四川省成都市石室中学高2013届高考适应性考试(三)数学(文)试题

95100711818

1295

131

俯视图

侧视图

正视图

石室中学高2013届高考适应性考试三

数学（文科）

一、选择题：只有唯一正确答案，每小题5分，共50分 1、设全集{}{}2,1,0,3,0,1,U U M C M =--=-=则（ ） A. {}1- B. {}2,3- C. {}3,0 D. {}3

2、已知某中学高三(1)班一名同学自二诊以来每次数学考试成绩的茎叶图如图所示，则该名同学考试成绩的中位数、众数、极差分别为( )

A ．118、118、36

B ．111、118、131

C ．125、111、118

D ．111、118、36 3、复数2013

11i -

（i 是虚数单位）的虚部为（ ）

A.i -

B.1-

C.i

D.1 4、某四棱锥的三视图如图所示，其正视图、侧视图是高为2的全等的等腰三角形，俯视图是边长为4的正方形，则该四棱锥的侧面积是（ ） A ．21616+ B

． C ．

D ．23216+

5、已知倾斜角为α的直线与直线220x y -+=平行，则2

2sin cos 2αα-的值为（ ）

A.

115

B. 15-

C. 25

D. 35

- 6、经过圆224x y +=与圆22(2)(1)2x y -+-=的公共点的直线方程为（ ）

A.4270x y +-=

B. 2470x y +-=

C. 4210x y -+=

D. 2410x y +-= 7、已知,m l 是两不同直线，,αβ是两不同平面，则下列命题是真命题的是（ ） A.,//,l m l m αα⊥⊥若则 B.//,,//m l m l αα?若则

C.,,,m l m l αβαβ⊥??⊥若则

D.,,,m l m l αβαβ⊥??⊥若则

8、已知()f x ，()g x 都是定义在R 上的函数，且满足以下条件：①()()

x

f x a

g x =?（0,1a a >≠）；②()0g x ≠； ③()()()()f x g x f x g x ''?>?；若(1)(1)5

(1)(1)2

f f

g g -+=-，则a

等于( ) A ．1

2

B ．2

C ．

5

4

D ．2或

12

9、一个均匀的立方体六个面上分别标有数1，2，3，4，5，6．右图是这个立方体表面的展开图．抛掷这个立方体，则朝上一面上的数恰好等于朝下一面上的数的

12

的概率是（ ） A 、16 B 、13 C 、12 D 、23

10、已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ,过F 的直线交y 轴正半轴于点P ，交抛物线于A 、B 两点，其中点A 在第一象限，若FA AP λ=，BF FA μ= ，

11[,]42λμ∈，则μ的取值范围是( )

A. 4[1,]3

B.4[,2]3 C ．[2,3] D ．[3,4]

二、填空题：请将正确答案填写在答题卷的横线上，每小题5分，共25分

11、如果对于正数,x y ，有2211lg lg 123

x y +=，那么32x y = ． 12、定义在R 上的偶函数()f x 满足(0)0f =，当0x >时，()22x f x x =-，则函数()f x 的零点个数是 个．

13、已知向量(,1),(2,),a x z b y z a b =-=+⊥且，若变量,x y 满足 ??

???≤+≥-≥5231y x x y x ，则z

的最大值为 ．

14、若对任意[1,2]x ∈，不等式32224x x m ->-?成立，则实数m 的取值范围是 ．

15、设ABC ?的角A B C 、、的对边长分别为a b c 、、，P 是ABC ?所在平面上的一点，若2c b c c PA PB PA PC PA PB PC b b a -?=?+=?2a c PB a

-+，则点P 是ABC ?的 心（填“重”“外”“内”“垂”之一）.

三、解答题：总分75分

16、（本题满分12

分）已知函数21()cos cos 4442x x x f x =++． （Ⅰ）求()f x 的周期及其图象的对称中心；

（Ⅱ）ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且(2)cos cos a c B b C -=，求()f A 的取值范围．

17、（本题满分12分）如图，在边长为4的菱形ABCD 中，60DAB ∠=?．点,E F 分别在边,CD CB 上，点E 与点,C D 不重合，EF AC ⊥，EF AC O =．沿EF 将CEF ?翻折

到PEF ?的位置，使平面PEF ⊥平面ABFED ．

（Ⅰ）求证：BD ⊥平面POA ；

（Ⅱ）当3AO OC =时，求四棱锥P BDEF -的体积．

18、（本小题满分12分）2012年春晚上，不少创意组合都被网友称赞很有新意。王力宏和 李云迪的钢琴PK ，加上背景板的黑白键盘，更被网友称赞是行云流水的感觉。某网站从2012 年1月23号到1月30做了持续一周的在线调查，共有n 人参加调查，现将数据整理分组如 题中表格所示。

（Ⅰ）求n 及表中x,s,t 的值，并结合给出的算法流程图，写出求（输出结果）S 的表达式（要求列式即可，不用计算），并说明S 的统计意义。

（Ⅱ）从年龄在[20,30）岁人群中采用分层抽样法抽取6人参加元宵晚会活动，其中选取2人作为代表发言，求选取2名代表中恰有1人年龄在[25,30）岁的概率.

