【大师特稿】高中数学好题速递400题(第351—400题,word版,含答案解析)

中学试卷

好题速递351题

对任意实数11,2x y >>，不等式()()

222241211x y a y a x +≥--恒成立，则实数a 的最大值为 ．

解：令10,210m x n y =->=-> 则()()22

2222

1142121448211m n x y m m n n m n

y x n m n m n m +++++++=+=+≥+≥--

当且仅当1m n ==，即2,1x y ==时取得等号。 故2

22min

48211x y a y x ??

≤+= ?--??

，即a -≤点评：本题因为分母比较复杂不整洁，所以将分母进行换元是常见的方法。

好题速递352题

若向量,a b 满足2241a a b b ++=，则2a b +的最大值为 。 解：由极化恒等变形得 22222282a b a b a b ++-=+，22228a b a b a b +--= 故222

2

2222128a b a b

a b a b ++-+--+=

即22

5232188a b

a b

+-+=

即2

2328

8

255a b

a b -+=-≤ 故210

2a b +≤

好题速递353题

已知函数()()20f x a x b x c a =++≠，且a b <。()0f x ≥对x ?∈R 恒成立，则24a b c

M b a ++=-的最小值为 。

解法一：齐次化思想

根据条件有0,0a >?≤，则1b a <≤

中学试卷

因此443324221c c a b c a b b a a ++++=+≥--

12t =>，则()()

224434242182121a b c t t b a t t +++≥+=+-+≥--- 解法二：由题意可知240b ac ?=-≤，即24ac b ≥

()()222

22

2424242a a b c a b c a ab ac a ab b M b a a b a ab a ab a ++++++++===≥---- 此时已经转成齐次式了，所以分子分母同除2a 则2222221414811

a a

b b t t M t ab a t t ++++≥==-++≥--- 当且仅当3b t a

==及24ac b =时，即93,4a b a c ==时取得。 解法三：根据条件有0,0a >?≤，则2

4b c a

≥ 故2

224b a b a b c a b a b a

++++≥-- 令()0b a t t =+>得2

2448b a b a b c t a a b a b a a t

++++≥=++≥-- 当且仅当2t a =及2

4b c a

=时取得最小值，即93,4a b a c ==时取得。 解法四：令()240a b c t t b a

++=>-，得()()24t b a b a c --+=，代入240b ac ?=-≤ 得()()()()()()22

2281212222a b a b a b t a b a a b a a b a +++≥=≥=-+-????-?????

解法五：待定系数法 假设24a b c t b a

++≥-，化简为()()1240t a t b c ++-+≥ 又24440x a xb c ++≥

故比对系数得241,42x t x t =+=-，得3,82

x t =-= 因为302f ??-≥ ???，所以()93024842a b c a b c b a -+≥?++≥- 因为b a >，所以248a b c b a

++≥-

中学试卷

好题速递354题

空间四点,,,A B C D 满足2AB =，3BC =，4CD =，7DA =，则A C B D 的值为 。

解： ()22222222

AC BD DC DA BD DC DB DA DB

DC DB BC DA DB AB =-=-++-+-=-+ 22222243721922DB DB +-+-=-+= 点评：这里用到了向量点积的余弦定理形式， 即222cos 2AC AB BC AB AC AB AC A +-=?=

好题速递355题

已知圆22:4O x y +=，()1,0M ，直线:l x y b +=，P 在圆O 上，Q 在直线l 上，满足0MP MQ =，MP MQ =，则b 的最大值为 ． 解：设(),Q x b x -，()1,0M ，所以()1,MQ x b x =-- 因为0MP MQ =，MP MQ =，

故知MP 就是绕着M 顺时针或逆时针旋转90得到 所以(),1MP b x x =--或(),1MP b x x =-+-

即()1,1P b x x +--或()1,1P b x x -++-

P 在圆22:4O x y +=上，

所以()()22114b x x +-+-=或()()22114b x x -+++-= 即()()22224220x b x b b -+++-=或()2222220x

bx b b -+-

-= 两个方程中有一个有解即可，

所以()()22212482208b b b b b ?=+

-+-≥?

