106，

w2j?q2j5?105，

w3j?q3j5?104，

其中q1j， q2 j， q3 j 可由②式计算 由此建立线性规划模型：

Max

(?1?q1j5?106??2?q2j5?105??3?q3j5?104) ③

?6?105?q1j?5?106??10?q3j?q2j?100?q3js.t??4?q4j?q3j?50?q4j?10?q2j?q1j?100?q2j?

一，二，三等奖的比例?1j，?2j，?3j与q1j， q2 j， q3 j关系为：

q1j?

(Q?50%??E(nij)?qij)??1ji?47E(n1j)(Q?50%??E(nij)?qij)??2ji?47；

q2j?E(n2j)

q3j?(Q?50%??E(nij)?qij)??3ji?47E(n3j)

用线性规划模型可以求出q1j， q2 j， q3 j的值，然后根据?1j，?2j，?3j与q1j， q2

j，

q3 j的关系式计算?1j，?2j，?3j的值。 用MATLAB软件求得的结果为：

采用模型一的评价函数，以第26种方案为基础求得：?1j，?2j，?3j的值为71.93%，

21.93%，6.14%，评价函数的值是9.2051（原方案的为8.7670）。

采用模型二的评价函数，以第5种方案为基础求得：?1j，?2j，?3j的值为83.63%，13.53%，2.84% 评价函数的值是0.98（原方案的为0.9775）。 七．

参数的灵敏度分析

对模型一中权重系数的分析 从两个方面分析权重系数 1． 权重系数对评价函数的影响

选第12种方案为研究对象，依次分析每个权重系数对评价函数D12值的影响。在对某个系数进行分析时，其它系数的值不变。

由于评价函数是线性函数，因此，当只改变一个权重系数的值时，评价函数与权重系数是成线性关系的。以?1为例，当?1分别取2和3，D12的值为4.1270，4.4816，则?1每增加一个单位，D12的值增加4.4816－4.1270=0.3546。对其它的权重系数可作类似的计算，把权重系数增加一个单位，D12的变化记为⊿D12，则可得到下表：

表 四

权重系数 ⊿D12 ?1 0.3546 ?2 0.1169 ?3 0.0649 ?4 0.0048 ?5 0.2971 ?6 0.2080 ?7 0.4991 令参数?i的灵敏度为di，则由表的数据可以得到结论：

d7?d1?d5?d6?d2?d3?d4

2． 权重系数对23种方案的合理性排序的影响

分析权重系数的影响：我们采用在其它系数值不变的前提下，分别改变各个系数的大小，得到各个情况下评价函数值排在前八位方案的变化情况（见下表）。 （?1?6,?2?3,?3?1,?4?40,?5?4,?6?3,?7?2，分别改变各个权重系数的

值）

?1 4 5 6 7 8 结果（前八位） 5,9,8,7,26,22,19,2 26,5,22,9,8,7,19,4 26,22,19,5,9,8,7,29 26,22,19,9,5,20,18,29 26,22,19,20,18,29,28,21 ?2 1 2 3 4 5 结果（前八位） 26,22,9,5,19,8,7,18 26,22,19,9,5,8,7,18 26,22,19,5,9,8,7,29 26,22,19,5,9,29,8,4 26,22,19,29,5,9,2,4

?6 结果（前八位） 1 26,22,19,29,9,4,18,20 2 26,22,19,9,5,8,29,18 3 26,22,19,5,9,8,7,29 4 26,22,5,19,9,8,7,18 5 26,5,22,9,19,8,7,18

?4 结果（前八位） ?20 7 26,22,19,5,29,28,5,8 结果（前八位） 30 0 26,22,19,5,9,29,8,28 26,22,19,4,2,3,20,18 40 1 26,22,19,5,9,8,7,29 26,22,19,4,9,18,20,2 50 2 26,22,19,9,8,5,7,4 26,22,19,5,9,8,7,29 60 3 26,22,9,8,19,4,7,2 26,22,5,9,19,8,7,29 4 5,26,9,8,22,7,19,29 ?3 结果（前八位） 26,22,19,5,9,8,7,29 0.5 26,22,19,5,9,8,7,29 1 26,22,19,5,9,8,7,29 2 26,22,19,5,9,8,7,18 3 26,22,19,5,9,8,7,29 ?5 结果（前八位） 2 26,22,19,29,20,18,4,9 3 26,22,19,9,29,5,18,8