19、（本题满分12分）已知数列{a n }是等差数列，且a 2＝5，a 4＝13.数列{b n }前n 项和 T n 满足T n ＋b n ＝3.

（Ⅰ）求数列{a n }及数列{b n }的通项公式；

（Ⅱ）若c n ＝a n ·b n ，是否存在最小正整数m ，使得c n m ≤对一切*n N ∈恒成立，若存在求出m 的值，若不存在说明理由.

20、（本题满分13分）已知实数,x y 2m =． （Ⅰ）讨论动点(,)P x y 的轨迹C 的曲线形状，并说明理由；

（Ⅱ）当（Ⅰ）中轨迹为圆锥曲线时，记1F 、2F 为其两个焦点，P 为此曲线上一点，当12PF F ?的面积为22m -时，求12PF PF +；

（Ⅲ）当2m =时，过点(4,1)P 的动直线l 与（Ⅰ）中轨迹C 相交于两不同点,A B ，在线段AB 上取点Q ，满足||||||||AP QB AQ PB ?=?，证明：点Q 总在某定直线上．

21、（本题满分14分）已知函数2()()x f x ax x e =+，其中ｅ是自然数的底数，a R ∈. （Ⅰ）当0a <时，解不等式()0f x >；

（Ⅱ）若()f x 在［－１，１］上是单调增函数，求a 的取值范围；

（Ⅲ）当0a =时，求整数ｋ的所有值，使方程()2f x x =+在［ｋ，ｋ＋１］上有解．

高2013届高考适应性考试（三）

数学（文科）答题卷

二、填空题：

11、12、13、14、15、 .

三、解答题：

石室中学高2013届适应性考试三

数学（文科）参考答案

一、选择题：B A D B B A A A A B

二、填空题：11、64 12、5 13、3 14、(,10)m ∈-∞ 15、内

三、解答题：

16、解：（1）由已知得：1()cos 1sin()1222226

x x x f x π=++=++, )(x f ∴的周期为4π. ……3分 由sin()0,2263

x x k πππ+==-得, 故()f x 图象的对称中心为(2,1),3

k k Z ππ-∈. ……6分 （2）由(2)cos cos ,a c B b C -=得(2sin sin )cos sin cos A C B B C -=， ……8分

,cos sin sin cos cos sin 2C B C B B A =-∴

2sin cos sin()sin A B B C A ∴=+= ，12cos ,,0.233

B B A ππ∴==<<

故()f A 的取值范围是(,2)2. ……12分 17、（1）证明：∵ 菱形ABCD 的对角线互相垂直， ∴BD AC ⊥，∴BD AO ⊥， ∵ EF AC ⊥，∴PO EF ⊥． ∵ 平面PEF ⊥平面ABFED ，平面PEF 平面ABFED EF =，且PO ?平面PEF ， ∴ PO ⊥平面ABFED , ∵ BD ?平面ABFED ，∴ PO BD ⊥. ∵ AO PO O =，∴ BD ⊥平面POA . ……6分 （2）因为60DAB ∠=?，所以BDC ?为等边三角形，故4BD =，

∵ 3AO OC =由（1）知，PO ⊥平面,BFED

所以221142)333P BFED BFED V S PO -=??=?-=四棱锥梯形. ……12分

18、解：（1）依题意则有n=

16000.32=5000,x=5000-(800+2000+1600+200)=400, s=4005000=0.08,t=4005000

=0.16 依题意则有S ＝22.5×0.08+27.5×0.16+32.5×0.40+37.5×0.32+42.5×0.04

S 的统计意义即是指参加调查者的平均年龄。…………………6分

（2）∵[20,25)年龄段与[25,30)年龄段人数的比值为40018002

=，………………8分 ∴采用分层抽样法抽取6人中年龄在[20,25)岁的有2人，年龄在[25,30)岁的有4人，设在

[25,30)岁的4人分别为a,b,c,d,在[20,25)岁中的2人为m,n ；选取2人作为代表发言的所有可能情况为（a,b ）,(a,c),(a,d),(a,m),(a,n),(b,c),(b,d),(b,m),(b,n),(c,d),

(c,m),(c,n),(d,m),(d,n),(m,n)共有15种，其中恰有1人在年龄[25,30)岁的代表有（a,m ）,(a,n),(b,m),(b,n),(c,m),(c,n)共8种，故概率815

P = …………………12分 19、解：解 (1)∵a 2＝5，a 4＝13，∴a 4＝a 2＋2d ，即13＝5＋2d .

