2019年电大高数基础形考1-4答案(可编辑修改word版)

x 2 ? 2 0 0 0 2019 年电大高数基础形考 1-4 答案

《高等数学基础》作业一

（一） 单项选择题

第 1 章 函数 第 2 章 极限与连续

⒈下列各函数对中，（C ）中的两个函数相等．

A. f (x ) = ( x )2 ， g (x ) = x

3 B. f (x ) = ， g (x ) = x

x 2 - 1

C. f (x ) = ln x ， g (x ) = 3ln x

D. f (x ) = x + 1， g (x ) = x - 1

⒉设函数 f (x ) 的定义域为(-∞,+∞) ，则函数 f (x ) + f (-x ) 的图形关于（C ）对称．

A. 坐标原点

B. x 轴

C. y 轴

D. y = x ⒊下列函数中为奇函数是（B ）．

A. y = ln(1 + x 2 ) a x + a - x

C. y = 2

B. y = x cos x

D. y = ln(1 + x ) ⒋下列函数中为基本初等函数是（C ）． A. y = x + 1

C. y = x 2 B. y = -x

D. y =

?- 1 , ?1 , x < 0 x ≥ 0

⒌下列极限存计算不正确的是（D ）．

x 2 A. lim

= 1 x →∞ x + 2 sin x B. limln(1 + x ) = 0 x →0 1 C. lim = 0 D. lim x sin = 0

x →∞ x x →∞ x

⒍当 x → 0 时，变量（C ）是无穷小量．

sin x 1 A. B.

x x 1 C. x sin x

D. ln(x + 2)

⒎若函数 f (x ) 在点 x 0 满足（A ），则 f (x ) 在点 x 0 连续。

A. lim f (x ) = x → x 0 f (x 0 )

B. f (x ) 在点 x 0 的某个邻域内有定义

C. lim x → x + f (x ) = f (x 0 )

D. lim x → x + f (x ) = lim x → x -

f (x ) （二）填空题

? ? 2 x ? ⒈函数 f (x ) =

x - 3

+ ln(1 + x ) 的定义域是 {

x | x > 3} ．

⒉已知函数 f (x + 1) = x 2 + x ，则 f (x ) = x 2-x ．

⒊ lim(1 + x →∞ 1 ) x =

． 2x

lim(1+ 1 )x = lim(1+ 1 2 x ?1 1 ) 2 = e 2

x →∞ 2x x →∞ 2x

? 1 ⒋若函数 f (x ) = ?(1 + x ) x ,

x < 0 ，在 x = 0 处连续，则 k = e ． ?? ?x + 1 , ⒌函数 y = ? ?sin x , x + k , x > 0 x ≤ 0

x ≥ 0

的间断点是 x = 0 ． ⒍若 lim f (x ) = A ，则当 x → x 0 时， f (x ) - A 称为 x → x 0 时的无穷小量 ． x → x 0

（二） 计算题

⒈设函数

求： f (-2) , f (0) , f (1) ．

?e x , f (x ) = ? ?x , x > 0 x ≤ 0

解： f (-2) = -2 ， f (0) = 0 ， f (1) = e 1 = e 2x -1

⒉求函数 y = lg

的定义域． x ? 2x -1 > 0 ? ? 2x -1 ? 1 解： y = lg 有意义，要求? x ?x ≠ 0 ? 解得?x > 或x < 0 ? ??x ≠ 0 则定义域为?x | x < 0或x > 1 ? ? 2 ? ? ?

⒊在半径为 R 的半圆内内接一梯形，梯形的一个底边与半圆的直径重合，另一底边的两个端点在半圆上，试将梯形的面积表示成其高的函数．

解： D

A

R O h E

B C

设梯形 ABCD 即为题中要求的梯形，设高为 h ，即 OE=h ，下底 CD ＝2R

直角三角形 AOE 中，利用勾股定理得

AE =则上底＝ 2 AE =x 2 - 9

2

= x 1 x ? ?

