第九讲图形的变换

第九讲图形的变换（轴对称图形） 知识概述：

数学中常有一些妙趣横生，带有智力测验性质的问题。解决这类数学问题，一般不需要复杂的计算，而常常需要通过同学们的灵感、技巧和机智思考获得答案。

如：两个爸爸和两个儿子一同上公园玩，他们至少有几个人？粗一看，此题的答案是4个人。实际上正确答案是3个人。

这3个人是爷爷、爸爸、儿子。这样的问题很有训练的价值。对于这类题，首先要读懂题意，然后要经过充分的分析和思考，运用基础知识以及自己的聪明才智巧妙地解决。

例题精学

例1 古希腊有一位有名的学者，名叫海伦。有一天，一位将军不远千里专程来向海伦求教一个百思不得其解的问题：从甲地出发到河边饮马（如图1），然后再去乙地，走什么样的路线最短呢？

这就是后来被人们称为“将军饮马”的问题。海伦是怎样回答这个问题的呢？ 乙 乙甲 甲丙河岸 河岸丙’ 乙’

图1 图2

思路点拨：先设想相对于乙地，位于河对岸的某处有一个地方，叫乙’，我们把乙和乙’看作两个点，要求乙’到河岸的距离与乙到河岸的距离相等，并且，连结乙、乙’这两点的直线要与河岸垂直。由于乙’满足上面两个条件，我们就称乙’是乙关于河岸的对称点，见图2.

甲地到乙’地的最短距离，显然就是连结甲、乙’这两点的直线距离。

连结甲、乙’两点的直线与河岸有一个交点，叫做丙。丙到乙与丙到乙’的距离相等（可以从图中直观地看出）。因此，海伦告诉将军。

你从甲地出发沿直线到丙地饮马，然后再从丙地出发沿直线到达乙地。这就是你要找的最短路线。

同步精练

1、假如直线AB是一条公路，公路两侧有甲、乙两个村子。如今要在公路上修建一个汽车站，让这两个村子的人到汽车站的路程之和最短。问：车站应该建在什么地方？ ?甲村

A B 公路 ?乙村

2、如图，要在公路AB上修一个汽车站，并使在公路一侧的甲村、乙村到汽车站所需的路程之和最短。汽车站应修在何处？ ?乙村 甲村?

A B 公路

3、AB是一条河流，在它的一侧有甲、乙两个小区，现在要在河边修一座码头，如何建码头，才能使甲、乙两个小区到码头的路程之和最短？ A B 河流 甲?乙?

例2 一张长方形纸片有4个角，用剪刀沿直线剪掉1个角后，还剩几个角？ 思路点拨：同学们一看完题目，都会脱口而出：“4个角中剪去1个角，自然还剩下3个角。”其实不然，由于我们只知道“剪去1个角”，但对如何剪没有限制，所以我们必须对题目中的“剪法”要有一个全面的考虑，否则，你回答的“还剩下3个角”的答案，肯定不全面。当我们考虑了“剪法”的几种可能性后，我们就会得到正确全面的答案。

同步精练

1、3个人吃3个西红柿，用3分钟吃完。15个日吃15个西红柿需要几分钟？

2、今年小玲10岁，妈妈37岁。8年后，妈妈比小玲大几岁？

3、3只猫5分钟吃完3条鱼，10只猫同时吃10条同样大小的鱼需要几分钟？

例3 一条毛毛虫由幼虫长成成虫，每天长大1倍，30天能长到20厘米，长到5厘米时要用多少天？

思路点拨：毛毛虫每天长大1倍，说明第二天的身长是第一天的2倍。这条毛毛虫在第30天时，身长为20厘米，那么在第29天时，这条毛毛虫的身长为20÷2=10厘米，在第28天时，这条毛毛虫的身长为20÷2=10厘米，在第28天时，这条毛毛虫的身长为10÷2=5厘米。

同步精练

1、一个小池塘内有一片水浮莲，它每天能在水面上长大一倍，28天就把整个池塘遮满了。这一片水浮莲长到能遮住半个池塘需要多少天？

2、一条小青虫由幼虫长成成虫，每天长大1倍，20天能长到36厘米，长到9厘米时要用几天？

3、实验室的密封罐里装着一种细菌，这种细菌的数量每天可以增加1倍，到第八天时充满了整个密封罐，问在第几天充满整个密封罐的一半？

例4 一群猴子分桃子，如果每只猴子分得的桃子同样多，那么就多12个桃子。如果再增加12个桃子，那么每只猴子分得12个，正好分完。问有多少只猴子？原来有多少个桃子？

