2014上海奉贤区高三数学（文理合卷）二模试题（附答案）

上海市奉贤区2014年高考模拟试卷（二模）

数学（文理合卷）

2014年4月

（考试时间：120分钟，满分150分）

一. 填空题 (本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，1-14题每个空格填对得4分)

1、（理）函数f?x??2x?1的反函数为________. （文）函数f?x??lg2x?4的定义域为________.

?2、设z?a?i（a?R，i是虚数单位），满足

??2?2，则a?________. z2nn??3、如果函数f(x)?logax的图像过点P?，1?，则lim(a?a?????a)?________. 4、执行如图所示的程序框图，输出的S的值为________. 5、若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x?3y?0和x轴都相切，则该圆的标准方程是_____. 6、在(x?1)n的二项展开式中，按x的降幂排列，只有第5项的系数最大，则各项的二项式系数之和为________（答案用数值表示）.

7、若一个圆锥的侧面展开图是面积为2?的半圆面，则该圆锥的体积为________.

8、将外形和质地一样的4个红球和6个白球放入同一个袋中，将它们充分混合后，现从中取出4个球，取出一个红球记2分，取出一个白球记1分，若取出4个球总分不少于5分，则有________种不同的取法. 9、已知抛物线y2?20x焦点F恰好是双曲线

开 始 S=0，n=1 否 ?1??2?n?2014 是 S =S+sin输出S 结 束 n? 3xy??1的右焦点，且双曲线过点(3,0)，则该双曲a2b2线的渐近线方程为________.

10、（理）极坐标系中，极点到直线?sin????0??2（其中?0为常数）的距离是________.

22n=n+1 第4题图

?x?y?2,?10、（文）设实数x,y满足?2x?y?4,则x?2y的最大值等于________.

?y?4,?11、（理）已知函数f(x)?13cosx，则方程f?x?cosx??0的解是________.

21sinx11、（文）将函数f(x)?3cosx的图像向左平移m个单位(m?0)，若所得图像对应

1sinx的函数为偶函数，则m的最小值是________.

1

?x?1,1?x?2,12、（理）定义在(0,??)上的函数f(x)满足：①当x?[1,3)时，f(x)??②

?3?x,2?x?3,x的函数F(x)?f(x)?1的零点从小到大依次记为

x1,x2,x3,x4,x5,???，则x1?x2?x3?x4?x5?________.

f(3x)?3f(x)，设关于

?x?1,1?x?2,12、（文）定义在(0,??)上的函数f(x)满足：①当x?[1,3)时，f(x)???3?x,2?x?3,

②f(3x)?3f(x)，设关于x的函数F(x)?f(x)?1的零点从小到大依次记为x1,x2,x3,???，

则x1?x2?x3?________.

13、（理）从1，2，3，??????，n?1，n这n个数中任取两个数，设这两个数之积的数学期望为E?，则E??________.

13、（文）已知?an?是首项为a，公差为1的等差数列，bn?都有bn?b8成立，则实数a的取值范围是________.

1?an*，若对任意的n?N，an14、设m?1,m?N,以?0,m?间的整数为分子，以m为分母组成分数集合A1，其所有元素和为a1；以0,m有元素和为a2??间的整数为分子，以m为分母组成不属于集合A的分数集合A，其所；……，依次类推以?0,m?间的整数为分子，以m为分母组成不属于

2212nnA1,A2,???,An?1的分数集合An，其所有元素和为an；则a1?a2?????an=________.

二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.

0的是 （ ） 15、（理）已知长方体ABCD?A1B1C1D1，下列向量的数量积一定不为

A．AD1?BC 1B．BD1?AC C．AB?AD1 D．BD1?BC

A

第15题（理）图

A1

D

B

D1 B1

C C1

15、（文）三角形ABC中，设AB?a,BC?b，若a?a?b?0，则三角形ABC的形状是( )

A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．无法确定 16、设数列{an}，以下命题正确的是（ ）

A．若an=4，n?N，则{an}为等比数列 B．若an?an?2?an?1，n?N，则{an}为等比数列 C．若am?an?2m?n，m,n?N，则{an}为等比数列 D．若an?an?3?an?1?an?2，n?N，则{an}为等比数列 17、下列命题正确的是( )

*??2n*2** 2

44a?0,?4 B．a???4 若则

sin2xaba C．若a?0,b?0,则lga?lgb?2lga?lgb D．若a?0,b?0,则??2

ab18、已知?,??R,且设p:???，设q:??sin??cos????sin??cos?，则p是q的

2 A．若x?k?,k?Z,则sinx?（ ）

A．充分必要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件

三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.

19、（理）如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，?BAC?90，

0AB?AC?AA1．若D为B1C1的中点，求直线AD与平面A1BC1所成的角.