0 故 S = h

(2R + sin 3x = h (R +

⒋求lim ．

x →0 sin 2x sin 3x ? 3x sin 3x sin 3x 解： lim lim = lim 3x ? 3 ＝ 1 ? 3 = 3 x →0 sin 2x x 2 - 1 ⒌求 lim

x →0 sin 2x ? 2x 2x ． x →0 sin 2x 2 2x 1 2 2

x →-1 sin(x + 1) x 2 -1 (x -1)(x +1) x -1 -1-1 解： lim x →-1 sin(x +1) tan 3x = lim x →-1 sin(x +1) = lim x →-1 sin(x +1) x +1 = = -2 1 ⒍求lim x →0 解： lim x tan 3x ． = lim sin 3x 1 = lim sin 3x ? 1 ? 3 = 1? 1 ? 3 = 3 x →0 ⒎求lim x →0 x sin x

x →0 x ． cos 3x x →0 3

x cos

3x 1 x 2 解： lim x →0 sin x =

x →0 = lim x →0 x

1) sin x x = (1+1)?1 =x →0= 0 ⒏求lim(

x →∞ x - 1) x ． x + 3 1- 1 (1- 1 )x [(1+

1 )- x ]-1 -1 - 解： lim( ) = lim( x )x = lim x = lim -x = e = e -4 x →∞ x + 3 x →∞ 3 x →∞ 3 x x →∞ 1 x e 3 1+ (1+ ) [(1+ )3 ]3 x

2 - 6x + 8 ⒐求lim 2 ．

x x x 3 x →4 x - 5x + 4 x 2 - 6x + 8 ( x - 4)( x - 2) x - 2 4 - 2 2 解： lim - 5x + 4

= lim ( x - 4)( x -1) = lim x -1 = 4 -1 = 3 x →4 x 2 ⒑设函数 x →4 x →4

?(x - 2)2 , f (x ) = ?x , ?x + 1 , x > 1 - 1 ≤ x ≤ 1 x < -1 讨论 f (x ) 的连续性，并写出其连续区

间． 解：分别对分段点 x = -1, x = 1 处讨论连续性

（1） 1 + x 2 - 1 -1 3x

( )

lim x →-1+

lim x →-1- f ( x ) = f ( x ) = lim x = -1 x →-1+ lim x +1 = -1+1 = 0 x →-1- （2）

所以 lim x →-1+ f ( x ) ≠ lim x →-1- f ( x ) ，即 f ( x ) 在 x = -1 处不连续

lim f ( x ) = lim ( x - 2)2 = (1- 2)2 = 1

x →1+

x →1+

lim f ( x ) = lim x = 1 x →1- x →1- f (1) = 1

所以lim f ( x ) = lim f ( x ) = f (1) 即 f ( x ) 在 x = 1 处连续

x →1+ x →1-

由（1）（2）得 f ( x ) 在除点 x = -1

外均连续故 f ( x ) 的连续区间为(-∞, -1)

(-1, +∞)

《高等数学基础》作业二

（一）单项选择题 第 3 章 导数与微分

f (x ) f (x ) ⒈设 f (0) = 0 且极限lim

x →0 存在，则lim x x →0 x = （C ）． A. f (0)

C. f '(x ) B. f '(0)

D. 0 cvx

⒉设 f (x ) 在 x 可导，则lim f (x 0 - 2h ) - f (x 0 ) = （D ）．

0 A. - 2 f '(x 0 ) C. 2 f '(x 0 ) h →0

2h

B. f '(x 0 )

D. - f '(x 0 )

⒊设 f (x ) = e x ，则 lim ?x →0 f (1 + ?x ) - f (1) ?x

= （A ）． A. e 1 C. e 2 B. 2e D. 1 e 4

⒋设 f (x ) = x (x - 1)(x - 2) (x - 99) ，则 f '(0) = （D ）． A. 99

C. 99! B. - 99

D. - 99!

⒌下列结论中正确的是（ C ）．

A. 若 f (x ) 在点 x 0 有极限，则在点 x 0 可导．

B. 若 f (x ) 在点 x 0 连续，则在点 x 0 可导．

C. 若 f (x ) 在点 x 0 可导，则在点 x 0 有极限．

D. 若 f (x ) 在点 x 0 有极限，则在点 x 0 连续．

（二）填空题

x 2 2 2 1- x 2 1 - x 2

? ?x 2 ⒈设函数 f (x ) = ? 1 sin , x

x ≠ 0 ，则 f '(0) = 0 ． ??0 , x = 0 ⒉设 f (e x ) = e 2x + 5e x ，则 d f (ln x ) = 2 ln x + 5 ．

