概率论与数理统计课后习题答案

习题 一

1．略.见教材习题参考答案.

2.设A，B，C为三个事件，试用A，B，C的运算关系式表示下列事件：

（1） A发生，B，C都不发生； （2） A与B发生，C不发生； （3） A，B，C都发生；

（4） A，B，C至少有一个发生； （5） A，B，C都不发生； （6） A，B，C不都发生； （7） A，B，C至多有2个发生； （8） A，B，C至少有2个发生.

【解】（1） A

BC （2） ABC （3） ABC

（4） A∪B∪C=

ABC∪ABC∪A

BC∪ABC∪

A

BC∪ABC∪ABC=ABC

(5)

ABC=A?B?C (6) ABC

(7)

ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪

ABC=ABC=A∪B∪C

(8) AB∪BC∪CA=AB

C∪ABC∪ABC∪ABC

3.略.见教材习题参考答案

4.设A，B为随机事件，且P（A）=0.7,P(A?B)=0.3，求P（AB）.



【解】 P（

AB）=1?P（AB）=1?[P(A)?P(A?B)]

=1?[0.7?0.3]=0.6

5.设A，B是两事件，且P（A）=0.6,P(B)=0.7,求： （1） 在什么条件下P（AB）取到最大值？ （2） 在什么条件下P（AB）取到最小值？

【解】（1） 当AB=A时，P（AB）取到最大值为0.6.

（2） 当A∪B=Ω时，P（AB）取到最小值为0.3.

6.设A，B，C为三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P

（AB）=P（BC）=0，P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一

事件发生的概率.

【解】 P（A∪B∪C）=P(A)+P(B)+P(C)?P(AB)?P(BC)?P(AC)+P(ABC)

=

1114+4+3?112=34

7.从52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张

方块，2张梅花的概率是多少？ 【解】 p=

C5C3321313C13C13/C1352

8.对一个五人学习小组考虑生日问题：

（1） 求五个人的生日都在星期日的概率； （2） 求五个人的生日都不在星期日的概率；

（3） 求五个人的生日不都在星期日的概率.

【解】（1） 设A1={五个人的生日都在星期日}，基本事件总数为75，有利事件仅1个，故 P（A111）=5 75=（

7）（亦可用独立性求解，

下同）

（2） 设A2={五个人生日都不在星期日}，有利事件数为65，

故

（A65P2）=

75=(

67)5

(3) 设A3={五个人的生日不都在星期日}

P（A13）=1?P(A1)=1?(

7)5

9.略.见教材习题参考答案.

10.一批产品共N件，其中M件正品.从中随机地取出n件（n

求其中恰有m件（m≤M）正品（记为A）的概率.如果： （1） n件是同时取出的； （2） n件是无放回逐件取出的；

（3） n件是有放回逐件取出的. 【解】（1） P（A）=

Cmn?mnMCN?M/CN

(2) 由于是无放回逐件取出，可用排列法计算.样本点总数有

PnN种，n次抽取中有m次为正品的组合数为Cmn种.对于固定的一种正品与次品的抽取次序，从M件正品中

取m件的排列数有

PmM种，从N?M件次品中取n?m件的排列数为

Pn?mN?M种，故

mn?P（A）=

CmPmnPMN?MPn

N1

由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出，故上述概率也可写成

P（A）=

Cmn?mMCN?MCn

N可以看出，用第二种方法简便得多.

（3） 由于是有放回的抽取，每次都有N种取法，故所有可能

的取法总数为Nn种，n次抽取中有m次为正品的组合数为

Cmn种，对于固定的一种正、次品的抽取次序，m次

取得正品，都有M种取法，共有Mm种取法，n?m次取得次品，每次都有N?M种取法，共有（N?M）n?m种取法，故

P(A)?CmMm(N?M)n?m/Nnn 此题也可用贝努里概型，共做了n重贝努里试验，每次取得正品的概率为

MN，则取得m件正品的概率为

P(A)?Cm?M?m?M?n?mn??N????1?N??

11.略.见教材习题参考答案.

12. 50只铆钉随机地取来用在10个部件上，其中有3个铆钉强度太

弱.每个部件用3只铆钉.若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱.求发生一个部件强度太弱的概率是多少？

【解】设A={发生一个部件强度太弱}

P(A)?C1C33103/C50?11960

13.一个袋内装有大小相同的7个球，其中4个是白球，3个是黑球，

从中一次抽取3个，计算至少有两个是白球的概率. 【解】 设Ai={恰有i个白球}（i=2,3），显然A2与A3互斥.

P(A)?C2C14318P(A)?C3442C3?,3735C3?

735故

P(A222?A3)?P(A2)?P(A3)?35 14.有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.7，在两批种子中各随

机取一粒，求：

（1） 两粒都发芽的概率； （2） 至少有一粒发芽的概率； （3） 恰有一粒发芽的概率.

【解】设Ai={第i批种子中的一粒发芽}，（i=1,2）

(1)

P(A1A2)?P(A1)P(A2)?0.7?0.8?0.56

(2)

P(A1?A2)?0.7?0.8?0.7?0.8?0.94

(3)

P(A1A2?A1A2)?0.8?0.3?0.2?0.7?0.38

15.掷一枚均匀硬币直到出现3次正面才停止.

（1） 问正好在第6次停止的概率；

（2） 问正好在第6次停止的情况下，第5次也是出现正面的概率.

【解】（1）

pC2113151?5(2)2(2)2?32 (2)

C1(1)(1)31p42?2245/32?25

16.甲、乙两个篮球运动员，投篮命中率分别为0.7及0.6，每人各投

了3次，求二人进球数相等的概率.

【解】 设Ai={甲进i球}，i=0,1,2,3,Bi={乙进i球},i=0,1,2,3,则

P(?3A?(0.3)3(0.4)3?C121(0.4)2iBi3)30.7?(0.3)C30.6??i?0

2

22C3(0.7)2?0.3C3(0.6)20.4+(0.7)3(0.6)3

=0.32076

17．从5双不同的鞋子中任取4只，求这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率. 【

4512112241012解】

p?1?CCCCC13?

C2118.某地某天下雪的概率为0.3，下雨的概率为0.5，既下雪又下雨的概率为0.1,求：

（1） 在下雨条件下下雪的概率；（2） 这天下雨或下雪的概率. 【解】 设A={下雨}，B={下雪}.

（1）

p(BA)?P(AB)0.1??0.2

P(A)0.52

）

（

p(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?0.3?0.5?0.1?0.7

19.已知一个家庭有3个小孩，且其中一个为女孩，求至少有一个男

孩的概率（小孩为男为女是等可能的）.

【解】 设A={其中一个为女孩}，B={至少有一个男孩}，样本点总数为2=8，故

3

题21图 题22图

【解】设两人到达时刻为x,y,则0≤x,y≤60.事件“一人要等另一人半

小时以上”等价于|x?y|>30.如图阴影部分所示.

P(AB)6/86P(BA)???

P(A)7/87或在缩减样本空间中求，此时样本点总数为7.

P(BA)?6 73021P?2?

60422.从（0，1）中随机地取两个数，求：

20.已知5%的男人和0.25%的女人是色盲，现随机地挑选一人，此

人恰为色盲，问此人是男人的概率（假设男人和女人各占人数的一半）.

【解】 设A={此人是男人}，B={此人是色盲}，则由贝叶斯公式

6的概率； 51（2） 两个数之积小于的概率.

4（1） 两个数之和小于【解】 设两数为x,y，则0

P(A)P(BA)P(AB) P(AB)??P(B)P(A)P(BA)?P(A)P(BA)

6. 5?0.5?0.0520?

0.5?0.05?0.5?0.00252121.两人约定上午9∶00~10∶00在公园会面，求一人要等另一人半小时以上的概率.

144255?17?0.68

p1?1?1251(2) xy=<.

4

1?1?11p2?1???1dx?1dy???ln2

4x?4?42 3

23.设P（【

A）=0.3,P(B)=0.4,P(AB)=0.5，求P（B｜A∪B）

解

】

P(AB)?P(A)P(BA)P(AB)?P(B)P(A)P(BA)?P(A)P(BA)

P(AB)P(A)?P(AB) P(BA?B)??P(A?B)P(A)?P(B)?P(AB)

?0.8?0.14??0.3077

0.8?0.1?0.2?0.913即考试不及格的学生中努力学习的学生占30.77%.

?0.7?0.51?

0.7?0.6?0.5426. 将两信息分别编码为A和B传递出来，接收站收到时，A被误收

作B的概率为0.02，而B被误收作A的概率为0.01.信息A与B传递的频繁程度为2∶1.若接收站收到的信息是A，试问原发信息是A的概率是多少？

【解】 设A={原发信息是A}，则={原发信息是B}

C={收到信息是A}，则={收到信息是B} 由贝叶斯公式，得

24.在一个盒中装有15个乒乓球，其中有9个新球，在第一次比赛

中任意取出3个球，比赛后放回原盒中；第二次比赛同样任意取出3个球，求第二次取出的3个球均为新球的概率.