≤?-≤或()()22212822044022b b b b b b ?=-

--≥?

--≤?-≤+综上， 2b -

≤+

B

C

中学试卷

好题速递356题

已知实数,x y 满足关系式1xy x y --=，则22x y +的最小值是 ．

解法一：题干中出现的全是两数的和、平方和与乘积，所以考虑用均值不等式链条。 ()()()2222221223x y x y xy xy xy xy +=+-=--=--

由()()()2224146103x y xy xy xy xy xy xy +≥?-≥?-+≥?≥+3xy ≤-

所以()()2

222233236x y xy +=--≥--=-点评：这里注意因为题干中没有告诉我们,x y 的正负性，所以不能直接用

1x y xy +=-≥xy 的取值范围，所以改为用重要不等式来222a b ab +≥来做。虽然答案正好一样，但做法要注意。

解法二：遇到xy 结构，所以用代数的极化恒等式变形。

令,x a b y a b =+=-，则问题转变为已知22210a b a ---=，求()222a b +的最小值。 因为()2222442a b a a +=--

所以还需要计算定义域，即2221011b a a a a =--≥?≤≥+

所以()(2min 44216a a f --==- 解法三：设,1x y a xy a +==+，则,x y 视为210z az a -++=的两根

所以2440a a ?=--≥

所以2a ≥+或2a ≤-()()22

222222136x y x y xy a a a +=+-=--=--≥-

当且仅当2a =-时取得最小值。

好题速递357题

已知点P 为圆1O 与圆2O 的公共点，圆()()2

221:1O x a y b b -+-=+，圆()()2222:1O x c y d d -+-=+，若8ac =，

a c

b d =，则点P 与直线:34250l x y --=上任意一点M 之间的距离的最小值为 ．

解：设(),P m n ，1a c b d k

==，则b ak =，d ck = 所以()()22221m a n ka k a -+-=+，即()2222210a m kn a m n -+++-=

同理()2222210c m kn c m n -+++-=

所以,a c 是方程()2222210x m kn x m n -+++-=的两个实根

所以2218ac m n =+-=

所以点P 的轨迹方程为229x y +=

所以点P 到直线:34250l x y --=的最短距离为min 532PM

=-=

中学试卷

好题速递358题

已知向量,a b 满足23a b +=，22a b -=，则a b 的取值范围是 ． 解：（一）几何角度

由()

223a b a b +=--=和12

b

a -=可以画图，找到向量模长的几何意义。 解法一：基底法

因为2a b OA OB OA OD ==

因为,,cos OA OD AOD ∠三者都未知，属于一问三不知问题，所以考虑转基底做。

那么题目中哪些向量适合做基底呢？显然,AC AD 两个向量长度已知，适合做基底。

（这里夹角未知是应该的，不然整个图就确定下来，就不会是求最小值了。） 所以由,,C O D 三点共线，且4CO OD =，可知1455

AO AC AD =+ 所以141

22555a b OA OD AC AD CD ??==-+

???

()()

2425AC AD AC AD =+-

()

()2282894359cos ,25252525AC AD θ??=-+=+∈-????

解法二：解三角形

设,4,OD x OC x OA y ===，AOD θ∠= 则在AOD ?与AOC ?中运用余弦定理得

22

22

168cos 9

2cos 1

x y xy x y xy θθ?++=??+-=?? 解得28

2cos 35

a b xy x θ==-

又在ACD ?中，利用三角形两边之和大于等于第三边得31431x x +≥+≥-，即

2455

x ≤≤ 所以2

8

8282cos 3,5

2525a b xy x θ??

==-∈-

????

（二）代数角度 解法三：换元思想

令2a b u +=，2a b v -=，则反解得25u v a +=

，25

u v

b -=，且3,2u v == 所以2218323cos 8828,55252525u v u v a b θ+-+??-??

==∈-????