d x x x 1

⒊曲线 f (x ) = + 1在(1, 2) 处的切线斜率是 k = π ⒋曲线 f (x ) = sin x 在( 4 , 1) 处的切线方程是 y = x = 2 (1 - ) 2 4 ⒌设 y = x 2x ，则 y ' = 2x 2x (1 + ln x ) ⒍设 y = x ln x ，则 y ' = 1

x

（三）计算题 ⒈求下列函数的导数 y ' ：

3

3 1 ⑴ y = (x + 3)e x y ' = (x 2 + 3)e x + x 2 e x

2 ⑵ y = cot x + x 2 ln x y ' = -csc 2 x + x + 2x ln x ⑶ y = x 2

ln x y ' = 2x l n x + x

ln 2 x

⑷ y = cos x + 2 x x 3 ln x - x 2

y ' = ' x (-sin x + 2 x ln 2) - 3(cos x +

2 x )

x 4

sin x ( 1 - 2x ) - (ln x - x 2 ) cos x

x

⑸ y = y = sin x sin 2 x

⑹ y = x 4 - sin x ln x sin x + x 2 ⑺ y = 3x y ' = 4x 3 - sin x

- cos x ln x

x = 3x (cos x + 2x ) - (sin x +

x 2 )3x ln 3 32 x ⑻ y = e x tan x + ln x y ' = e x tan x + e x + 1

cos 2 x x

⒉求下列函数的导数 y ' ：

⑴ y = e y ' = e x

⑵ y = ln cos x 3

y ' = - sin x 3

cos x 3 3x 2

= -3x 2 tan x 3

⑶ y = 7

' 7 -1

y = x 8 ⑷ y = y = x 8

8 x 1- x 2

x x x 3 x + x y '

x 2 1 1 -2 1 -1

y ' = (x + x 2 ) 3 (1 + 3 x 2 ) 2

⑸ y = cos 2 e x y ' = -e x sin(2e x )

y = cos e

x 2 y ' = -2xe x 2 sin e

x 2

⑺ y = sin n x cos nx y ' = n sin n -1 x cos x cos nx - n sin n x sin(nx )

y = 5sin x 2

y ' = 2x ln 5 c os x 2

5sin x 2 y = e sin 2 x

y ' = sin 2xe

sin 2 x ⑽ y = x x 2 + e x 2

y ' = x x 2 (x + 2x ln x ) + 2xe

x 2 ⑾ y = x e x + e e x

y ' = x e x ( e + e x ln x ) + e e x

e x

x ⒊在下列方程中，

是由方程确定的函数，求 ：

⑴ y cos x = e 2 y y 'cos x - y sin x = 2e 2 y y '

y ' = y sin x cos x - 2e 2 y

⑵ y = cos y ln x

y ' = sin y .y 'ln x + cos y . 1

x

y ' = cos y x (1 + sin y ln x )

⑶ 2x sin y = 2x cos y .y ' + x 2

y 2 sin y = 2 y x - x 2 y ' y 2 y '(2x c os y + x ) = y 2

2 yx y 2

- 2 sin y ⑹ ⑻ ⑼

y ' =

2xy - 2 y sin y 2xy 2 cos y + x 2 ⑷ y = x + ln y y ' = y ' = y ' + 1

y

y y - 1

⑸ ln x + e y = y 2 1 + e y y ' = 2 yy ' x

y ' = 1 x (2 y - e y )

⑹ y 2 + 1 = e x sin y

2 yy ' = e x cos y .y ' + sin y .e x

y ' = e x sin y 2 y - e x cos y

⑺ e y = e x - y 3 e y y ' = e x - 3y 2 y ' y ' = e e

y + 3y 2 ⑻ y = 5x + 2 y

y ' = 5x ln 5 + y '2 y ln 2

y ' = 5x ln 5 1 - 2 y ln 2

⒋求下列函数的微分d y ： ⑴ y = cot x + csc x dy = ( ⑵ y = - 1 cos 2 x

ln x sin x

- x )d x s i n 2

x x

1

sin x - ln x cos x dy =x dx

sin 2x

1 -x

⑶ y =a rcsin

1 +x

1 + x

2 1 x (1 + x )2 dy = - dx

⑷ y = 两边对数得： ln y = 1 [ln(1 - x ) - ln(1 + x )]