【解】 设Ai={第一次取出的3个球中有i个新球}，i=0,1,2,3.B={第二

次取出的3球均为新球} 由全概率公式，有

P(B)??P(BAi)P(Ai)

i?03P(AC)?P(A)P(CA)P(A)P(CA)?P(A)P(CA)

31232132/3?30.983C3CCCCCCCCC6??0.99492 79?36?39?936?38?9362???/3?0.98?1/3?0.01333C15C15C15C15C27.C15C15C1515在已有两个球的箱子中再放一白球，然后任意取出一球，若发现

?0.089

25. 按以往概率论考试结果分析，努力学习的学生有90%的可能考试

及格，不努力学习的学生有90%的可能考试不及格.据调查，学生中有80%的人是努力学习的，试问：

（1）考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人？ （2）考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人？

这球为白球，试求箱子中原有一白球的概率（箱中原有什么球是等可能的颜色只有黑、白两种）

【解】设Ai={箱中原有i个白球}（i=0,1,2），由题设条件知P（Ai）

=

1,i=0,1,2.又设B={抽出一球为白球}.由贝叶斯公式知 3【解】设A={被调查学生是努力学习的}，则

A={被调查学生是不努

P(BA1)P(A1)P(A1B) P(A1B)??2P(B)?P(BAi)P(Ai)i?0力学习的}.由题意知P（A）=0.8，P（

A）=0.2，又设B={被调

?查学生考试及格}.由题意知P（B|A）=0.9，P（B|故由贝叶斯公式知 （

1

A）=0.9，

）

2/3?1/31?

1/3?1/3?2/3?1/3?1?1/3328.某工厂生产的产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被

误认为是次品的概率为0.02，一个次品被误认为是合格品的概率为0.05，求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率. 【解】 设A={产品确为合格品}，B={产品被认为是合格品}

由贝叶斯公式得

P(A)P(BA)P(AB) P(AB)??P(B)P(A)P(BA)?P(A)P(BA)

P(AB)??0.2?0.11??0.02702

0.8?0.9?0.2?0.137即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占2.702% (2)

P(A)P(BA)P(AB) ?P(B)P(A)P(BA)?P(A)P(BA)

?0.96?0.98?0.998

0.96?0.98?0.04?0.0529.某保险公司把被保险人分为三类：“谨慎的”，“一般的”，“冒失

4

的”.统计资料表明，上述三种人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15和0.30；如果“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”占50%，“冒失的”占30%，现知某被保险人在一年内出了事故，则他是“谨慎的”的概率是多少？

【解】 设A={该客户是“谨慎的”}，B={该客户是“一般的”}，

C={该客户是“冒失的”}，D={该客户在一年内出了事故} 则由贝叶斯公式得

因此

P(AB)?P(A)P(B)

故A与B相互独立.

33.三人独立地破译一个密码，他们能破译的概率分别为

11，，53P(A|D)?

P(AD)P(A)P(D|A)?【解】 设Ai={第 i人能破译}（i=1,2,3），则

P(D)P(A)P(D|A)?P(B)P(D|B)?P(C)3P(D|C)P(?Ai)?1?P(A1A2A3)?1?P(A1)P(A2)P(A3)

i?114，求将此密码破译出的概率.

?0.2?0.05?0.057

0.2?0.05?0.5?0.15?0.3?0.3次品率分别为0.02,0.03,0.05,0.03，假定各道工序是相互独立的，求加工出来的零件的次品率.

423?1????0.6

53430.加工某一零件需要经过四道工序，设第一、二、三、四道工序的34.甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是

0.4,0.5,0.7，若只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率.

【解】设A={飞机被击落}，Bi={恰有i人击中飞机}，i=0,1,2,3

由全概率公式，得

【解】设Ai={第i道工序出次品}（i=1,2,3,4）.

P(?Ai)?1?P(A1A2A3A4)

i?14

?1?P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)

P(A)??P(A|Bi)P(Bi)

i?03=(0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7)0.2+ (0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7)0.6+0.4×

0.5×0.7

=0.458

35.已知某种疾病患者的痊愈率为25%，为试验一种新药是否有效，

?1?0.98?0.97?0.95?0.97?0.124

31.设每次射击的命中率为0.2，问至少必须进行多少次独立射击才

能使至少击中一次的概率不小于0.9? 【解】设必须进行n次独立射击.

1?(0.8)?0.9

即为

n把它给10个病人服用，且规定若10个病人中至少有四人治好则认为这种药有效，反之则认为无效，求：

(0.8)n?0.1

（1） 虽然新药有效，且把治愈率提高到35%，但通过试验被否定的概率.

（2） 新药完全无效，但通过试验被认为有效的概率.

kp1??C10(0.35)k(0.65)10?k?0.5138

k?03故 n≥11 至少必须进行11次独立射击.

32.证明：若P（A｜B）=P(A｜B)，则A，B相互独立.

【解】（1）

【证】

P(A|?B)即A|P(B)(2)

kp2??C10(0.25)k(0.75)10?k?0.2241

k?410P(AB)P(AB) ?P(B)P(B)亦即

36.一架升降机开始时有6位乘客，并等可能地停于十层楼的每一层.

试求下列事件的概率：

P(AB)P(B)?P(AB)P(B)

（1） A=“某指定的一层有两位乘客离开”；

（2） B=“没有两位及两位以上的乘客在同一层离开”； （3） C=“恰有两位乘客在同一层离开”； （4） D=“至少有两位乘客在同一层离开”.

P(AB)[1?P(B)]?[P(A)?P(AB)]P(B)

5

【解】 由于每位乘客均可在10层楼中的任一层离开，故所有可能结果为106种.

（1） P(A)?C2469106，也可由6重贝努里模型：

P(A)?C2(1294610)(10)

（2） 6个人在十层中任意六层离开，故

6P(B)?P10106

（3） 由于没有规定在哪一层离开，故可在十层中的任一层离开，有

C110种可能结果，

再从六人中选二人在该层离开，有C26种离开方式.其余4人中不能再有两人同时离开的情况，因此可包含以下三种离开方式：①4人中有3个人在同一层离开，另一人在其余8层中任一层离开，共有

C1319C4C8种可能结果；②4

人同时离开，有

C19种可能结果；③4个人都不在同一层离开，

有P49种可能结果，故

P(C)?C1213114610C6(C9C4C8?C9?P9)/10 （4） D=B.故

6P(D)?1?P(B)?1?P10106

37. n个朋友随机地围绕圆桌而坐，求下列事件的概率： （1） 甲、乙两人坐在一起，且乙坐在甲的左边的概率； （2） 甲、乙、丙三人坐在一起的概率；

（3） 如果n个人并排坐在长桌的一边，求上述事件的概率. 【解】 （1）

p11?n?1

(2)

p3!(n?3)!2?(n?1)!,n?3

(3)

p(n?1)!n!?1n;p?3!(n?2)!1??2?n!,n?3

38.将线段[0，a]任意折成三折，试求这三折线段能构成三角形的概率

【解】 设这三段长分别为x,y,a?x?y.则基本事件集为由

0??x?y?a?x?y?x?(a?x?y)?y ??y?(a?x?y)?x构成的图形，即

??0?x?a?2?0?y?a??2 ?a??2?x?y?a如图阴影部分所示，故所求概率为

p?14. 39. 某人有n把钥匙，其中只有一把能开他的门.他逐个将它们去试开

（抽样是无放回的）.证明试开k次（k=1,2,?,n）才能把门打开的概率与k无关.

k?1【证】

p?Pn?1P?1k,k?1,2,?,n

nn40.把一个表面涂有颜色的立方体等分为一千个小立方体，在这些小立

方体中，随机地取出一个，试求它有i面涂有颜色的概率P（Ai）（i=0,1,2,3）.

【解】 设Ai={小立方体有i面涂有颜色}，i=0,1,2,3.

在1千个小立方体中，只有位于原立方体的角上的小立方体是

三面有色的，这样的小立方体共有8个.只有位于原立方体的棱

上（除去八个角外）的小立方体是两面涂色的，这样的小立方体共有12×8=96个.同理，原立方体的六个面上（除去棱）的小立方体是一面涂色的，共有8×8×6=384个.其余1000?（8+96+384）=512个内部的小立方体是无色的，故所求概率为

P(A5120)?1000?0.512,P(A3841)?1000?0.384,

P(A9682)?1000?0.096,P(A4)?1000?0.008.

41.对任意的随机事件A，B，C，试证

P（AB）+P（AC）?P（BC）≤P(A).

【

证

】 P(A)?P[A(B?C)]?P(AB?AC)

?P(AB)?P(AC)?P(ABC)

6

?P(AB)?P(AC)?P(BC)

42.将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯中球的最大个数分别为1，2，3的概率. 【解】 设

Ai={杯中球的最大个数为i},i=1,2,3.

将3个球随机放入4个杯子中，全部可能放法有43种，杯中球的最大个数为1时，每个杯中最多放一球，故

3P(A1)?C43!43?38 而杯中球的最大个数为3，即三个球全放入一个杯中，故

1P(A43)?C43?116 因

此 P(A)?1?P(A31921)?P(A3)?1?8?16?16

或

?C121P(A4C3C392)43?16 43.将一枚均匀硬币掷2n次，求出现正面次数多于反面次数的概率. 【解】掷2n次硬币，可能出现：A={正面次数多于反面次数}，B={正

面次数少于反面次数}，C={正面次数等于反面次数}，A，B，C两两互斥.

可用对称性来解决.由于硬币是均匀的，故P（A）=P（B）.所以

P(A)?1?P(C)2

由2n重贝努里试验中正面出现n次的概率为

P(C)?Cn1n1n2n(2)(2)

故 P(A)?1n12[1?C2n22n]

44.掷n次均匀硬币，求出现正面次数多于反面次数的概率. 【解】设A={出现正面次数多于反面次数}，B={出现反面次数多于正

面次数}，由对称性知P（A）=P（B）

（1） 当n为奇数时，正、反面次数不会相等.由P（A）+P

（B）=1得P（A）=P（B）=0.5

(2) 当n为偶数时，由上题知

nP(A)?1[1?C212n(2)n]

45.设甲掷均匀硬币n+1次，乙掷n次，求甲掷出正面次数多于乙掷出正面次数的概率.

