第3章 刚体的转动

第3章 刚体的转动

一. 选择题

1. 飞轮绕定轴作匀速转动时, 飞轮边缘上任一点的 (A) 切向加速度为零, 法向加速度不为零 (B) 切向加速度不为零, 法向加速度为零

(C) 切向加速度和法向加速度均为零

(D) 切向加速度和法向加速度均不为零 [ ]

2. 一飞轮从静止开始作匀加速转动时, 飞轮边缘上一点的法向加速度an和切向加速度aι的值怎样?

（A) an不变, aι为0 (B) an不变, aι不变

(C) an增大, aι为0 (D) an增大, aι不变 [ ]

3 关于刚体的转动惯量J, 下列说法中正确的是

[ ] (A) 轮子静止时其转动惯量为零 (B) 若mA＞mB, 则J A＞J B

(C) 只要m不变, 则J一定不变 (D) 以上说法都不正确

4. 地球的质量为m, 太阳的质量为m0，地心与太阳中心的距离为R, 引力常数为G, 地球绕太阳转动的轨道角动量的大小为 (A) mGm0R (B)

Gmm0G (C) mm0 (D) RRGmm0 [ ] 2R5. 刚体角动量守恒的充分而必要的条件是

(A) 刚体不受外力矩作用 (B) 刚体所受的合外力和合外力矩均为零

(C) 刚体所受合外力矩为零； (D) 刚体的转动惯量和角速度均保持不变 [ ]

6. 绕定轴转动的刚体转动时, 如果它的角速度很大, 则

(A) 作用在刚体上的力一定很大 (B) 作用在刚体上的外力矩一定很大

(C) 作用在刚体上的力和力矩都很大 (D) 难以判断外力和力矩的大小 [ ]

7. 在外力矩为零的情况下, 将一个绕定轴转动的物体的转动惯量减小一半, 则物体的

(A) 角速度将增加三倍 (B) 角速度不变, 转动动能增大二倍

(C) 转动动能增大一倍 (D) 转动动能不变, 角速度增大二倍 [ ] 8如图1所示，一块长方形板以其一个边为轴自由转动，最初板自由下垂．现有一小团粘土垂直于板面撞击板, 并粘在板上. 对粘土和板系统, 如果不计空气阻力, 在碰撞过程中守恒的量是

(A) 动能 (B) 绕长方形板转轴的角动量

(C) 机械能 (D) 动量 [ ]

O

O?图1 9. 均匀细棒OA可绕通过其一端O而与棒垂直的水平固定光滑轴转动，如图2所示．今使棒从水平位置由静止开始自由下落，在棒摆动到竖直位置的过程中，下述说法哪一种是正确的？

(A) 角速度从小到大，角加速度从大到小 (B) 角速度从小到大，角加速度从小到大 (C) 角速度从大到小，角加速度从大到小

O?? mg 图2

A

(D) 角速度从大到小，角加速度从小到大 [ ] 10. 有两个力作用在一个有固定转轴的刚体上：

(1) 这两个力都平行于轴作用时，它们对轴的合力矩一定是零 (2) 这两个力都垂直于轴作用时，它们对轴的合力矩可能是零 (3) 当这两个力的合力为零时，它们对轴的合力矩也一定是零 (4) 当这两个力对轴的合力矩为零时，它们的合力也一定是零

在上述说法中

(A) 只有(1)是正确的

(B) (1)、(2)正确，(3)、(4)错误

(D) (1)、(2)、(3)、(4)都正确 [ ]

(C) (1)、(2)、(3)都正确，(4)错误

二、填空题

1. 一个唱片转盘在电动机断电后的30 s内由33r?min减慢到停止，它的角加速度是 ；它在这段时间内一共转了 圈．

2. 半径为r的圆环平放在光滑水平面上, 如图3所示，环上有一甲虫, 环和甲虫的质量相等, 并且原先都是静止的. 以后甲虫相对于圆环以等速率爬行, 当甲虫沿圆环爬完一周时, 圆环绕其中心转过的角度是 ．

13?1r图3

2

F图4

FW图5

F3. 如图4所示，两个完全一样的飞轮, 当用98 N的拉力作用时，产生角加速度?1; 当挂一重98 N的重物时, 产生角加速度?2．则?1和?2的关系为 ．

4 如图5所示，两人各持一均匀直棒的一端, 棒重W, 一人突然放手, 在此瞬间, 另一人感到手上承受的力变为 ．

???r?acos?ti?bsin?tj，其中a、b、?皆为常数．则此质点所受的对原点的力矩

??M= ；该质点对原点的角动量L= ．

6. 长为l、质量为m0的匀质杆可绕通过杆一端O的水平光滑固定轴转动，转动惯量为m0l，开始时杆竖直下垂，如图6所示．现有一质量为m的子弹以水平速度v0射入杆上A点，并嵌在杆中，

O 2l3?v0 A 图6

5. 一质量为m的质点沿着一条空间曲线运动，该曲线在直角坐标系下的定义式为

132?OA?

