初等数学专题研究答案

习题解答

第一讲 自然数的基数理论与序数理论

1、在自然数的基数理论中，证明自然数的乘法满足交换律

证明：对于A?B?{(a,b)|a?A,b?B}与B?B?{(b,a)|b?B,a?A}，

f定义A?B到B?A的映射为：(a,b)???(b,a),(a,b)?A?B,(b,a)?B?A

显然这个映射是A?B到B?A的一一映射，所以A?B?B?A，于是按定义有：

A?B?B?A，即乘法满足交换律。 2、利用最小数原理证明定理14.

定理14的内容是：设p(n)是一个与自然数有关的命题，如果：（1）命题p(n)对无穷多个自然数成立；（2）假如命题对n?k(k?n0)成立时，能够推出命题对

n?k?1也成立，那么对一切自然数不小于n0的自然数n，命题p(n)必然成立。

证明：如果命题不真，设使命题不成立的自然数构成集合M，那么M非空，因此，M中必有一个最小数r0(r0?n0)。

此时，由于不大于r0的自然数只有有限个，按照条件（1），至少有一个自然数，命题对r?1也成立，连锁应用条r(r?r0)，命题在r处成立；于是由条件（2）

件（2），那么命题在r,r?1,r?2,?,r?k,?处都成立，而这个序列是递减的，因此r0必然出现在这个序列中，这与r0的假定不符，这个矛盾说明定理14成立。 3、用序数理论证明3+4=7

证明：3?1?3??4,3?2?3?1??(3?1)??4??5,

3?3?3?2??(3?2)??5??6, 3?4?3?3??(3?3)??6??7

4、设平面内两两相交的n个圆中，任何三个不共点，试问这n个圆将所在的平面分割成多少个互不相通的区域？，证明你的结论。

解：设这n个圆将所在平面分割成f(n)个部分，显然f(1)?2,f(2)?4； 如果满足条件的n个圆把平面分割成f(n)个部分，那么对于满足条件的n+1个圆

来说，其中的n个圆一定已经把平面分割成f(n)个部分，而最后一个圆由于与前面的每个圆都相交，并且由于任何三个圆不共点，所以这最后的圆与前面的n个圆必然产生2n个交点，这2n个交点必然把这最后一个圆分割成2n段圆弧，这些圆弧每一段都把自己所在的一个区域一分为二，从而f(n?1)?f(n)?2n， 于是得：f(2)?f(1)?2,f(3)?f(2)?4,??,f(n)?f(n?1)?2(n?1) 将这n-1个等式相加得：f(n)?f(1)?2?4???2(n?1)?n(n?1) 即 f(n)?n(n ?1)?2?2n?n?25、设平面上的n条直线最多可以把平面分割成 f (n )个互不相通的区域，证明：

f(n)?1?(1?1)?1成立； 2k(k?1)个互不相通2n(n?1) 2证明：显然f(1)?2?1?假将设平面上的k条直线最多可以把平面分割成 f (k )?1?的区域，那么对于平面上的k+1条直线来说，其中的任意k条直线最多把平面分割成?1?k(k?1)个互不相通的区域，对于最后的直线来说，它如果与前面的每2条直线都相交，那么在这条直线上最多可以产生k个交点，这k个交点可以把最后的这条直线分割成k+1段，每一段都将自己所在的区域一分为二，从而

f(k?1)?f(k)?k?1

所以：f(k?1)?f(k)?k?1?1?k(k?1)?k?1 2?1?k(k?1)?2(k?1)(k?1)(k?2)?1?

22所以公式f(n)?1?n(n?1)在n?k?1时也成立， 2于是公式对一切自然数n都成立。

第二讲 近似计算的精度

1、已知近似数2315.4的相对误差界是0.02%，试确定它的绝对误差界,并指出它的有效数字的个数.

解：2315.4?0.02%?0.46，所以真值范围为2315.4?0.46，有效数字的个数为4；因为0.46是1的接近半个单位，所以有效数字只能到个位。

2、把数1465351.2471精确到十位、百位、千位、万位时，结果分别表示为什么? 解：1465350、1465400、1465000、1460000

3、把数5.2435、6.5275000、3.5465、7.278500精确到千分位 时的结果分别是多少?