【解】 令甲正=甲掷出的正面次数，甲反=甲掷出的反面次数.

乙正=乙掷出的正面次数，乙反=乙掷出的反面次数. 显然有

（甲正>乙正）=（甲正

≤乙正）=（n+1?甲反≤n?乙反）

=（甲反≥1+乙反）=（甲反>乙反）

由对称性知P（甲正>乙正）=P（甲反>乙反） 因此P(甲正>乙正)=

12

46.证明“确定的原则”（Sure?thing）：若P（A|C）≥P(B|C),P(A|

C)

≥P(B|

C)，则P（A）≥P(B).

【证】 由P（A|C）≥P(B|C),得

P(AC)P(BCP(C)?)P(C),

即有

P(AC)?P(BC)

同理由

P(A|C)?P(B|C), 得 P(AC)?P(BC),

故

P(A)?P(AC)?P(AC)?P(BC)?P(BC)?P(B)

47.一列火车共有n节车厢，有k(k≥n)个旅客上火车并随意地选择车厢.

求每一节车厢内至少有一个旅客的概率. 【解】 设Ai={第i节车厢是空的}，（i=1,?,n）,则

P(A(n?1)k1ki)?nk?(1?n)P(A2iAj)?(1?n)k ?P(AAn?1ki1i2?Ain?1)?(1?n)其中i1,i2,?,in?1是1，2，?，n中的任n?1个. 显然n节车厢全空的概率是零，于是

7

nS?P(An(1?1)k?C1(1?1)k1?i)?i?1nnnS?P(A)?C22k2?iAjn(1?)1?i?j?nn?

Sn?1?1?i?P(Ai1Ai2?Ain?1)?Cn?1(1?n?1n1?i2??in?1?nn)kSn?0P(?ni?1Ai)?S1?S2?S3???(?1)n?1Sn ?C11k2kn(1?n)?C2n(1?n)???(?1)nCn?1n(1?n?1kn) 故所求概率为

1?P(?ni?1A1k22ii)?1?C1n(1?n)?Cn(1?n)???(?1)n?1Cn?1n?1kn(1?n) 48.设随机试验中，某一事件A出现的概率为ε>0.试证明：不论ε>0

如何小，只要不断地独立地重复做此试验，则A迟早会出现的概率为1. 【证】

在前n次试验中，A至少出现一次的概率为

1?(1??)n?1(n??)

49.袋中装有m只正品硬币，n只次品硬币（次品硬币的两面均印有国

徽）.在袋中任取一只，将它投掷r次，已知每次都得到国徽.试问这只硬币是正品的概率是多少？ 【解】设A={投掷硬币r次都得到国徽}

B={这只硬币为正品}

由题知

P(B)?mm?n,P(B)?nm?n

P(A|B)?12r,P(A|B)?1 则由贝叶斯公式知

P(B|A)?P(AB)P(B)P(A|B)P(A)?P(B)P(A|B)?P(B)P(A|B)

m?mm??1rm?1n2n?2rn m?n2r?m?n?1m?50.巴拿赫（Banach）火柴盒问题：某数学家有甲、乙两盒火柴，每盒

有N根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一

根.试求他首次发现一盒空时另一盒恰有r根的概率是多少？第一次用完一盒火柴时（不是发现空）而另一盒恰有r根的概率又有多少？

【解】以B1、B2记火柴取自不同两盒的事件，则有

P(B1)?P(B12)?2.（1）发现一盒已空，另一盒恰剩r根，说明已取了2n?r次，设n次取自B1盒（已空），n?r次取自B2盒，第2n?r+1次拿起B1，发现已空。把取2n?r次火柴视作2n?r重贝努里试验，则所求概率为

pn1n1n?rr(2)(2)?12?Cn11?2C2n?n?r22r?r

式中2反映B1与B2盒的对称性（即也可以是B2盒先取空）. （2） 前2n?r?1次取火柴，有n?1次取自B1盒，n?r次取自

B2盒，第2n?r次取自B1盒，故概率为

pn?11n?11n?r1n?112n?r?12?2C2n?r?1(2)(2)2?C2n?r?1(2) 51.求n重贝努里试验中A出现奇数次的概率. 【解】 设在一次试验中A出现的概率为p.则由

(q?p)n?C0p0qn?C1n?1?C22n?2nn0nnpqnpq???Cnpq?1

(q?p)n?C0p0qn?C1n?12qn?2npq?C2np???(?1)nCnn0nnpq以上两式相减得所求概率为

pn?133n?31?C1npq?Cnpq?? ?12[1?(q?p)n] ?1[1?(1?2p)n2] 若要求在n重贝努里试验中A出现偶数次的概率，则只要将两式相加，即得

p12?2[1?(1?2p)n].

52.设A，B是任意两个随机事件，求P{（

A+B）（A+B）（A+B）

（A+B）}的值.

【解】因为（A∪B）∩（

A∪B）=AB∪AB

8

（

所

A∪B）∩（A∪B）=AB∪AB

（舍去）

即P（A）=.

求 3

55.随机地向半圆0

2(A?B)(A?B)(A?B)(A?B)



2ax?x2 (a为正常数)内掷一点，点落

在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点和该点的连线与x轴的夹角小于π/4的概率为多少？ 【解】利用几何概率来求，图中半圆面积为

?[(AB?AB)?(AB?AB)]

故所求值为0.

53.设两两相互独立的三事件，A，B和C满足条件：

ABC=?，P(A)=P(B)=P(C)<1/2，且P（A∪B∪C）=9/16，求P（A）. 【

解

】

由

??

12πa2.阴影部分面积为

π212a?a 42故所求概率为

π212a?a11P(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(AC)?P(BC)?Pp(ABC?4) 2??

122ππa922 ?3P(A)?3[P(A)]?

56.设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件16产品中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率. 1311故P(A)?或,按题设P（A）<,故P（A）=.

【解】 设A={两件中至少有一件是不合格品}，B={另一件也是不合442454.设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为1/9，A发生B不

发生的概率与B发生A不发生的概率相等，求P（A）. 【

解

】

格品}

P(AB)?P(A?B)?1?P(A?B)?1 ① 9C242C10P(AB)1 P(B|A)???2CP(A)51-26C10生的报名表分别为3份、7份和5份.随机地取一个地区的报名表，

P(AB)?P(AB)②

故

57.设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表，其中女

从中先后抽出两份.

（1） 求先抽到的一份是女生表的概率p；

（2） 已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表

的概率q.

【解】设Ai={报名表是取自第i区的考生}，i=1,2,3.

Bj={第j次取出的是女生表}，j=1,2.

P(A)?P(AB)?P(B)?P(AB)

故

P(A)?P(B) ③

由A,B的独立性，及①、③式有

1?1?P(A)?P(B)?P(A)P(B) 9

?1?2P(A)?[P(A)]2 ?[1?P(A)]2

1?P(A)??1 31P(Ai)?,i?1,2,3

3375P(B1|A1)?,P(B1|A2)?,P(B1|A3)?

101525则 (1)

137529 p?P(B1)??P(B1|Ai)?(??)?310152590i?1(2)

3故

故

24P(A)?或P(A)?33q?P(B1|B2)?P(B1B2)

P(B2)9

3而

P(B2)??P(B2|Ai)P(Ai)

i?1

?13(710?8206115?25)?90 3P(B1B2)??P(B1B2|Ai)P(Ai)

i?1

?1377853(10?9?15?14?25?2024)?29 故

2q?P(B1B2)P(B?92061 2)61?9058. 设A，B为随机事件，且P（B）>0,P(A|B)=1,试比较P(A∪B)与P(A)的大小. (2006研考)

解

：

因

为 P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)

P(AB)?P(B)?P(AB)?P(B)

所

以 P(A?B)?P(A)?P(B)?P(B)?P(A).

习题二

1.一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，

以X表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律. 【解】

X?3,4,5P(X?3)?1C3?0.15P(X?4)?3C3?0.3

5P(X?5)?C24C3?0.65故所求分布律为 X 3 4 5 P 0.1 0.3 0.6

2.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X表示取出的次品个数，求： （1） X的分布律； （2） X的分布函数并作图； (3)

P{X?1332},P{1?X?2},P{1?X?2},P{1?X?2}.

【解】

X?0,1,2.P(X?0)?C31322C3?.1535P(X?1)?C122C1312 C3?.1535P(X?2)?C1131

C3?.1535故X的分布律为 X 0 1 2 P 22 1213535 35

（2） 当x<0时，F（x）=P（X≤x）=0

当0≤x<1时，F（x）=P（X≤x）=P(X=0)=

2235 当1≤x<2时，F（x）=P（X≤x）=P(X=0)+P(X=1)=3435 当x≥2时，F（x）=P（X≤x）=1 故X的分布函数

??0,x?0?22,0?x?1F(x)???35 ?34?,1?x?2?35?1,x?2(3)

10

1122P(X?)?F()?,(2) 由分布律的性质知

2235NNa3334341??P(X?k)???a P(1?X?)?F()?F(1)???0223535k?1k?1N 3312即 a?1. P(1?X?)?P(X?1)?P(1?X?)?22355.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次，求：

341P(1?X?2)?F(2)?F(1)?P(X?2)?1???0.（1） 两人投中次数相等的概率;

35353.射手向目标独立地进行了3次射击，每次击中率为0.8，求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率. 【解】

设X表示击中目标的次数.则X=0，1，2，3.