3

y ' = 1 ( - 1 - 1 ) y 3 1 - x 1 + x

y ' = 1 1 - x + 1 ) 1 + x

⑸ y = sin 2 e x

dy = 2 s in e x e x 3 e x d x = sin(2e x )e x d x ⑹ y = tan e x 3

dy = sec 2 e x 3

3x 2dx = 3x 2e x 3 sec 2 xdx

⒌求下列函数的二阶导数： ⑴ y = x ln x

y ' = 1 = ln x y ' = 1

x

⑵ y = x sin x

y ' = x cos x + sin x

y ' = -x sin x + 2 cos x

⑶ y = arctan x

y ' =

1

1 + x 2

y ' = - 2x (1 + x 2 )2 ⑷ y = 3x 2

y ' = 2x 3x 2 ln 3 y ' = 4x 2 3x 2 ln 2 3 + 2 ln 3 ? 3x 2

（四）证明题

设 f (x ) 是可导的奇函数，试证 f '(x ) 是偶函数． 1 - x

3 1 + x

证：因为 f(x)是奇函数 所以 f (-x) =-f (x)

两边导数得： f '(-x)(-1) =-f '(x) ?

所以f '(x) 是偶函数。

f '(-x) = f (x) 《高等数学基础》作业三

（一）单项选择题

第4 章导数的应用

⒈若函数 f (x) 满足条件（D ），则存在∈(a,b)，使得 f'()=

A. 在(a , b) 内连续

B. 在(a , b) 内可导f (b) -f (a)

．

b -a

C. 在(a , b) 内连续且可导

D. 在[a , b] 内连续，在(a , b) 内可导

⒉函数f (x) =x 2+ 4x -1的单调增加区间是（D ）．

A. (-∞, 2) C. (2 , +∞)

B. (-1, 1) D. (-2 , +∞)

⒊函数y =x 2+ 4x - 5 在区间(-6 , 6) 内满足（A ）．

A. 先单调下降再单调上升

B. 单调下降

C. 先单调上升再单调下降

D. 单调上升

⒋函数f (x) 满足f '(x) = 0 的点，一定是f (x) 的（C ）．

A. 间断点

B. 极值点

C. 驻点

D. 拐点

⒌设f (x) 在(a , b) 内有连续的二阶导数，x0∈ (a , b) ，若f (x) 满足（C ），则f (x) 在x0取到极小值．

A. f '(x0 ) > 0 , C. f '(x0 ) = 0 ,f '(x

) =0

f '(x

) >0

B. f '(x0 ) < 0 ,

D. f '(x0 ) = 0 ,

f '(x

) =0

f '(x

) < 0

⒍设 f (x) 在(a , b) 内有连续的二阶导数，且 f '(x) < 0 ,

是（A ）．

f '(x) < 0 ，则f (x) 在此区间内

A. 单调减少且是凸的

B. 单调减少且是凹的

C. 单调增加且是凸的

D. 单调增加且是凹的

（二）填空题

⒈设f (x) 在(a , b) 内可导，x0 ∈ (a , b) ，且当x x0 时

f '(x) > 0 ，则x0是f (x) 的极小值点．

⒉若函数f (x) 在点x0 可导，且x0 是f (x) 的极值点，则f '(x0 ) =0 ．

⒊函数y = ln(1 +x 2 ) 的单调减少区间是(-∞,0) ．

⒋函数 f(x)=e x2的单调增加区间是(0,+∞)

⒌若函数f (x) 在[a , b] 内恒有f '(x) < 0 ，则f (x) 在[a , b] 上的最大值是f (a) ．

⒍函数f (x) = 2 + 5x - 3x3的拐点是x=0 ．

（三）计算题

⒈求函数y = (x +1) (x - 5)2的单调区间和极值．

(x - 2)2 + 2x ? ? ? 令 y ' = (x + 1)2(x + 5)2 = 2(x - 5)(x - 2)