解：5.244、6.528、3.546、7.278

4、测量一个螺栓的外径和一个螺帽的内径分别应该用哪种近似数的截取方式？请简要说明理由。

解：由于螺栓外径实际数值不能大于测量值（不能大于螺帽），所以只能用进一法截取外径测量值，而螺帽内径实际数值不能小于测量值（不能小于螺栓），所以只能用去尾法截取测量值。

5、张先生上午在房地产市场对一套标价为35万的住宅通过一番讨价还价后以34万元成交，下午在超市对一套标价为100元的西裤也通过讨价还价以90元成交。有人对张先生说：“你何苦呢，上午几十万元都花出去了，又何必为一套西裤伤神呢！”请谈谈你的看法（不管你赞同还是不赞同这种说法，都要言之有据）。 解：从相对误差的角度看，张先生买西裤获益要大于买住宅的获益，因为住宅的获益仅有

11，而西裤的获益有，比住宅获益相对要大。

9346、近似计算：

（1）1.2×104＋1.53×103＋5003.6 （2）43.26－0.3824

（3）32.264×2.13 （4）(2.63×103)÷2.43564 解：（1）1.2×104＋1.53×103＋5003.6=1.25+157.6+5003.6=5162.4 （2）43.26－0.3824=43.26 - 0.382=42.88 （3）32.264×2.13=32.26×2.13=68.7

（4）(2.63×103)÷2.43564=（2.63×103）÷2.436=111 7、计算2??3，要求结果精确到0.001 解：2??3?6.283?1.732?4.551

8、一块圆柱形金属部件的底面半径长的标准尺寸为75mm，高为20mm。加工时一般会有误差。但要求成品的体积的绝对误差不超过5mm3，问测量时底面半径和高各自应达到怎样的精确度？

解：V???752?20?3.14?5625?20?353250mm3

因为误差不能超过5mm3，它是10mm3的半个单位，所以体积的精确度应该是精确到十位（单位mm3），即V应该有5个有效数字。从而测量时，长、宽、高都要有6个有效数字。而标准尺寸都是两个有效数字，因此，测量精确度应达到6个有效数字，即达到万分位，所以测量精度应达到0.00005mm(0.0001mm的半个单位)；

9、一个圆锥形部件底面半径的标准尺寸为10cm，高为9cm。 要使加工好的成品体积的相对误差不超过1%，底面半径和高应该用怎样的精确度的量具来量？

1解：V???102?9?942cm3，这样绝对误差为942?100?9.42cm3，约为9.4cm3

3这样V的百位、十位都是有效数字，即V有两位有效数字，所以测量的半径和高都应该有3位有效数字，这样底面半径的精度要求是0.05cm(0.1cm的半个单位)，而高的精度要求是0.005cm(0.01cm的半个单位)。

第三讲 数系的扩张

1、对于整数序偶集，定义关系(a,b)?(c,d)?ad?bc，定义运算

(a,b)?(c,d)?(ad?bc,bd)，(a,b)?(c,d)?(ac,bd)，这里a、b、c、d都是整数，证明，(1)整数集与这里定义的新数集合的一个真子集同构；(2)在新数集中，乘法有逆元。

f解：（1）考虑集合M?{(x,1)|x?Z}，作映射Z???M:x?(x,1)，显然f 是

从Z到M的一一映射，这时(a,1)?(b,1)?(a?b,1)，(a,1)?(b,1)?(ab,1)，这实质上是对应于a?b与ab，所以M与Z同构；

（2）在M中乘法单位是(1,1)，事实上(a,b)?(1,1)?(a?1,b?1)?(a,b)；于是当

a?0,b?0时，(a,b)的乘法逆元是(b,a)，

事实上(a,b)?(b,a)?(a?b,b?a)?(ab,ab)，但(ab,ab)?(1,1)，所以(ab,ab)是单位元，

2、设集合{a?b2|a,b?Q}，证明这个集合对四则运算封闭。 证明：a1?b12,a2?b22?{a?b2|a,b?Q}，那么有

(a1?b12)?(a2?b22)?(a1?a2)?(b1?b2)2?{a?b2|a,b?Q} (a1?b12)(a2?b22)?(a1a2?2b1b2)?(a1b2?a2b1)2?{a?b2|a,b?Q}