P(X?0)?(0.2)3?0.008P(X?1)?C1230.8(0.2)?0.096P(X?2)?C2(0.8)20.2?0.384

3P(X?3)?(0.8)3?0.512故X的分布律为 X 0 1 2 3 P 0.008 0.096 0.384 0.512 分布函数

??0,x?00.008,0?x?1F(x)????0.104,1?x?2

??0.488,2?x?3??1,x?3P(X?2)?P(X?2)?P(X?3)?0.896

4.（1） 设随机变量X的分布律为

P{X=k}=a?kk!，

其中k=0，1，2，?，λ＞0为常数，试确定常数a. （2） 设随机变量X的分布律为

P{X=k}=a/N， k=1，2，?，N，

试确定常数a.

【解】（1） 由分布律的性质知

??1??P(X?k)?a??kk?0k?0k!?a?e?

故

a?e??

（2） 甲比乙投中次数多的概率.

【解】分别令X、Y表示甲、乙投中次数，则X~b（3，0.6）,Y~b(3,0.7)

(1)

P(X?Y)?P(X?0,Y?0)?P(X?1,Y?1)?P(X?P(X?3,Y?3)

?(0.4)3(0.3)3?C121230.6(0.4)C30.7(0.3)+

C20.4C23(0.6)23(0.7)20.3?(0.6)3(0.7)3

?0.32076

(2)

P(X?Y)?P(X?1,Y?0)?P(X?2,Y?0)?P(X?3,Y?

P(X?2,Y?1)?P(X?3,Y?1)?P(X?3,Y?2)

?C12322330.6(0.4)(0.3)?C3(0.6)0.4(0.3)?

(0.6)3(0.3)3?C23(0.6)20.4C130.7(0.3(0.6)3C1232230.7(0.3)?(0.6)C3(0.7)0=0.243

6.设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02，且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)？

【解】设X为某一时刻需立即降落的飞机数，则X~b(200,0.02)，设机

场需配备N条跑道，则有

P(X?N)?0.01

即

11

k(0.98)200?k?0.01

k??200Ck200(0.02)N?1利用泊松近似

??np?200?0.02?4. ?P(X?N)?k?e?44k?N?1k!?0.01

查表得N≥9.故机场至少应配备9条跑道.

7.有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少（利用泊松定理）？ 【解】设X表示出事故的次数，则X~b（1000，0.0001）

P(X?2)?1?P(X?0)?P(X?1)

?1?e?0.1?0.1?e?0.1

8.已知在五重贝努里试验中成功的次数X满足P{X=1}=P{X=2}，求概率P{X=4}.

【解】设在每次试验中成功的概率为p，则

C1p(1?p)4?C2p255(1?p)3

故 p?

13

所

以 P(X?4)?C4142105(3)3?243.

9.设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3，当A发生不少于3次时，指示灯发出信号，

（1） 进行了5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率； （2） 进行了7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率.

【解】（1） 设X表示5次独立试验中A发生的次数，则X~6（5，0.3）

5P(X?3)??Ckk5(0.3)k(0.7)5??0.16308

k?3(2) 令Y表示7次独立试验中A发生的次数，则Y~b（7，0.3）

7P(Y?3)??Ckk?k7(0.3)(0.7)7?0.35293

k?310.某公安局在长度为t的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X服从参

数为（1/2）t的泊松分布，而与时间间隔起点无关（时间以小时计）.

（1） 求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率；

（2） 求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率.

【解】（1）

P(X?0)?e?32 (2)

P(X?1)?1?P(X?0)?1?e?52

11.设P{X=k}=Ck2pk(1?p)2?k, k=0,1,2

P{Y=m}=Cm4pm(1?p)4?m, m=0,1,2,3,4

分别为随机变量X，Y的概率分布，如果已知P{X≥1}=59，试求P{Y≥1}. 【解】因为P(X?1)?59，故P(X?1)?49. 而

P(X?1)?P(X?0)?(1?p)2

故得

(1?p)2?49, 即

p?13.

从

而 P(Y?1)?1?P(Y?0)?1?(1?p)4?6581?0.8024712.某教科书出版了2000册，因装订等原因造成错误的概率为0.001，

试求在这 2000 册书中恰有 5册错误的概率.

【解】令X为2000册书中错误的册数，则X~b(2000,0.001).利用泊松近似计算,

??np?2000?0.001?2

得

e?225P(X?5)?5!?0.0018

13.进行某种试验，成功的概率为

34，失败的概率为

14.以X表示试

验首次成功所需试验的次数，试写出X的分布律，并计算X取偶数的概率. 【解】

X?1,2,?,k,? P(X?k)?(1)k?1344

P(X?2)?P(X?4)???P(X?2k)??

12

?14?34?(14)334???(14)2k?134?? 1?3?414? 1?(1)25414.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.

在一年中每个人死亡的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金.求：

（1） 保险公司亏本的概率;

（2） 保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率. 【解】以“年”为单位来考虑.

（1） 在1月1日，保险公司总收入为2500×12=30000元. 设1年中死亡人数为X，则X~b(2500,0.002)，则所求概率为

P(2000X?30000)?P(X?15)?1?P(X?14)

由于n很大，p很小，λ=np=5，故用泊松近似，有

14P(X?15)?1??e?55k?0.000069

k?0k!(2) P(保险公司获利不少于10000)

?P(30000?2000X?10000)?P(X?10)

??10e?55kk?0k!?0.986305

即保险公司获利不少于10000元的概率在98%以上 P

（

保

险

公

司

获

利

不

少

于

20000

）

?P(30000?2000X?20000)?P(X?5)

5e?55k???0.615961

k?0k!即保险公司获利不少于20000元的概率约为62% 15.已知随机变量X的密度函数为

f(x)=Ae?|x|, ?∞

求：（1）A值；（2）P{0

?【解】（1） 由

???f(x)dx?1得

1????|x??Ae|dx?2??Ae?x0dx?2A

故

A?12. (2)

p(0?X?1)?11?2?0exdx?12(1?e?1) x(3) 当x<0时，F(x)??1??2exdx?12ex 当

x≥0时，

F(x)??x1e?|x|dx??01exdx??x102e?x??2??2dx

?1?1?x2e

?x?0故

F(x)??1x?e,?2

?1?12e?x??x?016.设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命X的密度函数为

?f(x)=?100?2,x?100,

?x?0,x?100.求：（1） 在开始150小时内没有电子管损坏的概率；

（2） 在这段时间内有一只电子管损坏的概率； （3） F（x）. 【解】

（1）

P(X?150)??150100100x2dx?13.

p?[P(X?150)]3?(2813)3?27

(2)

pC112242?33(3)?9 (3) 当x<100时F（x）=0

x当x≥100时F(x)????f(t)dt

x

??100??f(t)dt??100f(t)dt

??x100100100t2dt?1?x

?100故

F(x)???1?,x?100 ?x?0,x?017.在区间［0，a］上任意投掷一个质点，以X表示这质点的坐标，设

这质点落在［0，a］中任意小区间内的概率与这小区间长度成正

13

比例，试求X的分布函数.

【解】 由题意知X~∪[0,a]，密度函数为

?1f(x)???,0?x?a ?a?0,其他故当x<0时F（x）=0 当

0

≤

x≤

a时

F(x)??xxx1??f(t)dt??0f(t)dt??0adt?xa 当x>a时，F（x）=1 即分布函数

??0,x?0F(x)???x,0?x?a ?a??1,x?a18.设随机变量X在[2，5]上服从均匀分布.现对X进行三次独立观测，

求至少有两次的观测值大于3的概率. 【解】X~U[2,5]，即

?f(x)??1?,2?x?5 ?3?0,其他P(X?3)??51233dx?3 故所求概率为

p?C222123203(3)3?C33(3)?27 19.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（以分钟计）服从指数分

布E(15).某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟他就离开.他一个月要到银行5次，以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试写出Y的分布律，并求P{Y≥1}.

【解】依题意知X~E(15)，即其密度函数为

?xf(x)??1?e?5,x?0 ?5?0,x?0该顾客未等到服务而离开的概率为

P(X?10)???1?x105e5dx?e?2

Y~b(5,e?2),即其分布律为

P(Y?k)?Ck?225(e)k(1?e?)5?k,k?0,1,2,3,4,5P(Y?1)?1?P(Y?0)?1?(1?e?2)5?0.5167

20.某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交通

拥挤，所需时间X服从N（40，102）；第二条路程较长，但阻塞

少，所需时间X服从N（50，42）.

（1） 若动身时离火车开车只有1小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？

（2） 又若离火车开车时间只有45分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些？

【解】（1） 若走第一条路，X~N（40，102），则

P(X?60)?P??x?40?10?60?40?10????(2)?0.97727

若走第二条路，X~N（50，42），则

P(X?60)?P??X?5060?50??4?4????(2.5)?0.9938++

故走第二条路乘上火车的把握大些. （2） 若X~N（40，102），则

P(X?45)?P??X?4045?40??10?10????(0.5)?0.6915若X~N（50，42），则

P(X?45)?P??X?50?4?45?50?4????(?1.25)

?1??(1.25)?0.1056

故走第一条路乘上火车的把握大些. 21.设X~N（3，22），

（1） 求P{2

解

】

（

1

）

P(2?X?5)?P??2?3X?35?3??2?2?2??

??(1)????1??1???2????(1)?1????2??

?0.8413?1?0.6915?0.532814

P(?4?X?10)?P???4?3?2?X?310?3?2?2??

F（x）=??A?Be?xt,x?0,(???0,x?0.0),

（1） 求常数A，B；

（2） 求P{X≤2}，P{X＞3}； ????7??7??2???????2???0.9996

（3） 求分布密度f（x）.

?limF(x)?1P(|X|?2)?P(X?2)?P(X??2)【解】（1）由?

?x????A?1??xlim?0?F(x)?得?

xlim?0?F(x)?B??1

（2）

P(X?2)?F(2)?1?e?2?

