存贮论

存贮论

存贮论（或称为库存论）是定量方法和技术最早研究的领域之一，是研究存贮系统的性质、运行规律以及如何寻找最优存贮策略的一门学科，是运筹学的重要分支。存贮论的数学模型一般分成两类：一类是确定性模型，它不包含任何随机因素，另一类是带有随机因素的随机存贮模型。 1．存贮问题的基本要素

（1）需求速度：单位时间内对某种物品的需求量，用R表示。 （2）订货批量：一次订货中，包含某种货物的数量，用Q表示。 （3）订货间隔期：两次订货之间的时间间隔，用 t 表示。

（4）存贮费：所有用于存贮的全部费用，通常与存贮物品的多少和时间长短有关。 单位存贮费记为C1。

（5）短缺损失费：由于物品短缺所产生的一切损失费用，通常与损失物品的多少 和短缺时间的长短有关，记为C2。

（6）订货费：每组织一次生产、订货或采购的费用，通常认为与定购数量无关， 记为C3。

模型一：不允许缺货，补充时间极短的存贮模型 作以下假设：

（1）需求是连续的、均匀的，即需求速度（单位时间的需求量）R为常数； （2）当存贮降到零后，可以立即得到补充；

1 / 9

（3）短缺费为无穷，即C2=∞； （4）每次的订货量不变，订购费不变； （5）单位存贮费为C1。

由上述假设，存贮量的变化情况如图所示。

在每一个周期 t 内，最大的存贮量为A，最小的存贮量为0，且需求是连续均 匀的，因此在一个周期内，其平均存贮量为1

1

2A，存贮费用为2C1A。 一次订货费为 C3，那么在一个周期 t 内的平均订货费为C3 t。由于在最初 时刻，订货量为Q，在 t 时刻，存贮量为0，而且单位时间的需求量为R且连续均匀变化，因此，得到订货量Q、需求量R和订货周期 t 之间的关系t=Q

R。 由此计算出一个单位时间内的平均总费用

C=1

C3R2C1Q+

Q

(1)

对式（1）求导数，并令其为0，即

dCdQ

=1

2C1?

C3RQ2 (2) 得到费用最小的订货量

Q?=

2C3RC1

(3) 最佳订货周期

t?

=

Q?= 2C

3

R

C1

R (4)

最小费用

C?=1

C3R2C1Q?+

Q?= 2C3C1R (5)

例：某商品单位成本为 5 元，每天保管费为成本的 0.1%，每次定购费为 10 元。 2 / 9

已知对

该商品的需求是 100 件/天，不允许缺货。假设该商品的进货可以随时实现。问：应怎样组织进货，才能最经济。 解 根据题意，

C1=5×0.1%=0.005 元∕件?天

C3=10元，R=100件∕天

根据计算公式得：

2C3R2×10×100

Q= ==632 件 C10.005?

?

Q632?t===6.32 天

R100C?= 2C3C1R=3.16 元∕天

所以，应该每隔6.32天进货一次，每次进货该商品632件， 能使总费用最少，平均约3.16元/天

模型二：不允许缺货，补充时间较长的存贮模型 作以下假设条件：

（1）需求是连续均匀的，即需求速度为常数R

（2）存贮的补充是由企业的生产来满足，但生产需要一定的时间。设生产是连续均匀的，即生产速度为常数P，同时设P>??

（3）不允许缺货，即缺货惩罚费（单位缺货费）为C2，取+∞ （4）每次订货量不变，订购费（或生产准备费）为常数C3 （5）单位存贮费为常数C1。不考虑货物价值（即成本） 由上述假设，存贮量的变化情况如图所示。

设生产批量为Q，生产时间为t，则生产时间与生产率之间的关系为

t=P (6) 3 / 9

Q

对于经济生产批量模型，有

最高存贮量= P?R t= P?R P= 1?P Q (7)

而平均存贮量是最高存贮量的一半，关于平均固定订货费与经济定购模型中的平均订货费相同，同样是

C3RQ

Q

R

。这样，平均总费用为

C=2 1?P QC1+

1

R

C3RQ

(8) 类似于前面的推导，得到最优生产量

Q?=

C

最优存贮周期

t=

最大存贮量

A= 1?P Q=

?

