2013届高中常见题型方法归纳反馈训练：专题54 排列组合常见问题

第54讲：排列组合常见问题的解法

【考纲要求】

一、分类加法计数原理、分步乘法计数原理 ① 理解分类加法计数原理和分类乘法计数原理；

② 会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题。 二、排列与组合

① 理解排列、组合的概念。

② 能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式。 ③ 能解决简单的实际问题。

2、分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要分成错误！未找到引用源。个步骤，做第一步有错误！未找到引用源。种不同的方法，做第二步有错误！未找到引用源。种不同的方法，??，做第错误！未找到引用源。步有错误！未找到引用源。种不同的方法．那么完成这件事共有错误！未找到引用源。种不同的方法．

3、“类”和“步”的区别在于：“类”和“类”之间是相互独立的，互不影响，每一类都可以单独完成任务；“步”和“步”之间是相互依存的，相互影响的，每一步不能单独完成任务。 二、排列

1、排列的定义：从错误！未找到引用源。个不同元素中，任取错误！未找到引用源。 (错误！未找到引用源。)个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从错误！未找到引用源。个不同元素中取出错误！未找到引用源。个元素的一个排列。 2、不同的排列的定义：元素和顺序至少有一个不同. 3、相同的排列的定义：元素和顺序都相同的排列.

4、排列数的定义：从错误！未找到引用源。个不同元素中，任取错误！未找到引用源。(错误！未找到引用源。)个元素的所有排列的个数叫做从错误！未找到引用源。个元素中取出

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错误！未找到引用源。元素的排列数，用符号错误！未找到引用源。表示.

2、组合数：从错误！未找到引用源。个不同的元素中取出错误！未找到引用源。( 错误！未找到引用源。)个元素的所有组合的个数，用符号错误！未找到引用源。表示.

4、组合数性质：(1)错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。 ;(2) 错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。 5、要弄清排列和组合的区别和联系：有序排列，无序组合。 四、排列组合综合性问题 1、排列组合问题的解题步骤

仔细审题错误！未找到引用源。编程错误！未找到引用源。列式错误！未找到引用源。计算

2、编程的一般方法

一般问题直接法、相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、特殊对象优先法、等概率问题缩倍法、至少问题间接法、复杂问题分类法、小数问题列举法。

3、解排列组合问题，要排组分清（有序排列，无序组合），加乘有序 (分类加法，分步乘法)。 【方法讲评】

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方法一 解题方法

简单问题直接法 直接利用两个计数原理，直接进行排列组合解答。 例1.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（ ）

A、1260种 B、2025种 C、2520种 D、5040种

（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（ ）

A、错误！未找到引用源。种 B、错误！未找到引用源。种 C、错误！未找到引用源。种 D、错误！未找到引用源。种

【变式演练1】8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法？

特殊元素优先法 方法二 解题方法 优先考虑一些特殊的元素和位置。 例2.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.

解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有错误！未找到引用源。 然后排首位共有错误！未找到引用源。 最后排其它位置共有错误！未找到引用源。 由分步计数原理得错误！未找到引用源。

C41A43C3

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【变式演练2】 2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿 者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能 从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有【来源：全,品?中&高*考+网】（ ） A. 36种 B. 12种 C. 18种 D. 48种【来源：全,品?中&高*考+网】

方法三 解题方法

例3. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.

解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素， 再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有错误！未找到引用源。种不同的排法

相邻元素捆绑法 先把相邻元素捆绑在一起，再进行排列。 甲乙丙丁

方法四 解题方法 不相邻问题插空法 先把没有位置要求的元素排列好，再排不相邻的元素。 例4.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出 场顺序有多少种？

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方法五 解题方法

等概率问题缩倍法 先把所有的元素安排好，再缩小一定的倍数。 例5. 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法？

解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进 行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：错误！未找到引用源。

(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有错误！未找到引用源。种方法，其余的三个位置

甲乙丙共有 1种坐法，则共有错误！未找到引用源。种方法。

方法六 解题方法 至少问题间接法 一般先考虑全部的排法，再排除不满足题意的排法。 例6. 从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙 型电视机各一台，则不同的取法共有 （ ）

A、140种 B、80种 C、70种 D、35种

解：解析1：逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号的电视机，故不同的取法共有错误！未找到引用源。种,选.错误！未找到引用源。