?P??X?32?3??X?3?2?3??2?2???P??2?2??

?1????P(X?3)?1?F(3)?1?(1?e?3?)?e?3?

??1?2????????5?2??????1??2???1????5??2??

?0.6915?1?0.9938?0.6977(3)

f(x)?F?(x)????e??x,x?0P(X?3)?P(X?3?0,x?0 2?3-32)?1??(0)?0.5 25.设随机变量X的概率密度为

(2) c=3

?0?x?1,22.由某机器生产的螺栓长度（cm）X~N（10.05,0.062

）,规定长度在10.05±0.12内为合格品,求一螺栓为不合格品的概率. f（x）=?x,?2?x,1?x?2, ?【

解

】

?0,其他.求X的分布函数F（x），并画出f（x）及F（x）.

P(|X?10.05|?0.12)?P??X?10.05【解】当x<0时F（x）=0

?0.06?0.12?0.06? ?当

0

≤

x<1

F(x)?x)dt?0x?1??(2)??(?2)?2[1??(2)]???f(t???f(t)dt??0f(t)dt

?0.0456

?x

23.一工厂生产的电子管寿命X（小时）服从正态分布N（160，σ2），

?0tdt?x22

若要求P{120＜X≤200}≥0.8，允许σ最大不超过多少？ 【

解

】

当1≤x<2时F(x)??x??f(t)dt

P(120?X?200)?P??120?160???X?160??200?160?????? 0??f(t)dt??10f(t)dt??x1f(t)dt

??1tdt??x01(2?t)dt????40???????40???2???40??

??????????1?0.8

?1x22?2x?2?32故

x2????402?2x?11.29?31.25

24.设随机变量X分布函数为

当x≥2时F(x)??x??f(t)dt?1

故

时

15

9.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为

f（x，y）=??e?y,0?x?y,?0,其他.

求边缘概率密度. 【解】

fX(x)??????f(x,y)dy

=? ????y?x

??xedy??e,x?0, ???0,?0,其他.f??Y(y)????f(x,y)dx

y?y

=????edx????ye?x0,y?0,?0,?0,其他.

题10图

10.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为

f（x，y）=??cx2y,x2?y?1,

?0,其他.（1） 试确定常数c； （2） 求边缘概率密度.

????【解】（1）

??????f(x,y)dxdy如图??f(x,y)dxdy

D

=?114-1dx?x2cx2ydy?21c?1.

得c?214.

(2)

fX(x)??????f(x,y)dy

?????121x2ydy??21x2(1?x4x2),?1?x?1, ?4??8?0,??0,其他.fY(y)??????f(x,y)dx

?????y21x2ydx???75?yy2,0?y?1, ?4??0,?2?0, 其他.11.设随机变量（X，Y）的概率密度为

f（x，y）=??1,y?x,0?x?1,?0,其他.

求条件概率密度fY｜X（y｜x），fX｜Y（x｜y）.

题11图

??【解】

fX(x)????f(x,y)dy

x

??????x1dy?2x,0?x?1, ??0,其他.?1???y1dx?1?y,?1?y?0,fY(y)??????f(x,y)dx?????11dx?1?y,0?y?1,?y?其他?0,.?所以

fx)?f(x,y)??1,|y|?x?1,Y|X(y|f(x)???2x X?0,其他.

??11?y, y?x?1,fy)?f(x,y)??1X|Y(x|f)??,?y?x?1,

Y(y?1?y??0,其他.?12.袋中有五个号码1，2，3，4，5，从中任取三个，记这三个号码中

最小的号码为X，最大的号码为Y.

26

（1） 求X与Y的联合概率分布； （2） X与Y是否相互独立？ 【解】（1） X与Y的联合分布律如下表 1??e?y/2,fY（y）=?2??0,（1）求X和Y的联合概率密度；

5 y?0, 其他.X 1 Y 3 4 P{X?xi}

（2） 设含有a的二次方程为a2+2Xa+Y=0，试求a有实根的概率.

6112233 10???C310C310C3105550 【解】（1） 因

?1,0?x?1, fX(x)???0,其他;?2 31122 10??C310C310550 y?1?2?e,y?1, fY(y)???2?0,其他.?3 0 111 ? 102C5106 10 故

1P{Y?yi} 10

(2)

3 10?1?y/2?ef(x,y)X,Y独立fX(x)?fY(y)??2??0,因

0?x?1,y?0,其他.

P{X?1}?P{Y?3}?故X与Y不独立

6161????P{X?1,Y?3}, 101010010

题14图

(2) 方程a213.设二维随机变量（X，Y）的联合分布律为 Y 0.4 0.8 X 2 5 8 0.15 0.30 0.35 0.05 0.12 0.03 ?2Xa?Y?0有实根的条件是

??(2X)2?4Y?0

故 X2≥Y， 从而方程有实根的概率为：

（1）求关于X和关于Y的边缘分布； （2） X与Y是否相互独立？ 【解】（1）X和Y的边缘分布如下表 0.4 0.8 Y X 2 0.15 0.05 0.2 5 0.30 0.12 0.42 8 0.35 0.03 0.38 P{Y=yi} 0.8 0.2 P{X2?Y}?x2?y??f(x,y)dxdy

P{X?xi} (2)

因

P{X?2}?P{Y?0.4}?0.2?0.8?0.16?0.15?P(X?2,Y?0.4),

故X与Y不独立.

14.设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，1）上服从均匀分布，Y的概率密度为

1?y/2edy002?1?2?[?(1)??(0)] ?0.1445.??dx?1x215.设X和Y分别表示两个不同电子器件的寿命（以小时计），并设X

和Y相互独立，且服从同一分布，其概率密度为

?1000?,x?1000,f（x）=?x2

?其他.?0,27

16.设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从N（160，202）

求Z=X/Y的概率密度.

【解】如图,Z的分布函数FZ(z)?P{Z?z}?P{(1) 当z≤0时，FZ(z)X?z} Y分布.随机地选取4 只，求其中没有一只寿命小于180的概率. 【解】设这四只寿命为Xi(i=1,2,3,4)，则Xi~N（160，202），

从而

?0

P{min(X1,X2,X3,X4)?180}Xi之间独立P{X1?18（2） 当0

1000z）(如图a) FZ(z)???106x2y2dxdy????yz106103dy?322dx y?xz10xyz??

=???103106?z1032?3?dz?yzyy?2

?

题15图

(3) 当z≥1时，（这时当y=103时，x=103z）（如图b）

F106Z(z)???x2y2dxdy????zy106103dy10y?x?3x2y2dx z

=????103106?1103??y2?zy3??dy?1?2z 即

??1?12z,z?1,?f?zZ(z)??,0?z?1,

?2?其他?0,.?故

??12z2,z?1,?f(z)???1Z,0?z?1,

?2?其他?0,.?

P{X3?180}?P{X4?180}

?[1?P{X1?180}]?[1?P{X2?180}]?[1?P{X3?180}]?[1?

?[1?P{X??180?160??41?180}]4???1????20????

?[1??(1)]4?(0.158)4?0.00063.17.设X，Y是相互独立的随机变量，其分布律分别为

P{X=k}=p（k），k=0，1，2，…，

P{Y=r}=q（r），r=0，1，2，….

证明随机变量Z=X+Y的分布律为

iP{Z=i}=

?p(k)q(i?k)，i=0，1，2，….

k?0【证明】因X和Y所有可能值都是非负整数，

所以

{Z?i}?{X?Y?i}

?{X?0,Y?i}?{X?1,Y?i?1}???{X?i,Y?0}

于是

iP{Z?i}??P{X?k,Y?i?k}X,Y相互独立k?0?iP{X?k}?P{Y?i?k}

k?0i

??p(k)q(i?k)

k?018.设X，Y是相互独立的随机变量，它们都服从参数为n，p的二项分

布.证明Z=X+Y服从参数为2n，p的二项分布.

28

【证明】方法一：X+Y可能取值为0，1，2，…，2n.

kP{X?Y?k}??P{X?i,Y?k?i}

i?0

k??P(X?i)?P{Y?k?i}i?0k???n?in?i?n?k?in?k?i?0??i??pq??k?i??pqik???i?0?n???i??n?

??k?i??pkq2n?k???2n??pkq2n?k?k?方法二：设μ1,μ2,…,μn;μ1′,μ2′,…，μn′均服从两点分布（参数为p），则

X=μ1+μ2+…+μn，Y=μ1′+μ2′+…+μn′, X+Y=μ1+μ2+…+μn+μ1′+μ2′+…+μn′,

所以，X+Y服从参数为（2n,p)的二项分布. 19.设随机变量（X，Y）的分布律为 0 1 2 3 Y X 4 5 0 0 0.01 0.03 0.05 1 0.07 0.09 2 0.01 0.02 0.04 0.05 3 0.06 0.08 0.01 0.03 0.05 0.05 0.05 0.06 0.01 0.02 0.04 0.06 0.06 0.05 (1) 求P{X=2｜Y=2}，P{Y=3｜X=0}； （2） 求V=max（X，Y）的分布律； （3） 求U=min（X，Y）的分布律； （4） 求W=X+Y的分布律.