? 驻点x = 2, x = 5

列表：

极大值： f (2) = 27 极小值： f (5) = 0

⒉求函数 y = x 2 - 2x + 3 在区间[0 , 3] 内的极值点，并求最大值和最小值． 令： y ' = 2x - 2 = 0

? x = 1(驻点。

f (0) = 3

f (3) = 6 f (1) = 2

? 最大值 ? 最小值

f (3) = 6

f (1) = 2

⒊试确定函数 y = ax 3 + bx 2 + cx + d 中的 a , b , c , d ，使函数图形过点(-2 , 44) 和点

(1, - 10) ，且 x = -2 是驻点， x = 1是拐点．

?44 = -8b + 4b - 2x + d ? a = 1

?

? 解： ?

? ??

- 10 = a + b + c = d 0 = 12a - 4b + c 0 = 6a + 2b ? b = -3 ?

c = 16 ??

d = -24

⒋求曲线 y 2 = 2x 上的点，使其到点 A (2 , 0) 的距离最短．

解： 设p (x , y )是y 2 = 2x 上的点，d 为 p 到 A 点的距离，则：

d = 令d ' =

= = x - 1 = 0

? x = 1

∴ y 2 = 2x 上点(1,2)到点A (2,0)的距离最短。

⒌圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为 L ，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的

体积最大？

设园柱体半径为 R ，高为 h ，则体积

V =

R 2h = (L 2 - h 2 )h

令。 V ' = [h (-2h ) + L 2

- h 2

] = [L 2

- 3h 2

] = 0 ? L = 3h

h =

3 L

3

R =

2 L 3

∴当h =

3 , R =

3 2 L 时其体积最大。

3

⒍一体积为 V 的圆柱体，问底半径与高各为多少时表面积最小？ 设园柱体半径为 R ，高为 h ，则体积

(x - 2)2 + y 2

(x - 2)2 + 2x

2(x - 2) + 2 2 (x - 2)2 + 2x

X

(-∞,2)

2 (2,5)

5 (5,+∞)

y '

+ 极大 - 极小 + y

上升

27

下降

上升

4V 3 3 2 V 3 4V ? V = R 2

h S 表面积 -2 = 2R h + 2R 2 = 2 V R V + 2R 2 3 令。 S ' = -2VR h = + 4R = 0 ? 2 = R ? R = 答：当 R = h = 时表面积最大。 ⒎欲做一个底为正方形，容积为 62.5 立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？

解：设底连长为 x ，高为 h 。则：

62.5 = x 2h ? h = 62.5

x 2

侧面积为： S = x 2 + 4xh = x 2 +

250 x 令 S ' = 2x - 250

= 0 x 2 ? x 3 = 125 ? x = 5

答：当底连长为 5 米，高为 2.5 米时用料最省。

（四）证明题

⒈当 x > 0 时，证明不等式 x > ln(1 + x ) ．

证：由中值定理得： ln(1 + x ) x = ln(1 + x ) - l n1 (1 + x ) - 1 = 1 < 1 1 +

( > 0) ?

ln(1 + x ) < 1 x

? x > ln(1 + x ) (当x > 0时。 ⒉当 x > 0 时，证明不等式e x > x + 1．

设f (x ) = e x - (x + 1)

f '(x ) = e x - 1 > 0 (当x > 0时。

? 当x > 0时f (x )单调上升且f (0) = 0 ∴ f (x ) > 0,即e x > (x + 1)

证毕

《高等数学基础》作业四

（一）单项选择题

第 5 章 不定积分

第 6 章 定积分及其应用

⒈若 f (x ) 的一个原函数是 1 ，则 f '(x ) = （D ）．

x A. ln x B. - 1

x 2 1 2

C. D. x x 3

⒉下列等式成立的是（D ）． A ? f '(x )d x = f (x ) B. ?d f (x ) = f (x ) C. d ? f (x )d x = f (x ) D. d f (x )d x = d x f (x ) V 3 2

x x ? 0 ⒊若 f (x ) = cos x ，则? f '(x )d x = （B ）．

A. sin x + c

B. cos x + c

C. - sin x + c

D. - cos x + c ⒋ d x 2 f (x 3 )d x = （ B ）．

d x A. f (x 3 ) B. x 2 f (x 3 ) C. 1 f (x ) 3 1 D. 1 f (x 3 ) 3 ⒌若? f (x )d x = F (x ) + c ，则? f ( x )d x = （B ）． 1 A. F ( x ) + c B. 2F ( x ) + c C. F (2 x ) + c D. F ( x ) + c ⒍由区间[a , b ] 上的两条光滑曲线 y = 围成的平面区域的面积是（C ）． b f (x ) 和 y = g (x ) 以及两条直线 x = a 和 x = b 所 b