?R

2 1? C3R

C1

RP2C3R1 1? RP (9) ?

Q?R

= C

2C3P

(10) 1R P?R

(11) 最优存贮费用

C?=

2C3t?

= 2 1?P C1C3R (12)

R

例 某产品每月需求量为8件，生产准备费用为100元，存贮费用为5元/月·件。在不允许缺货条件下，比较生产速度分别为每月20件和每月40件两种情况下的经济批量和最小费用 解 用“不允许缺货，生产（补充）需一段时间”的模型求解，已知：

C1=5元 月?件，C3=100元，R=8件∕月

P1=20件 月，P2=40件∕月

由计算公式得： 每月生产20件时，Q1?=

40 33

件 ，最小费用C1?=40 3 元

每月生产40件时，Q2?=20 件 ，最小费用C2?=80 元 模型三：允许缺货，补充时间极短的存贮模型 作以下假设条件：

（1）设需求是连续均匀的，即需求速度为常数R （2）补充可以瞬时完成，即补充时间近似为零

4 / 9

（3）单位存贮费为常数C1

（4）系统允许缺货，单位缺货费为C2

（5）每次订货量不变，订购费为常数C3，不考虑货物的价值（成本）。 由上述假设，存贮量的变化情况如图所示。

设 t 仍为时间周期，其中t1表示 t 中不缺货时间，t2表示 t 中缺货时间，即t1+t2=t。B为最大缺货量,c2 为缺货损失的单价，Q仍为每次的最高订货量，则Q?B为最高存贮量，因为每次得到订货量Q后，立即支付给顾客最大缺货B。

以一个周期为例，计算出平均存贮量、平均缺货量和平均总费用。

平均存贮量=

其中

t1=

由此计算出

平均存贮量=

Q?B t1

2tBtQ?BR

1

Q?B t1+0t22t

=

Q?B t1

2t

(13) ,t2=R ,t=R

BQ

=

B2

Q?B 22Q

(14)

平均缺货量=2t2=2Q (15) 因此，允许缺货的经济订购批量存贮模型的平均总费用

C=

C1 Q?B 2

2Q

+

C3RR

+

C2B22Q

(16)

求式(16)关于Q和B的偏导数，并求出其极小点

Q?= B?=C

最佳订货周期

5 / 9

2C3R C1+C2

C1C2

(17) C1

1+C2

Q? (18)

t?=

最大存贮量

Q?R

=

2C3 C1+C2 C1C2R

(19)

A?=Q??B?= C

最小费用

C=

?

2C3t?2C3C2R

(20)

1 C1+C2

=

C1 Q??B? 2

2Q?+

C3RQ?+

C2 B? 22Q? (21)

例：某电子设备厂对一种元件的需求R=2000件∕年为订货提前期为零，每次订购费为25元。该元件每件成本50元，年存贮费为成本的20%；如发生供货短缺，可在下批货到达时补上，但缺货损失费为每件每年30元。试求最佳订货批量及全年的总费用。 解 由题意可知，本题属于“允许缺货，补充时间极短”的存贮模型。 由公式得：

单位存贮费：C1=50×20%=10元∕件?年 单位缺货费：C2=30元 件?年 订购费：C3=25元∕次 需求速度：R=2000件∕年 所以，Q?=Rt?=

2RC3 C1+C2

C1C2

=

2×2000×25× 10+30

10×30

=

2003

3=115.47

取整得，每次订购115件。 最小费用：C?=C t?,A? =

2RC1C2C3C1+C2

=

2×2000×10×30×25

10+30

=500 3=866元

模型四：允许缺货，补充时间较长的存贮模型 模型假设条件：

（1）需求是连续的，即需求速度R为常数；

（2）补充需要一定时间。即一旦需要，生产可立刻开始，但生产需要一定周期。 设生产是连续均匀的，即生产速度P为常数。同时，设P>??；

（3）单位存贮费为C1，单位缺货费为C2，订购费为C3。不考虑货物价值。 由上述假设，存贮量的变化情况如图所示。

6 / 9

0,t 为一个存贮周期，t1时刻开始生产，t3时刻结束生产。

0,t2 时间内存贮为0，t1时达到最大缺货量B， t1,t2 时间内产量一方面以速度R满足需求，另一方面以速度P?R补充 0,t1 时间内的缺货，至t2时刻缺货补足。