这个做法本质上其实就是转基底，只是不是从几何图形出发，采用换元法。 解法四：平方角度

我们常说：“向量的模长一次想几何，二次想代数运算”，所以本题的两个条件也可以平方。

即2222449444

a a

b b a a b b ?++=???-+=?，

O A B

C D

b a

-2b 3

1

O

A

B

C D b a -2b

3

1

中学试卷

这里将解得22,,a b a b 三者视为整体，那么就属于“三个字母，两个方程，少一个，求取值范围，合情合理！”的问题

所以用要求的a b 表示22,a b 得2272015322015a b a a b

b ?+=???-?=?? 所以由题干知()()22326a b a b +?-≤?=，

即222326a a b b +-≤

即720322023261515

a b a b a b +-?+-?≤ 即1255090a b -≤

所以901255090a b -≤-≤

故8282525a b -≤≤ 解法五：

在解法四2222449444

a a

b b a a b b ?++=???-+=?的基础上，也可解得237420a b a =- 所以要求a b 的最小值，只需要求a 的最小值即可 这里用代数中的三角不等式“a b a b a b -≤+≤+”来解决。 由3424234a b a b -≤++-≤+，即157a ≤≤，所以15

a ≥ 所以237842025

a b a =-≥-

好题速递359题

（2015天津文科第14题）已知函数()()sin cos 0,f x x x x ωωω=+>∈R ，若函数()f x 在区间(),ωω-内单调递增，且函数()f x 的图像关于直线x ω=

对称，则ω的值为 ． 解：由()f x 在区间(),ωω-内单调递增，且函数()f x 的图像关于直线x ω=对称，可得2πωω≤，且()22sin

cos f ωωω=+=2sin 14πω??+= ??

? 所以242π

πω+

=，得ω=

中学试卷

好题速递360题 若椭圆()22

2210x y a b a b

+=>>过椭圆中心的直线交椭圆于,A B 两点，2F 是椭圆右焦点，则2ABF ?的周长的最小值为 ，2ABF ?的面积的最大值为 ．

解：连接11,AF BF ，则由椭圆的中心对称性可得

22212222ABF C AF BF AB AF AF AB a AB a b

?=++=++=+≤+212122

ABF AF F S S c b bc ??=≤??=

好题速递361题

（2015湖北理科第10题）设x ∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数. 若存在实数t ，使得

[]1t =，22t ??=??，…，n t n ??=??同时成立

．．．．，则正整数n 的最大值是 ． 解：由[]1t =得12t ≤<

由22t ??=??得223t ≤<

由44t ??=??

得445t ≤<，所以22t ≤<

由33t ??=??得334t ≤<，所以56t ≤<

由55t ??=??

得556t ≤<与56t ≤<n 的最大值是4

好题速递362题

过点()1,1M -的直线l 交圆()22:11C x y -+=于点,A B ，O 为坐标原点，若在线段AB 上的Q 满足112MA MB MQ

+=，则min OQ = ． 解：设()11,A x y ，()22,B x y ，(),Q m n ，直线():11l y k x =++

则11MA +，21MB =+，1MQ =+

中学试卷

由112MA MB MQ +=得12112111

x x m +=+++ 由()()221111

x y y k x ?-+=??=++??得()()()2222122210k x k k x k +++-++= 所以21222221

k k x x k +-+=-+，()212211k x x k +=-+ 所以421

k m =-+ 所以()42111n m m ??=-++ ?+??

整理得点(),Q m n 满足的轨迹方程为210m n --=

所以min OQ =

=

好题速递363题

如图，已知点D 为ABC ?的边BC 上一点，3BD DC =，()*n E n ∈N 为AC 边上一列点，满足()11324

n n n n n E A a E B a E D +=-+，其中数列{}n a 满足0n a >，11a =，则{}n a 的通项公式为 ． 解：由3BD DC =可得1344n n n E D E B E C =+ 又()11324

n n n n n E A a E B a E D +=-+，且n n E C E A λ= 故()113132444n n n n n n E D E B a E B a E D λ+??=+-+????

即()131********n n n n a E B a E D λλ+????+=++ ???????

因为,n n E B E D 不共线，故()1310416313204n n a a λλ+?+=????++=??

， 两式相除消去λ得132n n a a +=+，又11a =，所以1231n n a -=?-

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