4 5 6 26,22,19,5,9,8,7,29 26,22,5,9,19,8,7,29 26,5,22,9,8,19,7,28 观察上面7个表的数据发现：权重系数?3对各种方案的排序影响最小，而权重系数?1对各种方案的排序影响最大，也就是排序对?1的变化反映最灵敏，对?3的变化反映最迟钝。对于其它的权重系数，它们对排序的影响介于?1和?3之间。 八．

模型评价

模型一对权重系数的依赖性较强，并且权重系数的选取完全由主观因素决定，没有可以作为参考的客观标准。因此，用模型一作出的评价结果与真实结果之间存在着偏差。

模型二避开了对权重系数的选取，利用神经元自选，而评判者只需对几个方案打分，这比权重系数的选取更直观些。因此，用模型二得到的评价结果更能反映真实结果。 九．

参考文献

[ 1 ] 钱颂迪 等. 运筹学 . 北京：清华大学出版社

[ 2 ] 张立明 .人工神经网络的模型及其应用 . 上海：复旦大学出版社 [ 3 ] 张志涌 .精通MATLAB 5.3版 . 北京：北京航天航空大学出版社 十．

附件清单

附件一 关于本文的细节说明 附件二 所有源程序 附件三 短文 附件一 一．

关于各个奖项中奖概率的计算

1）前4种为“10选6+1”的“传统型”方案： 由排列组合得到各奖项的中奖概率如下表： 表 一

基本号码 特别号奖项 码 计算式 结果 （X表示未选中的号码） 一等奖 二等奖 三等abcdeX Xbcdef 奖 四等abcdXX XbcdeX XXcdef 奖 2?abcdef g 110?5 62?10?7 abcdef 410?5 68?10?7 9106 1.8?10?5 2?9?10?9?9106 2.61?10?4 五等2?9?102?2?92?10?3abcXXX XbcdXX XXcdeX XXXdef 3.42?106 10 奖 由于六等奖的中奖概率计算比较复杂,我们把它单独列出。 六等奖的中奖号码为abXXXX，XbcXXX，XXcdXX，XXXdeX，XXXXef。

对于中奖号码abXXXX，先考虑后面四个位置中没有cd，de，ef出现的情况。第一，二个位置上的号码为a，b，那么第三个位置上的号码不能选c，则有9种号码可选。对于第四个位置上的号码选择有两种情况：选d与不选d。不选d，则该位置上有9种号码可选，且此时第五个位置上的号码选择也有两种情况?，以此类推可得到所有情况，我们把这些情况绘制为下图：

由此，中奖号码abXXXX的可能情况共有：81+729+729+729+6561=8829。（种） 按照这种思想可以依次计算出其它4个中奖号码的可能情况，分别为：