(a1?b12)?(a2?b22)?[(a1?b12)(a2?b22)]?[(a2?b22)(a2?b22)]?a1a2?2b1b2a2b1?a1b2?2222a2?2b2a2?2b22?{a?b2|a,b?Q}

3、证明正三角形的边长与它的高不可公度。

证明：设正三角形的边长和高依次为a、b，那么有：

a2a??b2?4b2?3a2，如果a、b可公度，测存在线段c，使：

42a?mc,b?nc，其中m,n是正整数。这时：

4n2c2?3m2c2?4n2?3m2

那么：由4n2?3m2?3|n2?3|n?n?3n1 同时再由4n2?3m2?4|m2?2|m?m?2m1

22再代回4n2?3m2，得4?9n2?3?4m2?3n12?m12

进一步可得m1?3m2，并且继续可得n1?3n2，此时有m2?m1,n1?n2

22同时又有3n2，这样我们就得到两串递减的正整数无穷序列：{mi},{ni}?m2满足：3ni2?mi2，这是不可能的。 4、证明lg2是无理数。

证明：如果lg2是有理数，那么有互质的一对正整数m、n，使lg2?mnm，于是 n10?2?10m?2n，那么对于正整数m，必有5|10m，但2n是偶数，故它不能

被5整除，矛盾。

第四讲 复数的三角形式与指数形式

1、 利用复数推导三倍角公式

解：设z?cos??isin?，那么z3?(cos??isin?)3?cos3??isin3?， 另一方面：z3?(cos??isin?)3?cos3??3icos2?sin??3cos?sin2??isin3?

23 ?cos3??3cos?sin2??i(3cos?sin??sin?)

所以：cos3??cos3??3cos?sin2?,sin3??3cos2?sin??sin3?

cos3??cos3??3cos?sin2??cos3??3cos?(1?cos2?)?4cos??3cos?sin3??3cos2?sin??sin3??3(1?sin2?)sin??sin3??3sin??4sin?

33

2：设M是单位圆周x2?y2?1上的动点，点N与定点A(2, 0)和点M构成一个等腰直角三角形斜边的端点，并且M→N→A→M成逆时针方向，当M点移动时，求点N的轨迹。

解：设点N的坐标为(x,y)，点M的坐标为(x1,y1)

??????????将向量AN绕A点逆时针旋转300度就与向量AMy重合，根据复数乘法的几何意义有：

??????????oo AM?AN(co3 )s00?isi3n00MxOA??????????????而 AM?OM?OA?x1?y1i?2?(x1?2)?y1i ?????????????AN?ON?OA?x?yi?2?(x?2)?yi

?????1?3i AN(cos300o?isin300o)?[(x?2)?iy]2?(x?2)3?y1x?2?3y(x?2)3?yx?2?3y ?i，所以x1?2?,y1??12222x?2?3y(x?2)3?y 但x12?y12?1， ,y1??22N即 x1?所以(x?2?3y2(x?2)3?y2)?[]?1，(x?2?3y)2?(3x?23?y)2?4 22x2?y2?2x?23y?3?0，(x?1)2?(y?3)2?1

3、设z1、z2、z3 是复平面上三个点A、B、C对应的复数，证明三角形ABC是等边三角形的充分必要条件是

22z12?z2?z3?z1z2?z2z3?z3z1

C解：不失一般性，不妨设A?B?C?A为逆时针方向。 A那么，三角形ABC是正三角形的充分必要条件是：将向????????量BC绕B点逆时针旋转60度后与向量BA重合。由复数乘法的几何意义知，这个几何变换等价于 ????????BA?BC(cos60o?isin60o)，

OB????????????????????????而：BA?OA?OB?z1?z2,BC?OC?OB?z3?z2, 但(cos60o?isin60o)3??1，所以(z1?z2)3??(z3?z2)3,

即 (z1?z2)3?(z3?z2)3?0,

?(z1?z3?2z2)[(z1?z2)2?(z3?z2)2?(z1?z2)(z3?z2)]?0 但A、B、C三点不共线，所以?z1?z3?2z2?0 从而(z1?z2)2?(z3?z2)2?(z1?z2)(z3?z2)?0

22展开化简即得z12?z2?z3?z1z2?z2z3?z3z1

第五讲 错位相消的策略

1、求和

(1)cos??cos2????cosn? (3)1?1!?2?2!???n?n!

