2006年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)文科数学及参考答案

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2006年普通高等学校招生全国统一考试

（四川卷）文科数学及参考答案

第Ⅰ卷

参考公式： 如果事件A、B互斥，那么 球是表面积公式 P(A?B)?P(A)?P(B) S?4?R2 如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径 P(A?B)?P(A)?P(B) 球的体积公式 如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么 V?43?R 3n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径 kkPn(k)?CnP(1?P)n?k 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分； 题号 答案 1 C 2 A 3 D 24 A 5 B 6 D 7 B 8 C 9 D 10 B 11 A 12 C （1）已知集合A?xx?5x?6?0，集合B?x2x?1?3，则集合A?B? （A）x2?x?3 （B）x2?x?3 （C）x2?x?3 （D）x?1?x?3 （2）函数f?x??ln?x?1?,?x?1?的反函数是 （A）f（C）f?1?????????????x??ex?1?x?R? （B）f?1?x??10x?1?x?R? ?x??10x?1?x?1? （D）f?1?x??ex?1?x?1? 3?1（3）曲线y?4x?x在点??1,?3?处的切线方程是 （A）y?7x?4 （B）y?7x?2 （C）y?x?4 （D）y?x?2

（4）如图，已知正六边形PP12P3P4P5P6，下列向量的数量积中最大的是

????????????????????（A）PP12?PP13 （B）PP12?PP14

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????????????????????（C）PP12?PP15 （D）PP12?PP16

（5）甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个容量为90人的样本，应在这三校分别抽取学生 （A）30人，30人，30人 （B）30人，45人，15人 （C）20人，30人，10人 （D）30人，50人，10人 （6）下列函数中，图象的一部分如右图所示的是 （A）y?sin?x?????6?? （B）y?sin?2x???????? 6?（C）y?cos?4x?????3?? （D）y?cos?2x?0??? 6?(7) 已知二面角??l??的大小为60，m,n为异面直线，且m??,n??，则m,n所成的角为 （A）30 （B）60 （C）90 （D）120 (8) 已知两定点A??2,0?,B?1,0?，如果动点P满足PA?2PB，则点P迹所包围的图形的面积等于 （A）9? （B）8? （C）4? （D）? (9) 如图，正四棱锥P?ABCD底面的四个顶点A,B,C,D在球O的同一 个大圆上，点P在球面上，如果VP?ABCD?的轨

000016，则球O的表面积是 3（A）4? （B）8? （C）12? （D）16? 2(10) 直线y?x?3与抛物线y?4x交于A,B两点，过A,B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P,Q，则梯形APQB的面积为 （A）36 （B）48 （C）56 （D）64 （11）设a,b,c分别是?ABC的三个内角A,B,C所对的边，则a?b?b?c?是A?2B的 2（A）充要条件 （B）充分而不必要条件 （C）必要而充分条件 （D）既不充分又不必要条件 （12）从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个数不能被3整除的概率为 （A）

41383519 （B） （C） （D） 60545454第Ⅱ卷

二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分；把答案填在题中的横线上。 （13）?1?2x?展开式中的x系数为?960（用数字作答）

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?x?1?1?（14）设x,y满足约束条件：?y?x，则z?2x?y的最

2???2x?y?10为?6 ;

小值

x2y2??1的长轴AB分成8等份，过每个（15）如图，把椭圆2516F是椭圆的一个焦点，则 作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1,P2,P3,P4,P5,P6,P7七个点，分点

35 ; PF?P?P?P12F?PF34F?PF56F?P7F?（16）m,n是空间两条不同直线，?,?是两个不同平面，下面有四个命题： ①m??,n//?,?//??m?n ②m?n,?//?,m???n//? ③m?n,?//?,m//??n?? ④m??,m//n,?//??n?? 其中真命题的编号是①，② ;（写出所有真命题的编号） 三．解答题：本大题共6小题，共74分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本大题满分12分） 数列?an?的前n项和记为Sn,a1?1,an?1?2Sn?1?n?1? （Ⅰ）求?an?的通项公式； （Ⅱ）等差数列?bn?的各项为正，其前n项和为Tn，且T3?15，又a1?b1,a2?b2,a3?b3成等比数列，求Tn 本小题主要考察等差数列、等比数列的基础知识，以及推理能力与运算能力。满分12分。 解：（Ⅰ）由an?1?2Sn?1可得an?2Sn?1?1?n?2?，两式相减得 an?1?an?2an,an?1?3an?n?2? 又a2?2S1?1?3 ∴a2?3a1 故?an?是首项为1，公比为3得等比数列 ∴an?3n?1

（Ⅱ）设?bn?的公比为d

由T3?15得，可得b1?b2?b3?15，可得b2?5

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故可设b1?5?d,b3?5?d 又a1?1,a2?3,a3?9