解析2：至少要甲型和乙 型电视机各一台可分两种情况：甲型1台乙型2台；甲型2台乙型1台；故不同的取法有错误！未找到引用源。台,选错误！未找到引用源。. 【方法点评】间接法，一般先考虑全部的排法，再排除不满足题意的排法。

【变式演练6】从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不同的取法有多少种？

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例7 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？

解: 分三步取书得错误！未找到引用源。种方法,但这里出现重复计数的现象,不妨记6本书为

ABCDEF，若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF该分法记为(AB,CD,EF),则错误！未找到引用源。中

还有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有错误！未找到引用源。种取法 ,而这

些分法仅是(AB,CD,EF)一种分法,故共有错误！未找到引用源。种分法。

方法八 元素相同问题隔板法 将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）,每份至少一个元素,可以用解题方法 m-1块隔板，插入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为错误！未找到引用源。。 例8.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？

解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成９个空隙。在９个空档中选６个位置插个隔板，可把名额分成７份，对应地分给７个班级，每一种插板方法对应一种分法共有错误！未找到引用源。种分法。

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方法九 解题方法 复杂问题分类法 由于条件较复杂，常分类讨论。 例9.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱 歌2人伴舞的节目,有多少选派方法

解：10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞3人为全能演员。选上唱歌人员为标准进行研究 只会唱的5人中没有人选上唱歌人员共有错误！未找到引用源。种,只会唱的5人中只有1人选上唱歌人员错误！未找到引用源。种,只会唱的5人中只有2人选上唱歌人员有错误！未找到引用源。种，由分类计数原理共有 错误！未找到引用源。种。

【高考精选传真】

1.【2012高考真题浙江理6】若从1,2,3，?，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有

A.60种 B.63种 C.65种 D.66种

【解析】从1,2,3，?，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数的取法分为三类；第一类是取四个偶数，即错误！未找到引用源。种方法；第一类是取两个奇数，两个偶数，即错误！未找到引用源。种方法；第三类是取四个奇数，即错误！未找到引用源。故有5+60+1=66种方法。故选D。

2.【2012高考真题四川理11】方程错误！未找到引用源。中的错误！未找到引用源。，且错

误！未找到引用源。互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（ ）

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A、60条 B、62条 C、71条 D、80条 【解析】本题可用排除法，错误！未找到引用源。，6选3全排列为120，这些方程所表示的曲线要是抛物线，则错误！未找到引用源。且错误！未找到引用源。,，要减去错误！未找到引用源。，又错误！未找到引用源。和错误！未找到引用源。时，方程出现重复，用分步计数原理可计算重复次数为错误！未找到引用源。，所以不同的抛物线共有120-40-18=62条.故选B.

3.【2012高考真题山东理11】现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张.不同取法的种数为

（A）232 (B)252 (C)472 (D)484

【解析】若没有红色卡，则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张，若都不同色则有错误！未找到引用源。种，若2色相同，则有错误！未找到引用源。；若红色卡片有1张，则剩余2张若不同色，有错误！未找到引用源。种，如同色则有错误！未找到引用源。，所以共有错误！未找到引用源。，故选C。

4.【2012高考真题安徽理10】6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品，已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到错误！未找到引用源。份纪念品的同学人数为（ ）

错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。或错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。或错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。或错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。或错误！未找到引用源。

5【2012高考真题重庆理15】某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为 （用数字作答）.

【解析】6节课共有错误！未找到引用源。种排法.语文、数学、外语三门文化课中间隔1节艺术课有错误！未找到引用源。种排法，三门文化课中、都相邻有错误！未找到引用源。

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种排法，三门文化课中有两门相邻有错误！未找到引用源。，故所有的排法有错误！未找到引用源。，所以相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为错误！未找到引用源。

【反馈训练】

1、 8人围桌而坐,共有多少种坐法?

2、某城市的街区有12个全等的矩形组成，其中实线表示马路，从错误！未找到引用源。到错误！未找到引用源。的最短路径有多少种？

B

A

3、已知直线错误！未找到引用源。（错误！未找到引用源。是非零常数）与圆错误！未找到引用源。有公共点，且公共点的横

坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有 条

4、用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个

（1）数字1不排在个位和千位

（2）数字1不在个位，数字6不在千位。

5、4名男生和3名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种？

6.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（ ） A、1440种 B、3600种 C、4820种 D、4800种

7、有4名男生，3名女生。3名女生高矮互不等，将7名学生排成一行，要求从左到右，女生从矮到高排列，有多少种排法？

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8、从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？