t2,t3 时间内产量一方面以速度R满足需求，另一方面以速度P?R增加存贮。 至t3时刻达到最大存贮量A，并停止生产。

t3,t 时间内以存贮满足需求，存贮以速度D减少。至 t 时刻存贮降为零，进入 下一个存贮周期。

下面，根据模型假设条件和存贮状态图，首先导出 0,t 时间内的平均总费用（即 费用函数），然后确定最优存贮策略。

从 0,t1 看，最大缺货量B=Rt1；从 t1,t2 看，最大缺货量B= P?R t2?t1 。 故有Rt1= P?R t2?t1 ，从中解出：

t1=

P?RP

t2 (22)

从 t2,t3 看，最大存贮量A= P?R t3?t2 ；从 t3,t 看，最大存贮量A=R t?t3 。 故有 P?R t3?t2 =R t?t2 ，从中解得

t3?t2=P t?t2 (23)

易知，在 0,t 时间内：存贮费为2C1 P?R t3?t2 t?t2 ；缺货费为2C2Rt1t2；定购费为C3。

故 0,t 时间内平均总费用为

C t,t2 =t 2C1 P?R t3?t2 t?t2 +2C2Rt1t2+C3 (24)

故将(22)和(23)代入，整理后得

C t,t2 =

P?R R2P11

1

1

1

R

C1t?2C1t2+ C1+C2

7 / 9

t22t

+

C3t

(25)

解方程组

?C t,t2

=0?t ?C t,t2 =0 ?t2

可得

t?

2C3 C1+C2

RPRC1C2 1? C1

1+C2

(26) t2?=C

t? (27)

容易证明，此时的费用C t?,t2? 是费用函数C t,t2 的最小值。 因此，模型的最优存贮策略各参数值为： 最优存贮周期

t?=

经济生产批量

Q?=Rt?

缺货补足时间

t2?=C

开始生产时间

t1?=

结束生产时间

t3?=Pt?+ 1?P t2? (32)

最大存贮量

A?=R t??t3? (33)

最大缺货量

B?=Rt1? (34)

8 / 9

R

R

P?RP

?t=

RC1+C2C1

2C3C1

2 C1+C2 1? RP

2C3 C1+C2

RPRC1C2 1? (28)

2C3R C1+C2 C1C2 1?

RP (29) (30) t2?= RC

2C3C1 1? 2 C1+C2

RP (31)

平均总费用

C?=

2C3t

(35)

例题：某公司对某产品的需求量为350件/年（设一年以300

工作日计），已知每次订货费用为50元，该产品的存贮费用为13.75元/件﹒年，缺货时的损失为25元/件﹒年，订货提前期为5天。该种产品由于结构特殊，需要专门车辆运送，在向订货单位发货期间，每天发货量为10件。 试求：（1）最佳订货批量及最大缺货量； （2）年最小费用。

解：本题属于“允许缺货、补充需要一段时间”的存贮模型 由题设可知：

R=

713.75件 天，P=10件 天，C1=元 件?天 630025

C2=元 件?天，C3=50元

300故 Q?= 即每次订购67件。 最大缺货量：B?=

2××50×13.757

× 10? 30062513.752510×× + 300300300762××10×50×

7613.7525

+ 300300713.7525 10? ××

6300300

=66.832

=20.948

年最小费用：300C?=300×

2×× 10? ×

7

613.7525

××50030030013.752510× +

30030076=523.699

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