思路点拨:由“每只猴子分得的桃子同样多，那么就多12个桃子”可以知道：猴子只数大于12，把原来多的12个桃子和增加的12个桃子继续分，正好分完，说明有12+12=24只猴子。知道了猴子的只数就可以求原来的桃子的个数。 同步精炼

1、同学们分组劳动，平均分成4组还多2人；平均分成5组还多2人。请你算一算至少有多少个同学？

2、兔妈妈拿来一篮萝卜共15个，要分给5只小兔，要使每只小兔分得的个数都不同，并且篮子里仍有萝卜，兔妈妈该怎样分？

3、妈妈买回的鸡蛋不到10个，两个两个地数，最后多1个；三个三个地数，最后也多1个。你说，妈妈买回多少个鸡蛋？

练习卷

一、选择题。

1、有20个人要到河的对岸去，河边只有一条船，船上每次只能坐5个人，小船至少要载（）次才能让他们全部过

河。

A、4 B、5 C、6 D、7 2、3个人吃3个苹果，用3分钟吃完。9个人吃9个苹果，（）分钟吃完。 A、3 B、4 C、5 D、6 二、解决问题。

1、要把14个玻璃球放进5个盒子，使每个盒子里的玻璃球的个数都不相等，可以放吗？为什么？（每个盒子里至少放一个玻璃球）

2、大杯子能装50克水，小杯子能装30克水。你能用这两只杯子量出70克水吗？

3、把一根绳子对折2次，然后从中间剪开。剪开后的绳子共有几段？

4、有37名战士要过河，河边只有一条小船，船上每次只能坐5人，至少载几次才能使他们全部过河？

5、1只猫5分钟吃完1条鱼，吃5条同样大小的鱼要用几分钟？

6、1只猫5分钟吃1条鱼，5只猫同时吃5条同样大小的鱼要几分钟？

7、5只猫5天能捉5只老鼠，照这样计算，要在100天里捉100只老鼠需要多少只猫？

8、如果每人的步行速度相同，3人一起从甲地走到乙地用了2小时，6个人一起从甲地走到乙地要用几小时？

9、小东家的金鱼缸里养了20条金鱼，早晨起来发现死了2条，这时金鱼缸里还有几条金鱼？

10、房间里有10支点燃的蜡烛，风从窗外吹来，吹灭了2支，接着又吹灭了1支，后来主人关好了窗户。第二天打开房间，房内还有几支蜡烛？

11、有一串珠子，3颗3颗地数，正好数尽，5颗5颗地数最后余3颗，你能算出这一串珠子至少有几颗吗？

12、15个乒乓球分成数量不相等的4堆，问最多的一堆至少有几个乒乓球？

13、把100个橘子分装在6只篮子里，使每只篮子里橘子的个数都含有数字“6”。请你想想，应该怎么分？

14、有2个砝码，一个重5克，一个重7克，能用这两个砝码称出9克的沙子吗？怎样称？

15、小玲喝一杯牛奶，第一次喝去半杯后，用开水加满，第二次喝去半杯后又用开水加满，然后全部喝完，小玲一共喝了多少杯牛奶和多少杯水？

16、一个人用一只船过河，他带了三样东西，一只狗，一只鸡，一袋大米，他每次只能带一样东西过河，而且没人的时候狗会吃鸡，鸡会吃大米，这个人应该怎样过河，才能保证三样东西都完整？

答案

例1 怎么说明这就是最短路线呢？我们假定在河岸随便取一点，叫做丙’。连结甲丙与乙’丙’。从图中可以看出，从甲到丙’再到乙’的距离要比从甲到丙再到乙’的距离长（三角形的两边之和大于第三边），而丙’到乙’与丙’到乙的距离相等，丙到乙’与丙到乙的距离也相等。因此，甲到丙’再到乙比甲到丙再到乙所走的距离要长，说明甲到丙再到乙是一条最短的路线。

例2 根据分析可以得到如下三种剪法。

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