第11章__ Matlab 7.0 符号计算

Matlab 7.0 符号计算

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第11章 符号计算与一般的数值计算不同，符号计算是对字符串符号进行分析和运算，为了 便于理解，读者可以将符号计算看作“由计算机实现的数学公式推导”。 进行符号计算时，MATLAB负责将计算请求提交给其内置的MAPLE组件并返 回MAPLE的计算结果。MATLAB的符号计算历经多次的改进和完善，其功能 已经非常强大，尤其是在大规模的简单公式推导、逻辑推导等应用中有重 要应用。本章介绍的内容如下。 符合对象的创建 符号对象的复合和化简 符号矩阵 符号微积分 符号方程求解 符号函数 符号对象的运算

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11.1 符号类型与数值类型符号对象(Symbolic Objet)是MATLAB符号工 具箱中定义的一种新的数据类型。与一般的简 单数值类型(如logical、int、float、double 等)不同，符号对象是一种保存了符号字符串 表示的复杂数据结构。本节主要讨论符号类型 与普通数值类型的差别。

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11.2 符号对象及其创建MATLAB符号工具箱定义的数据类型——符号对 象(Symbolic Object),是一种存储了符号字 符串表示的复杂数据结构。MATLAB利用符号对 象表示符号变量、符号表达式、符号函数、符 号矩阵，本节介绍符号变量、符号表达式的创 建，至于符号函数和符号矩阵，将分别在11.3、 11.5节进行详细介绍。

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11.2.1 创建符号变量sym函数可用于创建符号常量和变量，其调用格式为： sym_variable = sym(sym_expression) 该指令创建符号变量(或常量)sym_variable,其中 sym_expression为符号变量的字符串表示。如果 sym_expression为常数(例如pi、1、2.01等),则函 数返回符号常量；如果sym_expression是符合命名规则 的字符串(即该字符串只能包含数字、英文字母和下画 线，且不能以数字开头),则函数返回符号变量。

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11.2.2 创建符号表达式符号表达式是符号变量或常量的组合，也可以将符号变 量和符号常量认为是符号表达式。符号表达式的创建， 依然使用函数sym,其调用格式为： sym_variable = sym(sym_expression) 这里的输入字符串参数sym_expression与11.2.1中有所 不同，它是由多个子字符串通过数值运算符组合而成的， 每个子字符串或者是符合命名规则的字符串或者是数值 常量。也可以事先利用sym或syms创建符号变量和常量， 然后通过数值运算符、支持符号计算的函数等将这些符 号变量或常量组合起来构成符号表达式。

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11.2.3 符号对象与数值的转换MATLAB符号计算工具箱提供如下三类运算操作： Numberic,即MATLAB浮点运算

; Rational,即Maple符号运算； VPA,即Maple精度可变运算。 浮点运算是三者中运算速度最快、内存使用最少的一种，但其结果的精度 也较低，format可以控制输出结果的位数，但其内部表示仍然是8字节浮 点表示，也就是说format不能改变结果的精度。符号运算的结果是精确、 无近似的，但运算速度慢、消耗内存最多。VPA是浮点运算与符号运算的 折中，用户可以通过函数digits控制计算结果的精度，默认情况下digits = 32。

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11.3 符号函数显而易见，符号函数与通常的数值函数有很大 的不同。本节从MATLAB中符号函数的创建开始， 分别介绍了符号函数的复合、反函数等内容， 然后给出了一些在理论和实际中具有重要应用 的符号函数。

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11.3.1 创建符号函数可以通过下面两种方法创建符号函数： 符号表达式； M文件。 利用符号表达式创建符号函数的方法在例11.4 中已经介绍，这种方法适合于创建一些比较简 单的函数，对于比较复杂的符号函数的创建， 应该利用M文件。

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11.3.2 复合函数已知函数、,复合函数定义为。MATLAB符号计 算工具箱提供函数compose用于符号函数复合， 其调用格式为： compose(f,g) compose(f,g,z) compose(f,g,x,z) compose(f,g,x,y,z)

