第四课时期望与方差
更新时间:2023-06-11 02:57:01 阅读量: 实用文档 文档下载
教学目标:
1.了解离散型随机变量的方差、标准差的意义,会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差.
2
2.了解方差公式“D(aξ+b)=aDξ”,以及“若ξ~Β(n,p),则Dξ=np(1—p)”,并会应用上述公式计算教学重点:教学难点:授课类型:教学过程: 一、导入:
1.随机变量腊字母ξ、η2.离散型随机变量:对于随机变量可能取的值,可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随3.连续型随机变量:对于随机变量可能取的值,可以取某一区间内的一切值,这样的变量就叫做连续型随4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系:离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果;但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出,而连续性随机变量的结果不5
6.分布列的两个性质: (1)i≥0,i=1,2, ; (2)P1 P2 1.
kkn kCpqn7
qpq 1 p8.几何分布: g(
9.数学期望: nn则称 E x1p1 x2p2 为ξ的数学期望,简称期望.
10.数学期望是离散型随机变量的一个特征数,它反映了离散型随机变量取值的平均水平 pn,则有p1 p2
11.平均数、均值:在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中,令p1 p2
pn
11
xn)
n,E (x1 x2 n,所以ξ的数学期望又称为平均数、均值12.期望的一个性质:E(a b) aE b
13.若ξ B(n,p),则Eξ=np
二、教学理论:
1.方差:对于离散型随机变量ξ,如果它所有可能取的值是x1,x2, ,xn, ,且取这些值的概率
p分别是p1,p2, ,n, ,那么,
2
D =(x1 E )2 p1+(x2 E )2 p2+ +(xn E ) pn+
称为随机变量ξ的均方差,简称为方差,式中的E 是随机变量ξ的期望. 2.标准差:D 的算术平方根D 叫做随机变量ξ的标准差,记作 . 3.方差的性质:(1)D(a b) aD ;(2)D E (E );
(3)若ξ~B(n,p),则D np(1-p4.其它:
(1)随机变量ξ的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的;
(2)随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数,它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度;
(3
三、巩固运用:
例1
222
求Dξn 1n2-1E D
212
解:(略)
1
2111 2 7 4777解:; 111
D 1 (1 4)2 (2 4)2 (7 4)2 4
D 1 777;1
111
E 2 3.7 3.8 4.3 4
777;
E 1 1
D 2=0.04, 2 D 2 0.2.
点评:本题中的 1和 2都以相等的概率取各个不同的值,但 1的取值较为分散, 2的取值较为集中.E 1 E 2 4,D 1 4,D 2 0.04,方差比较清楚地指出了 2比 1取值更集中.
1=2, 2=0.02,可以看出这两个随机变量取值与其期望值的偏差例3. 甲、乙两射手在同一条件下进行射击,分布列如下:射手甲击中环数8,9,10的概率分别为0.2,
0.6,0.2;射手乙击中环数8,9,10的概率分别为0.4,0.2,
解:
E 1 8 0.2 9 0.6 10 0.2 9
D 1 (8 9)2 0.2 (9 9)2 0.6+(10-9)2 0.2 0.4;
同理有E 2 9,D 2 0.由上可知,E 1 E 2,1
均在9环左右,但甲所得环数较集中,以9环居多,而乙得环数较分散,得8、10环地次数多些.
D D
点评:本题中, 1和 2所有可能取的值是一致的,只是概率的分布情况不同.E 1 E 2=9,这时就通过
D 1=0.4和D 2=0.8来比较 1和 2的离散程度,即两名射手成绩的稳定情况例4.A、B两台机床同时加工零件,每生产一批数量较大的产品时,出次品的概率如下表所示:
解: Eξ1=0×0.7+1×0.2+2×0.06+3×0.04=0.44, Eξ2=0×0.8+1×0.06+2×0.04+3×0.10=0.44. 222
Dξ1=(0-0.44)×0.7+(1-0.44)×0.2+(2-0.44)
2
×0.06+(3-0.44)×0.04=0.6064,
222
Dξ2=(0-0.44)×0.8+(1-0.44)×0.06+(2-0.44)
2
×0.04+(3-0.44)×0.10=0.9264.
∴Dξ1< Dξ2 故A机床加工较稳定、质量较好.