A. ? a

[ f (x ) - g (x )]d x b B. ? a [g (x ) - f (x )]d x b

C. ? a f (x ) - g (x ) d x

D. ? a

[ f (x ) - g (x )]d x （二）填空题

⒈函数 f (x ) 的不定积分是? f (x )dx ．

⒉ 若函数 F (x ) 与 G (x ) 是同一函数的原函数， 则 F (x ) 与 G (x ) 之间有关系式 F (x ) - G (x ) = c (常数。．

⒊ d ?

e x 2 d x = e x 2 ⒋ ? (tan x )'d x = tan x + c

⒌若? f (x )d x = cos 3x + c ，则 f '(x ) = - 9 cos(3x ) ⒍ ? 3

(sin 5 x + 1 )d x = 3 -3 2 +∞ 1

⒎若无穷积分

?1 （三）计算题 cos 1 d x 收敛，则 p > 0

x p ⒈ x d x = - 1 1 = -sin 1 + c ? x 2

e x ? cos x d ( x ) x x x ⒉ ? d x = 2? e d = 2e + c 1 1

⒊ ? x ln x d x = ? ln x d (ln x ) = ln(ln x ) + c

1 1 1 1

⒋ ? x sin 2x d x = - 2 x cos 2x + 2 ? cos 2xdx = - 2 x cos 2x + 4 sin 2x + c

e 3 + ln x e 1 e 1

⒌ ?1 x d x = ?1 (3 + ln x )d(3 + ln x ) = 2 (3 + ln x )1 = 2

1 -

2 x

1 -

2 x 1 1 1 -2 x 1 -2 1 -2 x 1 1 -2 1 ⒍ ?0 x e d x = - e 2 x + 2 ?0 e dx = - e - e 2 4 0 = 4 e + 4 x x

1 x a

e

x 2

e

1 e

e 2 1

⒎ ?1 x ln x d x = ln x 2 - 2 ?1 xdx = 2 + 4

e ln x 1

e e 1 1 e - 2 ⒏ ?1 d x = - ln x x 2 x + ?1 dx = - - x 2 e = + 1

1 e （四）证明题

a

⒈证明：若 f (x ) 在[-a , a ] 上可积并为奇函数，则

?

-a

f (x )d x = 0 ．

a

-a

a

a

证: 令x = -t

?

-a

f (x )dx = -?a f (-t )dt = ?-a f (-t )dt = -?-a f (t )dt

a a a

? ?-a

f (x )dx = -?-a

f (x )dx ? ?-a

f (x )dx = 0 证毕

a

a

⒉证明：若 f (x ) 在[-a , a ] 上可积并为偶函数，则

?

-a

f (x )d x = 2?0 f (x )d x ．

a

a

证：

?

-a

f (x )d x = ?-a f (x )d x + ?0 f (x )d x

a

令x = -t ,则?-a f (x )d x = -?a f (-t )dt = ?0 f (t )dt

f (x )是偶函数

a

a

a

a

a

?

-a

f (x )d x = ?-a f (x )d x + ?0 f (x )d x = ?0 f (x )d x + ?0 f (x )d x = 2?0 f (x )d x

证毕

a

a

⒊证明： ?

-a

f (x )d x = ?0 [ f (x ) + f (-x )]d x

a

a

0 a

证： ?

-a

f (x )d x = ?-a f (x )d x + ?0 f (x )d x = - ?a f (-x )d x + ?0 f (x )d x

=

?

f (-x )d x + ?0

f (x )d x =?0 [ f (x ) + f (-x )]d x

证毕

a a

1 1

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