(4)(2)1?2?2?3???n?(n?1)

123n ?????2!3!4!(n?1)!解（1）sin?12k?12k?1cosk??[sin??sin?] 2222依次将k?1,2,3,?,n代入：

131cos??[sin??sin?]2222?153sincos2??[sin??sin?]2222?175sincos3??[sin??sin?]2222?????sinsin?

?12n?12n?1cosn??[sin??sin?]2222将上面n个等式相加，得：

sin?12n?11(cos??cos2??cos3????cosn?)?[sin??sin?] 2222n?1n?sin?22?cos

cosn?1n?sin?221sin?2所以：cos??cos2????cosn??

1(2)k(k?1)?[(k?2)(k?1)k?(k?1)k(k?1)]

3依次将k?1,2,3,?,n代入:

11?2?[1?2?3?0?1?2]312?3?[2?3?4?1?2?3]313?4?[3?4?5?2?3?4]3?????1n(n?1)?[n(n?1)(n?2)?(n?1)n(n?1)]3将上面n个等式相加，得：

11?2?2?3???n?(n?1)?n(n?1)(n?2)

3

2、证明

tan?tan2??tan2?tan3?????tan(n?1)?tann??tan(n?1)?cot??(n?1)

证明：设tan?tan2??tan2?tan3?????tan(n?1)?tann??Sn 由于tan??tan[(k?1)??(k?)]?tan(k?1)??tank?

1?tank?tan(k?1)?所以得：tan(k?1)??tank??tan?[1?tank?tan(k?1)?] 将k?1,2,3,?,n依次代入得：

tan2??tan??tan?[1?tan?tan2?] tan3??tan2??tan?[1?tan2?tan3?]

…………………………………………

tan(n?1)??tann??tan?[1?tann?tan(n?1)?]

将上面的n个等式相加：

tan(n?1)??tan??tan?[n?Sn]，所以cot?[tan(n?1)??tan?]?n?Sn cot?tan(n?1)??1?n?Sn?Sn?cot?tan(n?1)??(n?1)

1352n?113、证明：???? ?2462n2n2k?12k?12k?12k?2?2k?1?证明：因为：? ???2k2k2k2k?1?2k?将k?2,3,4,?,n依次代入得：

23332?3????? ?4?4443??5554?5????? ?6?6665??7776?7????? ?8?8887??………………………

22222n?12n?12n?12n?2?2n?1? ???2n?2n2n2n2n?1??352n?1223452n?22n?11)??? 将上面的等式相乘：(???462n34562n?12nn两边开平方得：

352n?11 ????462nn11352n?11两边同乘，即得：???? ?22462n2n第六讲 递归数列的通项（1）

1、判断下列递推公式是否为循环公式？

(1)an?3?nan?2?2an?1?n2an (2)an?2?an?1an

(3)an?2?an?1?2an?1 (4)an?2?an?1cos??ansin? 解：（1）不是，因为等式右边不是an,an?1,an?2的线性表达式； （2）也不是，因为右边也不是an,an?1的线性表达式；

（3）本身不是，但可以化成循环公式：an?3?an?2?2an?1?1,an?2?an?1?2an?1, 消去1：an?3?an?2?an?2?2an?1?an?1?2an，整理得：an?3?2an?2?an?1?2an

这是一个三阶循环公式。

（4）是，因为cos?,sin?是与n无关的常数。 2、求下列循环数列的通项公式。

(1)??an?2?23an?1?4a2 (2)???a1?3,a2?2?an?1??an?n ?a?2?1?an?2?an?1?an?an?2?6an?1?9an (4)? (3)??a1?a2?1?a1?1,a2?12解：（1）an?2?23an?1?4a2?23an?1?8，an?1?23an?4a2?23an?8，消去常数8：an?2?an?1?23an?1?23an?an?2?(1?23)an?1?23an 特征方程：?2?(1?23)??23，解这个方程得：