2l，则子弹射入后瞬间的角速度?? ． 3

三、计算题

1. 如图7所示，两个匀质圆盘质量分别为m1， m2，

半径分别为R1，R2，各自可绕互相平行的固定水平轴无摩 擦地转动，今对圆盘1相对其转轴施加外力矩M，圆盘、 皮带都被带动，设圆盘、轻皮带间无相对滑动， 求圆盘1，2的角加速度。

2. 物体A和B叠放在水平面上，由跨过定滑轮的不可伸长的轻质细绳相互连接，如图8所示．今用大小为F的水平力拉A．设A、B和滑轮质量都

Mm1R1R2m2 图7

12为m，滑轮的半径为R，对轴的转动惯量J?mR，AB之

2间、A与桌面之间、滑轮与轴之间均无摩擦，绳与滑轮之间无相对滑动，且绳子不可伸长．已知F＝10 N，m＝8.0 kg，R＝0.050 m，求：

(1) 滑轮的角加速度；

(2) 物体A与滑轮之间的绳中的张力； (3) 物体B与滑轮之间的绳中的张力．

BA?F图8

3. 质量分别为m和2 m、半径分别为r和2 r的两个均匀圆盘，同轴地粘在一起，可以绕通过盘心且垂直于盘面的水平光滑固定轴转动，对转轴的转动惯量为

92mr，大小圆2盘边缘都绕有绳子，绳子下端都挂一质量为m的重物，如图9所示．求盘的角加速度的大小．

C 2rm C?A

B hy x ? mm

m o

s图11 图9

图10

4. 如图10所示，一长为l、质量为m的均匀细棒，可绕光滑轴O在竖直面内转动．棒

由水平位置从静止下落，转到竖直位置时与原静止于地面上的质量也为m的小滑块碰撞，碰撞时间极短．滑块与地面的摩擦系数为?，碰后滑块移动s后停止, 棒继续沿原方向转动．求碰后棒的质心C离地面的最大高度h．

2mr

lO?5. 如图11所示装置，定滑轮的半径为r，绕转轴的转动惯量为J，滑轮两边分别悬挂

质m1和m2的物体A、B。 A置于倾角为? 的斜面上，它和斜面间的摩擦因数为?，若B向下作加速运动时，求：（1）其下落的加速度的大小；（2）滑轮两边绳子的张力。（设绳的质量及伸长均不计，绳与滑轮间无滑动，滑轮轴光滑）

6. 如图12所示，质量为0.5kg、长为0.40m的均匀细棒，可绕垂直于棒的一端的水平

轴在竖直平面内转动先将棒放在水平位置，然后任其落下，求： (1)当棒转过60。时的角加速度和角速度； (2)下落到竖直位置时的动能；

(3)下落到竖直位置时的角速度

mO?π3l

m图12

图13

图14

7. 如图13所示，质量为m半径为R的均质圆盘，初角速度为?0，不计轴承处的摩擦，

若空气对圆盘表面单位面积的摩擦力Ff正比于该处的线速度v，即Ff?kv，k为常量，试求：

(1) 圆盘所受的空气阻力力矩M； (2) 圆盘在停止前所转过的圈数。

8. 如图14所示，长为l、质量为m的均匀细杆可绕水平光滑固定轴O转动，开始时杆静止在竖直位置．另一质量也为m的小球，用长也为l的轻绳系于O轴上．现将小球在竖直平面内拉开，使轻绳与竖直方向的夹角?，然后使小球自由下摆与杆端发生弹性相碰，结果使杆的最大偏角为

π．求角度?． 3

第3章 刚体的转动答案

一. 选择题

1 .[ A ]2.[ D ]；3.[D ]；3.[ A ]；4.[ A ]；5.[ C ]；6.[ D ]；7.[ C ]；8.[ B ]；9.[A ] 10.[B ]

二 填空题

1.?67r?min?2，8.3 2. π; 3.

?1??2; 4.

1W；5. 7.0m?abk； 46.

6v0；

?4?3m0m?l三、计算题

1. 解 设两圆盘边缘的切向加速度分别为a1和a2 由转动定律得

M?(T1?T2)R1?J1?1

m1MR1R2m2(T1?T2)R2?J2?2

R1?1?R2?2

解得 ?1?图15

MR22J1R22?J2R12

?2?MR1R2J1R2?J2R221

2. 解：各物体受力如图16所示．由牛顿定律和转动定律列方程如下：

?F?FT?ma?F??ma??T ? 12?FTR?FT?R?2mR????a?R?由以上各式可以解出 (1) 滑轮的角加速度

mFNyFNx?FTFTaFNT??FNBmmgmgaAFTmFNmg图16

F??2F2?10?rad?s?2?10rad?s?25mR5?8?0.050

(2) A与滑轮之间绳中张力

FT?(3) B与滑轮之间绳中张力

3F3?10?N?6.0N 552F2?10?N?4.0N 55FT??