四、练习: C班:
1.已知
~B n,p ,E 8,D 1.6,则n,p的值分别是( )
A.100和0.08; B.20和0.4; C.10和0.2; D.10和0.8 答案:1.D
2.有一批数量很大的商品的次品率为1%,从中任意地连续取出200件商品,设其中次品数为ξ,求Eξ,Dξ分析:涉及产品数量很大,而且抽查次数又相对较少的产品抽查问题.由于产品数量很大,因而抽样时抽出次品与否对后面的抽样的次品率影响很小,所以可以认为各次抽查的结果是彼此独立的.解答本题,关键是理解清楚:抽200件商品可以看作200次独立重复试验,即ξ B(200,1%),从而可用公式:Eξ=np,Dξ=npq(这里q=1-p)解:因为商品数量相当大,抽200件商品可以看作200次独立重复试验,所以ξ B(200,1%Eξ=np,Dξ=npq,这里n=200,p=1%,q=99%,所以,Eξ=200×1%=2,D
ξ=200×1%×99%=1.98
3.在有奖摸彩中,一期(发行10000张彩票为一期)有200个奖品是5元的,20个奖品是25元的,5个奖品是100元的.在不考虑获利的前提下,一张彩票的合理价格是多少元?
分析:这是同学们身边常遇到的现实问题,比如福利彩票、足球彩票、奥运彩票等等.一般来说,出台各种彩票,政府要从中收取一部分资金用于公共福利事业,同时也要考虑工作人员的工资等问题.本题的“不考虑获解:设一张彩票中奖额为随机变量ξ,显然ξ所有可能取的值为0,5,25,
E 0
391111
5 25 100 0.2400505002000
答:一张彩票的合理价格是0.2元.
其中A、 B分别表示A、B两种钢筋的抗拉强度.在使用时要求钢筋的抗拉强度不低于120,试比较A、B分析: 两个随机变量 A和 B都以相同的概率0.1,0.2,0.4,0.1,0.2取5个不同的数值. A取较为集
中的数值110,120,125,130,135; B取较为分散的数值100,115,125,130,145.直观上看,猜想A种钢解:先比较 A与 B的期望值,因为
E A=110×0.1+120×0.2+125×0.4+130×0.1+135×0.2=125, E B=100×0.1+115×0.2+125×0.4十130×0.1+145×0.2=125.
所以,它们的期望相同.再比较它们的方差.因为
2 2 2 2
D A=(110-125)×0.1+(120-125) ×0.2+(130-125)×0.1+(135-125)×0.2=50, D B=(100-125)×0.1+(110-125) ×0.2+(130-125)×0.1+(145-125)×0.2=165. 所以,D A<D B.因此,A2
2
2
2
A班:
1.一盒中装有零件12个,其中有9个正品,3个次品,从中任取一个,如果每次取出次品就不再放回去,再取一个零件,直到取得正品为止.求在取得正品之前已取出次品数的期望.
分析:涉及次品率;抽样是否放回的问题.本例采用不放回抽样,每次抽样后次品率将会发生变化,即各次抽样是不独立的.如果抽样采用放回抽样,则各次抽样的次品率不变,各次抽样是否抽出次品是完全独立的事件.
解:设取得正品之前已取出的次品数为ξ,显然ξ所有可能取的值为0,1,2,3 当ξ=0时,即第一次取得正品,试验停止,则
93 124 P(ξ=0)=
当ξ=1时,即第一次取出次品,第二次取得正品,试验停止,则
399
P(ξ=1)=121144
当ξ=2时,即第一、二次取出次品,第三次取得正品,试验停止,则
3299
P(ξ=2)=121110220
32191
当ξ=3时,即第一、二、三次取出次品,第四次取得正品,试验停止,则P(ξ=3)=1211109220
399130 1 2 3 44422022010所以,Eξ=
2.设事件A发生的概率为p,证明事件A在一次试验中发生次数ξ的方差不超过分析:这是一道纯数学问题.要求学生熟悉随机变量的期望与方差的计算方法,关键还是掌握随机变量的分布列.求出方差Dξ=P(1-P)后,我们知道Dξ是关于P(P≥0)的二次函数,这里可用配方法,也可用重要不等式证明:因为ξ所有可能取的值为0,1且P(ξ=0)=1-p,P(ξ=1)=p, 所以,Eξ=0×(1-p)+1×
p (1 p) 1
2 224 则 Dξ=(0-p)×(1-p)+(1-p)×p=p(1-p)
3.设 ~B(n、p)且E =12 D =4,求n、p
解:由二次分布的期望与方差性质可知E =np D = np(1-p)
2
n 18
np 122
p 3 ∴ np(1 p) 4 ∴
11
4.已知随机变量 服从二项分布即 ~B(6、3)求b (2;6,3)
12224
解:p( =2)=c6(3)(3)
五、教师总结:
(1)求离散型随机变量ξ的方差、标准差的步骤:①理解ξ的意义,写出ξ可能取的全部值;②求ξ取各个值的概率,写出分布列;③根据分布列,由期望的定义求出Eξ;④根据方差、标准差的定义求出
D 、 .若ξ~B(n,p),则不必写出分布列,直接用公式计算即可.
(2)对于两个随机变量 1和 2,在E 1和E 2相等或很接近时,比较D 1和
D 2
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