A

B

C A1C1B1A1 B1

D C1

ACDB(理19题图)

(文19题图）

AC?3, BC?4,AB?5,点D是AB的19、（文）如图,在直三棱柱ABC?A1B1C1中, 中点.四面体B1?BCD的体积是2，求异面直线DB1与CC1所成的角.

9?a，x?[1,6]，a?R． x (1)若a?1，试判断并用定义证明函数f(x)的单调性； (2)（理）当a?(1,3]时，求证：函数f(x)存在反函数．

（文）当a?(1,3]时，求函数f(x)的最大值的表达式M(a)．

20、已知函数f(x)?|x?a|?

21、某人沿一条折线段组成的小路前进，从A到B，方位角（从正北方向顺时针转到AB方向所成的角）是50，距离是3km；从B到C，方位角是110，距离是3km；从C到D，

3

00

0方位角是140，距离是（9?33）km.

试画出大致示意图，并计算出从A到D的方位角和距离（结果保留根号）.

422、（理）如图，已知平面内一动点A到两个定点F1、F2的距离之和为，线段F1F2的长为2c(c?0)

（1）求动点A的轨迹?；

A、C两点，且点A在线段F1F2的上方，（2）当c?3时，过点F1作直线l与轨迹?交于

线段AC的垂直平分线为m

①求?AF1F2的面积的最大值；

②轨迹?上是否存在除A、C以外的两点S、T关于直线m对称，请说明理由.

422、（文）如图，已知平面内一动点A到两个定点F1、F2的距离之和为，线段F1F2的长为23 （1）求动点A的轨迹?的方程；

A、C两点，且点A在线段F1F2的上方， （2）过点F1作直线l与轨迹?交于线段AC的垂直平分线为m

①求?AF1F2的面积的最大值；

②轨迹?上是否存在除A、C外的两点S、T关于直线m对称，请说明理由.

AAF1F2F1F2CmCm 23、（理）若函数f(x)满足：集合A?f?n?n?N*中至少存在三个不同的数构成等比数

??列，则称函数f(x)是等比源函数.

（1）判断下列函数：①y?log2x；②y?sin?2xx中，哪些是等比源函数？（不需证明）

（2）证明：对任意的正奇数b，函数f(x)?2?b不是等比源函数；

（3）证明：任意的d,b?N*，函数g(x)?dx?b都是等比源函数. 23、（文）若函数f(x)满足：集合A?f?n?n?N*中至少存在三个不同的数构成等比数

??列，则称函数f(x)是等比源函数.

4

（1）判断下列函数：①y?x2；②y?lgx中，哪些是等比源函数？（不需证明） （2）证明：函数g(x)?2x?3是等比源函数；

（3）判断函数f(x)?2x?1是否为等比源函数，并证明你的结论.

2013学年奉贤区调研测试高三数学试卷参考答案 2014.4

一、填空题（每小题4分，共56分） 1.（理）y?log2?x?1? （文）xx?2 ??2.1 3.1 4.3 23? 34x 35.(x?2)2?(y?1)2?1 6.256 7. 8.195 9.y??12.(理)50，(文)14 k??x??212(k?Z) 11.（理）10.(理)2，(文)2 2?（文）3 13.（理）1(n?1)(3n?2) 1214.（文）(?8,?7)

m?1 2n 二、选择题（每小题5分，共20分） 15.（理）D （文）B

三、解答题

19、（理）

【解】方法一：如图1以A1为原点，A1B1所在直线为x轴，AC11所在直线为y轴，

16. C 17. D 18. A 1111则A(0,0,1),D(,,0)，则AD?(,,?1) 2分； A1A所在直线为z轴建系，

2222设平面A1BC1的一个法向量n?(x,y,z)，zA

5

CBA1Cy

??n?AC11?y?0， AC,0),A1B?(1,0,1),则?11?(0,1??n?A1B?x?z?0?y?0则?，取x?1，则n?(1,0,?1) 6分 ?x??z设AD与平面A1BC1所成的角为?，

3则sin??= 10分

2ADnAD?nA

B O G A1 C ?则??,∴AD与平面A1BC1所成的角为 12分

33?方法二：由题意知四边形AA1B1B是正方形，故AB1⊥BA1．

B1

由AA1⊥平面A1B1C1得AA1⊥A1C1．

(理19题图)

又A1C1⊥A1B1，所以A1C1⊥平面AA1B1B，故A1C1⊥AB1．

从而得 AB1⊥平面A1BC1． 4分 设AB1与A1B相交于点O，则点O是线段AB1的中点．

连接AC1，由题意知△AB1C1是正三角形．

由AD，C1O是△AB1C1的中线知：AD与C1O的交点为重心G，连接OG． 知AB1⊥平面A1BC1，故OG是AD在平面A1BC1上的射影， 于是∠AGO是AD与平面A1BC1所成的角． 6分