1?23?(1?23)2?831?23?(23?1)??23 ??????22??1设通项公式为：an?c1?c2(23)n?1

?2?333?483?4?c1?c2?3那么：? ?c2??,c1?111123?1??c1?23c2?2n?183?433?4??122 所以所求通项公式为an?1111（2）消去n：an?1??an?n,an?2??an?1?n?1，an?2??an?1?(an?1?an)?1?an?1 再由an?2?an?1?an?3?an?1?1，消去1：

an?2?an?1?an?3?an?1?an?2?an?an?2?an?1?an，即an?3?an?2?an?1?an 特征方程：?3??2???1??3??2???1?0

11111三个特征根依次为1、1、-1；

-11011-10-1101-10

（4）解方程： x?9x?10?x2?3x?10?0?x?5,x??2 x?69an?10?2an?1?2an?611(an?2)11an?2于是 ???an?1?59an?104(an?5)4an?5?5an?6an?211n?1a1?215?11n?22?4n311n?13?11n所以。所以an? ?n?1????nnn?1n3?11?11?4an?54a1?54411?4

第八讲 递归数列的通项（3）

求下列递推公式确定数列的通项公式：

?a1?1?a1?1 (2)? (1)??an?1?2an?3?an?1?2an?n??a1?1(3)? (4)na?2a?3?n?n?1??a1?3 ?na?a?2?n?n?1解：（1）设an?1?x?2(an?x)，则an?1?2an?x?x?3 所以an?3?(a1?3)?2n?1?4?2n?1?2n?1，an?2n?1?3

（2）设an?1?x(n?1)?y?2(an?xn?y)，则an?1?2an?xn?x?y 于是x?1,y?x?0?x?y?1，所以an?1?n?2?2(an?n?1) 所以an?n?1?(a1?1?1)?2n?1?3?2n?1，an?3?2n?1?n?1 （3）设an?1?x?3n?1?2(an?x?3n)，则an?1?2an?x?3n?x??1 所以an?3n?(a1?3)?2n?1??2?2n?1??2n，an?3n?2n

（4）设an?1?x(n?1)?2n?2(an?xn?2n?1)?an?1?2an?x?2n?x??1 所以an?n?2n?1?(a1?1)?2n?1?2?2n?1?2n，an?(n?2)2n?1

第九讲 高次方程的求根

解下列方程：

(1)6x4?13x3?12x2?13x?6?0

(2)30x4?17x3?228x2?17x?30?0 (3)15x5?34x4?15x3?15x2?34x?15?0 (4)3x4?7x3?7x?3?0 (5)2x4?9x3?9x?2?0

(6)x7?2x6?5x5?13x4?13x3?5x2?2x?1?0 (7)x6?5x4?5x2?1?0

(8)x6?3x5?2x4?6x3?2x2?3x?1?0 (9)x4?3x3?2x2?3x?1?0

解：（1）6x4?13x3?12x2?13x?6?0?6(x2?x?2)?13(x?x?1)?12?0

6(x?x?1)2?13(x?x?1)?0?x?x?1?0,x?x?1?32, 2313?x2?1?0,6x2?13x?6?0 6所以x??i,（2）30x4?17x3?228x2?17x?30?0?30(x2?x?2)?17(x?x?1)?228?0

82130(x?x?1)2?17(x?x?1)?168?0?x?x?1?,x?x?1??

3101253x2?8x?3?0,10x2?21x?10?0，所以x?3,?,,?

352（3）方程可以分解成(x?1)(x4?49x3?64x2?49x?15)?0 对于x4?49x3?64x2?49x?15?0，用x2去除两边：

15(x2?x?2)?49(x?x?1)?64?0?15(x?x?1)2?49(x?x?1)?34?0 [15(x?x?1)?34](x?x?1?1)?015(x?x?1)?34?0,x?x?1?1?0

