同济大学出版社林伟初 概率论与数理统计第四章课后习题参考答案

第四章

1．略；

2．解：（1）利用性质蝌

-?+?

2

4

2

f(x,y)dxdy=1，由于

K(6-x-y)dy=K

2

+?

蝌

-?

f(x,y)dxdy=

蝌dx

(6-2x)dx=8K=1；

因此，可求得K=

18

，则联合概率密度函数为

ìï1

ï(6-x-y) , 0<x<2 , 2<y<4

f(x,y)=ïí8

ï

ï 0 , 其他ïî

（2）

P{X<1 ,Y<3}=

蝌

x<1,y<3

1

f(x,y)dxdy

32

= =

蝌dx

18

(6-x-y)dy

38

18

ò

1

(

72

-x)dx=

（3）

P{X<1.5}=

蝌

x<1.5

1.5

f(x,y)dxdy

4

= =

+?

蝌

dx

2

1.5

18

(6-x-y)dy

2732

18

ò

(6-2x)dx=

3．（1）利用性质蝌

-?

f(x,y)dxdy=1+?

蝌

-?

1

f(x,y)dxdy

1x

2

==

蝌dx

-1

Cxydy

6

2

4C21

=1

C2

ò

1

(x-x)dx=

2

-1

因此，可求得C=

214

，则联合概率密度函数为

ìï2122

ïxy , x＃yïf(x,y)=í4ï

ï 0 , 其他ïî

4

（2）(X ,Y)关于X的边缘概率密度为

fX(x)=

ò

+

f(x,y)dy

1x

2

-

1

ìïï

=ïí

ïïïîìïï

=ïí

ï

ïïî

ò

214

xydy , -1＃x

2

0 , 其他218

x(1-x) , -

1＃x

2

4

1

0 , 其他

(X ,Y)关于Y的边缘概率密度为

fY(y)=

ò

+

f(x,y)dx

1

-

21ìï2

ïxydx , 0＃yï =íò-4ï

ï 0 , 其他ïî

ìï75

ïy2 , 0＃yï

=í2

ï

ï 0 , 其他ïïî

1

（3）由于

5ìï1472

4ïx(1-x)y2 , -1＃xï

fX(x)fY(y)=í16

ï

ï 0 , 其他ïïî

1,0＃y1

f(x,y) ，

所以，X与Y不相互独立。

4．解：利用公式Pij=PigPgj 将(X ,Y)5．解：（1）由于区域D的面积为

AD=

，

ò

10

(x-x)dx=

2

16

所以，(X ,Y)的概率密度为

2ìï 6 , x＃y

f(x,y)=ïí

ï 0 , 其他ïî

x

；

（2）(X ,Y)关于X的边缘概率密度为

xìï

ï6dy , 0＃x镲ò2

xf(x,y)dy=眄镲镲ïî 0 , 其他

fX(x)=

ò

+

1

=

ìï6(x-x2) , 0＃xî 0 , 其他

1

；

-

(X ,Y)关于Y的边缘概率密度为

ìïïdx , 0＃yòyf(x,y)dx=镲眄镲镲ïî 0 , 其他

fY(y)=

ò

+

1

=

ìïy) , 0＃y1

；

-

î 0 , 其他

（3）P{X>Y}=

蝌

x>y

f(x,y)dxdy=

=1 。 6

6．解：（1）先求边缘概率密度：

(X ,Y)关于X的边缘概率密度为

+

fX(x)=

ò

f(x,y)dy

12(1+x)e

-x

-

祆镲+ 1-(x+y)

镲(x+y)edy , x>0镲ò02 =眄=镲镲 0 , 其他镲铑

, x>0

0 , 其他

其中的积分计算过程如下（注意：在积分计算过程中，将x看成与y无关的常量）：

+?

蝌

12

(x+y)e

-(x+y)

dy=-

1212

(x+y)de(x+y)e

12

-(x+y)

0+

-(x+y)

+

=-12

+

1

ò2

+

e

-(x+y)

d(x+y)

=xe

-x

-e

-(x+y)

=

12

(1+x)e

-x

同理，可以求得(X ,Y)关于Y的边缘概率密度为

+

fY(y)=

ò

f(x,y)dx

12(1+y)e

-y

-

祆镲+ 1-(x+y)镲(x+y)edx , y>0ò0 =镲=2眄镲镲 0 , 其他镲铑

, y>0

0 , 其他

由于

ìï1

ï(1+x)(1+y)e-(x+y) , x>0,y>0

fX(x)fY(y)=ï f(x,y)， í4

ï

ï 0 , 其他ïî

所以，X与Y不相互独立。

※（2）（不要求掌握）利用课本68页的公式：fZ(z)=

Z=X+Y的概率密度

ò

+

-

f(x,z-x)dx ，可以求得

fZ(z)=

ò

+

f(x,z-x)dx

-

z1祆12-z镲z1 -[x+(z-x)]-z

镲[x+(z-x)]edx=zedx , z>0ze , z>0蝌02 =镲=2眄02镲镲 0 , z＃0ïï 0 , z0铑

※ 7．（不要求掌握）解：由于X与Y相互独立，则利用课本68页的公式（4-8），可以求

得Z=X+Y的概率密度：

+?