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11.3.3 反函数MATLAB符号工具箱的函数finverse用于计算函 数的反函数，其调用格式为： g = finverse(f) g = finverse(f,v) 其中f为符号表达式，该函数求f关于v的反函数， 如果未指定v,那么v = findsym(f)。

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11.3.4 特殊符号函数MATLAB符号工具箱对一些重要的数学函数提供 了支持，

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11.4 符号表达式的复合和化简符号表达式的显示、展开、分解、化简等是符 号运算的重要内容，MATLAB符号工具箱对这些 内容提供了强大的支持。本节将详细介绍 MATLAB符号工具相中符号表达式的显示、展开、 分解、替换、化简等操作。

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11.4.1 显示符号表达式MATLAB显示符号表达式时，默认的方式是 MATLAB式的显示，例如在MATLAB命令窗口输入 以下代码。 >> f = a*x^2 + b*x + c 运行结果如下。 f = a*x^2+b*x+c

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11.4.2 展开、分解及化简符号表达式对数学表达式的展开、分解、化简是学习数学和应用数学中经常要 做的工作，MATLAB符号工具箱这些工作提供了强大的支持，下面列 出了一些相关的函数及其使用方法。 函数collect用于同类项合并，其调用格式为： collect(f, s) collect(f) collect(f, s)将符号表达式f看作符号变量s的多项式(如果未指

定s,则默认s为findsym(f, 1)),对具有相同阶数的项进行合并。

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11.4.3 符号表达式替换符号表达式的替换有两种，一是利用符号变量或符号表 达式替换目标符号表达式中的符号变量(包括符号常 量),利用函数subs实现；二是用符号变量替代目标符 号表达式中的某个子符号表达式，利用函数subexpr实 现。函数subs的一般调用格式为： R = subs(S) R = subs(S, new) R = subs(S,old,new)

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11.5 符号矩阵符号矩阵是数值矩阵的扩展，符号矩阵的每个 元素为符号表达式。与数值矩阵一样，符号矩 阵也有代数运算、逻辑运算等；还可以求符号 矩阵的奇异值，对符号进行奇异值分解。对于 符号方阵，可以求行列式、特征值；符号方阵 可逆时，还可以求符号方阵的逆。本节涉及的 许多符号矩阵运算与数值矩阵相同，读者在学 习本节内容时可以参考第7章。

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11.5.1 创建符号矩阵MATLAB符号工具箱中没有提供专门用于创建符 号矩阵的函数，用户可以通过以下三种方式创 建符号矩阵： 直接输入符号矩阵的各个元素——符号表达式； 利用sym函数将数值矩阵转化为符号矩阵，这种 方法只能创建符号常量矩阵； 简单符号矩阵的组合创建复杂符号矩阵。

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11.5.2 符号矩阵的代数运算同数值矩阵一样，符号矩阵也能进行加、减、乘、除四则运算，并且具有 与数值矩阵几乎相同的运算规则，只是矩阵元素由数值变成了符号表达式。

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11.5.3 符号矩阵的逻辑运算MATLAB符号工具箱对符号的逻辑运算支持很有 限，仅支持==和~=。 符号的逻辑运算。 运行结果如下。 ??? Function 'gt' is not defined for values of class 'sym'. Error in ==> gt at 16 builtin('gt', varargin{:});

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11.5.4 符号矩阵的行列式符号矩阵的行列式与数值矩阵的行列式具有相 同的定义，只是符号矩阵的行列式为符号函数。 同样，行列式仅对符号方阵才有意义。 MATLAB利用同名函数det计算符号矩阵的行列 式，该函数在符号工具箱中被重载。 符号矩阵的行列式。 sin x cos x 矩阵 cos x sin x 被称为单位旋转矩阵，试求该矩 阵的行列式。

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11.5.5 符号矩阵的逆对阶符号方阵，满足的符号方阵称为的逆，记 为。其中为单位符号方阵，对角线上元素为符 号常量，其余为0。 MATLAB符号工具箱提供同名函数inv用于计算符 号方阵的逆，这里的inv在符号工具箱中被重载。 下面是符号矩阵求逆应用的例子。

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