∴d ＝4，∴a 1＝1，∴a n ＝4n －3.

又T n ＋b n ＝3，∴T n ＋1＋b n ＋1＝3，

∴2b n ＋1－b n ＝0，即b n ＋1＝12b n .

∵b 1＋b 1＝3，∴b 1＝32，

∴数列{b n }为首项是32，公比是12的等比数列，

∴b n ＝32（12）n －1＝32n . ………………6分

(2)c n ＝a n b n ＝3(4n －3)2n ，∴c n ＋1＝3(4n ＋1)2n ＋1

， c n ＋1－c n ＝3(4n ＋1)2n ＋1－3(4n －3)2n ＝3(－4n ＋7)2n ＋1

. ①当n ＝1时，c n ＋1－c n ＞0，∴c n ＋1＞c n ；

②当n ≥2(n ∈N *)时，c n ＋1－c n ＜0，∴c n ＋1＜c n . 所以max 2min 15(),44n c c m ==∴= …………12分

20、解: （Ⅰ）设1(F ,2F , 则12F F =

122PF PF m +=

当m =时，轨迹C 表示线段12F F ；

当m >时，轨迹C 表示以1(F ,2F 为焦点，长轴长为

2m 的椭圆；

当m < ．．．．．．．．．3分

（Ⅱ）由题意，知轨迹为椭圆时，椭圆的方程为22

2212

x y m m +=-（m >） 设12F PF θ∠=，则12PF F ?的面积为2tan

2S b θ= ∴ 22(2)tan 22m m θ

-=-，解得90θ=?，即12PF PF ⊥

所以，121222PF PF F F +==. ．．．．．．．．．．．．7分

（Ⅲ）当2m =时，（Ⅰ）中轨迹C 为椭圆，方程为22

142

x y +=. 设点Q 、A 、B 的坐标分别为1122(,),(,),(,)x y x y x y . 由题设知,,,AP PB AQ QB 均不为零，记AP

AQ

PB QB λ==,则0λ>且1λ≠

又A ，P ，B ，Q 四点共线，点P 在椭圆外，从而,AP PB AQ QB λλ=-= 于是 1241x x λλ-=-， 1211y y λλ

-=- 121x x x λλ+=+， 121y y y λλ

+=+ 从而 22212241x x x λλ-=-，（1） 2221221y y y λλ-=-，（2）

又点A 、B 在椭圆C 上，即

221124,(3)x y += 222224,(4)x y +=

（1）+（2）×2并结合（3），（4）得424x y +=

即证点(,)Q x y 总在定直线220x y +-=上． ．．．．．．．．．．．．12分

21、⑴因为e 0x >，所以不等式()0f x >即为20ax x +>，

又因为0a <，所以不等式可化为1()0x x a +<，

所以不等式()0f x >的解集为1(0,)a

-．………………………………………4分 ⑵22()(21)e ()e [(21)1]e x x x f x ax ax x ax a x '=+++=+++，（分离变元更简单）

①当0a =时，()(1)e x f x x '=+，()0f x '≥在[11]-，

上恒成立，当且仅当1x =-时 取等号，故0a =符合要求；………………………………………………………6分 ②当0a ≠时，令2()(21)1g x ax a x =+++，因为22(21)4410a a a ?=+-=+>， 所以()0g x =有两个不相等的实数根1x ，2x ，不妨设12x x >，

因此()f x 有极大值又有极小值．

若0a >，因为(1)(0)0g g a -?=-<，所以()f x 在(11)-，

内有极值点， 故()f x 在[]11-，

上不单调．………………………………………………………8分 若0a <，可知120x x >>，

因为()g x 的图象开口向下，要使()f x 在[11]-，

上单调，因为(0)10g =>， 必须满足(1)0,(1)0.g g ??-?≥≥即320,0.

a a +??-?≥≥所以203a -<≤. 综上可知，a 的取值范围是2[,0]3

-．………………………………………10分 ⑶当0a =时, 方程即为e 2x x x =+，由于e 0x >，所以0x =不是方程的解， 所以原方程等价于2e 10x x --=，令2()e 1x h x x

=--， 因为22()e 0x h x x '=+>对于()(),00,x ∈-∞+∞恒成立，

所以()h x 在(),0-∞和()0,+∞内是单调增函数，……………………………13分

又(1)e 30h =-<，2(2)e 20h =->，31(3)e 03

h --=-<，2(2)e 0h --=>， 所以方程()2f x x =+有且只有两个实数根，且分别在区间[]12，

和[]32--，上， 所以整数k 的所有值为{}3,1-．……………………………14分

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