由题意可得?5?d?1??5?d?9???5?3? 解得d1?2,d2?10

∵等差数列?bn?的各项为正，∴d?0 ∴d?2 ∴Tn?3n?2n?n?1??2?n2?2n2 （18）（本大题满分12分） ??????已知A,B,C是三角形?ABC三内角，向量m??1,3,n??cosA,sinA?，且m?n?1 ??（Ⅰ）求角A； （Ⅱ）若1?sin2B??3，求tanB 22cosB?sinB???解：（Ⅰ）∵m?n?1 ∴?1,3??cosA,sinA??1 本小题主要考察三角函数概念、同角三角函数的关系、两角和与差的三角函数的公式以及倍角公式，考察应用、分析和计算能力。满分12分。 ??即3sinA?cosA?1 ?31? 2?sinA??cosA?????122????1?sin?A??? 6?2?∵0?A??,?∴A?∴A??6 ?A??6?5? 6?6? ?6?31?2sinBcosB??3，整理得 （Ⅱ）由题知

cos2B?sin2Bsin2B?sinBcosB?2cos2B?0

∴cosB?0 ∴tanB?tanB?2?0 ∴tanB?2或tanB??1

而tanB??1使cosB?sinB?0，舍去

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∴tanB?2

（19）（本大题满分12分）

某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考核都是“合格”则该课程考核“合格”，甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为0.9,0.8,0.7；在实验考核中合格的概率分别为0.8,0.7,0.9，所有考核是否合格相互之间没有影响

（Ⅰ）求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率； （Ⅱ）求这三人该课程考核都合格的概率。（结果保留三位小数） 本小题主要考察相互独立事件、互斥事件、对立事件等概率的计算方法，考察应用概率知识解决实际问题的能力。满分12分。 解：记“甲理论考核合格”为事件A1，“乙理论考核合格”为事件A2，“丙理论考核合格”为事件A3， 记Ai为Ai的对立事件，i?1,2,3；记“甲实验考核合格”为事件B1，“乙实验考核合格”为事件B2，“丙实验考核合格”为事件B3， （Ⅰ）记“理论考核中至少有两人合格”为事件C，记C为C的对立事件 解法1：P?C??PA1A2A3?A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3 ?PA1A2A3?PA1A2A3?PA1A2A3?P?A1A2A3? ?0.9?0.8?0.3?0.9?0.2?0.7?0.1?0.8?0.7?0.9?0.8?0.7 ?0.902 解法2：P?C??1?PC ???????????1?PA1A2A3?A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3 ???1??PA1A2A3?PA1A2A3?PA1A2A3?PA1A2A3? ???????????1??0.1?0.2?0.3?0.9?0.2?0.3?0.1?0.8?0.3?0.1?0.2?0.7? ?1?0.098 ?0.902 所以，理论考核中至少有两人合格的概率为0.902 （Ⅱ）记“三人该课程考核都合格” 为事件D P?D??P???A1?B1???A2?B2???A3?B3???

?P?A1?B1??P?A2?B2??P?A3?B3?

?P?A1??P?B1??P?A2??P?B2??P?A3??P?B3?

?0.9?0.8?0.8?0.8?0.7?0.9

?0.254016

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?0.254

所以，这三人该课程考核都合格的概率为0.254 （20）（本大题满分12分）

如图，在长方体ABCD?A1BC11D1中，E,P分别是的中点，BC,A1D1的中点，M,N分别是AE,C1DAD?AA1?a,AB?2a

（Ⅰ）求证：MN//面ADD1A1； （Ⅱ）求二面角P?AE?D的大小。 本小题主要考察长方体的概念、直线和平面、平面和平面的关系等基础知识，以及空间想象能力和推理能力。满分12分 解法一： （Ⅰ）证明：取CD的中点K，连结MK,NK ∵M,N,K分别为AK,CD1,CD的中点 ∵MK//AD,NK//DD1 ∴MK//面ADD1A1，NK//面ADD1A1∴面MNK//面ADD1A1 ∴MN//面ADD1A1 （Ⅱ）设F为AD的中点 ∵P为A1D1的中点 ∴PF//DD1 ∴PF?面ABCD 作FH?AE，交AE于H，连结PH，则由三垂线定理得AE?PH 从而?PHF为二面角P?AE?D的平面角。 在Rt?AEF中，AF? a17,EF?2a,AE?a，从而 22a?2aAF?EF22a FH???AE1717a2PFDD117 ??FHFH217 故：二面角P?AE?D的大小为arctan2在Rt?PFH中，tan?PFH?方法二：以D为原点，DA,DC,DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立直角坐标系，则

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A?a,0,0?,B?a,2a,0?,C?0,2a,0?,A1?a,0,a?,D1?0,0,a?