9、 有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式？ （1） 分成1本、2本、3本三组；

（2） 分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本； （3） 分成每组都是2本的三个组； （4） 分给甲、乙、丙三人，每个人2本； （5） 分给5人每人至少1本。

10、10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？

11、有11名外语翻译人员，其中5名是英语译员，4名是日语译员，另外两名是英、日语 均精通，从中找出8人，使他们可以组成翻译小组，其中4人翻译英语，另4人翻译日语， 这两个小组能同时工作，问这样的8人名单可以开出几张？

12、某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发 建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？

【来源：全,品?中&高*考+网】方法一： 从后两项工作出发，采取位置分析法。错误！未

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找到引用源。

113 方法二：分两类：若小张或小赵入选，则有选法C2C2A3?24；若小张、小赵

22都入选，则有选法A2A3?12，共有选法36种，选A.【来源：全,品?中&高*考+网】

【变式演练6详细解析】

这问题中如果直接求不小于10的偶数很困难,可用总体淘汰法。这十个数字中有5个偶数5个奇数,所取的三个数含有3个偶数的取法有错误！未找到引用源。,只含有1个偶数的取法有错误！未找到引用源。,和为偶数的取法共有错误！未找到引用源。。再淘汰和小于10的偶数共9种，符合条件的取法共有错误！未找到引用源。 【变式演练7详细解析】

由题得安排的方法总数为错误！未找到引用源。 【变式演练8详细解析】

此例的实质是12个名额分配给8个班，每班至少一个名额，可在12个名额种的11个空当中插入7块闸板，一种插法对应一种名额的分配方式，故有错误！未找到引用源。种 【变式演练9详细解析】

满足题设条件的染色至少要用三种颜色。

(1)若恰用三种颜色，可先从五种颜色中任选一种染顶点S，再从余下的四种颜色中任选两种涂A、B、C、D四点，此时只能A与C、B与D分别同色，故有错误！未找到引用源。种方法。

(2)若恰用四种颜色染色，可以先从五种颜色中任选一种颜色染顶点S，再从余下的四种颜色中任选两种染A与B，由于A、B颜色可以交换，故有错误！未找到引用源。种染法；再从余下的两种颜色中任选一种染D或C，而D与C，而D与C中另一个只需染与其相对顶点

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同色即可，故有错误！未找到引用源。种方法。

(3)若恰用五种颜色染色，有错误！未找到引用源。种染色法

综上所知，满足题意的染色方法数为60+240+120=420种。【答案】420. 【反馈训练详细解析】

1、【解析】：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人错误！未找到引用源。

并从此位置把圆形展成直线其余7人共有（8-1）！种排法即错误！未找到引用源。！ 2、【解析】：可将图中矩形的一边叫一小段，从错误！未找到引用源。到错误！未找到引用源。最短路线必须走7小段，其中：向东4段，向北3段；而且前一段的尾接后一段的首，所以只要确定向东走过4段的走法，便能确定路径，因此不同走法有错误！未找到引用源。种.

3、【解析】： 圆上的整点有：错误！未找到引用源。 12 个

错误！未找到引用源。 其中关于原点对称的有4 条 不满则条件 切线有错误！未找到引用源。 ，

其中平行于坐标轴的有14条 不满则条件 66-4+12-14=60 答案:60 4、【解析】（1）个位和千位有5个数字可供选择错误！未找到引用源。，其余2位有四个可供选择错误！未找到引用源。，由乘法原理：错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。=240

2．特殊位置法

（2）当1在千位时余下三位有错误！未找到引用源。=60，1不在千位时，千位有错误！未找到引用源。种选法，个位有错误！未找到引用源。

种，余下的有错误！未找到引用源。，共有错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。=192所以总共有192+60=252

5、【解析】先将男生捆绑在一起看成一个大元素与女生全排列有错误！未找到引用源。种排法，而男生之间又有错误！未找到引用源。种排法，又乘法原理满足条件的排法有：错误！未找到引用源。×错误！未找到引用源。=576

6、【解析】：除甲乙外，其余5个排列数为错误！未找到引用源。种，再用甲乙去插6个空位有错误！未找到引用源。种，不同的排法种数是错误！未找到引用源。种，选错误！未找到引用源。.

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10、【解析】：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为错误！未找到引用源。种. 11、【解析】错误！未找到引用源。=185

12、【解析】：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：

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