D C1

在直角△AOG中，AG＝所以sin∠AGO＝

3622AD＝AB1＝AB， AO＝AB，

33233AO＝． 10分

2AG故∠AGO＝60°，即AD与平面A1BC1所成的角为60°． 12分

19、（文）【解】直三棱柱ABC?A1B1C1中CC1//BB1

所以?DB1B为异面直线DB1与CC1所成的角（或其补角） 3分 直三棱柱ABC?A1B1C1中

1113VB1?BCD?S?BCD?B1B???4?B1B?2得B1B?2 7分

33225C由点D是AB的中点得DB? B2A直三棱柱ABC?A中 BCBB?BD11115CBBD25AD?? Rt?B1BD中tan?DB1B?B1B24(文19题图） 5441） 所以?DB1B?arctan（或?DB1B?arccos4415441） 12分 所以异面直线DB1与BC1所成的角为arctan（或arccos44120、【解】 (1)判断：若a?1，函数f(x)在[1,6]上是增函数.

9 证明：当a?1时，f(x)?x?，

x111 6

f(x)在[1,6]上是增函数. 2分

在区间[1,6]上任取x1,x2，设x1?x2，

f(x1)?f(x2)?(x1?

9999)?(x2?)?(x1?x2)?(?)x1x2x1x2(x1?x2)(x1x2?9)?0x1x2 所以f(x1)?f(x2)，即f(x)在[1,6]上是增函数. 6分

?

?2a?(x?9),1?x?a (2) （理）因为1?a?3，所以f(x)????x, ???x?9 x,a?x?6, 当1?a?3时，f(x)在[1,a]上是增函数， 证明：当1?a?3时，f(x)在[1,a]上是增函数（过程略） f(x)在在[a,6]上也是增函数

当1?a?3时，y?f?x?x??1,6?上是增函数 所以任意一个x??1,6?，均能找到唯一的y和它对应，

所以y?f?x?x??1,6?时，f(x)存在反函数 ?2a?(x?9),1?x?(2) （文）因为1?a?3，所以f(x)????xa, ???x?9x,a?x?6,当1?a?3时，f(x)在[1,a]上是增函数， 证明：当1?a?3时，f(x)在[1,a]上是增函数（过程略） f(x)在在[a,6]上也是增函数

当1?a?3时，f(x)在[1,6]上是增函数 证明：当1?a?3时，f(x)在[1,a]上是增函数（过程略） 所以当x?6时，f(x)取得最大值为92； 21、【解】示意图，如图所示，

连接AC，在△ABC中，∠ABC=50°+(180°-110°)=120°, 又AB=BC=3，∴∠BAC=∠BCA=30° 由余弦定理可得AC?AB2?BC2?2AB?BCcos120??33

7

8分

9分

11分

12分 14分

8分

9分 11分

12分 13分

14分

4分 7分

在△ACD中，∠ACD=360°-140°-(70°+30°)=120°,CD=33+9. 由余弦定理得AD=

2AC2?CD2?2AC?CDcos120?

129(2?6)(km). 10分

2=27?(33?9)?2?33?(33?9)?(?)=

由正弦定理得sin∠CAD=sin?CAD?CD?sin?ACD?AD92?62?33?9???32??2 12分 2∴∠CAD=45°,于是AD的方位角为50°+30°+45°=125°, 13分 所以，从A到D的方位角是125°，距离为22、（理）

【解】（1）当4?2c即0?c?2时，轨迹是以F1、F2为焦点的椭圆 3分 当c?2时，轨迹是线段F1F2 4分 当c?2时，轨迹不存在 5分 （2）以线段F1F2的中点为坐标原点，以F1F2所在直线为x轴建立平面直角坐标系，

9(2?6)km. 14分

2x22+y?1 7分 可得轨迹?的方程为4①解法1：设h表示点A到线段F1F2的距离

S?F1AF2?1|F1F2|h?3h， 8分 2要使?AF1F2的面积有最大值，只要h有最大值

当点A与椭圆的上顶点重合时，hmax?1

S?F1AF2的最大值为3 10分

x22+y?1中，设?F1AF2=?，记|AF1|?r1,|AF2|?r2. 解法2：在椭圆4?点A在椭圆上，?由椭圆的定义得：r1?r2?2a?4.

2在?F1AF2中，由余弦定理得：r1?r2?2r1r2cos??(2c).

22AM配方，得：(r1?r2)?2rr12?2rr12cos??(23).

8

22C1

2.

1?cos?112sin?S?F1AF2?r1r2sin????sin??