15x2?34x?15?0,x2?x?1?0?(5x?3)(3x?5)?0,x???3i 2

53?1?3i?1?3i所以方程的根为：1,?,?, ,3522（4）3x4?7x3?7x?3?0?3(x2?x?2)?7(x?x?1)?0

3(x?x?1)2?7(x?x?1)?6?0?[3(x?x?1)?2](x?x?1?3)?0

3x2?2x?3?0,x2?3x?1?0?x?1?42i?3?5， ,x?32（5）2x4?9x3?9x?2?0?2(x2?x?2)?9(x?x?1)?0

?2(x?x?1)2?9(x?x?1)?4?0?[2(x?x?1)?1](x?x?1?4)?0

?2x2?x?2?0,x2?4x?1?0?x?1?17,x?2?2 4（6）原方程可以分解为(x?1)(x6?x5?6x4?7x3?6x2?x?1)?0

对于x6?x5?6x4?7x3?6x2?x?1得：(x3?x?3)?(x2?x?2)?6(x?x?1)?7?0

(x?x?1)(x2?x?2?1)?(x?x?1)2?2?6(x?x?1)?7?0 (x?x?1)[(x?x?1)2?3]?(x?x?1)2?2?6(x?x?1)?7?0

(x?x?1)3?(x?x?1)2?9(x?x?1)?9?0?(x?x?1?1)[(x?x?1)2?9]?0 x?x?1?1?0,x?x?1?3,x?x?1??3 解之得：x?3?5?1?3i?3?5；x?；x?

222?1?3i3?5?3?5；； 222所以原方程的根为: ?1;(7) 方程可以变形成(x2?1)(x4?4x2?1)?0

(3?1)2(6?2)2?对于x?4x?1?0得：x?2?3?x? 244222所以方程的根为：1,?1,6?2,26?2,22?66?2,? 22（8）方程可以分解成(x2?1)(x4?3x3?x2?3x?1)?0

对于x4?3x3?x2?3x?1?0?(x2?x?2)?3(x?x?1)?1?0

(x?x?1)2?3(x?x?1)?1?0?x?x?1??3?5 22x2?(3?5)x?2?0?x??3?5?30?65?3?5?30?65 ,x?44所以方程的根为1,?1,?3?5?30?65?3?5?30?65 ,44（9）方程可以变形成(x2?x?2)?3(x?x?1)?2?0?(x?x?1)2?3(x?x?1)?4?0

?x?x?1?3?7i?2x2?(3?7i)x?2?0 2而(3?7i)2?16?18?67i?3(7?27i?i2)?3(7?i)2?(21?3i)2 所以对于2x2?(3?7i)x?2?0得x?3?7i?(21?3i)，

4对于2x2?(3?7i)x?2?0得x?3?7i?(21?3i)

4所以方程的四个根为：3?21?(7?3)i3?21?(7?3)i，，

443?21?(7?3)i3?21?(7?3)i， 44第十讲 根式的化简与代数式值的计算

1、求下列各多项式的值：

(1)x?9?62,f(x)?2x3?20x2?23x?5 2(2)x?2?3?6,f(x)?x4?22x2?48x?2 (3)x?3?23?2,y?3?23?2,f(x,y)?3x2?5xy?3y2

解：（1）x?9?62?2x?9?62?4x2?36x?81?72?4x2?36x?9?0 2

所以f(x)?1137x(4x2?40x?46)?5?x(4x2?36x?9)?2x2??5 22237279?5??2x2?，而x2?9x? 224 ??2x2?927?18x?18?9(9?62)?18?99?542 所以f(x)??2(9x?)?42（2）x?2?3?6?(x?6)2?9?62?x2?3?26(x?3)

?x4?6x2?9?24x2?483x?72?x4?30x2?483x?63 所以f(x)?x4?22x2?48x?2?x4?30x2?8x2?48x?2

?8x2?483x?63?48x?2?8x2?48(3?1)x?65

?8(x2?3)?48(3?1)x?89?166(x?3)?48(3?1)x?89 ?(166?483?48)x?482?89

?1442?163?240?482?89?1922?163?329

（3）由x?3?23?2,y?3?23?2得xy?1,x?5?26,y?5?26,x?y?10，

所以f(x,y)?3x2?5xy?3y2?3(x?y)2?11xy?3?100?11?289 2、化简2?32?2?32?2?2?32?2?2?3 解：原式?2?32?2?34?(2?2?3 ?2?32?2?32?2?3?2?34?(2?3)

?2?32?3?4?3?1

3、化简下列各式

(1)4?12?37?40?5 (2)5?5?33?5?5?3 3解：（1）由于4?12?4?23?3?1，7?40?5?252?2?5?2

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