fZ(z)=

蝌

f(x,z-x)dx=

-?

fX(x)fY(z-x)dx1

ìï z2 , 0＃z

ïï2

2=ï2z-z , 1＃z

î

0 , 其他

ìïz

ïò2(z-x)dx , 0＃zï0ïï1ï

=ï眄òz-12(z-x)dx , 1＃z镲

镲镲 0 , 其他镲ïïïî

1 2

8．解：（1）由性质2，可有

+?

?

1

蝌

-?

f(x,y)dxdy=

蝌dx

Be

-(x+y)

1

dy=B e

-x

dx=(1-e

-1

)B=1 ，

因此，求得B=

11-e

-1

；

（2）(X ,Y)关于X的边缘概率密度为

fX(x)=

ò

+

f(x,y)dy

-

ìì1ïe-xï+ -(x+y)

ïedy , 0<x<1ï , 0<x<1ïï-1ò =眄01-e=1-e-1镲镲镲î 0 , 其他ï 0 , 其他î

(X ,Y)关于Y的边缘概率密度为

+

fY(y)=

ò

f(x,y)dx

-

ìï11 -(x+y)-yìïïedx , y>0e , y>0ïïò01-e-1 =眄=

镲镲î 0 , 其他 0 , 其他ïî

因为

ì1ï-(x+y)

ïe , 0<x<1,y>0ï-1

fX(x)fY(y)=í1-e=f(x,y)

ï

ï 0 , 其他ïî

所以，X与Y相互独立；

（3）略。

9．解：P{X<Y}=

+??

蝌

dx

x

e

-(x+y)

dy=

e

-2x

dx=

12

。

10．解：依题意，有D(X)=D(Y)=2，由于X与Y相互独立，所以有

D(3X-Y)=D(3X)+D(Y)=3D(X)+D(Y)=9?2

2

2=20 。

11．略。

12．解：以8点半为起点，设X、Y分别表示这两位同学到达校门口的时刻，则有

X:U(0,30) ，Y:U(0,30)，其概率密度函数分别为

ìï1ï , 0<x<30

；fY(y)=fX(x)=ïí30

ï

ï 0 , 其他ïî

ìï1

ï , 0<y<30ï í30ï

ï 0 , 其他ïî

由于两人到达的时间相互独立，因此X与Y相互独立，那么可得

ìï1

ï , 0<x,y<30

f(x,y)=fX(x)fY(y)=ïí900

ï

ï 0 , 其他ïî

当两人到达时间的差不超过10分钟时，两人就会一起出发，其概率为

P{|X-Y|?10}

900-400

900

=59

。

13．解：由于SD=

12

，可求得(X ,Y)的联合概率密度为

ì 2 , 0<x<1,0<y<xïïf(x,y)=í；

ï 0 , 其他ïî

关于X的边缘概率密度为

fX(x)=

ò

+

f(x,y)dy

-

xìïì 2x , 0<x<1 ï2dy , 0<x<1ïò =镲=眄0

镲ï 0 , 其他îï 0 , 其他ïî

(X ,Y)关于Y的边缘概率密度为

+

fY(y)=

ò

f(x,y)dx

-

ìï1

ì2(1-y) , 0<y<1 ï2dx , 0<y<1ïò =镲=眄y

镲ï 0 , 其他îï 0 , 其他ïî

（2）由于

ì4x(1-y) , 0<x<1,0<y<1ï

fX(x)fY(y)=ï í

ïïî 0 , 其他

f(x,y)；

所以，X与Y不相互独立。 14．略。

15．解：由相关系数的定义式，可得

cov(X,Y)=rXY

0.621；

因此，可求得

D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2cov(X,Y)=49+25+2?21D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2cov(X,Y)=49+25-2?21

116； 32。

16．解：QD(X)=E(X2)-[E(X)]2=9 , D(Y)=E(Y2)-[E(Y)]2=16；

\cov(X,Y)=rXY

0.2=2.4。

2313

23

, E(Y)=-1?

13130?

13

1?

13

0，

13=0；

17．解：QE(X)=0?

E(XY)=0?(1)?0

13

1?

0创0+0创10+1?(1)?1创00+1创1

\cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0，即相关系数rXY=0，因此X与Y不相关。

但是P{X=0,Y=-1}?P{X0}P{Y=-1}，所以X与Y不相互独立。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ppbi.html