221?cos?1?cos?112sin???sin??=tan 8分 得S?FAF?r1r2sin???2rr?42?2rr12?2rr12cos??(23).从而1212221?cos?1?cos?2根据椭圆的对称性，当?最大时，S?F1AF2最大 当点A与椭圆的上顶点重合时，?max?23? 2?S最大值为tan??F2?tan31AF22?3 ②结论：当AC?F1F2时，显然存在除A、C外的两点S、T关于直线m对称 下证当AC与F1F2不垂直时，不存在除A、C外的两点S、T关于直线m对称 证法1：假设存在这样的两个不同的点S(x3,y3)和T(x4,y4),

ST?m,?ky4?y3ST?xx?k.4?3?x3?x

设ST的中点为H(x4H,yH),则xH,yy3?y42H?2,设线段AC的中点为M(x10,y0) 直线m:y?y0??k(x?x0) 由于H在m上，故y1H?y0??k(xH?x0). ① 又S、T在椭圆上，所以有x2234?y21与x423?4?y4?1. 两式相减，得

(x3?x4)(x3?x4)4?(y3?y4)(y3?y4)?0

将该式写为

1x3?x4y4?y3y3?y44?2?x??0， 4?x32并将直线ST的斜率k和线段ST的中点，表示代入该表达式中， 得

14xH?kyH?0. ② ?43k2①、②得x44??x0??1?4k2H?3ky0?3x0，由（1）?代入

??y?3k?01?4k2

9

10分

11分 12分 14分

43k4?43k2??123k243k2???????x0 得xH?k22?22??31?4k3?1?4k?3(1?4k)1?4k43k2?2xH3k1?4kyH??????y0 24k4k1?4k即ST的中点为点M，而这是不可能的.

此时不存在满足题设条件的点S和T. 16分 证法2：假设存在这样的两个不同的点S(x3,y3)和T(x4,y4),

11设ST的中点为H(xH,yH)，kOH?kST??,kOM?kAC?? 14分

441则kOH?kOM??，故直线m经过原点。 15分

4k11??，则假设不成立， 直线m的斜率为?4kk故此时椭圆上不存在两点（除了点A、点C外）关于直线m对称 16分

22、（文）

【解】（1）因为4?23，轨迹是以F1、F2为焦点的椭圆， 3分 （2）以线段F1F2的中点为坐标原点，以F1F2所在直线为x轴建立平面直角坐标系，

x22+y?1 7分 可得轨迹?的方程为4?max??

2??3S?F1AF2最大值为tan?tan?3 22（3）同理

23、（理）

【解】（1）①②都是等比源函数. 4分 （2）证明：假设存在正整数m,n,k且m?n?k，使得f(m),f(n),f(k)成等比数列，

n22n?2b?2n?2m?k?b(2m?2k)， ?b2)?(m2?b)k(2?b，整理得) (223等式两边同除以2m,得22n?m?2b?2n?m?2k?b?2k?m?b.

因为n?m?1,k?m?2，所以等式左边为偶数，等式右边为奇数， 所以等式22n?m?2b?2n?m?2k?b?2k?m?b不可能成立，

所以假设不成立，说明对任意的正奇数b，函数f(x)?2x?b不是等比源函数 10分

10

（3）因为任意的d,b?N*，都有g(n?1)?g(n)?d，

所以任意的d,b?N*，数列{g(n)}都是以g(1)为首项公差为d的等差数列.

由g2(m)?g(1)?g(k)，（其中1?m?k）可得 [g(1)?(m?1)d]2?g(1)?[g(1)?(k?1)d]，整理得 (m?1)[2g(1)?(m?1)d]?g(1)(k?1)，

令m?g(1)?1，则g(1)[2g(1)?g(1)d]?g(1)(k?1)， 所以k?2g(1)?g(1)d?1，

所以任意的d,b?N*，数列{g(n)}中总存在三项g(1),g[g(1)?1],g[2g(1)?g(1)d?1]成等比数列.

所以任意的d,b?N*，函数g(x)?dx?b都是等比源函数. 18分

23、（文）

【解】（1）①②都是等比源函数； 4分 （2）证明： g(1)?5，g(6)?15，g(21)?45 因为5,15,45成等比数列

所以函数g(x)?2x?3是等比源函数； 10分 其他的数据也可以

（3）函数f(x)?2x?1不是等比源函数. 证明如下：

假设存在正整数m,n,k且m?n?k，使得f(m),f(n),f(k)成等比数列，

n2 (2?1)?(m2?k22n?2n?1?2m?k?2m?2k， 1)(?2，整理得1)等式两边同除以2m,得22n?m?2n?m?1?2k?2k?m?1.

因为n?m?1,k?m?2，所以等式左边为偶数，等式右边为奇数， 所以等式22n?m?2n?m?1?2k?2k?m?1不可能成立，

所以假设不成立，说明函数f(x)?2x?1不是等比源函数. 18分

11

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