∵E,P,M,N分别是BC,A1D1,AE,CD1的中点 ∴E?,2a,0?,P?,0,a?,M??a?2???a?2??a??3a??,a,0?,N?0,a,?,

2??4????????3a?（Ⅰ）MN???a,0,? 2??4?????????????? 取n??0,1,0?，显然n?面ADD1A1 MN?n?0，∴MN?n 又MN?面ADD1A1 ∴MN//面ADD1A1 ∴过P作PH?AE，交AE于H，取AD的中点F，则F??a?,0,0? ?2?????a??????a?设H?x,y,0?，则HP???x,?y,a??,HF???x,?y,0? ?2??2??????a又AE???,2a,0?? 2???a2a??????????x?2ay?0 由AP?AE?0，及H在直线AE上，可得:??42??4x?y?4a解得x?∴HP????332a,y?a 3417??????8a2a?8a2a????,?,a?,HP???,?,0? ?1717??1717?????????????????∴HF?AE?0 即HF?AE ????????∴HP与HF所夹的角等于二面角P?AE?D的大小 ????????????????HP?HF2cosHP,HF???? ??????21HP?HF故：二面角P?AE?D的大小为arccos（21）（本大题满分12分）

已知函数f?x??x?3ax?1,g?x??f?x??ax?5，其中f3'221 21?x?是的导函数

（Ⅰ）对满足?1?a?1的一切a的值，都有g?x??0，求实数x的取值范围；

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（Ⅱ）设a??m，当实数m在什么范围内变化时，函数y?f?x?的图象与直线y?3只有一个公共

2点

本小题主要考察函数的单调性、导数的应用、解不等式等基础知识，以及推理能力、运输能力和综合应用数学知识的能力。满分12分。 解：（Ⅰ）由题意g?x??3x2?ax?3a?5 令??x???3?x?a?3x2?5，?1?a?1

对?1?a?1，恒有g?x??0，即??a??0 ??3x2?x?2?02???1??0∴? 即?2 解得??x?1 3??3x?x?8?0????1??0故x????2?,1?时，对满足?1?a?1的一切a的值，都有g?x??0 3??（Ⅱ）f'?x??3x2?3m2 ①当m?0时，f?x??x3?1的图象与直线y?3只有一个公共点 ②当m?0时，列表： x f'?x? f?x? ???,m? ? ? ?m 0 极大 2??m,m? ? ? m 0 极小 ?m,??? ? ? ∴f?x?极小?f?x???2mm?1??1 又∵f?x?的值域是R，且在m,??上单调递增 ∴当x?m时函数y?f?x?的图象与直线y?3只有一个公共点。 当x?m时，恒有f?x??f?m 由题意得f?m?3 2即2mm?1?2m?1?3

3?????????综上，m的取值范围是??2,2?

解得m??32,0?0,32

33?（22）（本大题满分14分）

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已知两定点F1?2,0,F2????????????2,0，满足条件PF2?PF1?2的点P的轨迹是曲线E，直线

?y?kx?1与曲线E交于A,B两点

（Ⅰ）求k的取值范围；

????????????（Ⅱ）如果AB?63，且曲线E上存在点C，使OA?OB?mOC，求m的值和?ABC的面积S

本小题主要考察双曲线的定义和性质、直线与双曲线的关系、点到直线的距离等知识及解析几何的基本思想、方法和综合解决问题的能力。满分14分。 解：（Ⅰ）由双曲线的定义可知，曲线E是以F1?2,0,F2???2,0为焦点的双曲线的左支，且?c?2,a?1，易知b?1 故曲线E的方程为x2?y2?1?x?0? 设A?x1,y1?,B?x2,y2?，由题意建立方程组?22 消去y，得1?kx?2kx?2?0 ?y?kx?1 22x?y?1???又已知直线与双曲线左支交于两点A,B，有 ?1?k2?0?22????2k??8?1?k??0?? 解得?2?k??1 ?x?x??2k?012?1?k2??2?x1x2??0?1?k2?2（Ⅱ）∵ AB?1?k?x1?x2?1?k?22?x1?x2??4x1x2 ?2??2k? ?1?k???4?2?21?k1?k??2?2?1?k??2?k? ?1?k?2222依题意得 2?1?k??2?k??6?1?k?22223 42整理后得28k?55k?25?0

2∴k?552或k? 74但?2?k??1 ∴k??5 2中国教育开发网

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5x?y?1?0 2????????????设C?x0,y0?，由已知OA?OB?mOC，得?x1,y1???x2,y2???mx0,my0?

故直线AB的方程为∴?x0,y0????x1?x2y1?y2?,?，?m?0?

m??m2k222??45，y1?y2?k?x1?x2??2?2?2?2?8 又x1?x2?2k?1k?1k?1??∴点C??45,8? ?mm???将点C的坐标代入曲线E的方程，得8064??1得m??4， m2m2但当m??4时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意 ∴m?4，点C的坐标为?5,2 ???C到AB5的距离为2??5?2?1??5?2???1?2?21 ?3∴?ABC的面积S?

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