【解】（1）P{X?2|Y?2}?P{X?2,Y?2}P{Y?2}

?P{X?2,Y?2}?0.05?5P{X?i,Y?2}0.25?12, i?0 P{Y?3|X?0}?P{Y?3,X?0}P{X?0}

?P{X?0,Y?3}0.01?3?P{X?0,Y?j}0.03?13;

j?0（

2

）

P{V?i}?P{max(X,Y)?i}?P{X?i,Y?i}?P{X?i,Y

i?1i??P{X?i,Y?k}??P{X?k,Y?i},

k?0k?0i?0,1,2,3,4,5

所以V的分布律为 V=max(X,Y) 0 1 2 3 4 5 P 0 0.04 0.16 0.28 0.24 0.28

(3)

P{U?i}?P{min(X,Y)?i}

?P{X?i,Y?i}?P{X?i,Y?i}35??P{X?i,Y?k}?P{X?k,Y?i}

k?ik??i?1i?0,1,2,3,

于是 U=min(X,Y) 0 1 2 3 P 0.28 0.30 0.25 0.17 (4)类似上述过程，有 W=X+0 1 2 3 4 5 6 7 8 Y P 0 0.00.00.10.10.20.10.10.02 6 3 9 4 9 2 5 20.雷达的圆形屏幕半径为R，设目标出现点（X，Y）在屏幕上服从均匀分布.

（1） 求P{Y＞0｜Y＞X}； （2） 设M=max{X，Y}，求P{M＞0}.

29

e2【解】区域D的面积为 的联合密度函数为

S0??11dx?lnxxe21?2.（X,Y）

题20图

【解】因（X，Y）的联合概率密度为

1?12?,1?x?e,0?y?,f(x,y)??2x

??0,其他.（X，Y）关于X的边缘密度函数为

?1222?2,x?y?R, f(x,y)??πR?其他.?0,P{Y?0,Y?X}（1）P{Y?0|Y?X}?

P{Y?X}1?1/x1dy?,1?x?e2,??0 fX(x)??22x?其他.?0,所以

1fX(2)?.

422.设随机变量X和Y相互独立，下表列出了二维随机变量（X，Y）联

合分布律及关于X和Y的边缘分布律中的部分数值.试将其余数值填入表中的空白处.

?y?0y?x??f(x,y)d???f(x,y)d?π

X x1 x2 P{Y=yj}=pj

Y y1 y2 y3 1/8 1/8 1/6 P{X=xi}=pi y?x

(2)

1?π/40πR2rdr ?5πR1?π4/4d??0πR2rdr3/83??; 1/24d??R1 【解】因P{Y?yj}?Pj??P{X?xi,Y?yj},

i?12故

P{M?0}?P{max(X,Y)?0}?1?P{max(X,Y)?0} P{Y?y1}?P{X?x1,Y?y1}?P{X?x2,Y?y1},

?1?P{X?0,Y?0}?1???f(x,y)d??1?x?0y?013?. 44从而P{X而

X

?x1,Y?y1}?与

Y

111??. 6824独

立

，

故

21.设平面区域D由曲线y=1/x及直线y=0，x=1,x=e2所围成，二维随机变量（X，Y）在区域D上服从均匀分布，求（X，Y）关于X的边缘概率密度在x=2处的值为多少？

P{X?xi}?P{Y?yj}?P{X?xi,Y?yi},

从

而

P{X?x1}?11?P{X?x,Y?y}?. 624111/?. 即：P{X?x1}?2464又

题21图

P{X?x1}?P{X?x1,Y?y1}?P{X?x1,Y?y2}?P{X?即

111???P{X?x1,Y?y3}, 424830

下面

1?x2讨论独立性，当|x|≤1时，

X Y ??1 0 1 1/8 1/8 1/8 1/8 0 1/8 1/8 1/8 1/8 fX(x)?1?1?x212dy?1?x2. ππ??1 0 1 . 当|y|≤1时，fY(y)1?1?y2?1?y212dx?1?y2ππ验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的.

【解】联合分布表中含有零元素，X与Y显然不独立，由联合分布律

显然

f(x)?f(x,y).

易求得X，Y及XY的分布律，其分布律如下表

XY(y)?f故X和Y不是相互独立的.

17.设随机变量（X，Y）的分布律为

X ??1 0 1 P 3238 8 8 Y ??1 0 1 P 328 8 38 XY ??1 0 1 P 28 48 28 36

由期望定义易得E（X）=E（Y）=E（XY）=0. 从而E(XY)=E(X)·E(Y),再由相关系数性质知ρXY=0, 即X与Y的相关系数为0，从而X和Y是不相关的. 又

19.设（X，Y）的概率密度为

?XY?Cov(X,Y)?D(X)?D(Y)?13611?1818??1 2331P{X??1}?P{Y??1}????P{X??1,Y??1}

888从而X与Y不是相互独立的.

18.设二维随机变量（X，Y）在以（0，0），（0，1），（1，0）为顶点的三

角形区域上服从均匀分布，求Cov（X，Y），ρXY. 【解】如图，SD=

ππ?1?sin(x?y),0?x?,0?y?,f（x，y）=?222

?其他.?0,求协方差Cov（X，Y）和相关系数ρXY.

解

??12【

，故（X，Y）的概率密度为

】

π/2E(X)??

???????xf(x,y)dxdy??π200dx?π/201x?sin(x?y)dy?2E(X)??dx?

题18图

从而

2π201π2πx?sin(x?y)dy???2.

2822?2,(x,y)?D, f(x,y)??0,其他.?E(X)???xf(x,y)dxdy??0dx?0D22111?xπ2πD(X)?E(X)?[E(X)]???2.

16222同理

1x?2dy?

312xdy?

62ππ2πE(Y)?,D(Y)???2.

4162又

π/2π/2E(X)???xf(x,y)dxdy??0dx?0D1?xE(XY)??故

0dx?0πxysin(x?y)dxdy??1,

2从而

21?1?1D(X)?E(X2)?[E(X)]2?????.

6?3?18同理E(Y)?π?ππ?π?CovX(Y,?)EX(Y?)E(X?)EY(??)???1????244???2?π?4????22Cov(X,Y)(π?4)π?4??而 ?XY??2??2??2π?8π?32π?D(X)?D(Y)ππ??211?x1162E(XY)???xyf(x,y)dxdy???2xydxdy??dx?2xydy?.

0012DD?11?所以 20.已知二维随机变量（X，Y）的协方差矩阵为??，试求Z1=X??2Y

14??1111Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)?E(Y)?????123336和Z2=2X??Y的相关系数.

.

从

【解】由已知知：D(X)=1,D(Y)=4,Cov(X,Y)=1.

而 从而

11?,D(Y)?. 318 37

D(Z1)?D(X?2Y)?D(X)?4D(Y)?4Cov(X,Y)?1?4?4?4?1?13,品是次品的概率.

23.已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件

次品，乙箱中仅装有3件合格品.从甲箱中任取3件产品放乙箱后，

D(Z2)?D(2X?Y)?4D(X)?D(Y)?4Cov(X,Y)?4?1?4?4?1?4,求：（1）乙箱中次品件数Z的数学期望；（2）从乙箱中任取一件产

Cov(Z1,Z2)?Cov(X?2Y,2X?Y)

【解】（1） Z的可能取值为0，1，2，3，Z的概率分布为

k?kC3?C33P{Z?k}?C36?2Cov(X,X)?4Cov(Y,X)?Cov(X,Y)?2Cov(Y,Y)

?2D(X)?5Cov(X,Y)?2D(Y)?2?1?5?1?2?4?5.,

k?0,1,2,3.

故

?Cov(Z1,Z2)55Z1Z2?D(Z??13.

1)?D(Z2)13?42621.对于两个随机变量V，W，若E（V2

），E（W2

）存在，证明：

［E（VW）］2

≤E（V2

）E（W2

）.

这一不等式称为柯西许瓦兹（Couchy??Schwarz）不等式. 【证】令

g(t)?E{[V?tW]2},t?R.

显然

0?g(t)?E[(V?tW)2]?E[V2?2tVW?t2W2]

?E[V2]?2t?E[VW]?t2?E[W2],?t?R.

可见此关于t的二次式非负，故其判别式Δ≤0， 即0???[2E(VW)]2?4E(W2)?E(V2)

?4{[E(VW)]2?E(V2)?E(W2)}.

故[E(VW)]2?E(V2)?E(W2)}.

22.假设一设备开机后无故障工作的时间X服从参数λ=1/5的指数分布.

设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便关机.试求该设备每次开机无故障工作的时间Y的分布函数F（y）.

【解】设Y表示每次开机后无故障的工作时间，由题设知设备首次发生

故障的等待时间X~E(λ),E(X)=1?=5.

依题意Y=min(X,2). 对于y<0,f(y)=P{Y≤y}=0. 对于y≥2,F(y)=P(X≤y)=1.

对于0≤y<2,当x≥0时，在(0,x)内无故障的概率分布为 P{X≤x}=1??e??λx,所以

F(y)=P{Y≤y}=P{min(X,2)≤y}=P{X≤y}=1??e??y/5.

Z=k 0 1 2 3 Pk 1920 920 12020 因

此

，

E(Z??12???)????90

02(2) 设A表示事件“从乙箱中任取出一件产品是次品”，根据全概

率公式有

3P(A)??P{Z?k}?P{A|Z?k}

k?0

?120?0?919213120?6?20?6?20?6?4. 24.假设由自动线加工的某种零件的内径X（毫米）服从正态分布N（μ,1），

内径小于10或大于12为不合格品，其余为合格品.销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损，已知销售利润T（单位：元）与销售零件的内径X有如下关系

?若X?10T=??1,,?20,若10?X?12, ???5,若X?12.问：平均直径μ取何值时，销售一个零件的平均利润最大？

【

解

】

E(T)??P{X?10}?20P{10?X?12}?5P{X?12}

??P{X?u?10?u}?20P{10?u?X?u?12?u}?5P{X???(10?u)?20[?(12?u)??(10?u)]?5[1??(12?u)]?25?(12?u)?21?(10?u)?5.故

dE(T)du?25?(12?u)?(?1)?21?(10?u)?(?1) 令 0(这里?得

38

25e?(12?u)2/2?21e?(10?u)2/2当t≥0时，利用卷积公式得



两边取对数有

fT(t)??故得

????f1(x)?f2(t?x)dx??5e?5x?5e?5(t?x)dx?25te?5t0t

11ln25?(12?u)2?ln21?(10?u)2.