3 解 各物体受力如图17所示，由牛顿定律和转动定律列方程如下：

mg?FT2?ma2FT1?mg?ma1 FT2?2r?FT1?r??FN92mr? 2?a2?FT2a2?2r?a1?r?2g联立以上方程，可以解得 ??

19r4. 解 过程1：棒下摆．考查(棒---地球)系统，只有重力（保守内力）

作功，系统机械能守恒．

设地面为重力势能零点，则有 mgl?式中J为棒的转动惯量 J??(m?2m)g?FT1?a1?mg?mg m图017

1lJ?2?mg() (1) 2212ml，解得 33g ?? (2)

l过程2：棒和滑块的碰撞．考察(棒、滑块)系统，外力(重力、轴力)力矩均为零，系统角动量守恒．

J??J???mvl (3)

过程3：滑块运动且棒上摆．考察滑块，仅摩擦力作用，由动能定理

?Ff ?s?0?1mv2 (4) 2其中摩擦力 Ff?? mg

考察(棒、地球)系统， 只有重力（保守内力）做功，系统机械能守恒．

1lJ??2?mg()?mgh (5) 22联立(2) ~ (5)式可得 h?l?3? s?6? sl

5. 解 分别作A、B和滑轮的受力分析，如图18所示，根据质点的牛顿定律和刚体定轴转动定律可得

FT1?m1gsin???m1gcos??m1a1 ①

m2g?FT2?m2a2 ②

FT?2r?FT?1r?J? ③ a1?a2?r? ④

解上述方程组可得

?T 2 ⑤ FT1?F?FT2?FT1，

a1?a2?m2g?m1gsin???m1gcos?m1?m2?J/r2

2m1m2g(1?sin???cos?)?(sin???cos?)mgJ1/r FT1?m1?m2?J/r2

m1m2g(1?sin???cos?)?m2gJ/r2FT2?m1?m2?J/r26. 解 (1)当棒转到600时，如图19所示，所受重力矩为

l0 M?mgcos60

2由转动定律M?J?得

l120 mgcos60?ml? 图19 233g3?9.8cos600??18.4rad/s2 ??2l4?0.4的重力势能为势能零点，则总机械能

Eo?0 棒转到600时的角速度设为ω，则总机械能 E?其中J?

对于转轴O，棒在转动过程中只受到重力矩的作用，故机械能守恒。设棒在水平位置时

1lJ?2?mgsin600 2312ml，由机械能守恒定律E0?E，得 31l20 J??mgsin60?0

2333g?5.64rad/s 解得 ??2l (2) 棒下落到竖直位置时的总机械能为 E??由机械能守恒定律，有E0?E?，即 此时的动能为

1lJ?2?mg 221lJ?2?mg?0 22 Ek?(3) 下落到竖直位置时的角速度

1l0.5?9.8?0.4J?2?mg??0.98J 222??2Ek3g??8.57rad/s Jl 7. 解 (1) 在盘上取同心圆环面元dS，该面元所受空气阻力 (两面受力)

dF??2FfdS??2kvdS??2k?rdS 阻力力矩 dM=rdF??2k?rdS 其中面积元 dS??2?rdr 总阻力力矩

R24 M?dM=-???0k?3rd=r??k?R4 d?得 dt (2) 由转动定律M=J12d?4 ?πk?R=mR

2dt2?2πkR2πkR2?dt=??d? ?d?=???000mmm?0 圜盘在停转前所转过的角度 ??

2πkR2m???202 圜盘在停转前所转过的转数 N?2π4πkR0t

8解：小球下摆，(小球、地球)系统只有重力做功，机械能守恒，设杆静止时的最低端处为重力势能零点，有

mgl(1?cos?)?1mv2 (1) 2球、杆弹性碰撞，(小球、细杆)系统，重力(此刻竖直)和轴力对轴O的力矩为零，系统角动量守恒；且因是弹性碰撞，碰撞前后系统动能不变，设小球碰前、后的速度大小分别为v和v?，碰后杆的角速度为?，角动量守恒式为

2 mvl?mv?l?(ml)? (2) 3

动能守恒式为

m1

1111mv2?mv?2?(ml2)?2 (3) 2223O?π3l

杆上摆，(细杆、地球)系统，只有重力做功，机械能守恒，取杆的中点处为重力势能的零点，有

m1122l?(ml)??mg(1?cos) (4) 232322联立(1) ~ (4)式有 cos?? ，得到 ??arccos

33

??v?图20

?v

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/pozd.html