高中数学必修2知识点总结：第三章_直线与方程 2

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第三章 直线与方程

3.1直线的倾斜角和斜率

3.1 倾斜角和斜率

1、直线的倾斜角的概念：当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定α= 0°. 2、 倾斜角α的取值范围： 0°≤α＜180°. 当直线l与x轴垂直时, α= 90°. 3、直线的斜率:

一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示, k = tanα

⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; ⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在. ．．．．．4、 直线的斜率公式:

给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率： 斜率公式: k = y2-y1/x2-x1 3.1.2 两条直线的平行与垂直 1、两条直线的平行

① 若两条直线的斜率都存在，则 ：k1 = k2 <=> L1∥L2或者．．L1与L2重合

② 两条不重合直线平行的判定条件：⑴ 两条直线的斜率都不存在 ；⑵ 两条直线的斜率存在，且k1 = k2

．．． （若已知两条直线的斜率存在且平行，则应k1 = k2 且纵截距不相等； 若已知两条直线的斜率不存在且 平行，则应横截距不相等） 2、两条直线垂直

①若两条直线的斜率都存在，则 ：k1 · k2 = - 1 <=> L1 ⊥ L2 ．．．．．

②两条直线垂直的判定条件：⑴ 两条直线：一条斜率不存在，另外一条k =0 ； ⑵ 两条直线的斜率存在：k1 · k2 = - 1 3、利用系数来判断平行与垂直

★ 已知 L

1

: A1x+B1y+C1=0 , L2 : A2x+B2y+C2=0 那么：

① A1B2-A2B1=0

两条直线平行或重合 ．．．．

两条直线相交 ③ A1A2 + B1B2 = 0．．

② A1B2-A2B1 ≠0

两条直线垂直 ．．

★ 如果已知两条直线的一般式方程，则可以通过系数关系求解相应的参数的值。

已知 L1 : A1x+B1y+C1=0 ① , L2 : A2x+B2y+C2=0 ②

⑴ 若两条直线平行：则由A1B2-A2B1=0 这一个（有关于参数的）方程先算出参数的值；再将参数的值代 ．． 入原来的直线方程验证，将使得直线重合的参数的值舍去。 ⑵ 若两条直线相交： 则由A1B2-A2B1 ≠0 计算参数的值。 ．．⑶ 若两条直线垂直： 则由A1A2 + B1B2 = 0计算参数的值。 ．．

3.2.1 直线的点斜式方程

1、 直线的点斜式方程：直线l经过点P0（x0，y0），且斜率为k ，则直线方程为 y-y0 = k（x-x0）

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2、 直线的斜截式方程：已知直线l的斜率为k，且与y轴的交点为（0，b）则直线方程为 y = kx + b 3.2.2 直线的两点式方程

(x1,x2),P2(x2,y2)其中(x11、直线的两点式方程：已知两点P1 x2,y1 y2)

y y1x x1

y2 y1x2 x1

① 不适用范围 ：平行或重合于坐标轴（x轴、y轴）的直线不能用两点式方程 ．．．

② 过任意两个不同的点P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直线方程：（x2-x1）（y-y1）=（y2-y1）（x-x1） 2、直线的截距式方程：直线l与x轴的交点为A（a，0），与y轴的交点为B（0，b），（a ≠0 ，b≠0） 此时的直线方程为

xa y

b

1 不适用范围 ：① 平行或重合于坐标轴（x轴、y轴）的直线不能用．．．截距式方程 ② 过原点的直线不能用．．．

截距式方程

3.2.3 直线的一般式方程

1、直线的一般式方程：关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0（A，B不同时为0；亦即A2+B2≠0） 2、各种直线方程之间的互化。

3.3直线的交点坐标与距离公式

3.3.1 两直线的交点坐标

1、给出例题：两直线交点坐标L 1 ：3x+4y-2=0 L 2：2x+y +2=0 解：解方程组

3x 4y 2 0

2x 2y 2 0 得 x=-2，y=2 所以L1与L2的交点坐标为M（-2，2）

一、两点间距离公式：P1P2

(x222 x1) (y2 y1)

二、点到直线的距离公式 1、点到直线距离公式：

点P(x0,y0)到直线l:Ax By C 0的距离为：d Ax0 By0 C

A2 B

2

2、两平行线间的距离公式：

已知两条平行线直线l1和l2的一般式方程为l1：Ax By C1 0 l2：Ax By C2 0， 则l1与l2的距离为d

C1 C2（前提：直线与直线的x、y前的对应系数必须相等）

A

2

B

2

三、直线系与直线系方程

1.直线系：一般的，具有某些共同性质的直线的集合称之为直线系。

2.① 过定点P0(x0,yo)的直线系方程:y-y0=k(x-x0)或x=x0 ；共同特征都过定点(x0,y0) ② 斜率为k的直线系方程:y=kx+b

③ 与已知直线l:Ax+By+C=0 平行的直线系方程：Ax+By+ =0（ 为参数且 ≠C） ④ 与已知直线l:Ax+By+C=0 垂直的直线系方程：Bx-Ay+ =0

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★ 过定点的直线系不要忘记运算斜率不存在的情况。（即x=x0 这条直线）

3.两直线的交点直线系

已知 L1 : A1x+B1y+C1=0 L2 : A2x+B2y+C2=0 直线L1与直线L2 相交，

则过两直线交点的直线系方程为：A1x+B1y+C1+λ（ A2x+B2y+C2）=0 ① （ ①的直线系中不包括直线L2）

★ 为使该直线系包括过交点的所有直线，直线方程可以写成：

λ1（A1x+B1y+C1）+λ2（ A2x+B2y+C2）=0（λ

1

λ2不同时为0）

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