22解

得

?25te?5t,t?0, f(t)??u?11?12ln2521?11?12ln1.19?10.9128(毫米)

由此可得，当u=10.9毫米时，平均利润最大. 25.设随机变量X的概率密度为

?f(x)=?1?cosx,0?x?π,?22 ?0,其他.对X独立地重复观察4次，用Y表示观察值大于π/3的次数，求Y2的数学期望.

（2002研考）

?π?1,X?,【解】令 Y?3i??(i?1,2,3,4)

??0,X?π?3.4则Y??Yi~B(4,p).因为

i?1p?P{X?π3}?1?P{X?π3}及

P{X?ππ/313}??02cosx12dx?2,

所以E(Y11i)?2,D(Y4Y)?4?1i)?,E(2?2, D(Y)?4?12?12?1?E(Y2)?(EY)2,

从而E(Y2)?D(Y)?[E(Y)]2?1?22?5.

26.两台同样的自动记录仪，每台无故障工作的时间Ti(i=1,2)服从参数为

5的指数分布，首先开动其中一台，当其发生故障时停用而另一台自动开启.试求两台记录仪无故障工作的总时间T=T1+T2的概率密度fT(t)，数学期望E（T）及方差D（T）. 【解】由题意知：

f(t)???5e?5t,t?0,i?0,t?0.

因T1,T2独立，所以fT(t)=f1(t)*f2(t). 当t<0时，fT(t)=0;

T?0,t?0.由于T1i ~E(5),故知E(Ti)=

5,D(T)=1i25(i=1,2) 因此，有E(T)=E(T21+T2)=5.

又因TT21,2独立，所以D（T）=D（T1+T2）=25.

27.设两个随机变量X，Y相互独立，且都服从均值为0，方差为1/2的正

态分布，求随机变量|X??Y|的方差.

【

解

】

设

Z=X??Y

，

由

于

X~N???1?2??0,?????1?2??2???,Y~N?0,?????2????, ?且X和Y相互独立，故Z~N（0，1）. 因

D(X?Y)?D(Z)?E(|Z|2)?[E(|Z|)]2

?E(Z2)?[E(Z)]2,

而

E(Z2)?D(Z)?1,E(|Z|)????|z|1???2πez2/2dz

?2???z2/22π?0zedz?2π，

所以

D(|X?Y|)?1?2π. 28.某流水生产线上每个产品不合格的概率为p(0

相互独立，当出现一个不合格产品时，即停机检修.设开机后第一次停机时已生产了的产品个数为X，求E（X）和D（X）. 【解】记q=1??p,X的概率分布为P{X=i}=qi??1p,i=1,2,…，

故

?E(X)??iqi?1?p?p(?qi)??p?i?1i?1?q???1?q???p(1?q)2?1p. 又

39

E(X2)??i2qi?1p??(i2?i)qi?1p??iqi?1p

i?1i?2i?1???于是

D(U)?D(X?Y)?1121???. 18183618

?q2???11i?pq(?q)????pq???pp i?2?1?q?2pq11?q2?p???2?2.(1?q)3ppp?30.设随机变量U在区间[??2,2]上服从均匀分布，随机变量

X=???1,若U?1，??1,若U??1， Y=?

1,若U?1.1,若U??1，??试求（1）X和Y的联合概率分布；（2）D（X+Y）.

所以 【解】 （1） 为求X和Y的联合概率分布，就要计算（X，Y）的4个可

能取值(??1,??1),(??1,1),(1,??1)及(1,1)的概率.

P{x=??1,Y=??1}=P{U≤??1,U≤1}

?1dxdx1?P{U??1}?????

??4?244P{X=??1,Y=1}=P{U≤??1,U>1}=P{?}=0,

?12?p11?pD(X)?E(X2)?[E(X)]2?2?2?2.

pppP{X=1,Y=??1}=P{U>??1,U≤1}

题29图

29.设随机变量X和Y的联合分布在点（0，1），（1，0）及（1，1）为顶

点的三角形区域上服从均匀分布.（如图），试求随机变量U=X+Y的方差.

【解】D(U)=D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)

=D(X)+D(Y)+2[E(XY)??E(X)·E(Y)]. 由条件知X和Y的联合密度为

?P{?1?U?1}??dx1?

?144121P{X?1,Y?1}?P{U??1,U?1}?P{U?1}?.

故得X与Y的联合概率分布为

dx1?44?2,(x,y)?G, f(x,y)??0,t?0.?G?{(x,y)|0?x?1,0?y?1,x?y?1}.

从而

?(?1,?1)(?1,1)(1,?1)(1,1)??. (X,Y)~?111??0?424?(2)

因

D(X?Y)?E[(X?Y)2]?[E(X?Y)]2,

而X+Y及（X+Y）2的概率分布相应为

??202??0X?Y~?111?, (X?Y)2~?1因此 ????424??211131223E(X)??xfX(x)dx??2xdx?,E(X)??2xdx?,

0001122?0, 从而E(X?Y)?(?2)??2?14144D(X)?E(X2)?[E(X)]2???.

1129182?2, E[(X?Y)]?0??4?3122,D(Y)?. 同理可得 E(Y)?所218fX(x)??????f(x,y)dy??2dy?2x.

1?x14?. 1??2?以

5E(XY)???2xydxdy?2?xdx?ydy?,

01?x12G11D(X?Y)?E[(X?Y)2]?[E(X?Y)]2?2.

31.设随机变量X的概率密度为f(x)=

(1) 求E（X）及D（X）；

541Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)?E(Y)????,

12936

1?xe2，（??∞

40

? 10000E(Xi)??0.00650, ?D(Xi)?5, ?60?10000?0.006?? 0P{0?X?60}???????? ?10000?0.006?0.994??10000?0.006?0.994? E(Tn)?50n, D(Tn)?5n.

60?? ??(0)??????0.5. Tn?50n近似地59.64??依中心极限定理，当n较大时，~N(0,1),故

5n14. 设随机变量X和Y的数学期望都是2，方差分别为1和4，而相关

系数为0.5试根据契比雪夫不等式给出P{|X-Y|≥6}的估计. 箱数 n 取决于条件 （2001研考）

【解】令Z=X-Y，有

?T?50n5000?50n?P{Tn?5000}?P?n??

5n??5nE(Z)?0,D(Z)?D(X?Y)?D(X)?D(Y)?2?XPD(X)?D(Y)?3.

?1000?10n?D(X?Y)3??1???0.977??(2).

P{|Z?E(Z)|?6}?P{|X?Y|?6}???. n?623612?15. 某保险公司多年统计资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，

以X表示在随机抽查的100个索赔户中，因被盗向保险公司索赔的户数.

（1） 写出X的概率分布；

（2） 利用中心极限定理，求被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率近似值.

（1988研考）

【解】（1） X可看作100次重复独立试验中，被盗户数出现的次数，而

在每次试验中被盗户出现的概率是0.2，因此，X~B(100,0.2)，故X的概率分布是

kP{X?k}?C1000.2k0.8100?k,所以

因此可从1000?10n?2解出n<98.0199,

n即最多可装98箱.

习题六

1.设总体X~N（60，152），从总体X中抽取一个容量为100的样本，求

样本均值与总体均值之差的绝对值大于3的概率. 【解】μ=60,σ2=152,n=100

k?1,2,?,100.

Z?(2) 被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率即为事件

{14≤X≤30}的概率.由中心极限定理，得

X??~N(0,1)

?/n即

?30?100?0.2??14?100?0.2X??60P{14?X?30}?????Z???? ~N(0,1)

15?/10?100?0.2?0.8??100?0.2?0.8

P(|X?60|?3)?P(|Z|?30/15)?1?P(|Z|?2)

??(2.5)??(?1.5)?0.994?[?9.33]?0.927.

16. 一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的.假设每箱平均

重50千克，标准差为5千克，若用最大载重量为5吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于0.977.

【解】设Xi（i=1,2,…,n）是装运i箱的重量（单位：千克），n为所求的

箱数，由条件知，可把X1，X2，…，Xn视为独立同分布的随机变量，而n箱的总重量Tn=X1+X2+…+Xn是独立同分布随机变量之和，由条件知：

?2[1??(2)]?2(1?0.9772)?0.0456.

2.从正态总体N（4.2，52）中抽取容量为n的样本，若要求其样本均值位于区间（2.2,6.2）内的概率不小于0.95，则样本容量n至少取多大？ 【解】

Z?X?4~N(0,1)

5/n 46

P(2.2?X?6.2)?P(

2.2?4.26.2?4.2n?Z?n)

55a?查表得 所

9a?14.684, 16?2?(0.4n)?1?0.95,

以

则Φ(0.4n)=0.975，故0.4n>1.96, 14.684?16?26.105.

96.设总体X服从标准正态分布，X1，X2，…，Xn是来自总体X的一个简单随机样本，试问统计量

5n2(?1)?Xi5i?1即n>24.01，所以n至少应取25

3.设某厂生产的灯泡的使用寿命X~N（1000，σ2）（单位：小时），随机

抽取一容量为9的样本，并测得样本均值及样本方差.但是由于工作上的失误，事后失去了此试验的结果，只记得样本方差为S2=1002，试求P（

Y=

X＞1062）.