XbcXXX：8019（种）；XXcdXX：8100（种）；XXXdeX：8019（种）；XXXXef：8829（种）。

除了以上的情况，还有abXdeX，abXXef，XbcXef这些可能的情况分别有： 81（种），81（种），81（种）。

8829?8019?8100?8019?8829?81?81?81106那么六等奖的中奖概率为=0.042039。

（2）后25种方案都是 “乐透型”方案，有两种形式（除第23种较特殊外）：

1）“m选n”方案各等奖的概率计算式：

1nCm无特别号码：一等奖：，三等奖：

n?33Cn?Cm?n?1nCm七等奖：

n?11Cn?Cm?n?1nCmn?22Cn?Cm?n?1nCm，五等奖：，

n?10CnCn?Cm?n?1nCm有特别号码：二等奖： ，四等奖

n?21?Cm?n?1nCm，六等奖：

n?32Cn?Cm?n?1nCm

2）“m选n+1”方案各等奖的概率计算式：

1nCm有特别号码：一等奖：

n?43Cn?1?Cm?n?1nCm七等奖：

n?21n?32Cn?CC?C?1m?n?1n?1m?n?1nnCmCm，三等奖：，五等奖：，

?11n?22n?33Cnn?Cn?CCn1?Cm?n?1?1m?n?1?1?Cm?n?1nnnCCCmmm无特别号码：二等奖： ，四等奖，六等奖：

3）第23种方案：此方案属于“乐透型”，采取“35选7”，但是此方案中没有设置特别号码，各奖项中奖概率如下计算

7?k?1k?1C7?C287C35第k等奖中奖概率为：（k=1,2?5）

注明：方案中没有设置的奖项的概率计为零。

根据以上计算公式我们可得到各个方案中各奖项中奖的概率

表二：各个方案中各奖项中奖的概率

1 2 3 一等奖 2×10-7 2×10-7 2×10-7 二等奖 0.8×10-6 0.8×10-6 0.8×10-6 三等奖 四等奖 五等奖 0 六等奖 0 七等奖 0 0 0 1.8×10-5 2.61×10-4 1.8×10-5 2.61×10-4 3.42×10-3 4.20×10-2 1.8×10-5 2.61×10-4 3.42×10-3 4.20×10-2 4 5 6 7 8 9 (续表二) 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 2×10-7 0.8×10-6 1.8×10-5 2.61×10-4 3.42×10-3 4.20×10-2 0 0 0 6.41×10-7 4.48×10-6 9.42×10-5 2.83×10-4 2.83×10-3 0.47×10-2 6.41×10-7 14.1×10-6 8.46×10-5 8.88×10-4 2.22×10-3 1.48×10-2 4.91×10-7 3.44×10-6 7.56×10-5 2.27×10-4 2.38×10-3 0.4×10-2 2.65×10-2 4.91×10-7 3.44×10-6 7.56×10-5 2.27×10-4 2.38×10-3 0.4×10-2 2.65×10-2 4.91×10-7 3.44×10-6 7.56×10-5 2.27×10-4 2.38×10-3 0.4×10-2 2.65×10-2 3.8×10-7 3.8×10-7 2.66×10-6 6.12×10-5 1.84×10-4 2.02×10-3 0.34×10-2 2.36×10-2 2.66×10-6 6.12×10-5 1.84×10-4 2.02×10-3 0.34×10-2 0 0 0 0 0 2.97×10-7 2.08×10-6 4.99×10-5 1.5×10-4 1.72×10-3 0.29×10-2 2.97×10-7 2.08×10-6 4.99×10-5 1.5×10-4 1.72×10-3 0.29×10-2 2.97×10-7 2.08×10-6 4.99×10-5 1.5×10-4 1.72×10-3 0.29×10-2 2.34×10-7 1.64×10-6 2.34×10-7 1.64×10-6 1.86×10-7 1.86×10-7 1.3×10-6 1.3×10-6 4.1×10-5 1.23×10-4 1.47×10-3 0.25×10-2 4.1×10-5 1.23×10-4 1.47×10-3 0.25×10-2 1.88×10-2 3.38×10-5 1.02×10-4 1.27×10-3 0.21×10-2 0 3.38×10-5 1.02×10-4 1.27×10-3 0.21×10-2 1.69×10-2 0 1.49×10-7 1.04×10-6 2.81×10-5 0.84×10-4 1.1×10-3 0.18×10-2 1.49×10-7 1.04×10-6 2.81×10-5 0.84×10-4 1.1×10-3 0.18×10-2 1.52×10-2 1.49×10-7 1.04×10-6 2.81×10-5 0.84×10-4 1.1×10-3 0.18×10-2 1.52×10-2 1.49×10-7 1.04×10-6 2.81×10-5 0.84×10-4 1.1×10-3 0.18×10-2 1.52×10-2 1.49×10-7 29.15×10-6 1.18×10-3 1.71×10-2 1.2×10-7 1.2×10-7 1.2×10-7 0.106 0 0 3.47×10-6 2.08×10-5 2.92×10-4 0.73×10-3 0.66×10-2 0.88×10-2 3.47×10-6 2.08×10-5 2.92×10-4 0.73×10-3 0.66×10-2 0 0.84×10-6 2.35×10-5 0.7×10-4 0.95×10-3 0.16×10-2 1.37×10-2 0 0 0 0.97×10-7 0.68×10-6 1.97×10-5 0.6×10-4 0.83×10-3 0.14×10-2 2.61×10-7 1.56×10-6 5.16×10-5 1.29×10-4 2.06×10-3 0.28×10-2 1.83×10-7 0.92×10-6 4.94×10-5 0.99×10-4 2.62×10-3 0 二．用约束条件对29种方案的详细过程 1. 利用约束条件(1)对29种方案进行筛选

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