服从何种分布？ 【

5?Xi?6n，n＞5

2i【解】μ=1000,n=9，S2=1002

t?X??X?1000?~t(8)

100/3S/n解

n】

1062?1000P(X?1062)?P(t?)?P(t?1.86)?0.05

100/34.从一正态总体中抽取容量为10的样本，假定有2%的样本均值与总体均值之差的绝对值在4以上，求总体的标准差.

???X~?(5),???Xi2~X2(n?5)

2i2i222i?1i?1且

?2与?2相互独立.

12所以

X??【解】Z?~N(0,1)，由P(|X?/n

P|Z|>4(σ/n)=0.02,

-μ|>4)=0.02得

X12/5Y?2~F(5,n?5)

X2/n?57.求总体X~N（20，3）的容量分别为10，15的两个独立随机样本平均

值差的绝对值大于0.3的概率.

故

??410??2?1?????????0.02??????,即

【解】令

X的容量为10的样本均值，Y为容量为15的样本均值,则

X则

~N(20,310),

Y~N(20,

?410????????0.99. ??查表得

3)，且X15与Y相互独立.

?33?X?Y~N?0,???N(0,0.5),

?1015?410??2.33,

那么Z?X?Y~N(0,1), 0.5所以

??410?5.43.

2.33所以

5.设总体X~N（μ，16），X1，X2，…，X10是来自总体X的一个容量为10

的简单随机样本，S2为其样本方差，且P（S2＞a）=0.1，求a之值. 【

解

】

0.3??P(|X?Y|?0.3)?P?|Z|???2[1??(0.424)]

0.5??

?2(1?0.6628)?0.6744. 9S2?29a?22??~?(9),P(S?a)?P?????0.1.

1616??8.设总体X~N（0，σ2）,X1,…,X10,…,X15

2为总体的一个样本.则

47

X1?X2???X10Y=

2222X11?X12???X15222?? 服从 分布,参

???2n1?n2?22[E(?12)?E(?2)]数为 . 【解】

?2

Xi?10~N(0,1),i=1,2,…,15.

么

22n1?n2?2[(n1?1)?(n2?1)]??210.设总体X~N（μ,σ2），X1，X2，…，X2n（n≥2）是总体X的一个样本，

那

15?Xi??X?22?1????~?(10),?2???i?~?2(5)

i?1???i?11???212nX??Xi2ni?1EY.

，令Y=

2，求(X?X?2X)?in?ii?1n且

?2与?2相互独立,

12【解】令Zi=Xi+Xn+i, i=1,2,…,n.则

Zi~N(2μ,2σ2)(1≤i≤n),且Z1,Z2,…,Zn相互独立. 令

nZi2Z??, S??(Zi?Z)2/n?1,

i?1ni?1n所以

2X12???X10X12/10Y??2~F(10,5)

222(X11???X15)X2/5所以Y~F分布，参数为（10,5）. 9.设总体X~N（μ1,σ2）,总体Y~N(μ2,σ2),X1,X2,…,

Y2，…，XnXn1和Y1，

2则

分别来自总体X和Y的简单随机样本，则

n2?n122?(X?X)?(Y?Y)?j??i?i?1j?1?= . E???n1?n2?2????Xi1n1X???Z?Z, ?i2n2n2i?1i?1故 那么

2nZ?2X

Y??(Xi?Xn?i?2X)??(Zi?Z)2?(n?1)S2,

2i?1i?1nn【解】令

1n11n2222S1?(Yi?Y), ?(Xi?X),S2?n?1?n1?1i?1j?12则

n1n2所以

E(Y)?(n?1)ES2?2(n?1)?2.

11. 设总体X的概率密度为f(x)=

?(Xi?1i2?X)?(n1?1)S,?(yj?y)2?(n2?1)S2,

221j?11?xe2 (-∞

为总体X的简单随机样本，其样本方差为S2，求E(S2). 解： 由题意，得

又

??21(n1?1)S12?2~?(n1?1),??2222(n2?1)S2?2~?2(n2?1),

那么

于

?1xe, x?0,??2f(x)??

?1e?x,x?0,??2n2?n122?(X?X)?(Y?Y)?j??i?222E(S)?D(X)?E(X)?E(X)1i?1j?12222??E??E(??1???2)

????n1?n2?2n1?n2?21???x E(X)?xf(x)dx?xedx?0????????2??????1???x E(X2)??x2f(x)dx??x2edx??x2e?xdx?2,??02??是

48

所以

E(S2)?2.

习题七

1.设总体X服从二项分布b（n，p），n已知，X1，X2，?，Xn为来自X的样本，求参数p的矩法估计. 【解】

E(X)?np,E(X)?A1?X,因此np=X

所以p的矩估计量

p??Xn

2.设总体X的密度函数

?f（x,θ）=?2?2(??x),0?x??,??

?0,其他.X1，X2，?，Xn为其样本，试求参数θ的矩法估计. 【

解

】

E(X)?2??2?0x(??x)dx?2?x2x3????2???2?3??0?3,令E(X)=A1=

X,因此

?3=X

^所以θ的矩估计量为

??3X.

3.设总体X的密度函数为f（x，θ），X1，X2，?，Xn为其样本，求θ的极大似然估计.

（1） f（x，θ）=???e??x,x?0,?0,x?0.

??x??1（2） f（x，θ）=?,0?x?1,?0,其他.

【

解

】（1

） 似然

函数

nnn??L??f(xi?1i,?)??n?e??xi??ne??e?xi

i?1i?1g?lnL?nln?n???xi

i?1dgd??dlnLd??nn由???xi?0知 i?1

???n?n

xii?1所以θ的极大似然估计量为

???1X.

(2) 似然函数L??nn??x??1i,0?xi?1,i=1,2,?,n.

i?1nlnL?nln??(??1)ln?xi

i?1由dlnLd??nn??ln?xi?0知

i?1????nn??nn

ln?xiii?1?lnxi?1所以θ的极大似然估计量为

????n?n

lnxii?14.从一批炒股票的股民一年收益率的数据中随机抽取10人的收益率数

据，结果如下： 序1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 号 收0.0-0.1-0.1-0.0-0.1-0.0.-0.0-0.-0.1益1 1 2 9 3 3 1 9 1 1 率 求这批股民的收益率的平均收益率及标准差的矩估计值. 【解】

x??0.094 s?0.10189 3 n?9

?EX?x??0.094.

由

2)?[E(X)]2,E(X2n)?Ax2E(X)?D(Xi2??i?1n知

??2?[E(X?)]2?A2,即有 ???A2?[E(X?)]2?11010[?X2i?10(X)2] i?1于

是 49

9???s?0.9?0.10189?0.0966

10所以这批股民的平均收益率的矩估计值及标准差的矩估计值分别为-0.94和0.966.

有

k?1.

2(n?1)7.设X1，X2是从正态总体N（μ，σ2）中抽取的样本

?1??211311?2?X1?X2;??3?X1?X2; X1?X2;?5.随机变量X服从［0，θ］上的均匀分布，今得X的样本观测值：

0.9,0.8,0.2,0.8,0.4,0.4,0.7,0.6，求θ的矩法估计和极大似然估计，它们是否为θ的无偏估计. 【解】(1)

E(X)??2,令

E(X)?X，则

???2X且

E(??)?2E(X)?2E(X)??, 所以θ的矩估计值为

???2x?2?0.6?1.2且

???2X是一个无偏估计.

8(2) 似然函数L??f(x?1?8i,?)??,i=1,2,?,8.

i?1????显然L=L(θ)↓(θ>0)，那么

??max{1?i?8xi}时，L=L(θ)

最大,

所以θ的极大似然估计值??=0.9. 因为E(

??)=E(max{xi})≠θ,所以??=max{xi}不

1?i?81?i?8是θ的无偏计.

6.设X1，X2，?，Xn是取自总体X的样本，E（X）=μ，D（X）=σ2

，

??2n?1 =k

?(Xi?1?Xi)2,问

k为何值时

??2为σ2的无偏估i?1计.

【解】令

Yi?Xi?1?Xi,i=1,2,?,n-1,

则

E(Yi)?E(Xi?1)?E(Xi)?????0,D(Yi)?2?2,于

是 E??2n?1?E[k(?Y2i)]?k(n?1)EY21?2?2(n?1)k, i?1那么当E(??2)??2,即2?2(n?1)k??2时,

334422试证??1,??2,??3都是μ的无偏估计量，并求出每一估计量的方差. 【

证

明

】

（

1

）

E(???E??2?3X1?21211)1?3X2???3E(X1)?3E(X2)?3??3??E(??12)?4E(X31)?4E(X2)??, E(??12(X13)?E1)?2E(X2)??, 所以

??1,??2,??3均是μ的无偏估计量. (2)

22D(???2??1?425?21)???3??D(X1)???3??D(X2)?9X??9,

22D(????1??3?5?22)??4??D(X1)???4??D(X2)?8,

22

D(?????1??2???D(X?3)1)?D(X2)??2,

8.某车间生产的螺钉，其直径X~N（μ，σ2），由过去的经验知道σ2=0.06,今随机抽取6枚，测得其长度（单位mm）如下： 14.7 15.0 14.8 14.9 15.1 15.2

试求μ的置信概率为0.95的置信区间. 【解】n=6,σ2=0.06,α=1-0.95=0.05,

x?14.95,ua?u0.25?1.96,,

2μ的置信度为0.95的置信区间为

???x?u???/2n???(14.95?0.1?1.96)?(14.754,15.146).

9.总体X~N(μ,σ2)，σ2已知，问需抽取容量n多大的样本，才能使μ

的置信概率为1-α，且置信区间的长度不大于L？ 【解】由σ

2

已知可知μ的置信度为1-α的置信区间为

50

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